毕业设计（论文）-微分与积分中值定理“中间点”的渐近性探讨.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE （2）研究微分中值定理中间点的渐近性； （3）研究积分中值定理中间点的渐近性. 课题任务要求 1.目的：培养学生科学的思维方式，综合运用所学理论、知识和技能分析和解决实际问题的 能力。 2.要求 （1）根据毕业论文任务书完成开题报告； （2）给出微分中值定理的中间点关于连续，单调，可导，渐近性的结论与证明； （3）给出微分与积分中值定理的中间点渐近性的结论与证明； （4）研究要系统、完整、科学、严谨； （5）按时完成毕业论文； （6）论文及相关材料符合“长沙理工大学毕业论文管理条例”和“数计学院毕业论文工作 条例” 课题完成后应提交的资料（或图表、设计图纸） 1. 规范的毕业设计（论文）一本（撰写规范见教务处网页） ； 2. 任务书一份； 3. 开题报告（含文献综述）一份； 4. 译文（5000 字）及原文影印件各一份； 5. 论文电子文档由学院收集保存。 主要参考文献(12) 1 同济大学应用数学系，高等数学上册（第五版）M，北京，高等教育出版社，2002 年， 223-266 2 同济大学应用数学系，高等数学下册（第五版）M，北京，高等教育出版社，2002 年， 74-185 3 刘龙章等，再论微分中值定理“中间点”的性质J，大学数学，2007 年，Vol.23 No.4:163-166 4 胡晶地，中值定理“中间点”当x +时的渐进性态J,张家口职业技术学院学 报,2007 年, Vol.20 No.3:74-76 5 张小燕， 王伟成,一类微分中值定理及其中间点的渐近性质J,北京服装学院学报,2001 年, Vol.21 No.1:83-86 6 高国成，微分中值定理中间点的渐近性质J,工科数学,2001 年, Vol.17 No.5:103-104 7 李文荣， 关于中值定理中间点的渐近性质J,数学的实践与认识,1985 年, Vol.2:53-57 8 刘昌盛，积分中值定理中间点的渐近性更一般结果J,吉首大学学报,2006 年, Vol.27 No.3:8-11 9 方继光，积分中值定理中间点的渐近性J,皖西学院学报,2003 年, Vol.19 No.2:19-21 10杨丽萍，关于积分中值定理的一个一般性结果J, 数学的实践与认识,2002. Vol.4:698-700 11 张宝林,A Note On the Mean Value Theorem for IntegralsJ,Amer.Math. Monthly,1997,Vol.104:561-562 12 JACOBSON B. On the Mean Value Theorem for IntegralsJ, Amer.Math. Monthly,1982,Vol.89:300-301 外文翻译文件（由指导教师选定） Steven J.Leon, Linear Algebra with Applications 319-334 同组设计者 无 注：1. 此任务书由指导教师填写。如不够填写，可另加页。 2. 此任务书最迟必须在毕业设计（论文）开始前一周下达给学生。 3. 此任务书可从教务处网页表格下载区下载 二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表 序序序序 号号号号 毕毕毕毕 业业业业 设设设设 计（论计（论计（论计（论 文）工文）工文）工文）工 作作作作 任任任任 务务务务 工工工工 作作作作 进进进进 度度度度 日日日日 程程程程 安安安安 排排排排 周周周周 次次次次 1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 45 5 5 56 6 6 67 7 7 78 8 8 89 9 9 91010101011111111121212121313131314141414151515151616161617171717181818181919191920202020 1搜集资料一 2开题报告一一 3英文翻译一一 4撰写毕业论文一一一一一一一一一 5中期检查一 6毕业论文修改一 7毕业论文答辩一 8毕业论文资料整理一 9 10 注：1. 此表由导师填写； 2. 此表每个学生人手一份，作为毕业设计（论文）检查工作进度之依据； 3. 进度安排请用“一”在相应位置画出。 三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表 时间第一阶段第二阶段第三阶段 内容组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况 检 查 记 录 教师 签字 签字日期签字日期签字日期 注：1. 此表应由指导教师认真填写。阶段分布由各学院自行决定。 2. “组织纪律”一档应按长沙理工大学学生学籍管理实施办法精神，根据学生具体执行情况，如实填写。 3. “完成任务情况”一档应按学生是否按进度保质保量完成任务的情况填写。包括优点，存在的问题与建议 4. 对违纪和不能按时完成任务者，指导教师可根据情节轻重对该生提出忠告并督促其完成。 四、学生毕业设计（论文）装袋要求：四、学生毕业设计（论文）装袋要求： 1. 毕业设计（论文）按以下排列顺序印刷与装订成一本（撰写规范见教务处网页） 。 (1) 封面(2) 扉 页 (3) 毕业设计（论文）任务书(4) 中文摘要 (5) 英文摘要(6) 目录 (7) 正文(8) 参考文献 (9) 致谢(10) 附录（公式的推演、图表、程序等） (11) 附件 1：开题报告（文献综述）(12) 附件 2：译文及原文影印件 2. 需单独装订的图纸（设计类）按顺序装订成一本。 3. 修改稿（经、管、文法类专业）按顺序装订成一本。 4.毕业设计(论文)成绩评定册一份。 5论文电子文档由各学院收集保存。 学生送交全部文件日期 学生（签名） 指导教师验收（签名） 微分与积分中值定理“中间点”的渐近性探讨 微分与积分中值定理“中间点”的渐近性探讨 摘要 关于微分与积分中值定理“中间点”的渐近性探讨，本论文先论述微分与积分中 值定理的历史背景，再通过分析罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理以及第一积分中值 定理和第二积分中值定理间各定理满足的的条件和结论。再总结其内在规律，并通过一 些图形形象表达其几何意义。同时分析了微分与积分中值定理“中间点”单调性，连续 性和可导性。 然后由浅入深引出微分中值定理和积分中值定理的 “中间点” 的渐近性态。 最后是结合例如李文荣关于中值定理中间点的渐近性质和高国成微分中值定理中 间点的渐近性质等专家学者的著作做为基础，本论文主要分析了在区间长度趋于零时 各类中值定理“中间点”的渐近性态。 关键词关键词关键词关键词：中值定理; 中间点; 渐近性态 微分与积分中值定理“中间点”的渐近性探讨 PROBEPROBEPROBEPROBE THETHETHETHE MID-VALUEMID-VALUEMID-VALUEMID-VALUE THEOREMTHEOREMTHEOREMTHEOREM ANDANDANDAND INTEGRALINTEGRALINTEGRALINTEGRAL MEAN-VALUEMEAN-VALUEMEAN-VALUEMEAN-VALUE THEOREMTHEOREMTHEOREMTHEOREM “HALF-WAY“HALF-WAY“HALF-WAY“HALF-WAY POINT“POINT“POINT“POINT“ OFOFOFOF THETHETHETHE ASYMPTOTICASYMPTOTICASYMPTOTICASYMPTOTIC BEHAVIORBEHAVIORBEHAVIORBEHAVIOR ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT On differential and integral mean value theorem “ half-way point “ of the asymptotic nature, in this paper ， we first discusses the differential of mid-value theorem and the historical background of integral mean-value theorem, and then analyze the conditions and conclusions of Rolles theorem, Lagranges theorem, Cauchys theorem， the first integral mean value theorem and the second integral mean value theorem.Furthermore,we summarize the law ,and according to some graphic images.We showed geometric significance.We also analyze the mid-value theorem and integral mean-value theorem “ half-way point “ of monotonicity, continuity and differentiability. Then we introduce the mid-value theorem and integral mean-value theorem “ half-way point “ of the asymptotic behavior. Finally, we mainly analyzed the various types of interval length tends to zero value theorem “ half-way point “ of the asymptotic behavior,these are based on a Search of Wen Rong Lis “intermediate value theoremhalf-way pointof the asymptotic behavior “ and Guo Cheng Gaos “ mid-value theoremhalf-way pointof the asymptotic behavior “ and other experts KeyKeyKeyKey Words:Words:Words:Words:median theorem;half-way point;asymptotic behavior 微分与积分中值定理“中间点”的渐近性探讨 目录目录 1 1 1 1绪论.1 1.1 课题历史背景.1 1.2 目前国内外研究状况.2 2 2 2 2微分中值定理“中间点”渐近性分析.3 2.1 微分中值定理基础知识.3 2.1.1 罗尔定理介绍.3 2.1.2 拉格朗日中值定理介绍.4 2.1.3 柯西中值定理介绍.4 2.1.4 微分中值定理“中间点”的单调性、连续性与可导性6 2.2 微分中值定理“中间点”的渐近性态分析.9 2.2.1 拉格朗日中值定理“中间点”的渐近性态.9 2.2.2 柯西中值定理“中间点”的渐近性态.11 3 3 3 3积分中值定理“中间点”渐近性分析.15 3.1 积分中值定理基础知识.15 3.1.1 积分第一中值定理介绍.15 3.1.2 积分第二中值定理介绍.17 3.1.3 积分中值定理“中间点”的连续性与可导性.18 3.2 积分中值定理“中间点”的渐近性态分析.20 3.2.1 积分中值定理“中间点”的渐近性分析.20 结论.24 参考文献.25 致谢.26 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 1 页 共 26 页 1 1绪论绪论 由于解决实际问题的需要，人们引进了微分学和积分学的概念，并对它进行研究发 展，使之成为一门系统化、全面化的理论。而且也随之成为解决实际问题中一种重要的 工具之一，其应用也越来越广泛。 1.11.1 课题历史背景课题历史背景 微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数 的桥梁，历来受到人们的重视。 微分中值定理有着明显的几何意义，以拉格朗日定理为例，它表明“一个可微函数 的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。 ”从这个意义上来说，人们对微分中 值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到如下结 论： “过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底” 。希腊著名数学家阿基米德 （Archimedes，公元前 287前 221）正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面 积。意大利卡瓦列里（Cavalieri，15891674）在不可分量几何学 （1635 年）的卷 一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理， 其中引理 3 用基于几何的观点也叙述了 同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定 理，被人们称为卡瓦列里定理。 人们对中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按历史顺序：1637 年，著名 法国数学家费马（Fermat，16011665）在求最大值和最小值的方法中给出了费马 定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。1691 年，法国数学 家罗尔（Rolle，16521719）在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理。 1797 年，法国数学家拉格朗日（Largrange，17361813）在解析函数论一书中 给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯 西（Cauchy，17891857） 。他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著分 析教程 、 无穷小计算教程概论 、 （1823 年） 、 微分计算教程 （1829 年） ，以严格化 为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为 微分学的核心定理。在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定 理。又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理。从而发现了最后 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 2 页 共 26 页 一个微分中值定理。 1.21.2 目前国内外研究状况目前国内外研究状况 目前关于微分与积分中值定理“中间点”的渐近性，已经有很多著名专家学者做了 许多深入研究。例如在 1982 年 Azpeitja 研究了泰勒定理“中间点”的渐近性以及同年 中著名数学家 JACOBSON B.撰写了 On the Mean Value Theorem for Integrals 一书。在国内，对于微分与积分中值定理“中间点”的渐近性研究，也有非常多专家进 行过研究。例如 1985 年，李文荣得到了柯西中值定理的“中间点”的渐近性，2001 年 高国成分析了微分中值定理中间点的渐近性质，以及 2007 年胡晶地发表了关于中值定 理“中间点”当x +时的渐近性态等等。 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 3 页 共 26 页 2 2 微分中值定理微分中值定理“中间点中间点”渐近性分析渐近性分析 本章是要讨论微分中值定理及其“中间点”渐近性相关内容。主要讲了两个方面： 第一节主要是讲述微分中值定理以及其单调性，连续性和可导性，然后由浅入深引出微 分中值定理“中间点”的渐近性态的各种形式，第二节分析了各类微分中值定理“中间 点”的渐近性态，并给出它们各自的证明方法。 2.12.1 微分中值定理基础知识微分中值定理基础知识1 微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。不过微 分中值定理不是一下子全部被人类认知，它的出现经历了一个过程，是众多数学家共同 研究的成果。从费马定理到柯西中值定理，是一个逐步完善、不断向前发展的过程， 而 且随着相关数学理论知识的不断完善，微分中值定理也随之得以完整起来，证明方法也 出现了多样化。这一节主要是讲述微分中值定理的三个公式及其几何意义，并且分析了 微分中值定理“中间点”的单调性，连续性和可导性。 2.1.12.1.1 罗尔定理介绍 1 定理 2.1（罗尔定理）如果函数)(xf在闭区间,ba上连续，在开区间),(ba内可导， 且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf=，则在),(ba内至少有一点)(ba(24) 又因为),()()( 1212 xfxfxxf=(25) )()()( 111 afxfaxxf=(26) 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 7 页 共 26 页 )()()( 222 afxfaxxf=(27) 所以将(25)(26)(27)代入(24)中可得 0)()( 22 axxff 由于 2 ()0xa，得0)()( 2 xff 再对比(23)可得到 0)()( 12 xfxf 由)(xf的单调增加性可知，).()( 12 xx即定理得证。 定理 2.5设函数)(xf在闭区间,ba上连续， 在开区间),(ba内可导， 又设)(xf在),(ba 内具有二阶连续导数，且)( xf在),(ba内不变号，则 (i) 满足(2-1)式的点)(x=是x的连续函数； (ii)满足(2-1)式的点)(x=是x的可导函数，其导数为 )( )( )( )( )( xfax xfxf x = 证：(i)由已知条件可得 ax afxf xf = )()( )( ahx afhxf hxf + + =+ )()( )( )( )()()()()( )()( axahx afxfhxfhxfax xfhxf + + =+ 由定理 2.4 知)(x=为x的单调函数当0h时，有 )()()( )()(xhxfxfhxf+=+ 其中介于)(hx+=与)(x=之间，从而有 ).0(0 )()( )()()()()( )()( + + =+h axahxf afxfhxfhxfax xhx 故)(x=在),(ba内连续 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 8 页 共 26 页 (ii) )()( )()( )()( )( lim )()( lim)( 00 axahxf afxf h xfhxf ax h xhx x hh + + = + = . )( )( )()( )( )()()()( 2 xfax xfxf axxf afxfxfax = + = 证明完毕。 例例 2.12.1 设函数)(xf在闭区间,ba上二次可微分，且, 0)( xf试证明函数 )( )()( )(xf ax afxf xg= = 在开区间),(ba内是单调增加的函数 证：因为),)()()()( bxxaaxxfafxfxxf所以, 0)()( )(=xxfxg 故函数( )0,g x所以( )g x在开区间),(ba内单调增加 证明完毕。 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 9 页 共 26 页 2.22.2 微微分中值定理分中值定理“中间点中间点”的渐近性态的渐近性态分析分析 本文主要分析当区间长度趋于零时微分中值定理中间点的渐近性问题。 2.2.12.2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理“中间点中间点”的渐近性态的渐近性态 6 定理 2.6 设)( tF在,xa上存在，)( tF在a点连续，而且0)( aF，0)(=aF， 则对于拉格朗日中值定理中的),(xa，有 2 1 lim= ax a ax 证明：令)()(xfxF=，ax，作辅助函数 2 )( )( )( ax dttf xh x a = 一方面，由已知条件以及洛必达法则，有 2 )( )( lim)(lim ax dttf xh x a axax = )( 2 1 )(lim 2 1 )(2 )( lim af xf ax xf ax ax = = = 另一方面，因为),(xa，所以当xa时，a，由拉格朗日中值定理 ( )( )( )()F xF aFxa=以及洛必达法则，得 2 )( )( lim)(lim ax dttf xh x a axax = ax f ax axF ax aFxF ax ax ax = = = )( lim )( )( lim )( )()( lim 2 2 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 10 页 共 26 页 ax a af ax a f ax a a f ax axax axax = = = lim)( lim)(lim lim )( lim 由于)( tF在,xa上存在，)( tF在a点连续，且0)( aF。故由上两式得 2 1 lim= ax a ax 定理 2.7设函数)(xF在区间,xa内有直到n阶导数，0)( )( =aF i ) 1, 2 , 1(=nni,)( )1( xF n+ 在点a处连续,0)( ) 1( + aF n , 则对于拉格朗日中值定理确 定的),(xa,有 n ax nax a 1 1 1 lim + = 证明： 令)()(xfxF=作辅助函数 1 )( )( )( + = n x a ax dttf xh 一方面，由已知条件以及通过洛必达法则，有 1 )( )( lim)(lim + = n x a axax ax dttf xh ! )( ) 1( 1 ! )( lim ) 1( 1 )(1( )( lim )( )( n af n n xf n axn xf n n ax n ax + = + = + = 另一方面，因为),(xa，所以当xa时，有a。 由拉格朗日中值定理( )( )( )()F xF aFxa=以及洛必达法则， 得 1 )( )( lim)(lim + = n x a axax ax dttf xh 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 11 页 共 26 页 1 1 )( )( lim )( )()( lim + + = = n ax n ax ax axF ax aFxF n ax n n ax n ax n n ax n ax n ax ax a n af ax a n f ax a a f ax f = = = = lim ! )( lim ! )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( 由于)( )1( xF n+ 在点a处连续,0)( ) 1( + aF n 。故由上两式得 n ax nax a 1 1 1 lim + = 2.2.22.2.2 柯西中值定理“中间点”的渐近性态 6 由柯西中值定理公式)22( 变形可得 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a f x dx f g g x dx = )82( 定理 2.8设函数( )f x与( )g x在点a的某邻域内有直到n阶导数, （i）在点a的某去心邻域内( )0g x； （ii） ( )( ) ( )( )0 ii faga=，(1,2,1,1)inn=； （iii） ( )( )n fx与 ( )( )n gx在点a处连续，且0)()()()( )()( agafagaf nn ，则对于 柯西中值定理确定的数),(xa,有 n ax nax a 1 1 1 lim + = 证：由已知条件, 我们可写( )f t和( )g t的泰勒展开式 ( ) 1 ( ) ( )( )()( )() , ! n nn fa f tf atat ta n =+ 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 12 页 共 26 页 ( ) 2 ( ) ( )( )()( )() ! n nn ga g tg atat ta n =+ 其中)( 1 t，)( 2 t在 , a b上连续，且).2 , 1(0)(lim )( = it i at 所以由上两式可得 ( ) 1 ( ) ( )( )()( )() , ! n nn fa ff aaa n =+(29) ( ) 2 ( ) ( )( )()( )() ! n nn ga gg aaa n =+(2 10) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( )( )()( )() ! ( ) ( )()()( )() (1)! n xx nn aa n x nn a fa f t dtf atat ta dt n fa f a xaxat ta dt n + =+ =+ + )112( ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) ( )( )()( )() ! ( ) ( )()()( )() (1)! n xx nn aa n x nn a ga g t dtg atat ta dt n ga g a xaxat ta dt n + =+ =+ + (2 12) 将式(29)(2 12)代入(28)式, 并化简, 得 ( ) 1 2 ( )( ) 1 2 ( ) 1 12 ( ) ( ) ( )()()( )() (1)! ( )( ) () ( )()()( )() !(1)! ( ) ( )() ( )()()( )() (1)! n x nn a nn x nnn a n x nnn a ga f a g a xaxat ta dt n faga ag a xaxat ta dt nn ga ag a xaxat ta dt n + + + + + + + + + ( ) 1 1 ( )( ) 1 1 ( ) 1 21 ( ) ( ) ( )()()( )() (1)! ( )( ) () ( )()()( )() !(1)! ( ) ( )() ( )()()( )() (1)! n x nn a nn x nnn a n x nnn a fa g af a xaxat ta dt n gafa af a xaxat ta dt nn fa af a xaxat ta dt n + + + + + + + + + = 先将两边同时积分后，再将上式两边同除以 1 ()nxa + , 并令ax, 利用洛必达法 则可推出 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) lim (1)!( )! n nnnn x a fa gaf a gafa g af a gaa nnxa = + 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 13 页 共 26 页 因为 0)()()()( )()( agafagaf nn , 由此可得 n ax nax a 1 1 1 lim + = 定理 2.9 设函数( )f x与( )g x在点a的某邻域内分别有直到n阶导数和m阶导数, （i）在点a的某去心邻域内( )0g x； （ii） ( )( ) 0 i fa=) 1, 1, 2 , 1(=nni ( )( ) 0 j ga=) 1, 1, 2 , 1(=mmj； （iii） ( )( )n fx与 ()( )m gx在点a处连续，且0)()( )()( agaf mn ， 则当nm时, 对于柯西中值定理确定的数),(xa,有 mn ax n m ax a + + = 1 1 1 lim 证明：作辅助函数 nm x a x a ax dttg dttf xh = )( )( )( )(由已知条件以及洛必达法则，有 )( )(1( )(1( )( lim )( )( )( )( lim )( )( )( lim)(lim 1 1 xg axm axn xf dttg ax ax dttf ax dttg dttf xh m n ax x a m n x a ax nm x a x a axax + + = = = + + )( ! ! )( 1 1 )(lim ! ! )( 1 1 )(lim ! ! )(lim 1 1 )( )( )( )( )( )( ag m n af n m xg m n af n m xg m n xf n m m n m ax n m ax n ax + + = + + = + + = 因为),(xa，所以当xa时，a，由柯西中值定理以及洛必达法则， 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 14 页 共 26 页 得 mn ax m n mn ax m ax n mn ax m a n ax mn ax a m n ax nm ax nm ax nm x a x a axax ax a ag m n af ax a g m n af ax a g m n f ax a g a a f ax g f ax aGxG aFxF ax dttg dttf xh = = = = = = = lim )( ! ! )( lim )(lim ! ! )( lim )(lim ! ! )(lim lim )(lim )( )( )(lim )( )( )( lim )( )()( )()( lim )( )( )( lim)(lim )( )( )( )( )( )( 由于 ( )() ( ),( ) nm fx gx分别在点a处连续，且0)()( )()( agaf mn 。 故由上两式比较可得 mn ax n m ax a + + = 1 1 1 lim 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 15 页 共 26 页 3 3 积分中值定理积分中值定理“中间点中间点”渐近性分析渐近性分析 随着微分学的不断完善，与之相逆的积分学也开始发展起来，这也是为了解决实际 问题的需要。而定积分最初的出现就是为了解决实际中那些计算一种和式极限的问题。 与微分中值定理相对应，积分学中也相应有一套较为完善的积分中值定理理论，而且积 分中值定理在积分学的地位与微分中值定理在微分学的地位应该是旗鼓相当的。 这一章本论文主要是探讨积分学中值定理的相关问题。主要讲述了四个方面的问 题：本论文需要的有关积分中值定理的基本知识及其证明过程；推广的积分中值定理的 研究；积分中值定理关于“中间点”的连续性和可导性；当区间长度趋于零情况下积分 中值定理“中间点”的渐近性。 3.13.1 积分中值定理基础知识积分中值定理基础知识 积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。 其退化状态均指在的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等。 3.1.13.1.1 积分第一中值定理积分第一中值定理介绍 1 定理 3.1（积分第一中值定理） 若函数( )f x在闭区间 , a b上连续，则在 , a b上至 少存在一点，使得 )()(abfdxxf b a = 几何意义如图【3.11】所示 图【3.1.1】 证明： 由定积分性质知 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 16 页 共 26 页 )()()(abMdxxfabm b a ) 13( 其中mM,分别是函数( )f x在闭区间 , a b上的最大值和最小值。 把) 13( 式各除以ba，得 Mdxxf ab m b a )( 1 这表明，确定的数值 b a dxxf ab )( 1 介于函数( )f x的最小值m和最大值M之间。 根 据闭区间上连续函数的介值定理，在 , a b上至少存在着一点，使得函数( )f x在点处 的值与这个确定的数值相等，即有： )()( 1 fdxxf ab b a = （ab） 两端乘以ba，即得所要证的等式。 说明： 这里的是在 , a b上取值， 实际上， 也可以在开区间( , )a b的， 即( , )a b时， 定理同样成立。现证明如下： 记= b a dxxf ab )( 1 ，则0)(= b a dxxf 若axb= b a dxxgI0)(，必存在),(, 11 baba使得恒有( )0g x,若不 然 ， 则 在( , )a b的 任何 闭子 区间 上都 有 i 使 得0)(= i g ， 依 定 积分 定 义 便 有 = b a dxxgI0)(，这与I0 矛盾，由于m=，今改) 33( 为 0)()(= b a dxxgmxf)43( 注意到 ( ) ( )0f xm g x，必有 0)()( 1 1 = b a dxxgmxf)53( 否则由0)( 1 a a dxxg，0)( 1 1 b a dxxg及0)( 1 b b dxxg， 就有0)()()()( 1 1 1 1 += b b b a a a b a dxxgdxxgdxxgdxxg，矛盾。 所以证得存在),(, 11 baba，使( )fm=。 若不然，则在 11,b a上恒有( )0f xm及( )0g x，从而 ( ) ( )0f xm g x。故 0)()( 1 1 b a dxxgmxf，这与)53( 式矛盾。 同理可证M=的情形。总之，存在( , )a b使等式成立。 2.2.22.2.2 积分第二中值定理积分第二中值定理 定理 3.3（积分第二中值定理）若函数( )f x与( )g x在 , a b上可积，( )g x单调， 则 存在 , a b使得： += b a b a dxxfbgdxxfagdxxgxf )()()()()()( （i）若函数( )g x单调递增，且不为负，则 = a b a dxxfagdxxgxf)()()()( , a b （ii）若函数( )g x单调递减，且不为负，则 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 18 页 共 26 页 = bb a dxxfbgdxxgxf )()()()( , a b 证明： += b a b a b a b a b a dxfdxxgdxfxgdxxgxf)()()()()()( 先假定( )g x在 , a b上有连续导数，用分部积分公式，得 += b a b a b a b a b a dxfdxxgdxfxgdxxgxf)()()()()()( ()()(agbg+ b a dxf)(+ b a b a dxfdxxg)()()63( 考虑到( )g a,0)( xg，)63( 式右边不大于MbgMdxxgag b a )()()( + 但也不小于mbgmdxxgag b a )()()( +，因此可以找到 , a b使得等式 = bb a dxxfbgdxxgxf )()()()(成立； 现在，如果( )g x是非负不减函数，一般说来它是间断的，那么它在 , a b上可积， 并且存在着连续可导的非负不减函数序列)(x n ，有 0)()( dxxxg b a （n） 根据已证明的事实，对任一n，可以找到),(ba n 使得 = bb a n n dxxfbgdxxxf )()()()()73( 在序列 n 的子列， 但由于)73( 式右边的积分关于下限的连续性和下面事实成立： 0)()()()()()( dxxgxKdxxfxgdxxxf b a n b a b a n （n） |( )|f xK，令n，对)73( 式取极限即可，则定理得证。 3.1.33.1.3 积分中值定理积分中值定理“中间点中间点”的连续性和可导性的连续性和可导性 设)(xf，)(xg满足定理 3.2 的条件，)(xf存在且不变号，当固定a时，的取值 与x有关，记为：)(x=. 设函数)(xf，)(xg在,xa上连续，)(xf在,xa上存在一阶导数，且)(xf的一阶 导数不变号，)(xf在,xa上不变号，则推广的积分中值定理中的“中间点”)(x有如 下性质 （i）)(x在),(xa上是连续； 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 19 页 共 26 页 (ii)(x在),(xa上是x得可导函数，且其导函数为 = x a dttgxf xgxfxgxf x )()( )()()()( )( 证明： （i）由)( xf在),(ba不变号，知)(xf是),(ba上的单值函数，)(x也是单 值函数。由条件知 dttgxfdttgtf x a x a =)()()()( dttgxxfdttgtf xx a xx a + +=)()()()( 两式相减得 + += xx x xx a xx x dttgxfdttgxfxxfdttgtf)()()()()()()( 由拉格朗日中值定理知 )()()( )()(xxxfxfxxf+=+ 其中位于)(x和)(xx+之间，则有 dttgf dttgxfdttgtf xxx xx x xx x xx x + + =+ )()( )()()()( )()( )83( 当0)()(, 0+xxxx，从而)(x是连续的。 （i）得证。 证明： （ii）由式)83( 可得 dttgxf dttgxfdttgtf x xxx xx x xx x xx a xx + + = + )()( )()()()( lim )()( lim 00 ) )( )( )()( ( )()( 1 lim 0 x dttg xf x t dtgtf dttgf xx x xx a xx x x = + + = x a dttgxf xgxfxgxf )()( )()()()( 结论（ii）得证。 注：由结论（i）可知，当1)(=xg时，即为第一积分中值定理的形式，此时 微分与积分中值定理微分与积分中值定理“中间点中间点”的渐近性探讨的渐近性探讨 第 20 页 共 26 页 的不仅连续而且可导，且其导数为 )( )()( )( xf xfxf x = 所以由上可得，在第一积分中值定理中，当)(xf存在一阶导，且一阶导在),(xa