排列组合二项式答案.pdf

计数原理 排列组合二项式 学法导航 1 分类应在同一标准下进行 确保 不漏 不重 分 步要做到 步骤连续 和 步骤独立 并能完成事项 2 界定 元素与位置 要辩证地看待 特殊元素 特殊 位置 可直接优先安排 也可间接处理 3 解排列组合综合问题注意先选后排的原则 复杂的排 列 组合问题利用分类思想转化为简单问题求解 4 常见的解题策略有以下几种 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分 步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处 理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 7 定序问题除法处理的策略 8 分排问题直排处理 的策略 9 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 10 构造模型的策略 5 二项式定理解题 四大热点 四条规律 1 四大热点 通项运用型 系数配对型 系 数和差型 综合应用型 2 四条规律 常规问题通项分析法 系数和差赋 值法 近似问题截项法 整除 或余数 问题展开法 1 分类加法与分步乘法计数原理 例1 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮 船 一天中 火车有4班 汽车有2班 轮船有3班 那麽一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走 法 解析 因为一天中乘火车有4种走法 乘汽车有2种走法 乘 轮船有3种走法 每一种走法都可以从甲地到乙地 因此 一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 2 3 9 种不同的 走法 例2 东城 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码 某人采用 千位 百位上的数字之积作为十位和个位上的数字 如2816 的方法设计密码 当积为一位数时 十位上数字选0 并且千 位 百位上都能取0 这样设计出来的密码共有 A 90个 B 99个 C 100个 D 112个 解析 由于千位 百位确定下来后十位 个位就随之确 定 则只考虑千位 百位即可 千位 百位各有10种选择 所 以有10 10种 100种 故选C 2 排列与组合 例3 北京 用数字1 2 3 4 5组成的无重复数字的四位 偶数的个数为 A 8 B 24 C 48 D 120 解析 本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识 属 于基础知识 基本运算的考查 2和4排在末位时 共有 种排法 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 种排法 于是由分步计数原理 符合题意的偶数共有 个 故选C 例4 全国卷 理 甲组有5名男同学 3名女同学 乙组有6 名男同学 2名女同学 若从甲 乙两组中各选出2名同学 则 选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 D A 150种 B 180种 C 300种 D 345种 解 分两类 1 甲组中选出一名女生有 种选法 2 乙组中选出一名女生有 种选法 故共有345种选法 选D 例5 四川 2位男生和3位女生共5位同学站成一排 若男生 甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法 的种数是 A 60 B 48 C 42 D 36 解析 解法一 从3名女生中任取2人 捆 在一起记作A A共有 种不同排法 剩下一名女生记作B 两名男生分别记作甲 乙 则男生甲必须在A B之间 若甲在A B两端 则为使A B不相邻 只有把男生乙排在A B之间 此时就不能满足男生 甲不在两端的要求 此时共有6 2 12种排法 A左B右和A右B 左 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙 所以 共有12 4 48种不同排法 解法二 同解法一 从3名女生中任取2人 捆 在一起记作A A共有 种不同排法 剩下一名女生记作B 两名男生分别记作甲 乙 为使男生甲不在两端可分三类情况 第一类 女生A B在 两端 男生甲 乙在中间 共有 24种排法 第二类 捆绑 A和男生乙在两端 则中间女生B 和男生甲只有一种排法 此时共有 12种排法第三类 女生B和男生乙在两端 同样中间 捆绑 A 和男生甲也只有一种排法 此时共有 12种排法 三类之和为24 12 12 48种 3 二项式定理的通项公式 例6 重庆卷理 的展开式中 的系数是 A 16 B 70 C 560 D 1120 解析 设含 的为第 所以 故系数为 4二项式定理的综合应用 例7 济南 x2 1 x 2 9 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a11 x 1 11 则a1 a2 a3 a11的值为 解析 令x 1 得2 1 9 a0 令x 2 得 22 1 0 a0 a1 a11 联立 知a1 a2 a11 2 例8 陕西 若 则 的值为 A 2 B 0 C D 解析 则 同理可以得出 亦即前2008项和为0 则原式 故选C 专题综合 1二项式与推理综合问题 例 2009浙江卷理 观察下列等式 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 答案 解析 这是一种需类比推理方法破解的问题 结论由二项 构成 第二项前有 二项指数分别为 因此对于 2 排列组合求概率问题 例 重庆理 锅中煮有芝麻馅汤圆6个 花生馅汤圆5个 豆沙 馅汤圆4个 这三种汤圆的外部特征完全相同 从中任意舀取4 个汤圆 则每种汤圆都至少取到1个的概率为 A B C D 解析 因为总的滔法 而所求事件的取法分为三类 即芝麻馅汤圆 花生馅汤圆 豆 沙馅汤圆取得个数分别按1 1 2 1 2 1 2 1 1三类 故所 求概率为 一 常规问题逐分法 有序分配问题指把元素分成若干组 可用逐步下量 分组法 1 有甲乙丙三项任务 甲需2人承担 乙丙各需一人承担 从10人中选 出4人承担这三项任务 不同的选法种数是种 解析 先从10人中选出2人承担甲项任务 再从剩下的8人中选1人承担 乙项任务 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务 不同的选法共有 种 2 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查 若每个路口4人 则不同的分配方案有种 3 公共汽车上有3个座位 现在上来5名乘客 每人坐1个座位 有几种 不同的坐法 解析 将5名乘客看作5个元素 3个空位看作3个位置 则问题变为从5 个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上 共有 种不同坐法 4 公共汽车上有5个座位 现在上来3名乘客 每人坐1个座位 有几种 不同的坐法 解析 将5个空位看作元素 而将乘客看作位置 则 变成了 所以 在解决排列组合问题时 合理选择主元 就是选择合适解题方法的突破 口 二 可重排列求幂法 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象 元 素不受位置的约束 可逐一安排元素的位置 一般地个不同元素排在个 不同位置的排列数有种方法 1 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 解析 完成此事共分6步 第一步 将第一名实习生分配到车间有7种不 同方案 第二步 将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案 依次 类推 由分步计数原理知共有种不同方案 2 5名运动员争夺3个项目的冠军 没有并列 所以可能的结果有多 少种 解析 因为同一运动员可以同时夺得几项冠军 故运动员可以重复排 列 将5名运动员看作五个信箱 3项冠军看成3封信 每封信可以投进 五个信箱 有5种投递方法 由乘法原理知有53种 三 特殊元素优先法 某个或几个元素要排在指定位置 可先排这个或 几个元素 再排其它的元素 1 6人站成一横排 其中甲不站左端也不站右端 有多少种不同站法 解析1 元素分析法 因为甲不能站左右两端 故第一步先让甲排在 左右两端之间的任一位置上 有 种站法 第二步再让其余的5人站在其他5个位置上 有 种站法 故站法共有 480 种 解析2 位置分析法 因为左右两端不站甲 故第一步先从甲以外的5 个人中任选两人站在左右两端 有 种 第二步再让剩余的4个人 含甲 站在中间4个位置 有 种 故站法共有 种 2 从6个运动员中选出4个参加4 100 米接力赛 如果甲 乙都不能跑 第一棒 那么共有多少种不同的参赛方案 解析 C41A53 240种 3 电视台连续播放6个广告 其中含4个不同的商业广告和2个不同的公 益广告 要求首尾必须播放公益广告 则共有 种不同的播放方式 结果用数值表示 解析 分二步 首尾必须播放公益广告的有A22种 中间4个为不同的 商业广告有A44种 从而应当填 A22 A44 48 从而应填48 四 交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集 可用集合 中求元素个数公式 1 从6名运动员中选出4人参加4 100米接力赛 如果甲不跑第一棒 乙 不跑第四棒 共有多少种不同的参赛方案 解析 设全集 6人中任取4人参赛的排列 A 甲跑第一棒的排 列 B 乙跑第四棒的排列 根据求集合元素个数的公式得参赛方 法共有 种 2 安排5名歌手的演出顺序时 要求某名歌手不第一个出场 另一名歌 手不最后一个出场 不同排法的总数是 78 用数字作答 解析 A55 A44 A44 A33 78 五 相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组 当作一 个大元素参与排列 1 五人并排站成一排 如果必须相邻且在的右边 那么不同的排法种数 有种 解析 把视为一人 且固定在的右边 则本题相当于4人的全排列 种 2 有件不同的产品排成一排 若其中A B两件不同的产品排在一起的排 法有48种 则 解析 对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素 捆绑 起来 视为一个大元素 与其他元素一起进行了全排列 然后瑞对相邻元素内 部进行全排列 这就是处理相邻排列问题的 捆绑 方法 将A B两件产品看作一个大元素 与其他产品排列有种排法 对于上述 的每种排法 A B两件产品之间又有种排法 由分步计数原理得满足条 件的不同排法有 48种 故 3 3个女生与5个男生排在一起 女生必须在一起 可以有多少种不同的 方法 解析 因为3个女生必须排在一起 所以可以把她们看作一个整体 连 同5个男生共6个元素 排成一排有A66种不同的排法 同时每种排法 中 女生之间又有A33种不同的排法 利用分步记数原理 可得有A66A33 种不同的排法 六 相离问题插空法 元素相离 即不相邻 问题 可先把无位置要求的 几个元素全排列 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位 和两端 1 七人并排站成一行 如果甲乙两个必须不相邻 那么不同的排法种数 是种 解析 除甲乙外 其余5个排列数为种 再用甲乙去插6个空位有种 不 同的排法种数是种 2 有两排座位 前排11个座位 后排12个座位 现安排2个就座 规定 前排中间的3 个座位不能坐 并且这2人不左右相邻 那么不同排法的 种数是 A 234 B 346 C 350 D 363 解析 对于前排中某个元素互不不相邻的排列问题 可先将其它元素排 成一排 然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙 中 这就是解决互不相邻问题最为奏效的插空法 将前排中间的5号 6号 7号座位和待安排2人的取出 再将剩下的18座 位排成一列 然后妆待安排2人的座位插入这18座位之间及两端的空隙 中 使这2人的座位互不相邻 有种方法 但在前排的4号与8号座位 前排的11号与后排的1号座位之间可以同时插入待安排2人的座位满足条 件 有种方法 由分类计数原理得到不同排法的种数有 种 选 B 3 7人排成一排照相 若要求甲 乙 丙三人不相邻 有多少种不同的 排法 解析 先将其余4人站好 有A44种排法 再于4人之间及两端5个 空 隙 中选3个位置将甲 乙 丙插入 有A53种方法 由分步记数原理 这样共有A44A53种不同的排法 七 全员分配组配法 1 将4名教师分派到3所中学任教 每所中学至少1名教师 则不同的分 派方案共有多少种 解析 可分两步进行 第一步先将4名教师分为三组 1 1 2 2 1 1 1 2 1 共有 种 第二步将这三组教师分派到3种中学任教有 种方法 由分步计数原理得不同的分派方案共有 种 因此共有36种方案 2 5本不同的书 全部分给4个学生 每个学生至少一本 不同的分法种 数为240种 3 四个不同球放入编号为1 2 3 4的四个盒中 则恰有一个空盒的放 法有多少种 解析 先取四个球中二个为一组 另二组各一个球的方法有种 再排 在四个盒中每次排3个有种 故共有种 4 9名乒乓球运动员 其中男5名 女4名 现在要进行混合双打训练 有多少种不同的分组方法 解析 先取男女运动员各2名 有种 这四名运动员混和双打练习有中 排法 故共有种 5 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试 至区分出所 有次品为止 若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现 则这样的测 试方法有多少种可能 解析 第5次必测出一次品 余下3件次品在前4次被测出 从4件中确定 最后一件次品有 种方法 前4次中应有1件正品 3件次品 有 种 前4次测试中的顺序有 种 由分步计数原理即得 576 6 3名教师分配到6个班里 各人教不同的班级 若每人教2个班 有多 少种分配方法 7 将10本不同的专著分成3本 3本 3本和1本 分别交给4位学者阅 读 问有多少种不同的分法 8 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目 且在同一个城市投资 的项目不超过2个 则该外商不同的投资方案有 A 16种 B 36种 C 42种 D 60种 解析 有两种情况 一是在两个城市分别投资1个项目 2个项目 此时 有 二是在两个城市分别投资1 1 1个项目 此时有 共有 60 故选 D 八 同元分配隔板法 1 10个三好学生名额分到7个班级 每个班级至少一个名额 有多少种 不同分配方案 解析 10个名额分到7个班级 就是把10个名额看成10个相同的小球分 成7堆 每堆至少一个 可以在10个小球的9个空位中插入6块木板 每 一种插法对应着一种分配方案 故共有不同的分配方案为种 2 6名学生分6本相同的书 每人至少1本 有多少种不同分法 解析 将6本书分成4份 先把书排成一排 插入3个隔板 6本书中间有 5个空隙 则分法有 种 3 求方程x y z10的正整数解的个数 即 10个相同的小球分给三人 每人至少1个 有多少种方法 解析 将10个球排成一排 球与球之间形成9个空隙 将两个隔板插入 这些空隙中 每空至多插一块隔板 规定由隔板分成的左 中 右三 部分的球数分别为x y z之值 如图 则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系 故解的个数为 个 4 求方程x y z 10 的非负整数解的个数 解析 注意到x y z 可以为零 故上题解法中的限定 每空至多插 一块隔板 就不成立了 怎么办呢 只要添加三个球 给 x y z 各一个球 这样原问题就转化为求x y z 13 的正整数解的个数了 故 解的个数为 66个 5 将20个相同的小球放入编号分别为1 2 3 4的四个盒子中 要求每 个盒子中的球数不少于它的编号数 求放法总数 解析 先在编号1 2 3 4的四个盒子内分别放0 1 2 3个球 有1 种方法 再把剩下的14个球 分成4组 每组至少1个 由例25知有 286 种方法 九 定序均分缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺 序 可用缩小倍数的方法 1 五人并排站成一排 如果必须站在的右边 可以不相邻 那么不同的 排法种数是种 解析 在的右边与在的左边排法数相同 所以题设的排法只是5个元素 全排列数的一半 即种 2 由数字0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的六位数 其中个位数 字小于十位数字的共有 个 A 210 300 C 464 D 600 解析 对于部分元素定序排列问题 可先把定序元素与其它元素一同进 行全排列 然后根据定序排列在整体排列中出现的概率 即用定序排列 数去均分总排列数获解 若不考虑附加条件 组成的六位数有个 在这些六位数中 只有个位数 字小于和个位数字大于十位数字这两种情况 而这两种情况在整体排列 中出现的概率均为 故所求六位数为 300个 应选 B 3 7个节目 甲 乙 丙三个节目按给定顺序出现 有多少种排法 解析 7个节目的全排列为A77 甲 乙 丙之间的顺序已定 所以有 A77 A33 840种 4 把 棵不同的蔬菜 分别捆成 捆 在下列情况下 分别有多少分捆 的方法 每捆 棵 一捆3棵 一捆2棵 一捆1棵 解析 5 把6棵不同的菜 分别种在3块不同的土地上 在下列情况下 分别有 多少种植方法 每块地上种2棵 甲地3棵 乙地2棵 丙地1棵 一块地上3棵 一块地上2棵 一块地上1棵 解析 6 如果是7棵不同的菜 种到3块土地上 一块地上3棵 一块地上2棵 还有一块地上2棵呢 解析 7 7个节目 甲 乙 丙三个节目按给定顺序出现 有多少种排法 解析 7个节目的全排列为A77 甲 乙 丙之间的顺序已定 所以有 A77 A33 840种 8 有3个男生 3个女生 排成一列 高矮互不相等 要求从前到后 女 生从高到矮排列 有多少种不同的排法 解析 A66 A33 120 9 有10人 按照下列要求分组 求不同的分法种数 分成两组 一组 人 一组 人 分为甲 乙两组 一组 人 一组 人 分成甲 乙两组 每组 人 两组 每组 人 解析 从 人中选 人作为一组 其余 人自为一组 有 C106 210种 从 人中选 人作为一组 其余 人自为一组 再分别 作为甲乙组 共有C106A22 420种 先从 人中选 人作为甲组 剩下 人自为乙组 共有 C105 252种方法 从 人中选 人作为一组 剩下 人为另一组 由于两 组人数相同 组与组之间没有顺序 所以 每种方法都重复了A22次 故有C105 A22 126中方法 10 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号 现有3面红旗 2面白旗 把5面旗都挂上去 可表示不同信号的种数是 用数字 作答 解析 11 某工程队有6项工程需要单独完成 其中工程乙必须在工程甲完成后 才能进行 工程丙必须在工程乙完成后才能进行 有工程丁必须在工程 丙完成后立即进行 那么安排这6项工程的不同排法种数是 用数 字作答 解析 30 12 有9本不同的书 1 分给甲2本 乙3本 丙4本 2 分给三个 人 分别得2本 3本 4本 解析 1 先让甲选 有种 再让乙选 有种 剩下的给丙 有种 共有种不同的分法 2 先将9本书分成2 本 3本 4本共有三堆 再将三堆分给三个人 共有种不同的分法 13 为构建和谐社会出一份力 一文艺团体下基层宣传演出 准备的节 目表中原有4个歌舞节目 如果保持这些节目的相对顺序不变 拟再添2 个小品节目 则不同的排列方法有多少种 解析 A66 A44 30 十 部合条件排除法 在选取的总数中 只有一部分合条件 可以从总数 中减去不符合条件数 即为所求 1 以正方体的顶点为顶点的四面体共有58种 解析 正方体8个顶点从中每次取四点 理论上可构成四面体 但6个表 面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体 所以四面体实际共 有个 2 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形 其中直角三角形 的个数为 个 56 B 52 C 48 D 40 解析 几何图形问题是高考的常考点 求解时 一要熟悉几何图形性质 及点 线 面位置关系 二要按同一标准分类 避免重复 遗漏 三若 直接求解困难或头绪繁多时 可从其反而去考虑 将其转化为简单的问 题去解决 从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成个三角形 其中非直角三角形 的有两类 上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对 角线构成1个正三角形 上底面的4个顶点共4个非直角三角形 下底 面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的结角线共构成4个非直角 三角形 故所求直角三角形共有个 选 C 3 正方体8个顶点可连成多少队异面直线 解析 因为四面体中仅有3对异面直线 可将问题分解成正方体的8个顶 点可构成多少个不同的四面体 从正方体8个顶点中任取四个顶点构成 的四面体有个 所以8个顶点可连成的异面直线有3 58 174对 4 四面体的顶点和各棱中点共10点 在其中取4个不共面的点 不同的 取法共有141种 解析 10个点中任取4个点共有种 其中四点共面的有三种情况 在 四面体的四个面上 每面内四点共面的情况为 四个面共有个 过空 间四边形各边中点的平行四边形共3个 过棱上三点与对棱中点的三 角形共6个 所以四点不共面的情况的种数是种 十一 标号排位分步法 把元素排到指定位置上 可先把某个元素按规 定排入 第二步再排另一个元素 如此继续下去 依次即可完成 1 将数字1 2 3 4填入标号为1 2 3 4的四个方格里 每格填一个 数 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有9种 解析 先把1填入方格中 符合条件的有3种方法 第二步把被填入方格 的对应数字填入其它三个方格 又有三种方法 第三步填余下的两个数 字 只有一种填法 共有3 3 1 9种填法 选 2 设有编号为1 2 3 4 5的五个球和编号为1 2 3 4 5的盒子现 将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球 并且恰好有两个球的号 码与盒子号码相同 问有多少种不同的方法 解析 从5个球中取出2个与盒子对号有种 还剩下3个球与3个盒子序号 不能对应 利用枚举法分析 如果剩下3 4 5号球与3 4 5号盒子 时 3号球不能装入3号盒子 当3号球装入4号盒子时 4 5号球只有1 种装法 3号球装入5号盒子时 4 5号球也只有1种装法 所以剩下三 球只有2种装法 因此总共装法数为种 3 四人各写出一张贺卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送出的 贺卡 则四张贺卡的不同分配方式有9种 解析 同 十二 圆排多排单排法 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑 再 分段处理 1 6个不同的元素排成前后两排 每排3个元素 那么不同的排法种数是 720种 解析 前后两排可看成一排的两段 因此本题可看成6个不同的元素排 成一排 共种 选 2 8个不同的元素排成前后两排 每排4个元素 其中某2个元素要排在 前排 某1个元素排在后排 有多少种不同排法 解析 看成一排 某2个元素在前半段四个位置中选排2个 有种 某1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有种 其余5个元素任排5个位置 上有种 故共有种排法 3 5对姐妹站成一圈 要求每对姐妹相邻 有多少种不同站法 解析 首先可让5位姐姐站成一圈 属圆排列有种 然后再让妹妹插入 其间 每位均可插入其姐姐的左边和右边 有2种方式 故不同的安排 方式种不同站法 说明 从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法 十三 对应等价转换法 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方 法 它可以将复杂的问题转化为简单问题处理 1 圆周上有10点 以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个 解析 因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点 一个圆 的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点 于是问题就转化 为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形 显然有个 所以圆周 上有10点 以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个 2 某城市的街区有12个全等的矩形组成 其中实线表示马路 从到的最 短路径有多少种 A B 解析 可将图中矩形的一边叫一小段 从到最短路线必须走7小段 其 中 向东4段 向北3段 而且前一段的尾接后一段的首 所以只要确定 向东走过4段的走法 便能确定路径 因此不同走法有种 3 马路上有编号为1 2 3 9九只路灯 现要关掉其中的三盏 但不 能关掉相邻的二盏或三盏 也不能关掉两端的两盏 求满足条件的关灯 方案有多少种 解析 把此问题当作一个排对模型 在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不 亮的灯种方法 所以满足条件的关灯方案有10种 说明 一些不易理解的排列组合题 如果能转化为熟悉的模型如填空模 型 排队模型 装盒模型可使问题容易解决 4 在100名选手之间进行单循环淘汰赛 即一场比赛后 失败者退出比 赛 最后产生一名冠军 需举行多少场比赛 解析 要产生一名冠军 需要淘汰99名选手 要淘汰掉一名选手 必须 举行一场比赛 反之 每场比赛恰淘汰一名选手 两者之间一一对应 故要淘汰99名选手 应举行99场比赛 从而产生一名冠军 十四 多元问题分类法 元素多 取出的情况也多种 可按结果要求分 成不相容的几类情况分别计数 最后总计 1 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国 西部经济开发建设 其中甲同学不到银川 乙不到西宁 共有多少种不 同派遣方案 解析 因为甲乙有限制条件 所以按照是否含有甲乙来分类 有以下四 种情况 若甲乙都不参加 则有派遣方案种 若甲参加而乙不参加 先安排 甲有3种方法 然后安排其余学生有方法 所以共有 若乙参加而甲 不参加同理也有种 若甲乙都参加 则先安排甲乙 有7种方法 然 后再安排其余8人到另外两个城市有种 共有方法 所以共有不同的派遣 方法总数为种 2 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台 其中至少要甲型和乙 型电视 机各一台 则不同的取法共有70种 解析 至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况 甲型1台乙型2 台 甲型2台乙型1台 故不同的取法有台 3 从1 2 3 100这100个数中 任取两个数 使它们的乘积能被7整 除 这两个数的取法 不计顺序 共有多少种 解析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时 他们的乘积就能被7整 除 将这100个数组成的集合视为全集I 能被7整除的数的集合记做共有 14个元素 不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素 由此可知 从中任取2个元素的取法有 从中任取一个 又从中任取一个共有 两 种情形共符合要求的取法有种 4 从1 2 3 100这100个数中任取两个数 使其和能被4整除的取 法 不计顺序 有多少种 解析 将分成四个不相交的子集 能被4整除的数集 能被4除余1的数 集 能被4除余2的数集 能被4除余3的数集 易见这四个集合中每一个 有25个元素 从中任取两个数符合要 从中各取一个数也符合要求 从 中任取两个数也符合要求 此外其它取法都不符合要求 所以符合要求 的取法共有种 5 30030能被多少个不同偶数整除 解析 先把30030分解成质因数的形式 30030 2 3 5 7 11 13 依题意偶因数2必取 3 5 7 11 13这5个因数中任取若干个组成成