第五章 圆(二).doc

第五章 圆（二）五、圆内接四边形1、名称：外接圆，圆内接四边形。2、性质：对角互补。外角等于内对角。共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。3、四点共圆的判定：证四点共圆是建立在四边形的基础上，是平面几何中化未知为已知的过程。从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。一组对角互补的四边形，四顶点共圆。一外角等于内对角的四边形，四顶点共圆。把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆 （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆（割线定理的逆定理）证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。同斜边的两个Rt三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。例1 求证：锐角三角形三边上中点和一边上高的垂足四点共圆。已知：如图 在ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点。APBC于P求证：D、P、E、F四点共圆。证明：D、E、F分别是BC、CA、AB的中点 DCEF是平行四边形 EFD=C又APBC EP=EC EPC=C EPC=EFD D、P、E、F四点共圆。例2 已知在ABC中，ADBC于D，DEAC于E，DFAB于F。求证：F、B、C、E四点共圆证明：DFAB,DEACAFDE共圆ADF=AEF又ADBCADF+BDF=90 又B+BDF=90ADF=B AEFBF、B、C、E四点共圆作业：求证：钝角三角形各边中点和夹钝角的一边上的高的垂足四点共圆。对角线互相垂直的四边形各边中点四点共圆。M、N是ABC的AB、AC上的中点，MQAB交AC于Q，NPAC交AB于P，求证：P、B、C、Q四点共圆。六、直线和圆的位置关系1、位置关系相离 没有交点 dr 相切 一个交点 d=r相交 两个交点dr2、切线判定：有一个交点d=r过半径外端且垂直于半径的直线是切线。性质：过圆心垂直于半径的直线必经过切点。过切点垂直于切线的直线必经过圆心。切线垂直于过切点的半径。切线长定理：从圆外一点向圆引切线，这两条切线长相等。推论：从圆外一点向圆引两条切线，这点和圆心的连线平分这两条切线所成的角。推论：从圆外一点向圆引两条切线，这点和圆心的连线垂直平分连接两切点的弦。从圆外一点向圆引切线的方法：以圆外一点P到圆心O的距离为直径作图。(略)在已知线段上作含有已知弓形角的弧（略）3、圆幂定理：和圆有关的成比例线段定理。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即PAPB=PCPD。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,即PT2=PAPB。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PAPB=PCPD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PAPB=PCPD。总结：过任意不在圆上的一点P引一条直线与圆交于AB两点，PAPB为定值。以直径为底边的圆内接三角形中的射影定理（略）。七、圆和圆的位置关系1、位置关系：相离 没有交点dR+r外切 一个交点d=R+r相交 两个交点dR+r内切 一个交点d=R-r内含 没有交点dR-r定理：两圆相交，连心线垂直平分共弦。定理：两圆相切，连心线经过切点。定理：两圆相切，连心线垂直于过切点的公切线。2、公切线：定理：两内公切线的长相等。定理：两外公切线的长相等。定理：连心线经过两公切线的交点。定理：连心线平分两公切线所成的角。注意：两圆相交时，公共弦是一重要的辅助线。两圆相切时，过切点的公切线是一重要的辅助线。 作业：如图，已知EP切O1于P，PAC交O2于C，PBD交O2于D，求证：CDEP提示：作公共弦AB八、正多边形1、定义：各边相等、各角也相等的多边形。2、将圆n等分，则 依次连接各分点所成的图形是圆内接正多边形。过各分点作圆的切线得圆外切正多边形。任何正多边形都有一个内切圆和一个外接圆。这两个圆是同心圆，这个圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，用Rn表示，内切圆的半径叫正多边形的边心距，用rn表示。正多边形每一条边所对的圆心角叫正多边形的中心角，用n表示。3、有关计算：若正多边形的边数、边长、半径、边心距、中心角、周长、面积分别用n、a、R、r、L、S表示。则= a=Rsin R2=r2+()2 r=Rcos L=na S=ar正n边形的内角和=（n2)180 正n边形的一个内角=(n-2)180n. 正n边形外角和等于n180(n2)180=360 所以正n边形的一个外角为：360n. 所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：180-360n. 4、正多边形的对角线和对称轴对角线：在一个正多边形中，一个点可以与除了与他相邻的所有点连线，那么这个正多边形就可以从一个顶点引(n-3)条对角线，也就成了(n-2)个三角形。三角形内角和=180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和。 对角线数量的计算公式：n(n-3)2。对称轴：奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴；偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴。正n边形边数为对称轴的条数为n。5、圆的等分：3、6、12；4、8、16；5、10、20在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙，这就是正三角形、正方形、正六边形。因为正三角形的每一个角等于60度，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360度；正方形的每个角等于90度，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上四个角的和也刚好等于360度；正六边形的每个角等于120度，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和也等于360度，如果用别的正多边形，就不能达到这个要求。例如正五边形的每只角等于108度，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上三个角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形，因为108度*4=432度，大于360度。6、黄金分割（中外比）的尺规作图。以AB为一条直角边作RtABC使另一条直角边BC=AB，以C为圆心，CB为半径画弧交CA于D，以A为圆心，AD为半径画弧交AB于P。P就是AB的黄金分割点。将圆的半径黄金分割，长段就是正十边形的边长。7、圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积、圆环面积C=2r=d l=n S圆=r2S扇=nr2/360 S弓= nr2/360-S S环=S大圆-S小圆8、点的轨迹：点按照一定条件运动，所遗留下的痕迹。轨迹的条件：连贯、位置、大小、形状。轨迹命题的结构：前提-是-结论。圆：到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆。角平分