西部数学奥林匹克.pdf

西部数学奥林匹克 目录目录 2001 年西部数学奥林匹克 2 2002 年西部数学奥林匹克 4 2003 年西部数学奥林匹克 6 2004 年西部数学奥林匹克 7 2005 年西部数学奥林匹克 8 2006 年西部数学奥林匹克 10 2007 年西部数学奥林匹克 12 2008 年西部数学奥林匹克 14 2009 年西部数学奥林匹克 16 2010 年西部数学奥林匹克 18 2011 年西部数学奥林匹克 21 2012 年西部数学奥林匹克 23 西部数学奥林匹克 20012001 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 设数列 满足 1 1 2 1 2 2 证明 2001 m 求所有的整数 x 使得 2 1 2 1是一个完全平方数 潘曾彪 供题 4 设 为正实数 且 求 2 2 2 的最小值 冯志刚 供题 5 求所有的实数 x 使得 3 4 3 这里 y 表示不超过实数 y 的 最大整数 杨文鹏 供题 6 P 为 O 外一点 过 P 作 O 的两条切线 切点分别为 A B 设 Q 为 PO 与 AB 的交点 过 Q 作 O 的任意一条弦 CD 证明 PAB 与 PCD 有相同的内心 刘康宁 供题 7 求所有的实数 0 2 使得 2 2 4 1 并证 西部数学奥林匹克 明你的结论 李胜宏 供题 8 我们称 1 2 为集合 A 的一个 n 分划 如果 1 1 2 2 1 求最小正整数 m 使得对 1 2 的任意一个 14 分划 1 2 14 一定存在某个集合 1 14 在 中有两个元素 a b 满足 4 3 冷岗松 供题 西部数学奥林匹克 20022002 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 求所有的正整数 n 使得 4 4 3 22 2 36 18是一个完全 平方数 2 设 O 为锐角 ABC 的外心 P 为 AOB 内部一点 P 在 ABC 的三 边 BC CA AB 上的射影分别为 D E F 求证 以 FE FD 为邻边 的平行四边形位于 ABC 内 3 考虑复平面上的正方形 它的 4 个顶点所对应的复数恰好是某个 整系数一元四次方程 4 3 2 0的 4 个根 求这种正 方形面积的最小值 4 设 n 为正整数 集合 1 2 1是集合 1 2 的 n 1 个非 空子集 证明 存在 1 2 1 的两个不交的非空子集 1 2 和 1 2 使得 1 2 1 2 5 在给定的梯形 ABCD 中 AD BC E 是边 AB 上的动点 O1 O2 分别是 AED BEC 的外心 求证 O1O2的长为一定值 6 设 2 是给定的正整数 求所有整数组 1 2 满足条 件 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 7 设 为方程 2 1 0的两个根 令 1 2 1 证明 对任意正整数 n 有 2 1 2 求所有正整数 a b 满足对任意正整数 n 有 b 整除 2 西部数学奥林匹克 8 设 1 2 是一个由 0 1 组成的满足下述条件的最长的 数列 数列 S 中任意两个连续 5 项不同 即对任意1 4 1 2 3 4与 1 2 3 4不相同 证明 数列 S 最前面的 4 项与最后面的 4 项相同 西部数学奥林匹克 20032003 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 将1 2 3 4 5 6 7 8分别放在正方体的八个顶点上 使得每一个面上 的任意三个数之和均不小于 10 求每一个面上四个数之和的最小值 2 设 2n 个实数 1 2 2 满足条件 1 2 1 2 1 1 求 1 2 2 1 2 的最大值 3 设 n 为给定的正整数 求最小的正整数 满足 对每一个正整数 d 任意 个连续的正奇数中能被 d 整除的数的个数不少于奇数 1 3 5 2 1中能被 d 整除的数的个数 4 证明 若凸四边形 ABCD 内任意一点 P 到边 AB BC CD DA 的距离之和为定值 则 ABCD 是平行四边形 5 已知数列 满足 0 0 1 2 1 2 1 0 1 2 其中 k 为给定的正整数 证明 数列 的每一项都是整数 且2 2 0 1 2 6 凸四边形 ABCD 有内切圆 该内切圆切边 AB BC CD DA 的 切点分别为 A1 B1 C1 D1 连结 A1B1 B1C1 C1D1 D1A1 点 E F G H 分别为 A1B1 B1C1 C1D1 D1A1的中点 证明 四边形 EFGH 为矩形的充分必要条件是 A B C D 四点共圆 7 设非负实数 1 2 3 4 5满足 1 1 1 5 1 求证 4 2 5 1 1 8 1650 个学生排成 22 行 75 列 已知其中任意两列处于同一行的两 个人中 性别相同的学生都不超过 11 对 证明 男生的人数不超过 928 西部数学奥林匹克 20042004 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 求所有的整数 n 使得 4 6 3 11 2 3 31是完全平方数 2 四边形 ABCD 为一凸四边形 I1 I2分别为 ABC DBC 的内心 过点 I1 I2的直线分别交 AB DC 于点 E F 分别延长 AB DC 它 们相交于点 P 且 PE PF 求证 A B C D 四点共圆 3 求所有的实数k 使得不等式 3 3 3 3 1 对任意 1 都成立 4 设 用 表示 n 的所有正约数的个数 表示1 2 中与 n 互质的数的个数 求所有的非负整数 c 使得存在正整数 n 满 足 且对这样的每一个 c 求出所有满足上式的 正整数 n 5 设数列 满足 1 2 1 且 2 1 1 1 2 求 2004 6 将 棋盘 由 m 行 n 列方格构成 3 3 的所有小方 格都染上红蓝两色之一 如果 2 个相邻 有公共变 的小方格异色 则称这2个小方格为1个 标准对 设期盼中 标准对 的个数为S 试问 S 是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定 什么情况下 S 为奇数 什 么情况下 S 为偶数 说明理由 7 已知锐角 ABC 的三边长不全相等 周长为 l P 是其内部一动点 点 P 在边 BC CA AB 上的射影分别为 D E F 求证 2 的充分必要条件是 点 P 在 ABC 的内心与外心的连线上 8 求证 对任意正实数 a b c 都有1 2 满足 1 1 1 1 2 求证 存在正整数 k 使得 1 1 1 5 如图 2 O1 O2交于 A B 两点 过点 O1的直线 DC 交 O1 于点 D 且切 O2于点 C CA 且 O1于点 A O1的弦 AE 与直线 DC 垂直 过点 A 作 AF 垂直于 DE F 为垂足 求证 BD 平分线段 AF 图 2 F E C B A P D F E B D O1 O2 A C 西部数学奥林匹克 6 在等腰 Rt ABC 中 1 P 是 ABC 边界上任意一点 求 的最大值 7 设正实数 a b c 满足 1 证明 10 3 3 3 9 5 5 5 1 8 设 n 个新生汇总 任意 3 个人中有 2 个人互相认识 任意 4 个人 中有 2 个人互不任何 试求 n 的最大值 西部数学奥林匹克 20062006 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 设 2 是给定的正整数 1 2 0 1 求 1 1 6 1 的最大值 这里 1 1 2 求满足下述条件的最小正实数 k 对任意不小于 k 的 4 个互不相同 的实数 a b c d 都存在 a b c d 的一个排列 p q r s 使 得方程 2 2 0有 4 个互不相同的实数根 3 如图 1 在 ABC 中 60 过点 P 作 PBC 的外接圆 O 的切线 与 CA 的延长线交于点 A 点 D E 分别在线段 PA 和 O 上 使得 90 PD PE 连结 BE 与 PC 相交于点 F 已知 AF BP CD 三线共点 1 求证 BF 是 的角平分线 2 求 的值 图 1 4 设正整数 a 不是完全平方数 求证 对每一个正整数 n 2 的值都是无理数 这里 其中 表示不超过 x 的最大整数 5 设 1 1 都可以表示为两个正整数的平方和 证明 若 则 2 F E A P O B C D 西部数学奥林匹克 6 如图 2 AB 是 O 的直径 C 为 AB 延长线上的一点 过点 C 作 O 的割线 与 O 交于点 D E OF 是 BOD 的外接圆 O1的直 径 连结 CF 并延长交 O1于点 G 求证 O A E G 四点共圆 图 2 7 设 k 是一个不小于 3 的正整数 是一个实数 证明 如果 1 和 都是有理数 那么 存在正整数 使得 1 和 都是有理数 8 给定正整数 2 求 的最小值 使得对集合 X 的任意 n 个 二元子集 1 2 都存在集合 X 的一个子集 Y 满足 1 2 对 1 2 都有 1 这里 表示有限集合 A 的元素个数 G F O1 D A O B C E 西部数学奥林匹克 20072007 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 已知 1 2 8 对于 定义 为 A 中所有元素 之和 问 T 有多少个非空子集 A 使得 是 3 的倍数 但不是 5 的 倍数 2 如图 1 O1 O2交于点 C D 过 D 的一条直线分别与 O1 O2交于点 A B 点 P 在 O1的 AD 弧上 PD 与线段 AC 的延长 线交于点 M 点 Q 在 O2的 BD 弧上 QD 与线段 BC 的延长线交于 点 N O 是 ABC 的外心 求证 的充要条件为 P Q M N 四点共圆 图 1 3 设实数 a b c 满足 3 求证 1 5 2 4 11 1 5 2 4 11 1 5 2 4 11 1 4 4 设 O 是 ABC 内部一点 证明 存在正整数 p q r 使得 1 2007 5 是否存在三边长都为整数的三角形 满足以下条件 最短边长为 2007 且最大的角等于最小角的两倍 M N O B C D O1 O2 A P Q 西部数学奥林匹克 6 求所有的正整数 n 使得存在非零整数 1 2 满足 1 2 0 1 2 22 2 2 7 设 P 是锐角 ABC 内一点 AP BP CP 分别与边 BC CA AB 交于点 D E F 已知 求证 P 是 ABC 的重心 8 将 n 枚白子与 n 枚黑子任意地放在一个圆周上 从某枚白子起 按 顺时针方向依次将白子标以1 2 在从某枚黑子起 按逆时针方向 依次将黑子标以1 2 证明 存在连续 n 枚棋子 不计黑白 它 们的标号组成的集合为 1 2 西部数学奥林匹克 20082008 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 实数数列 满足 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 证明 对任意的正整数 n 都有 0 1 1 0 1 1 1 1 2 如图 1 在 ABC 中 AB AC 其内切圆 I 分别切边 BC CA AB 于点 D E F P 为弧 EF 不含点 D 的弧 上一点 设线段 BP 交 I 于另一点 Q 直线 EP EQ 分别交 BC 于点 M N 证明 1 P F B M 四点共圆 2 图 1 3 设整数 2 1 2 都是正整数 证明 存在无穷多个 正整数 n 使得数 1 1 2 2 都是合数 4 设整数 2 a 为正实数 b 为非零实数 数列 定义如 下 1 1 1 2 证明 1 当b 0且m为偶数时 数列 有界的充要条件是 1 2 2 当 b0 时 数列 有界的充要条件是 1 1 1 MN Q EF I D BC A P 西部数学奥林匹克 5 在一直线上相邻的距离都等于 1 的四个点上各有一只青蛙 允许 任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上 证 明 无论跳动多少次后 四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不 能都等于 2008 6 设 0 1 满足 1 1 1 2 求 xyz 的最大值 7 设 n 为给定的正整数 求最大的正整数 k 使得存在三个由非负整 数组成的 k 元集 1 2 1 2 1 2 满足对任意的 1 都有 8 设P为正n边形 1 2 内的任意一点 直线 1 2 交 正 n 边形 1 2 的边界于另一点 证明 1 1 西部数学奥林匹克 20092009 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 设 M 是一个由实数集 R 去掉有限个元素后得到的集合 证明 对 任意正整数 n 都存在 n 次多项式 f x 使得 f x 的所有系数及 n 个实 根都属于 M 2 给定整数 3 求最小的正整数 k 使得存在一个 k 元集合 A 和 n 个两两不同的实数 1 2 满足 1 2 2 3 1 1均属于 A 3 设 H 为锐角 ABC 的垂心 D 为边 BC 的中点 过点 H 的直线分别 交边 AB AC 于点 F E 使得 AE AF 射线 DH 与 ABC 的外接圆 交于点 P 求证 P A E F 四点共圆 4 求证 对任意给定的正整数 k 总存在无穷多个正整数 n 使得 2 3 1 2 3 2 2 3 均为合数 5 设数列 满足 1 5 7 及当 1时 有 1 5 7 试确 定 2009的末两位数字的所有可能值 6 如图 1 设 D 是锐角 ABC 的边 BC 上一点 以线段 BD 为直径的 圆分别交直线 AB AD 于点 X P 异于点 B D 以线段 CD 为直 径的元分别交直线 AC AD 于点 Y Q 异于点 C D 过点 A 作直 线 PX QY 的垂线 垂足分别为 M N 求证 的充分必 要条件是直线 AD 过 ABC 的外心 西部数学奥林匹克 图 1 7 有 12 个人参加某次数学邀请赛 试卷由十五道填空题组成 每答对一题得 1 分 不答或答错得 0 分 分析每一种可能的得分情况 发现 只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分 则这 n 个人中至 少有 3 个人答对了至少三道同样的题 求 n 的最小可能值 8 实数 1 2 3 满足 1 2 0 且2 1 1 2 3 1 求最小的 使得对所有的 1 2 都有 1 N M Y Q P X A B C D 西部数学奥林匹克 20102010 年西部数学奥林匹克年西部数学奥林匹克 1 设 m k 为给定的非负整数 22 1为质数 求证 1 22 1 1 1 2 满足同余方程2 1 1 的最小正整数 n 为2 1 靳 平 供题 2 如图 1 已知 AB 是 O 的直径 C D 是圆周上异于点 A B 且 在 AB 同侧的两点 分别过点 C D 作圆的切线 它们交于点 E 线 段 AD 与 BC 的交点为 F 直线 EF 与 AB 交于点 M 求证 E C M D 四点共圆 图 1 刘诗雄 供题 3 求所有的正整数 n 使得集合 1 2 有 n 个两两不同的三元子 集 1 2 满足对任意的 1 都有 1 冯志刚 供题 4 设非负实数 1 2 与 1 2 满足以下条件 1 1 1 2 1 0 3 2 1 10 西部数学奥林匹克 求证 对任意的 1 都有 10 10 2 李胜宏 供题 5 设 k 为大于 1 的整数 数列 定义如下 0 0 1 1 1 1 1 2 求所以满足如下条件的 k 存在非负整数 及正整数 p q 使得 熊 斌 供题 6 如图 2 在 ABC 中 90 以 B 为圆心 BC 为半径作圆 点 D 在边 AC 上 直线 DE 切 B 于点 E 过点 C 垂直于 AB 的直线 于直线 BE 交于点 F AF 与 DE 交于点 G 作 AH BG 于 DE 交于点 H 求证 GE GH 图 2 边红平 供题 7 有 3 名选手参加乒乓球比赛 每两名选手之间恰比赛一场 且没有平局 若选手 A 的手下败将不都是 B 的手下败将 则称 A 不亚 于 B 试求所有可能的 n 使得存在一种比赛结果 其中每一名选手都 不亚于其他任何一名选手 李秋生 供题 H G F E B A C D 西部数学奥林匹克 8 求所有的整数 k 使得存在正整数 a 和 b 满足 1 1 陈永高 供题 西部数学奥林匹克 20112011 年西部数学奥