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2016全国初中数学邀请赛预测试卷答案一、选择题1. C，2.D由已知可得，于是，故时，的最小值为3. C题设两式相乘可得：，则，进而，因此，4.C如图，连接。设，则故。因为，所以，5. C解：若，则概率为；由知，的概率为；由知，的概率为；若，则只能是，概率为注意到上述四种情况中任意两种不可能同时成立，因此，或，或，或的概率为二、填空题6. 【解析】 易知,是方程的一个根。设方程的另两个根为、则，由题设知，则所以7. 【解析】 设点、。则点、因为点、在双曲线上，所以，。由，则，两边同时平方整理得即8. 解：由，可得因为，所以将代入原方程可得当时，有最小值，最小值为9. 【解析】 由，且，得则因为，所以时，取最大值，故或时，取最小值，故因此10. 【解析】 设，则因为，所以，即则故三、解答题11. 【解析】 设方程的两个根为（为整数，且）则方程的两根为由题意得：两式相加得，整理得：所以，所以或12. 如图4，已知点为的垂心，以为直径的与的外接圆交于点，延长与交于点求证：为的中点【解析】 如图，延长与交与点联结、由是的直径知故是的直径。于是,由为的垂心知，所以,故四边形为平行四边形因此，为的中点13. 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、设点，则设直线的解析式为，并设，其中由，得，于是，则，故因此，设直线的解析式为由知所以，故将代入上式，平方并整理得解得，或又由得，若，则，从而同理，若，则故直线的解析式为或14. 证明：（1）由于均为正整数，而原方程等价于 ，故必有设，其中是正整数，则上式可化为，并可写成关于的一元二次方程 由于为正整数，故其判别式是完全平方数，即是完全平方数 又因为，所以和均是完全平方数，这样是完全平方数 （2）设，其中是正整数，则有当时，上述方程左边是，恰为完全平方数，故对任意正整数，该方程总有解此时，方
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