（概率论与数理统计专业论文）模糊欧式期权定价方法研究.pdf

at h e s i si np r o b a b i l i t y r e s e a r c ho n s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o rh u ix i n g j ie n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 7 ull il i jil i 独创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的 论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外 不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果 也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料 与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 正 恧 1 1 学位论文作者签名 教地 日 期 加 7 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留 使用学位论 文的规定 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索 交流 如作者和导师不同意网上交流 请在下方签名 否则视为同意 学位论文作者签名 签字日期 导师签名 签字日期 l i i i i i 目录 独创性声明 一 摘要 a b s t r a c t 第l 章引言 1 1 研究背景 1 1 1 期权的基本概念 1 1 2 经典期权定价理论与现实的矛盾 1 1 3 关于模糊期权定价的国内外研究现状 1 2 本文的主要工作和论文结构 1 2 1 本文的主要工作 一5 1 2 2 本文的论文结构 6 第2 章预备知识 7 2 1 模糊随机变量 7 2 1 1 模糊集基本概念和定理 7 2 1 2 模糊随机变量的概念及期望 9 2 2 模糊测度 吖 1 0 2 2 1 模糊测度的基本概念 1 0 2 2 2 模糊测度与扭曲概率 1 2 2 2 3 扭曲概率与经济理性 1 4 2 3 随机过程相关知识 一1 5 2 3 1b r o w n 运动与肺公式 1 5 2 3 2 鞅与c m g 定理 一1 6 第3 章模糊二叉树期权定价模型 1 7 3 1 模糊单时期二叉树定价模型 1 7 3 1 1 模糊波动率参数的估计 1 7 i v 东北大学硕士学位论丈目录 3 1 2 风险中性概率测度区间 1 8 3 1 3 模糊单时期二叉树期权定价 1 9 3 2 模糊多时期二叉树期权定价 一2 0 3 2 1 模糊股票价格的近似 2 0 3 3 消除模糊化的方法 2 l 3 3 1 消除模糊化程序和模糊指数 2 1 3 4 本章小结 一2 2 第4 章模糊鞅期权定价模型 2 3 4 1 保险定价理论 2 3 4 1 1w a n g 的概率扭曲函数和风险定价 2 3 4 2 模糊欧式期权的定价公式 2 5 4 2 1 欧式看涨期权定价公式 2 5 4 2 2 模糊随机过程与模糊欧式看涨期权定价 2 7 4 3 模糊欧式看涨期权的算例及分析 2 9 4 3 1 算例及分析 2 9 4 4 本章小结 3 0 第5 章总结与展望 3 1 参考文献 3 2 致谢 3 4 v 第1 章引言 第1 章引言 本章主要介绍了期权的基本概念 通过对期权定价理论与金融市场的现实矛 盾的分析 指出了突破经典期权定价理论统一理性的必要性 接着阐述了关于模 糊期权国内外目前的主要研究结果 指出了期权定价研究中的不足 最后列出了 本文的主要工作和论文结构 1 1 研究背景 1 1 1 期权的基本概念 本节主要介绍期权的相关概念 具体内容请参考文献 1 2 期权 也称选择权 是交易双方的一种合约 根据合约 买方有权力但没有 义务 在一定时期内按协商价格购买或出售一定数量的商品或金融工具 为了获 得按照一种固定价格购买或出售某种工具的权力 期权买方要向卖方支付一定的 费用 买方没有义务必须购买或出售 根据期权合同赋予持有者履约时买入或卖出标的资产行为的不同划分 期权 具有两种形式 看涨期权和看跌期权 看涨期权 使期权持有者有权在一定时期内按协商的价格购买特定数量的商一 品 看跌期权 使期权持有者有权在一定时期内按协商的价格出售特定数量的商 品 执行价格 使期权可以被执行的价格 换句话说它是根据期权合约协商同意 的价格 根据期权持有者在有效期内履约的灵活性 期权有欧式期权和美式期权之 分 欧式期权只能在到期日执行 美式期权可在有效期内任一天执行 期权定价 期权作为一种衍生证券 它的定价决定于标的资产价格的变化 由 于标的资产是一种风险资产 如股票 因此期权的定价是随机的 由此产生的期 权的价格亦是随机的 但是一旦原生资产的价格确定下来 那么作为它的衍生证 券的价格将随之确定 期权定价模型主要是b l a c k s c h o l e s 模型和考克斯 罗斯 和鲁宾斯坦的二叉树模型及鞅模型 东北大学硕士学位论文第1 章 引言 1 b l a c k s c h o l e s 模型 偏微分方程法 1 9 7 3 年 e b l a c k 和m s c h o l e s 在 m 文中 在市场无摩擦 存在可连续交易的假设下 由持有股票多头 头寸和持有以此股票为标的资产的欧式看涨期权的空头头寸 形成一个无风险的 套期保值的证券组合 推导出著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 该公式是建 立在解偏微分方程的基础上 所使用的一个重要数学工具是肺定理 这种定价 方法又称为解偏微分方程法 b l a c k s c h o l e s 模型运用的是 一对冲的思想 卖出一份股票期权 出售方必 然面临风险 为了回避这个风险 出售方要采取适当策略对风险进行控制 即买 进适当份额的股票与它对冲 记这个份额为 并利用该组合头寸收益等于无风 险收益的瞬时 也称中性 来为期权定价 通过 一对冲技巧 方程把人们引入一 个风险中性世界 它的定价理论不依赖于每个投资人的偏好以及对未来风险资产 的期望值 因此通过求解方程所得到的期权定价是一个风险中性价格 2 二叉树模型 离散模型逼近法 二叉树模型实际上是b l a c k s c h o l e s 模型的一个离散版本 b l a c k s c h o l e s 定 价公式是二叉树模型的极限形式 二叉树模型也是基于无套利原理 利用 对 冲技巧 把人们引入风险中性世界 从而给出风险中性的定价公式 3 鞅方法模型 在市场无摩擦和完备的假设下 市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度 市场上任何证券的折现价格在这个测度下是一个鞅 用普通的语言来说 即对未 来不确定的金融产品定价时 不应利用客观概率来对未来价格随机变量求均值 而是用一种特殊的 与无套利假设等价的 风险中性概率 来求其均值 这种方 法称为鞅方法 这三种方法的共同点在于 通常假设金融市场是无套利 均衡的完备市场 利用复制的思想得到的 用复制的思想b l a c k s c h o l e s 断言 任何未定权益的价 值均可由包含基础证券 股票 和无风险证券 债券 组成的投资组合精确复制 换 句话说 购买或出售一个期权的风险可完全被投资组合的收益所对冲 因此 在 无套利 完备的市场假设下 期权的市场价值可由债券和股票的市场价值确定 1 1 2 经典期权定价理论与现实的矛盾 经典期权定价理论建立在 统一理性 的假设基础上 即假定交易各方所有 2 东北大学硕士学位论文第1 章引言 投资者对经济结构具有相同的知识 具有同质偏好 对标的资产未来的概率分布 具有同样的信念和预期 在此基础上 b s 交易者以自融资策略连续构造标的资 产与现金 或无风险债券 的组合精确复制期权 对冲风险 实现利益最大化 从 而确定期权价格 而对于鞅方法的使用者则通过等价鞅测度得到一致的无风险概 率分布 然后利用期望效用法则就可以确定期权价格 这样 投资者对同一期权 价值具有一致的预期 期权定价模型可以精确反映该预期值 但是 实证研究发现 期权定价公式的结果与实际数据不符 有着系统偏差 或误定价 b l a c k 和s c h o l e s 分别利用场外交易和芝加哥期权交易市场数据进行 研究 发现买进被市场低估 相对b s 理论价格 的期权并卖出被市场高估的期权 可以获得超额收益率 换言之 b s 理论价格存在误定价 期权定价的关键因素 是期末标的资产价格概率分布 迄今为止该分布被假定为对数正态分布 然而实 际期末的标的资产价格并非是对数正态分布 而是具有厚尾并有偏度的类似于帕 雷托分布 并且波动率也似乎非定常的 于是许多学者认为这些是造成误定价的 原因 并提出了许多模型如随机波动模型 复合期权模型 跳跃一扩散模型等 但 这些模型除了更加复杂精致外 都没有胜过经典b s 期权定价公式 依旧无法充 分解决诸多问题 其原因在于随机性并不能完全代表系统的不确定性 经典期权定价模型除了以上与实际相悖的难题外 还有一个与实际问题不可 调和的矛盾 那就是期权具有零净供给的特性 即市场上有大量的投资者处于期 权多头 同时有同样数量的投资者处于期权空头 期权交易异常活跃 而按照经 典期权定价理论统一理性的假定 期权多空双方具有同质期望 都具有同样斜率 的线性风险厌恶效用函数 这必然导致期权无交易 没有人对期权有需求 人类 信念的差异性对股票波动率产生巨大的影响 进而影响股票交易 2 0 0 2 年度诺贝尔经济学奖授予美国普林斯顿大学的行为金融学家d a n i e l k a h n e m a n 和乔治梅森大学的实验经济学家v e r n o nl s m i t h 使得行为金融学受 到理论界和从业人员的关注 随着金融市场的不断发展 现代金融学的传统理论 与金融市场的现实不断发生矛盾 人们发现 投资者的行为和心理因素在投资决 策中起着不可忽视的作用 在现实中存在认知偏差和不完全理性 因而投资者的 行为会出现多种情绪化特征 于是证券市场上股票的价格出现多种异象 对于这 些异象 现代金融理论很难给出合理的解释 而行为金融学利用了与投资者信念 偏好及决策相关的认知心理学和社会心理学的研究成果 能够对金融市场的异常 现象给出合理的解释 3 东北大学硕士学位论文第1 章引言 金融市场的复杂性决定了期权定价的高度不确定性 合理地确定期权价格 对全球的金融市场的健康运行具有重要的意义 但由于传统的期权定价方法不能 合理地对其价值进行评估和解释 使得人们不得不对经典期权定价方法重新审 视 因此 金融市场不确定性的数学描述与经济行为人异质特性的刻画已成为现 今期权定价的关键所在 1 1 3 关于模糊期权定价的国内外研究现状 近年来 基于具有不同风险态度和对未来价格具有不同预期的经济行为人 相互作用的金融资产价格的研究欣欣向荣 从目前进展来看 有关期权定价研究 的方法大体上可以分为三类 第一类是基于模糊集理论 w u 基于b s 期权定价公式 将其参数模糊化 即将无风险利率 随机波动率和股票价格看成是模糊变量 给出了模糊欧式看涨 期权的定价公式1 3 j 并利用模糊集扩展原理来产生欧式期权的价格边界 l e e 也 采用模糊决策理论和贝叶斯规则1 4 对期权进行分析 发现如果忽略由于经济行为 人的主观判断而产生的模糊性 无风险利率 随机波动率和处于价内的看涨期权 的期望值将被高估 而处于价外的期望值将被低估 c a r l s s o n 和f u l l e r 将主观判 断与统计不确定性结合起来 利用模糊数表示未来现金流的不精确性 得到改进 的实物期权评估方法1 5 j 第二类是利用模糊测度改造经典的鞅方法 利用模糊测度原出于对经典定价 方法的修补 经过近l o 年的发展却已经形成异军突起之势 2 0 0 1 年c h e r u b i n i 提出采用允一模糊测度 利用c h o q u e t 积分计算多空双方的价格 m u z z i o l i 也认 为 股票市场是不确定的 股票价格是模糊的 传统的风险中性测度理应为风险 中性概率区间i6 并在二叉树模型的基础上给欧式期权定价 日本学者在此也作 了不少的工作 k a i n o 提出一种基于c h o q u e t 积分的模糊测度微分l 引 并利用其 给欧式期权定价 其中最为突出的是y o s h i d a y o s h i d a 将模糊逻辑融入股票的价 格过程 模糊随机过程 利用主观函数评估股票价格过程中的模糊性 并给出了 离散和连续情形下的美式期权定价模型i s 9 实际上是利用概率期望和模糊期望 分别刻画不确定环境下的随机性和模糊性 国内学者利用模糊测度的思想对期权定价也是近几年才初见端倪 韩利岩和 郑承立在文献 1 0 中利用a 一模糊测度代替经典的鞅测度 认为允的不同取值代 表了经济行为人不同的主观信念 并通过c h o q u e t 积分改变期望效用 从而得到 4 父第1 章引言 不同的期权的价格预期 以此来打破经典期权定价理论中 统一理性 的框架 国 内其他学者也对传统的期权定价方法作了不少改进工作 具体内容见文献 1 1 1 2 第三类是利用保险定价的思想 1 9 9 8 年m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g 首次提出期权定价的保险精算方法 买入一份期权 对方 期权出售者 在期权有 效期内就会承担一定的潜在风险 若要为这一风险上保险 其保费就是这一期权 的价格 也就是利用对方所承受的风险的大小来衡量期权价值的大小 w a n g 在 给保险和约定价时 考虑到人们对损失和收益的态度不对称性 引进概率扭曲函 数 1 3 的概念来刻画经济行为人的理性 对二者赋予不同的权重 并利用c h o q u e t 期望积分对收益和损失分别处理 h a m a d a 和s h e r r i s 将该思想用于欧式期权定价 通过概率扭曲函数对基础资产的尾部赋予较大权重 从而修正对数j 下态分布 国 内学者闫海峰和刘三阳利用保险精算方法给出了广义b l a c k s c h o l e s 模型期权定 价新方法1 1 4 j 目前不确定性理论虽然在金融领域有了较大的发展 但金融市场不确定性的 数量化刻画还没有令人满意的统一标准 在金融定价理论中怎样利用不确定性理 论还没有一致的看法 尤其是经济理性对金融市场的影响 传统模型解释起来显 得有些乏力 因而模糊定价仍是一个值得研究的问题 1 2 本文的主要工作和论文结构 1 2 1 本文的主要工作 由于股票价格运动的模糊性 使得股票价格在二叉树的每个节点上都取不精 确值 本文利用模糊数来表示股票的模糊价格 利用风险中性概率区间来代替传 统的风险中性概率测度 进而得出不同信任水平下的期权价格区间 同时 由于 市场经济行为人的理性对期权的价格也有影响 不同的人们具有不同的理性预 期 同一信任水平的经济群体 由于风险偏好的差异 还是会导致期权价格的差 异 而模糊测度是描述经济行为人理性的最好工具 本文在离散情形下的二叉树 模型里 利用s u g e n o 测度产生的凸模糊测度 代表风险厌恶 和凹模糊测度 代 表风险偏爱 来产生风险中性概率区间 不同的参数九值代表不同的投资者的理 性 以便更好的解释市场的不确定性 5 东北大学硕士学位论文第1 章引言 而对于连续情形下的鞅模型 本文主要是将模糊因素融入股票的价格过程 即模糊随机过程 利用一类特殊的模糊测度一扭曲概率 来描述经济行为人的理 性 并基于w a n g 的保险定价理论 给出欧式看涨期权的模糊价格公式 1 2 2 本文的论文结构 本文主要分为五章 第一章为引言 主要介绍了期权的相关概念 期权定 价理论存在的问题和国内外研究现状 第二章主要介绍了模糊随机变量的概念 并在c h o q u e t 积分的基础上定义了模糊随机变量期望的概念 接着介绍了在金 融和保险领域应用最为广泛的扭曲概率的概念 并论证了扭曲概率与模糊测度 之间的关系 最后对扭曲概率所刻画的经济理性进行了说明 第三章和第四章 分别在离散和连续情形下给出了不确定环境下的模糊欧式看涨期权定价方法 最后一章对全文作了总结并指出了下一步的工作 6 定义2 1 设a 是论域x 到 o 1 的一个映射 即a x o 1 x 专盈曲 称a 是x 上的模糊集 盈对称为模糊集a 的隶属函数 x 上的全体模糊集所构成的 集合记为户 x 定义 a v 6 m a x a 6 a a b m i n a b 取大符号v 和取小符号 在模糊数 学中常称之为z a d e h 算子 t u o t 4 x s 拒u r p a x 一v x 盆4 x i 暮a x 会a 曲 定义2 2 设a f x 倪 o 1 a x x i 丑x a 称a 为模糊集a 的 口一截集 或称为模糊集a 的a 一水平集 而称a x x i 盈砷 a 为模糊集a 的强a 一截集 或称为模糊集a 的强a 一水平集 a 称为置信水平或阈值 需要指出的是 模糊集的口一截集或强a 一截集是普通集合 而不是模糊集 定理2 1 设a f 砷 则有 肚叫u o l j a a a a 定理2 2 设有映射 7 东北大学硕士学位论丈第2 章预备知识 mn f x 兀k 哼y 兀 扛i j l 再 恐 专f 再 恐 y m 咒 咒 则由它可以诱导出如下映射 称f 为像 广1 为逆像 f n f k 专户 y a a 丸 专f a a 丸 全f a 互 广1 兀f 功岭户 砷 毒 恳 怠 专f 1 扇 恿 怠 全广 蜃 恿x x 磊 如果设f 兀k y a f k 可得到如下性质 1 a a a d f a d a 矗 a d a o 1 2 a 及 a a 掣 i af a 矗 a d a 应 口 u 0 l f a 口 二i j i 口 定义2 3 设r 是实数域 a f r 称a 是凸模糊集 v 再 恐 r v 允 o 1 有盈a 再 1 一允 恐 盈谒 氖五 定义2 4 称蠢是一个模糊数 如果 1 三是正规的凸模糊集 2 隶属函数互 x 是上半连续的 3 截集瓦是有界的 a o 1 我们用丘表示由模糊数组成的集类 由于模糊数的截集毛是有界的 所以 模糊数五的截集记为五口 互 五 a o i 需要在丘上引入偏序兰 即所谓的 模糊偏序 设主 6 丘 互56 蚕 瓦 或 皖 a o i 因此 丘 5 是一个 格 模糊数百 6 关于模糊偏序墨的取大运算互v6 定义为 互v 6 口 一k 琵 一 爱 卜 0 1 模糊数的加减法和标量乘法定义为 一8 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 宣 6 百 兹 瓮十茛 丘 6 互 一旌 毛一茛 a 互 九互 a 主刁 在实际应用中 最常用的一类模糊数就是梯形模糊数 其仅一截集为 t r a p a a a 口a 1 a a i a 1 一a a a o i 如果a 2 a 梯形模糊数就是三角形模糊数t r i a a a 2 1 2 模糊随机变量的概念及期望 模糊随机变量的概念为我们提供了一个基于概率论的有价值的模型 有关模 糊随机变量的具体知识见文献 1 6 2 0 模糊随机变量是传统随机变量概念的合理拓展 在许多随机试验的实际应用 中 数据精确性的潜在假设是一种不合理的简化 而不是实际条件下的充分模 型 p u r l 和r a l e s c u 把模糊随机变量1 1 6 j 的概念看做是建立随机试验结果与不精确 数据之间关系的有力工具 不精确地讲 非统计意义下的不精确性是由于人们的 主观性和人们知识的不精确性 而不是随机事件的发生 对于随机性和模糊性的 不同 k w a k e m a a k 在文献 1 7 d p 给出了另一个解释 当我们考虑一个民意测验时 对于给定个体 由于我们不知道哪个应答会发生 这时候随机性发生了 一旦我 们得到了应答 应答的确切意义还是不确定的 这个不确定性就是模糊性 到目前为止 关于模糊随机变量还没有统一的定义 在文献中多数学者认为 一个模糊随机变量又是从概率测度空间 q f p 到模糊数集类定的一个映 射 映射又遵循可测性条件 即对v a o l 茏 l 定 是 l c o q 是一个随机区间 因此 意 是 是通常 j 勺 随机变量 p u r i 和r a l e s c u 将模糊随机变量贾的期望 1 6 e 又 定义为 放 垆叫s u p 嘶n h 吼 绋x r 其中 武 口 戎 哦 l 走 国 d p 是 d p 国 q 9 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 经典随机变量的期望是在经典概率测度下的积分 而模糊随机变量的期望理 应是在模糊测度下的积分 y a n g 和w a n g 利用模糊测度将c h o q u e t 积分模糊化 并给出了一种求值算法1 2 q 下面基于一类特殊的模糊测度 扭曲概率 利用 c h o q u e t 积分来定义模糊随机变量的期望 定义2 5 设 x f 是可测空间 f x j 硼 是一f 一可测的实值集函 数 则 关于模糊测度g 的c h o q u e t 积分定义为 始 g c 一1 d a j c o g 丘 d 其中巴 x f 习 a a 娟 o o c h o q u e t 积分是在文献中使用最多的一种运算7 具 下面列举c h o q u e t 积分 的两个重要性质 1 c h o q u e t 积分关于被积函数 是连续的 即v g o j 6 0 若l 百一e i 6 有l n 喀一 互叫 2 c h q u e t 积分关于被积函数 是单调的 即如果百 五 有 喀 j 始 定义2 6 设又是一有界可积的模糊随机变量 则又关于扭曲概率g 的期望 定义为 政 l 茹g u o cr 电 其中 茏喀 茏如 意电 2 2 模糊测度 模糊测度源于1 9 5 3 年c h o q u e t 提出的容度概念 随后日本学者s u g e n o 将容 度概念一般化为模糊测度 并且有了精致的结构 本节主要考虑一类特殊的模糊 1 测度一扭曲概率 扭曲概率最初用于实验心理学 随后又广泛应用于经济学各个 领域 用以弥补经典期望效用模型在解释人们对风险行为表现的不足 本节具体 相关知识见参考文献 2 2 2 7 2 2 1 模糊测度的基本概念 定义2 7 设x 是一个非空集合 x 的子集的一个类f 称为仃一代数 如果它 1 0 满足 1 2 3 这样 定义2 它满足 易见 经典的概率测度是模糊测度的一个特例 模糊测度与经典测度相比 仅是摒弃了可加性 而保留了单调性和连续性 本章的定义是s u g e n o 初次引进 的模糊测度的概念 如果把模糊测度的值域延拓为f o 0 0 1 就称该测度为一般化 的模糊测度 而称s u g e n o 定义的模糊测度为正规的模糊测度 常见的几类特殊的模糊测度有 概率测度 d i r a c 测度 信任测度 似然测 度 a f u z z y n 度 可能性测度 必然性测度 定义2 9 若a 1 佃 g x f 专 o 1 满足条件 1 x 1 2 既 a ub g x 4 既 b a 岛 a 白 b a n b o 3 满足定义2 8 中的条件 3 4 则称反为允一f u z z y 测度 一 定义2 1 0 模糊测度g 是次可加的 如果g a ub g a g 功 g 是超可 加的 如果g a u 功 g 4 g 功 v a b e f a f u z z y i 贝q 度 被人们认为是很重要的一类模糊测度 因为其具有很大的 适应性 只要适当选择参数a 颤能近似地代表相当广泛的一些类型的模糊测 度 例如 当允 0 时 取是超可加的 当a 0 时 既是仃一可加的 即是一个概率测度 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 定义2 1 1 称6 f 专f o 1 1 为信任测度 若 1 b o o 6 砷 l 2 b a w 功 6 a 6 功 b a n 功 a b e f 定义2 1 2 称l f 一 o 1 1 为似然测度 若 1 l g o x l 2 l a u 功 l 4 功一l a n 功 a b ef 易见 6 a l l 群 a e f 2 2 2 模糊测度与扭曲概率 扭曲概率已被证明是一种非常有用和方便的模糊测度 它概括了 s u g e n o a 一测度和上一可分解测度 前者是一类在文献中广为使用的测度 在数 据建模中经常与c h o q u e t 积分结合 扭曲概率有 个简单的解释 那就是定义在 一组原始信息x 上的扭曲概率可以理解为是对x 中的原始信息的重要性 可靠 性 的一个评价和模糊数量化 权重向量 这种数量化建立了这些值本身的相对 重要性 而不是原始信息的重要性 而关于扭亩j 概率的c h o q u e t 积分就等价于加 权平均运算 定义2 1 4 函数f o 1 专f o 1 称为扭曲函数 如果满足下面的条件 1 厂是非降的 2 r 0 0 r 1 1 设p 是f 上的模糊测度 f 是一扭曲函数 则g a f p a a ef 也是 一个模糊测度 函数g 称为p 关于函数f 的扭曲 如果f 和卢是连续的 则g 也 是连续的 当 是严格递增函数时 则f 称为特征丁一函数 定义2 1 5 可测空间 x f 上的模糊测度g 称为扭曲概率 如果存在一个扭 曲函数f 和 xf 上的概率测度p 使得g f p 如果令f x a 1 九 一1 九 一1 则f 砖是 o 1 上的扭曲函数 因此 g x f p 便是s u g e n o a 可加模糊测度 即是扭曲概率 下面引入模糊偏序的概念 定义2 1 6 一个模糊偏序墨是 上满足下面条件的二元关系 1 自反的 任意a ef a 5a 2 完全的 任意a b ef a 墨1 3 或者a b 3 传递的 任意ab c ef a 5e b 5g j a 一 c 1 2 东 好 需 测 s c o t t 条件 证明 首先证明在 五f 上存在一个概率测度p 使得p 4 p b 充要条件是 g a g 功 首先在f 上定义一个二元关系墨 使得a 5b g a g b ab e f 易见 v ab f o5a 且a c b j a 一 b 于是a kx 这里 表示a b 但b 5 a 不成立 由s c o t t 条件有 1 4 三 1 辟 且45e i 2 l r 4 三j e l 因此由引理2 1 存在一个概率测度p 使得a b p a p 功 由三的 定义知 g a g b 营p a p b 下面假设 0 g 4 g 4 g g 砷 1 o p 4 p 4 p 4 一 p 砷 l 其中颤k 2 一2 是使上面的不等式成立的最大值 定义如下k xk 阶矩阵 p p 七 4 p p ip 上 砷 p 砷 j 1 3 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 则由于p 4 p a j j 行列式ip l 是七阶范德蒙行列式 所以存在一个 逆矩阵 1 且秩 p 七 设 p 1 g 4 g 冬 g x 因此 定义多项式 曲 a l r a 2 x 卜1 a 七x 于是有g 砷 f p a a f 且f o o t o 1 又由于p a p b g a g 功 所以多项式f 是严格递增的 2 2 3 扭曲概率与经济理性 实验证据表明 相对于客观概率而言 个体倾向于高估不可能的极端的结果 而低估可能的极端的结果 期望效用理论是根据结果的客观概率进行评估 实际 的实验结果表明 传统的期望效用理论与实验证据相悖 因此 使用扭曲概率的 偏好表现仅仅是适应这种矛盾的一种尝试 依赖排序效用的引入最主要的是为解 决由于实际证据违反期望效用产生的困惑 著名的阿莱斯悖论1 2 6 j 便是典型的例 子 阿莱斯悖论的例子似乎表明 p p 至少是对一些较小的p 值 许多学 者特别是心理学家已经用系统的方法来决定扭曲函数的形状 实证研究表明 概率扭曲函数是s 型的 高估小概率 低估大概率 这相 应于一个先凹后凸的函数 一般情形下 与 p p 的交点在o 3 0 与0 4 0 之 间 人们对于那些从不可能变为可能的事物的变化或者那些从可能变为确定的事 物的变化特别敏感 例如从0 到0 0 5 或者从0 9 5 到1 而对于从一种可能变为 另一只可能的事物的变化不太敏感 例如从0 5 5 到 0 6 0 也就是扭曲概率函数 的斜率在0 和1 的附近超过l 而在中间部分小于1 首先要指出的是 在经济领域的数学模型中使用扭曲概率要有一个适当的解 释 偏好表现的目标就是建立一个数学公式 使其能够预测或适应个体在特定背 景下的选择 扭曲概率并不意味着个体的错误评估 而仅仅是刻画一种偏好 风 险厌恶的投资者由凸扭曲概率刻画 而风险偏爱的投资者由凹扭曲概率刻画 而 线性概率意味着风险中性 1 4 东北大学硕士学位 这种模式最毯w 俣风取 论文第2 章预备知识 为直接的应用就是保险 一般情况下 个体常常购买那些包含具 有较大的不可能的结果而不是可能的结果的保险 例如 人们愿意付1 美元来购 买以概率1 1 0 0 0 0 损失1 0 0 0 0 美元的风险 而不愿意付9 0 0 0 美元购买以9 1 0 的 概率损失1 0 0 0 0 美元的风险 扭曲概率可以帮助解释这些现象 当风险的减少值 所需的保险金时 个体就会购买保险 当损失非常小时 损失被高估 进而使购 买这种保险更具有吸引力 相反 当损失概率较大时 损失被低估 个体不太可 能购买保险 从悲观与乐观的意义上讲 个体对那些包含较大的不可能的结果的 风险表现出悲观的心理 而对那些包含较大的可能的结果的风险表现出乐观心 理 关于扭曲概率在刻画经济理性方面的内容可参考文献 2 6 2 7 2 3 随机过程相关知识 2 3 1b r o w n 运动与肪公式 在期权定价的二项式模型中 虽然以树的形式来表现股票的运动 但股票价 格不是树 合理的是把价格比作一个特殊的连续过程 而b r o w n 运动被证实为一 个构造连续过程相当有效的要素 一个过程w w f o 是p b r o 砌运动 2 8 当且仅当 1 w 是连续的 并且w 0 2 在测度p 下 w 的分布服从正态分布n o f 3 在测度pt 增量k 一w 服从正态分布n o t 并且独立于e 其中 只为直到时刻s 为止整个过程的历史行为 作为股票模型的b r o w n 运动称之为带漂移的指数b r o w n 运动 有时也称之为 带漂移的几何b r o w n 运动 即w e x p o w p t 肺公式1 2 s 若x 为一随机过程 满足蛹 q d w l u d t f 为一确定的连 续二次可微函数 那么 y f k 也为一随机过程 由如下公式给定 d y q 五 d w k 互1c y t 2 k 出 2 3 2 鞅与c m g 定理 一个过程是适应的 是指该过程仅依赖于当前的位置和其驱动过程过去的运 1 5 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 动轨迹 它不能看到未来 而一个可料过程是一个适应的过程 并且或是连续的 或是左连续具有右极限 或是前述这些过程的极限 一个随机过程m t 关于测度p 为鞅 2 8 当且仅当 1 耳 i m t l 对所有的t 2 b m fi c m 对所有的s t 鞅实际上是这样的一类过程 它以过去为条件的未来值的数学期望正好是它 的当前值 而鞅测度是这样的一个测度 在现在和过去的历史条件下 将来值的 期望就等于现在的取值 不能有向上或向下的漂移 测度变换 c m g 定理 2 8 设w 为一个p b r o w m 运 e g j n 为关于f 一可 料过程 并满足有界性条件耳e x p 丢r 2 d t 则存在一个测度q 使得 1 测度p 与测度q 等价 圆d o 卯 e x p 一胁w 胁出 3 嘭 w e r d s 为一个q b r d 啪运动 有关金融随机理论的知识可参考文献 2 9 1 1 6 状态 价格上涨为 牛市 或下降为 熊市 也就是说 f 1 时刻 标的资产 的价格只有两种可能值 给定目前价格s 它可能以外生的既定概率p 上涨或 者概率l p 下降 p f o 1 1 在标准的单时期二项式模型中 要求赋予股票价格 运动以两个实数值 设u 和d 分别为上升和下降状态的实值跳跃因素 标准方法 中令u e o d e l a t 其中 仃表示标的资产的波动性 f 是时间段长度 在此模型中为1 对股票波动率估计的方法很多 如历史数据法 对比期货价格法等 但这些 方法都难以精确地估计股票的波动率 所以将波动率视为模糊波动率似乎更合理 些 1 9 9 6 年a v e l l a n e d a 和p a r a s 采用区间来描述股票的波动性 并称之为融入了 波动的波动率 更重要的是它实现了区间的所有可能取值并非具有相同的置信 度 位于中心的数值比其它数值更具有可信性 这里用三角模糊数来描述上升和 下降两个跳跃因子 记为丘 嵋 d 4 d 2 鸸 可能性分布由模糊集的 特征函数来表示 根据c o x 的思想 可用目前时刻的价格为起点建立二叉树 设珥 e o j 4 a t f 1 2 3 d l l 吩 d 2 1 如 d 3 1 屿 三个波动性参数可由下面 的非线性规划来估计 m 叩i n 喜 s 仃 l 一 2 1 7 3 1 东北大学硕士学位论文第3 章模糊二叉树期权定价模型 约束条件 q 仃 仉 c q 甜 毋伍 其中s t 是消除了模糊性的看涨期权理论价格 是真实的市场价格 丑是期 权数目 第一个约束要求向上和向下跳跃因素具有正的左右拓展 第二个约束保 证了无套利的条件 这种不确定性的建模方法有直观上的吸引力 由于金融市场的不确定性 投 资者不可能以精确的数值来刻划出股票价格的精确运动 而模糊性恰是这一不确 定性很好的表达 但要具体求出 3 1 式的解析解是很困难的 大多可采用数值解 法 如线性内插法l 训 这里不再详细论述 3 1 2 风险中性概率测度区间 个单时期模型 f o 1 1 基础资产为债券和股票 无风险利率为r 这罩假设债 4 市场是无套利的 该条件可由d 3 l r 一l 来产生风 险中性概率区间 其中p 是风险中性概率测度 在式子 3 3 中 选取模糊因素丘 a 的最大可能值屿 d 2 即 1 r 一正 胪燕 3 4 办 掣 u 一 选取允 0 设a 一a 1 允 则 1 兄 o 容易证明 心是a 的减函数 心 是a 的增函数 心和肛r 分别是概率p 的凸扭曲和凹扭曲 且有 心 p 0 当九 0 时 心 p r p 由第二章的讨论知 每一个凹扭曲概率对应风险偏爱 每一个凸扭曲概率对 应风险厌恶 而线性概率对应着风险中性 于是对于风险中性概率测度n j h d 得到一个概率测度区间 铲 x k l 扣叫a 一 嘉 1 九 p 1 卜o 3 5 可以认为 每一个九值代表一个经济行为人的主观信念 对应着一个表达信 息判断的主观概率区间 a 的值越大 其主观概率区间覃长度就越大 表明投 资者对信息的判断也就越为模糊 极限情形就是对市场信息一无所知 允的值越 小 其主观概率区间簟长度也越小 表明投资者对信息判断的主观信心也越增 强 而当允 0 时i 区间变为一点n j u d 表明投资者完全确信自己的判断 当 所有经济行为人的j l 值都为零时 意味着所有投资者风险中性 因此 这个主观 概率区间也称为风险中性概率区间 3 1 3 模糊单时期二叉树期权定价 这一节将利用上一节得到的风险中性概率区间给期权定价 由于模型是单周 期的 所以不加区分欧式期权还是美式期权 期权的价值依赖于到期日股票的价 格 给定t l 时刻 股票的价格为墨 s 西或s s 0 3 可以看出f 1 时刻股票的 价格为三角模糊数 设t 1 时刻的模糊未定权益为又 即 贾 孟一1 v l 0 3 6 其中1 k 和1 分别表示实数k 和o 为了更强的对比性 假设到期日的执行价格k 介于下降状态的最大值和上升 1 9 东北大学硕士学位论文第3 章模糊二叉树期权定价模型 状态的最低值之间 即 s d 3 k v f u w 砷 4 1 u 是个体的效用函数 为承担这一风险 一个风险厌恶的个体需要一个风险 保险金n 弼 使得 u w n x u x 4 2 w r i 称为 x 的确定性等价量 如果效用函数u 是使得 u 一 e u w 砷 w 1 u x 东北大学硕士学位论文 第4 章模糊鞅期权定价模型 则 且独立于当前的财产 n j 0 i u 砷 4 3 1 9 8 7 年y a a r i 定义确定性等价量兀 为 兀 抑 弦 x 皿 x g 习 d f x 4 4 其中文 由 p x 司 g 是扭曲函数且是可微的 n j 0 可以看成是给清 付x 赋予权重g 瓯 砷 o 后的纠正平均值 并且这些权重总和为1 即 i g s x x d f x i d g s x x g 1 g o i 4 5 如果g 是凸的 则 玛 最 恐 再 恐 4 6 因此 在将大概率赋给较低的结果 将小概率赋给较大的结果的意义下 个 体通过扭曲尾部分布而表现出悲观 在效用理论里 风险厌恶由效用函数来描述 在风险理论里 风险厌恶由扭曲概率函数来描述 扭曲概率函数的选择决定了确 定性等价量的性质 w a n g 提出了一种扭曲概率函数 鼠 x 砷 a 4 7 其中中 习是标准正态累积分布函数 a r 如果设 岛 p p a 4 8 p o 1 当允 o 时 既 p p 当a o 时 反 p 0 毋 p 是凹的 如果允 0 则h k 九 e 卅 如果九 o 则h x a 0 则h 城兄 坍 x a 如果6 f p 6 z t j p z t h 一 f l 一 j 1 1 f 西 一旷1 f 并且 岛 最 f 吖 1 省1 力 a 吖一h 1 f 允 因此 l 吖h 1 f 一a p z 五一 t z p j l z a f h 冠九 j c o 岛 最 f 出 f p 由 z a f 出 e j 1 z 九 2 5 东北大学硕士学位论文第4 章模糊鞅期权定价模型 4 2 模糊欧式期权的定价公式 4 2 1 欧式看涨期权定价公式 设 q f p 是概率测度空间 w 晓 是 q f p 上的标准b r o 咖运动 c 是 由跏舳运动w o s t 产生的仃一域流 假设市场上只有一种无风险且常利率 的现金债券和一种可交易的其价格服从指数b r o w n 运动的股票 没有交易成本 两种证券都可以随时自由交易 在所给定的价格可以做多或做空 债券价格过程 耳和股票价格过程s 服从 r i b 嵋出 4 1 1 d s ps f d f 仃s f d w 4 1 2 由测度变换定理知 存在一个等价鞅测度q 在q 下 嘭 p r 咖 w 是 一标准b r o v m 运动 使得 d 墨 晦出 仃d 嘭 4 1 3 由 t 6 公式得 s t s o e x p r 一了o 2 卜嘭 一个标准欧式看涨期权在t 时刻的清付为 列s 卅 叫刁 佃 r 孚卜屈h 因此 h 鼍 九 e f z 九 昂唧 r 一譬 丁 仃而 仃打z 一k 1 a 出 上述积分区域为s e 坤 r 譬 丁 仃而 仃打z 兆记 2 6 东北大学硕士学位论文 第4 章模糊鞅期权定价模型 塑k 掣r 盯2 竺 因此 h t 鼍 卅 se 冲 r 一譬 丁一 而 仃打z 一k 去 出 4 1 6 f s oe x p r 譬卜而撕z 去e 2 2 出一k 击蠢皇 唰 e n 去f 单 e t 击 出 s 矿口历 1 一 一仃打 一k 1 一 s e 历 一 仃打 一肿 一 因此贴现价格为 若记 则 删驯却而m 陋 旧 彬山 4 1 7 一肛盯 h 鼍 r 一譬 丁 户口一a c 4 朋 吐 h 要 r 譬 刁户打 畦 d 一仃打 t i r t h x t a s o e 口而 d 1 一九 一k e r r d 2 一允 4 1 9 其中既 q 一1 q j l q 是等价鞅测度 当a o 时 即是欧式看涨 期权在f 0 时刻的b s 价格 4 2 2 模糊随机过程与模糊欧式看涨期权定价 通常情况下 股票的不规则变化是视为几何b r o w n 运 动 然而 金融系统的 2 7 i 东北大学硕士学位论文第4 章模糊鞅期权定价模型 不确定性不仅表现为随机性 还有模糊性 模糊随机变量概念的引入 使随机性 和模糊性的结合更具有说服力 设 a f 脚是e 一适应过程 使得映射f 专a t 在 o 0 0 上是连续的 且有 0 o 国 q x r l 矽 m a x 1 一j 叫 o x r 是一个三角型的函数 因此 a 是三角模糊数童 的延伸幅度 相当于过程的模糊数量 当 a tc 0 1 增大时 过程的模糊性也增大 从式子 4 1 2 中可以看到 过程的模糊性依 赖于波动率仃和股票价格s 所以a t 应为股票价格s 的增函数 随机过程h 咖可由下式来描述 a t c s 0 9 4 2 1 其中f 0 q c 是常数 且0 c 0 的个体的 预期价格会低于由b s 公式产生的价格 当这种经济理性占据市场的主体时 b s 公式将高估期权的价值 相应地 如果占据市场主体的理性是风险厌恶 九 0 时 j e i s 公式将低估期权的价值 投资策略 2 9 东北大学硕士学位论文第4 章模糊鞅期权定价模型 1 应用模糊模型 投资者可以选择可接受的置信水平a 得到一个模糊价 格区间l 或 s o o 吃 s o o 该区间可作为投资者对未来股票价格的预测 指 导投资策略 若实际价格大于吃 昂 o 说明期权被高估 市场中风险厌恶的 经济理性占据主体 投资者应该卖出期权 若实际价格低于吃 s o 说明期 权被低估 市场中风险偏爱的经济理性占据主体 投资者应该买入期权 例如某投资者选取a o 5 且该投资者的经济理性是中性 a 0 该投资 者估算出的期权的理论价格区间为 o 6 5 0 3 0 9 3 6 1 1 则可以认为在0 5 的置信水 平下 期权的价格在这个区间的可能性最大 如果期权的当日实际价格是1 2 说明期权被高估 可以适当卖出 而当投资者的经济理性是风险厌恶时 如取 a 一0 5 期权的理论价格区间为 2 0 2 7 9 2 0 7 4 4 则期权被低估 投资者应该适 当买入 2 而当实际价格在模糊价格区间时 上面的方法就难以应用了 且合理选 择a 也是个难题 此时投资者可以根据自己的主观判断 选择合适的参数九 利 用第三章介绍的消除模糊化方法计算出理性期望价格矿 进而明确投资策略 若实际价格大于矿 说明期权被高估 投资者应该卖出期权 若实际价格低于矿 说明期权被低估 投资者应该买入期权 4 4 本章小结 本章主要考虑最近发展的用于未定权益定价的方法 这种方法最初用于保险 风险的定价 该方法与作为金融理论基础的期望效用理论是一致的 并证明了该 方法在标的资产价格服从对数正态分布时能够产生b l a c k s c h o l e s 期权定价公 式 金融市场的不确定性不仅来自于金融系统的随机性 而且来自于不完全信息 的模糊性 在这种假设下 本章将标的资产的价格过程视为模糊随机过程 并在 c h o q u e t 积