（理论物理专业论文）量子信道理论中的若干问题.pdf

摘要 量子信息论，作为一门迅速崛起的新兴学科，主要研究使用量子物理体系来进 行信息的传输。量子信息论充分的利用了量子力学中的基本原理( 如量子态叠加原 理) 和基本概念( 如量子纠缠) 来实现信息的处理。虽然目前量子信息论仍处在实验 和理论物理学家的原创性研究阶段，但它为量子论的实际应用提供了一个全新的视 点和生长点，对它的深入研究必将拓宽和深化量子论本身。与以前应用量子力学完 全不同的是，在量子信息论中人们利用的是量子态本身，其任务是量予态的存储、 操纵、传输和读出。我们可以谨慎的预言，量子信息论的发展很可能会导致一个新 的量子技术时代。 最初的一些量子信息处理方案都是针对离散变量( 如自旋和极化) 的量子体系 ( 即量子比特) 提出的。近几年，连续变量( 如动量和位置) 的量子信息处理方案引起 了广泛的关注。连续变量体系的t e l e p o r t a t i o n 、纠缠交换、量子克隆、量子计算、量 子纠错、纠缠纯化等被相应的提出；我们还提出了新的用连续变量和离散变量纠缠 实现量子信息处理的方案。经过数十年的发展，量子光学已经是一门非常成熟而又 充满活力的科学。它为检验量子力学的一些基本问题提供了必不可少的精密手段。 连续变量的量子信息处理的一个突出特点是：它可以在量子光学实验中利用线性光 学元件( 如相移及分束器) 操纵压缩态来实现；线性光学元件易于实现较高效率和 精度的量子操作。因此，量子光学为各种连续变量量子信息方案提供了可行的手段。 但在b e l l 不等式的实验检验中，人们大多使用那些具有离散变量的量子系统。运用 非简并光学参数放大过程，人们可以产生双模压缩真空态，从而实现连续量子变量 ( 如位置和动量) 的e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e n 佯谬。在此基础上，连续量子变量变 量系统的量子纠缠和非局域性及它们之间的关系就成了极大的理论兴趣之所在。 本文的主要工作有如下四个方面： 1 使用主方程对量子信道进行了讨论。给出了有损耗玻色信道的信道容量和保真 度的具体表达式。 2 使用算子理论，给出连续变量t e l e p o r t a t i o n 量子信道的信道容量和保真度的具 体表达式，并展开了相关的讨论。 3 研究了使用相对熵来区分离散量子信道和连续变量量子信道的方法。 4 研究了各种各样的高斯信道的保真度的变化规律。 l l 关键词：量子信息论，连续变量理论，量子信道，信道容量，保真度，高斯信道，量 子超空间传输 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y , a san e wr a p i d l ye m e r g i n gs u b j e c t ，i t sa i mi st o s t u d yt h et r a n s m i s s i o no fi n f o r m a t i o ni nq u a n t u mp h y s i c a ls y s t e m s q u a n t u mi n f o r m a r i o nt h e o r yf u u yt a k e sa d v a n t a g e so ft h eb a s i cp r i n c i p l e so fq u a n t u mm e c h a n i c s ( q u a n t u ms t a t e so v e r l a p p i n gp r i n c i p l e s ) a n db a s i cc o n c e p t s ( q u a n t u me n t a n g l e m e n t ， f o re x a m p l e ) t oc a r r yo u tt h ep r o c e s s i n go fi n f o r m a t i o n a l t h o u g ha tc u r r e n ts t a g e s ， q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r ys t i l lr e m a i n st h eo r i g i n a lr e s e a r c ho fe x p e r i m e n t a l i s t s a n dt h e o r i s t s ，i tp r o v i d e san e wa n g l ea n dg r o w i n gp o i n tf o rt h ep r a c t i c a la p p l i - c a t i o n so fq u a n t u mt h e o r y a n dt h ee x t e n s i v er e s e a r c h e sw i l lb r o a d e na n dd e e p e n q u a n t u mt h e o r yi t s e l f c o m p l e t e l yd i f f e r e n tf r o mq u a n t u mm e c h a n i c s ，i nq u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o r yw h a tp e o p l ee x p l o i ti sq u a n t u ms t a t e st h e m s e l v e s ，a n dt h et a s k i st op r e s e r v e 、m a n i p u l a t e 、t r a n s m i t t i n ga n dr e a d i n go u tt h eq u a n t u ms t a t e s w e c a np r u d e n t l yd e c l a r et h a tt h ed e v e l o p m e n t so fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yc o u l d l e a dt oab r a n dn e wq u a n t u mt e c h n o l o g ye r a t h ei n i t i a lq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs c h e m e sa r eo n l ya i m e da td i s c r e t e v a r i a b l e s ( s p i n sa n dp o l a r i z a t i o n s ，f o re x a m p l e ) q u a n t u ms y s t e m s ( v i z q u b i t s ) f o rr e c e n ty e a r s ，c o n t i n u o u sv a r i a b l e s ( p o s i t i o n sa n dm o m e n t u m s ) q u a n t u mi n f o r - m a t i o np r o c e s s i n gp r o p o s a l sa r o u s ew i d ec o n c e r n c o n t i n u o u sv a r i a b l e st e l e p o r t a - t i o n ，e n t a n g l e m e n ts w a p p i n g ，q u a n t u mc l o n i n g ，q u a n t u mc o m p u t a t i o n ，q u a n t u m e r r o rc o r r e c t i o n 、e n t a n g l e m e n tp u r i f i c a t i o nh a v eb e e np u tf o r t h ；w ea l s oc o m eu p w i t hn e wq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c h e m e sv i ac o n t i n u o u sv a r i a b l ea n dd i s c r e t ev a r i a b l ee n t a n g l e m e n t w i t hd e c a d e so fd e v e l o p m e n t ，q u a n t u mo p t i c sh a sb e c o m ea n m a t u r ea n dv i g o r o u ss c i e n c e i tp r o v i d e s8 0 m en e c e s s a r ys o p h i s t i c a t e dm e t h o d s t ov e r i f yc e r t a i nf u n d a m e n t a lp r o b l e m si nq u a n t u mm e c h a n i c s t h eo u t s t a n d i n g c h a r a c t e r i s t i co fc o n t i n u o u sv a r i a b l eq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gi st h a t ：i tc a n e x p l o i tl i n e a ro p t i c a ld e v i c e s ( p h a s es h i f t i n ga n db e a ms p l i t t e r s ，f o re x a m p l e ) t o r e a l i z es q u e e z e ds t a t e s ；l i n e a ro p t i c a ld e v i c e sa r ee a s yt op e r f o r mq u a n t u mo p e r a - t i o n sw i t hh i g h e re f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n h e n c e ，q u a n t u mo p t i c sp r o v i d ea p p l i c a b l e m e t h o d sf o rv a r i o u sc o n t i n u o u sv a r i a b l e sq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c h e m e s h o w e v e r ， i nt h ee x p e r i m e n t st h a tt e s t i f yb e l li n e q u a l i t i e s ，p e o p l eg e n e r a l l yu s ed i s c r e t ev a r i a b l eq u a n t u ms y s t e m s a p p l y i n gn o n - d e g e n e r a t i n go p t i c 以p a r a m e t e ra m p l i f i c a t i o n 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第v 页 a b s t r a c t p e o p l ec a np r o d u c eb i m o d a ls q u e e z e dv a c u u ms t a t e s ，s oa st or e a l i z et h ec o n t i n u o u s v a r i a b l e s ( p o s i t i o n sa n dm o m e n t u m s ，f o re x a m p l e ) e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e np a r a - d o x o nt h i sb a s i s ，c o n t i n u o u sv a r i a b l eq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dn o n l o c a l i t ya n d t h e i rr e l a t i o n sb e c o m eg r e a tt h e o r e t i c a lc o n c e r n t h i st h e s i sc o n t a i n sf o u ra s p e c t so fw o r k ： 1 w eu s em a s t e re q u a t i o n st os t u d yq u a n t u mb o s o n i cc h a n n e l s a n dw eg i v et h e e x a c tf o r mo ft h ec h a n n e lc a p a c i t ya n df i d e l i t yo fn o i s yl o s s yb o s o n i cc h a n n e l s 2 u s i n go p e r a t o r st h e o r y , w eg i v et h ec o n t i n u o u sv a r i a b l et e l e p o r t a t i o nq u n a t u m c h a n n e li t sc h a n n e lc a p a c i t ya n df i d e l i t y ，a n dw eh a v er e l e v a n td i s c u s s i o n s 3 w eu s er e l a t i v ee n t r o p yt od i s t i n g u i s hd i s c r e t ev a r i a b l ea n dc o n t i n u o u sv a r i a b l e q u a n t u mc h a n n e l s 4 w es t u d yt h em e c h a n i s mo ft h ef i d e l i t yo fv a r i o u sg a n s s i a nc h a n n e l s k e y w o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y , c o n t i n u o u sv a r i a b l et h e o r y , q u a n t u m c h a n n e l s ，c h a n n e lc a p a c i t y , f i d e l i t y , g a n s s i a nc h a n n e l s ，t e l e p o r t a t i o n 4 ，1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 6 1 6 2 7 1 7 2 7 3 7 4 插图目录 瓦r a n g e sf r o m1t o1 0w h i l e ，ya n dpa r ef i x e da s0 1a n do 0 1 ，r e s p e c 一 t i v e l y 2 4 瓦i s f i x e d t o5a n d 7 f i x e d t oo 1 ，w h i l e 卢f u l l s f r o mo 0 1 t oo 1 2 4 瓦i sf i x e dt o5a n d i sf i x e dt oo 0 1 ，w h i l e ，yr a n g e sf r o mo 1t o0 5 2 5 t h ec a p a c i t yw h e n 万= 0 2 。 t h ec a p a c i t yw h e n 瓦= 0 8 t h ec h a n n e lf i d e l i t yf ， r e l a t i v ee n t r o p ysw h e nt h ec h a n n e l sa r ec h a r a c t e r i z e db yg la n dq 2 ， r e l a t i v ee n t r o p y t w i t he n t a n g l e d i n p u t t h ef i d e l i t yo ft h el o s s yb o s o n i cc h a n n e lw h e n 瓦= 0 1a n d 口= o 1 t h ef i d e l i t yo ft h eb o s o n i cc h a n n e lv a r i e sw i t ht h en o i s ev a r i a n c en a n dt h em e m o r yi n t e n s i t yz ， t h e f i d e l i t yo f t h eb o s o n i c g a u s s i a nc h a n n e l t h e f i d e l i t yo f t h eb o s o n i c g a u s s i a nc h a n n e l 弛 嚣 弘 鹃 ；2 铊 钙 硒 的 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：焘：矗 聊7 年么月7 日 致谢 作者自2 0 0 4 年开始博士研究生阶段学习以来，在导师张永德 教授的指导下，开展量子信道理论中若干问题的研究。在平时的学 习、工作中，张老师渊博的知识，治学的严谨，为人的谦逊都深深 地影向着我；他不仅传授给我大量最新的专业知识，也教我进行学 术研究的方法。本文正是在张老师悉心指导下完成的，从论文的选 题，到得出初步结果，以至最后成文都凝聚了他大量的心血。作者 谨向张老师致以崇高的敬意和衷心的感谢! 在此，我要特别感谢我们研究组的郁司夏教授、吴盛俊副教授、 刘乃乐老师，他们为我的研究课题提供了多方面的指导和帮助，在 百忙之中审阅了全文并提出不少修改意见。感谢师兄弟赵梅生、杨 帅、李力、宋伟等，与他们的讨论使我受益匪浅。另外，数学系的 吴春林同学，近代物理系的程敬原同学也给了我很多的支持、鼓励 和帮助，在此一并致谢。 同时，我在近代物理系的工作和学习中得到了系领导和各位老 师的诸多关照，在此向他( 她) 们表示深深的谢意 最后，我要感谢我的母亲和家人，感谢他们这么多年来的全力 支持，使我能够安心学习并顺利完成学业。 第一章绪论 本章将从研究动机与背景，基本思想，主要结果等几个方面展现整篇论文的概 貌，并给出其后各章内容的组织和安排【1 ，2 】。 1 1 研究动机与背景 1 9 0 0 年，普朗克教授提出了能量量子化的概念，并由此从理论上导出了他在此 前不久发现的和实验非常符合的黑体辐射定律，从而创立了量子论。后来，经过爱 因斯坦、海森堡、薛定谔、波恩、泡利和狄拉克等一批杰出物理学家的努力，建立了 现在称之为量子力学的理论体系。 2 0 世纪，量子力学相继应用于基本粒子、原子核、原子和分子、固体和液体等 各种物理体系，都取得了巨大的成功。 历史上，以爱因斯坦和玻尔为代表的两方，在量子力学的基本问题上展开了激 烈的争论，这种争论对量子力学的发展起到了巨大的推动作用。特别是1 9 3 5 年爱 因斯坦等为了反驳量子力学的哥本哈根诠释而提出了所谓e p r 佯谬中所指出的量 子力学的奇特性质，即纠缠态所表现出的非局域关联，现在已经被实验所证实，并 且在量子信息、量子计算、密集编码、量子超空间传输等方面得到了广泛的应用。 针对薛定谔提出的“量子力学规律对于宏观世界是否适用”的问题，相继出现 了系列理论和实验工作。z e h 和z u r e k 等提出了退相干( d e c o h e r e n c e ) 的机制，来 说明为什么宏观世界实际上观测不到薛定谔猫所处的那种纠缠态。他们认为，只有 当体系与世界其他部分完全隔绝的情况下，其量子态的相干叠加性才能得以保持。 事实上，宏观体系不可避免的与周围环境相作用，在一般条件下，宏观体系将非常 快速地失去其量子态的相干叠加性。近年来，实验工作者还做了一系列有价值的工 作，在介观尺度和宏观尺度上实现了薛定谔猫态。 量子力学的热点之一就是已经诞生、正在形成和发展的量子信息科学一量子通 讯和量子计算领域，简称为量子信息论。它是将量子力学应用于现有电子信息科学 技术而形成的交叉科学。 量子信息论的诞生和发展。在科学方面有着深远的意义。因为它反过来极大地 丰富了量子理论本身，并且有助于加深对量子理论的理解，突出暴露并可能加速解 1 2 0 0 7 年 第一章绪论 中国科学技术大学博士学位论文 第2 页 1 1 研究动机与背景 决量子理论本身存在的问题。借助这一新兴领域的实验技术，改造量子力学基础， 变革现有时空观念，加深对定域因果律的看法也许是有可能的。 量子信息论在技术方面也有着重大的影响。因为它的发展前景是量子信息技术 产业。在这方面大量、卓有成效的探索性研究正在逐步导致以下各种新兴学科的诞 生：量子比特和量子存储器的构造，量子态的制备、存储、调控和传输，量子编码及 压缩、纠错和容错，量子中继技术，量子网络理论，量子算法，量子计算机等等。它 们必将对人们的生活产生深刻的影响。 量子信息论包括： 1 寻找各种各样存取量子信息的载体一量子比特和量子信息处理器。相关的实验 和理论研究正在蓬勃开展。实验中的量子信息载体不仅包括自然的微观系统， 更着重于各种人造可控微尺度结构一也就是人造可控量子系统； 2 关于量子信息的传输。量子通信是量子信息论领域首先走向实用化的研究方向。 目前量子通信主要是以极化光予为信息载体，采用纠缠光子对作为传输的量子 信道。量子通信可以分为光纤量子通信和自由空间量子通信两个方向。关于光 纤量子通信方面，建立光纤量子通信局域网和延长光纤量子通信距离的时机已 经到来。而利用纠缠光子实现自由空间量子通信，其最终目标是通过卫星实现 全球化量子通信。量子通信需要长程、高品质、高强度的纠缠光源。这需要掌握 包括纠缠纯化、纠缠交换和纠缠连接的量子中继器技术。同时还要展开各类量 子编码( 纠缠码、避错码、防错码) 的研究，各类t e l e p o r t a t i o n 方式的研究，进 而逐步创立完善的量子网络理论； 3 关于量子计算机方面的研究。目前的经典计算机受到经典物理原理的限制，已 经接近其处理能力的极限。而由于量子态叠加原理和量子纠缠特性，量子计算 机具有经典计算机无法比拟的、快速的、高保密的计算功能。所以有必要研制 量子计算机。 4 关于量子力学的基础研究。这集中在以下三个方面：其一，对量子力学基础的 考察，特别是量子理论本质的空问非定域性、量子纠缠的物理本质、波包坍缩 的物理内涵，等等。其二，涉及各类纠缠态的制备、提纯、操控、传输和存取的 ，研究。其三，涉及宏观量子效应的研究和应用。现在已经知道，量子纠缠对宏观 物质的物性( 磁导率、热容量等) 有明显的影响。过去的统计物理说，只要知道 系统的能谱配分函数就够了。现在还需要知道此时物质内部粒子之间量子纠 缠状况。 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章绪论 第3 页 1 2 基本思想 描述在量子物理体系中实现信息的传输的量子信息论，在经历快速的发展，并 且扮演着越来越重要的角色。其中，用连续变量理论来研究的高斯信道，具有重要 的地位，用以研究光纤中信息的传输和原子系综量子存储的若干规律。 1 2 基本思想 量子信息论具有很高的研究价值，尤其是其中玻色信道的变化规律。玻色信道 可以用来描述连续变量编码的光纤传输信息的过程。我们用连续变量的理论来研究 各种各样的玻色信道的信道容量和保真度。 量子信道的信道容量是指综合考虑各种可能情况下，量子信道传输速率的上 限。 量子信道的保真度，是指信道的输入态和输出态的内积。在某种程度上，它体 现了量子信道在传输信息的时候保存信息的能力。 量子信息论的一个重要的目标就是衡量各种重要的量子信道的信道容量。到目 前为止，仅仅某些量子信道的信道容量是知道的。 1 3 主要结果 本文作者以经典信息理论为参照，通过经典比特和量子比特的对比，引入量子 信道的概念，并且研究了量子纠缠状态及其在量子通信方面的应用，结合了量子光 学的连续变量理论和泛函分析的算子理论，研究了某些玻色信道的信道容量和保真 度： 本文共分八章，各章的内容具体组织如下： 第一章作为绪论，阐述研究的动机背景及基本思想，展现论文的概貌。 第二章简要回顾了量子信息论的历史，综述了几类量子信道的研究方法及 其代表性工作。 第三章给出了量子光学的连续变量理论的基本阐述，使得本文的读者对相 关背景知识有所了解。 第四章首先简要地介绍了有损耗玻色信道等相关的基本概念，随后引用了 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章绪论 第4 页 1 3 主要结果 量子信道的信道容量的一般表达式。我们使用算予理论和量子变换理论导 出信道容量的具体表达式；我们还进一步考虑了量子信道的经典信道容量 和保真度的平衡关系。 第五章针对量子超空间传输问题，提出一种基于算子理论的量子信道容量。 我们利用算予理论，给出了量子超空间传输的保真度。量子信道容量和保 真度的变化规律有了具体的讨论。 第六章提出使用相对熵来区分离散变量的量子信道，即退极化信道。通过 计算我们发现，使用相对熵来区分离散变量的量子信道是可行的；我们预 期对连续变量的量子信道情况也应该如此。 第七章我们研究了各种各样的玻色量子信道的保真度的变化规律。 第八章我们提出了结论和展望。 第二章量子信息论简史 量子信息论是经典信息论与量子力学相结合的新兴交叉学科，它是- f 用量子 力学的世界观来重新构建信息理论的科学如今，量子信息论已经成为一门独立的 学科，并且在许多方面已显示了它超越经典信息论的地方。 2 1 量子信息 近来物理学和信息科学的交叉产生了量子信息的概念。量子力学q u a n t u mm e - c h a n i c s 是经典过程的基础。但直到最近信息通常是以其经典形式被考虑，量子力 学作为辅助角色，只是用于设计处理这些信息的设备。如传统的量子电子学，一般 只是关于器件的讨论，而很少关心量子的信息问题。现在已产生了量子信息和信息 处理理论，其最重要的用途有安全性基于基础物理的密码理论，能够极大加快某些 数学问题解决的量子计算机，这些能力源于量子属性如不确定性u n c e r t a i n t y 干涉 i n t e r f e r e n c e 和纠缠e n t a n g l e m e n t 。量子信息论扩展和完备了经典信息论新的理论， 扩展了经典概念，如信源信道和编码，也带来两点补充：可以记数的信息种类经典 信息和量子纠缠。经典信息可以自由复制，但只能从发送者到接收者在时间上前向 传输；纠缠不能被复制，却能连接时空中任意两点。传统的数据处理运算o p e r a t i o n 破坏了纠缠，但量子运算能建立、保存和使用它( 纠缠) 。量子运算能有效地加快某 些计算，并能辅助经典数据( 量子超密度编码，q u a n t u ms u p e r d e n s ec o d i n g ) 或完 整( i n t a c t ) 量子态( 量子超空间传输，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ) 从发送者到接收者 的传输。 2 2 经典信道容量 c s h a n n o n 于1 9 4 8 年建立了两个定理：无噪声编码定理和噪声信道编码定理。 前者指，一条信息能被压缩多少? 就是说，这条信息有多少冗余? 后者指在一个噪 声信道上，我们能以多大的速率来可靠的进行传递? 就是说，需要添加多少冗余度 到信息里面以防止误差? 这两个问题都涉及“冗余度”一它指平均而言，信息的相邻 字符有多少是不需要的。s h a n n o n 的关键观点之一是：熵提供了量化冗余度的合适 方法。 5 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第6 页 第二章量子信息论简吏 2 3 量子信遗容量 定义1 一条信息是从总共k 个字符中选出来的n 个字符的一个序列。如果序 列中各字符均以先验的概率出现，称这种序列为典型序列。p 任) 是出现字符。的 先验概率。 定义2s h a n n o n 熵 日p ) 三- p ( z ) l 0 9 2 尹( 。) ( 2 1 ) 2 s h a n n o n 熵无噪声编码定理：如果想进一步将信息中每位字符的信息压缩到 日一d ，即使占为任一给定的小量，则当扎一o o 时也不能够达到足够小的误差 e ( n ) 。所以最佳码只可以渐进地( 当n 一。o ) 将每个字符压缩到h ( z ) 。 定义3 在n o o 的渐进过程中，s h a n n o n 熵表示从系综x 取出单个字符所 传递的平均信息量。因为它告诉我们，为了对那个信息编码需要多少位数。 互信息f ( x ，y ) 表示两个信息之间有多少关联。即，我们从所获得的的y n 序 列信息中，能推知多少关于x “序列信息? 互信息的表达式为 ，( x ；y ) = 一p ( z ，y ) l 0 9 2 p ( z ，笋) ( 2 2 ) o ，掣 这里p ( z ，y ) 是互概率。 s h a n n 。n 噪声信道编码定理：容量e 三 m p ( a 。x ) ，；y ) 是通过噪声信道通信时 所能达到的最高比率。这时，当字符数趋于无穷时，失误概率趋于零。 2 3 量子信道容量 定义4 量子态p 的冯诺依曼熵定义为 s ( 力兰- t r ( p l 0 9 2 力( 2 3 ) 如果k 是p 的本征根，那么冯诺依曼熵的定义可改写为 s ( 力= k l 0 9 2 a 。 ( 2 4 ) g 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第7 页 第二章量子信息论简史2 4 量子信息与经典信息的不同 定义5 如果信息资源是各自独立、均等分布的( i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ) ，那么称此信息资源是i i d 信息资源。 s c h u m a c h e r 无噪声信道编码定理：假设 日，力是i i d 量子资源。如果 r s ( p ) ，那么对于资源 日，力存在以r 为传输速率的可靠的压缩方案。如果 r 十1 1 1 ) ) 通过量子信道九o j ，其中 j 是单位量子信道，即把输入态映射到它本身。因此，输出态的密度算子是 反= 五1 o 0 一 q t 00 ；吼0 0 ；啦 吼0 0 o 0 一 二) s ， 其本征根是 a = 1 一吼，a 3 ，4 = 警 量子信道a toi 的输出态的相对熵是 洲叱。邓m ( 鲁) + q l i n ( 象) 。， 方程( 6 6 ) 的相对熵可以绘制成图6 2 ： 图6 2 和图6 1 差不多一样。但是，给定具体的参数q t 和q 2 ，相对熵s ( a ( t p ) 。 ，总是大于或者等于s ( 盯1 i p ) ，因此可以更好的区分两个量子信道。 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第六章使用相对熵来区分量子信道 第3 9 页 6 4 结论 图6 2 ：r e l a t i v ee n t r o p ys c mw i t he n t a n g l e di n p u t 当q 1 j 1 的时候，退极化信道可以是e n t a n g l e m e n tb r e a k i n g 量子信道【4 8 1 。 所谓e n t a n g l e m e n tb r e a k i n g 量子信道，就是把纠缠的输入态映射到可分离的输出 态。根据图6 2 ，无论量子信道是否是e n t a n g l e m e n tb r e a k i n g 信道，纠缠的输入态 总是可以增加退极化信道的相对熵。 6 4 结论 总而言之，我们验证了相对熵可以很好的区分退极化信道。另外，纠缠的输入 态可以更好的区分退极化信道，无论信道是否e n t a n g l e m e n tb r e a k i n g 。严格上说， 相对熵不是量子信道不同输出态的真正的距离，因为相对熵不对称也不满足三角不 等式【5 0 】。但是，我们可以把相对熵的意义理解为如果给定参数q 2 的量子信道，那 么参数为g l 的量子信道是如何偏离原来给定的信道的。 7 1 导论 第七章高斯信道保真度的变化规律 量子玻色信道是有着连续输入字母表的特殊一类量子信道3 1 。由于它们在光 纤传输中有重要的应用，物理学家花费了很多精力去研究此类量子信道的性质。例 如，量子和经典信道容量、熵或者保真度的计算引起了很大的兴趣。特别的，保真 度可以用来衡量量子信道的输入态和输出态的相似程度。保真度为1 表示量子态相 同，而保真度为0 表示量子态是正交的。在某种程度上，保真度衡量了量子信道保 存传输信息的能力，因此保真度在量子信息论中是重要的物理量【7 ，5 2 卜 到目前为止，在多模f o c k 空问的对角化二次项哈密顿量b u r e s 保真度已经被 推导出来了【5 2 】。高斯信道的保真度也被仔细的研究了【5 3 】。我们自然而然的会问： 不同的玻色量子信道的保真度是如何演化的? 有特定的输入态的某些量子信道的保 真度是否有上下限? 这些问题值得深入的研究。 这里我们研究几类不同的玻色量子信道的保真度。这些玻色量子信道代表了量 子信息传输的不同情形，因此我们的研究是很有意义的。 7 2 玻色高斯信道 玻色量子信道可以被理解为一个玻色场，它的相空间变量可以进行连续变量的 编码解码，并且输入字母表也是连续变量的【7 ，5 4 1 。一个玻色高斯信道是一个完正 的映射，是由一个玻色模的相空间的平均为零的高斯平移造成的【5 5 1 。 对于玻色高斯信道，映射为$ $ ：阳= $ ( 胁) = 厂即形) 。( 卢) 胁。) 其中d 2 卢= d 孵) d 9 ( p ) ；q ( 卢) 是噪声协变量为n 的噪声分布，记为 形) = 去e - 蜉 并且d ( 卢) 是平移算子，即 d ( 卢) = e 鼬+ 。矿。 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文第4 l 页 第七章高斯信道保真度的变化规律 5 7 3 有损耗的玻色信道 o ( 和矿) 是我们研究的模的湮灭( 产生) 算子； 假设输入态是相干态p 饥= l q ) ( q l 。因此输出态计算的结果是【5 i j 胁= r 南e l l l 南p q ) ( p 保真度很容易得出 厂g 。咖= ( 口i 胁i a ) = 南 ( 7 1 ) 很明显，玻色高斯信道的保真度随着噪声协变量 r 的增加而减少。量子信道 的噪声越大，保真度就越小。 7 3 有损耗的玻色信道 有损耗玻色信道包含一系列玻色模，它们从发送者到接收者的过程中可能有能 量散失到周围的环境中去【5 7 】o 存在能量损耗的情况下，输出态和输入态一般是不 同的。因此，研究输出态和输入态的相似程度是个很有意义的问题。 有损耗玻色信道可以由主方程描述( 5 8 j d 疵p = ；( a + 1 ) ( 2 。p a + - - a + a p p 。+ n ) + 姜a ( 2 + p a a a + p p a a + ) + ；b ( 2 a + p a + 一n 十o + p 一胆+ 口+ ) + 去b + ( 2 a p a a a p p a a ) 这里，y 是衰减速率，以是环境热库的平均光子数，b 是和压缩真空热库相关的参 数。 假设输入态是 。 加= s ( ( ) i o t ) ( o t i s + ( ( ) 因此，输出态是 p o u t = 8 唑铲薹( 尚) ”咩刚啪矧圳科 2 0 4 ) 7 盔 第七章 中国科学技术大学博士学位论文第4 2 页 高斯信道保真度的变化规律 7 4 有记忆的玻色高斯信道 舯卅：6 ，( 1 - e - 巾) 酢) = 高吲j ，_ 斋 这里6 和，y 是与噪声相关的参数。 ( 7 2 ) ( 7 3 ) 我们推导出保真度是 5 8 j f c * 叫2 了；i 石i ；知 ( 7 4 ) 保真度被绘制成图7 1 ： 图7 1 ：t h ef i d e l i t yo ft h el o s s yb o s o n i cc h a n n e lw h e n 瓦= 0 1a n d 口= 0 1 我们可以得出结论保真度在存在1 的情况下，随着时间的增加而减少。另一方 面，给定时间，当衰减参数7 比较小的时候( 7 1 ) ，保真度随着7 的变化并不 是很大。 7 4 有记忆的玻色高斯信道 7 4 1 输入态是直积态 当存在有关联的噪声的时候，玻色高斯信道就会有记忆出现。此玻色高斯信道 由下面的映射所决定f 1 0 $ ：$ ( 胁) = 厂d 2 尻d 2 尻q ( 历，恳) 。( p - ) 。( 仍) 。+ ( 风) 圆。+ ( 恳) 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文第4 3 页 第七章高斯信道保真度的变化规律7 4 有记忆的玻色高斯信道 而且 口( 尻，岛) 2 ；偏1 e 一4 + 1 i 1 4 7 r 、n ，i 这里p = 陬( 风) ，9 慨) ，精) ，9 ( 岛) 】r 和”是噪声正则变量的协变量矩阵 n 0 一z n 0 、 i onoz nl 似2l z o o i oz o 其中z 是关联系数，从0 变化到1 。当z = 1 的时候，信道存在完全的记忆；当 z = 0 的时候，信道没有记忆的效应。 而且 1 7 n i = n 4 2 n 4 x 2 + 4 2 4 假设输入态是直积相干态 胁可以改写为 a 。= i 饥蚀) ( 7 1 他 p 机：e 一( d 一m ) ( 。- 一嵋) 一( 吐一1 2 ) ( n 。一怯) p t 。= d ( 饥) d m ) p o o d + ( m ) d + ( 讹) 因此 $ ( ) = d 2 z l d 2 2 2 口( 伪，历) 。 ) d ( 1 3 ) d ( 7 1 ) 。( 他) p o o d + ( m ) 。+ ( 他) 。+ ( 口) 。+ = d ( 饥) o d ( 仇) d 卢l d 2 岛q ( 历，岛) 。( 口) 。( p ) 细。+ ( 口) 。+ ) ) 。+ ( 饥) 圆。+ ( 仇) ( 7 矽 ：l。由 南：葡o ：lj：。南 与。与。由：浮o ，一 一 = 晡 到得易容 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第4 4 页 第七章高斯信道保真度的变化规律 7 4 有记忆的玻色高斯信道 因为幺正算子不改变求迹运算的结果，保真度的公式可以简化为 厂肘。；三t r ( $ ( a 。) p t n ) = t r ( $ ( p o o ) p o o ) 更进一步的， 卢+ 面t 二_ c 孵c 历，9 c 尻，瓣c 屁，9c 屁，专1 0 = 0 ；) ( 虢( 历 9 ( 卢1 睨( 仍 9 ( 屁 = 志( 1 卢1 1 2 埘) + 志( 幽2 必2 + 学学) = 丙可兰硒( 慨1 2 + i 阮1 2 ) + 南( 风尾+ 所成 将方程( 7 6 ) 代入方程( 7 ，5 ) ，我们可以看到 ) = 南跏2 旷曲渺卜胁f 2 卜嘲似肼戌戌b ：e 一口 4 l 十。 店+ n l m i 卢1 1 2 一对却+ 。妄店+ m 一慨1 2 ： 上面积分的结果是 $ ( p o o ) = 丽赤而矿鼎小”而釉咖2 南m ”耐剃辩 我们回忆到 彻= ：e 一。 口l 一对“： 最终，我们得剑保具度酮公瓦 f m e n t = c o o l 两干蒂西面 ：e 一两萨ni 册。 。- 一两掣【_ 孕对幻一丽簿丙巧一丽i 尚浮砖4 ：i o o ) 5 而南 盯8 ) 记得z 从0 变化到1 ，因此保真层睹上限厂胁u p p 。 f u m p m p 。两备 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第4 5 页 第七章高斯信道保真度的变化规律5 7 4 有记忆的玻色高斯信道 和下限f m e m f l m o 。w 。= 百南 公式厂m 。被绘制成图7 2 ： 图7 2 ：t h ef i d e l i t yo ft h eb o s o n i cc h a n n e lv a r i e sw i t ht h e