（全面突破）高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 9.8直线与圆锥曲线的位置关系学案.doc

9.8直线与圆锥曲线的位置关系考情分析基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线c的位置关系时，通常将直线l的方程axbyc0(a、b不同时为0)代入圆锥曲线c的方程f(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线c相交；0直线与圆锥曲线c相切；0直线与圆锥曲线c无公共点(2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线c相交，且只有一个交点，此时，若c为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若c为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线c相交于a，b两点，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|y1y2|.(抛物线的焦点弦长|ab|x1x2p，为弦ab所在直线的倾斜角)注意事项1.点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数2. “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”题型一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()a. b2,2c1,1 d4,4解析由题意得q(2,0)设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1.答案c【变式1】 若直线mxny4与o：x2y24没有交点，则过点p(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()a至多为1 b2 c1 d0解析由题意知：2，即2，点p(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2个答案b题型二弦长及中点弦问题【例2】若直线l与椭圆c：y21交于a、b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求aob面积的最大值解设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当abx轴时，|ab|；(2)当ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程为ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|ab|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3.当k0时，上式334，当且仅当9k2，即k时等号成立此时|ab|2；当k0时，|ab|，综上所述|ab|max2.当|ab|最大时，aob面积取最大值smax|ab|max.【变式2】 椭圆ax2by21与直线xy10相交于a，b两点，c是ab的中点，若ab2，oc的斜率为，求椭圆的方程解法一设a(x1，y1)、b(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.再由|ab|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.法二由得(ab)x22bxb10.设a(x1，y1)、b(x2，y2)，则|ab|.|ab|2，1.设c(x，y)，则x，y1x，oc的斜率为，.代入，得a，b.椭圆方程为y21.题型三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】已知椭圆y21的左焦点为f，o为坐标原点(1)求过点o、f，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点f且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于点g，求点g横坐标的取值范围解(1)a22，b21，c1，f(1,0)，圆过点o，f，圆心m在直线x上设m，则圆半径r，由|om|r，得 ，解得t，所求圆的方程为2(y)2.(2)设直线ab的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线ab过椭圆的左焦点f且不垂直于x轴，方程有两个不等实根如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中点n(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，ab的垂直平分线ng的方程为yy0(xx0)令y0，得xgx0ky0，k0，xg0，点g横坐标的取值范围为.【变式3】已知过点a(4,0)的动直线l与抛物线g：x22py(p0)相交于b、c两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线g的方程；(2)设线段bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设b(x1，y1)，c(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得抛物线g的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，bc的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段bc的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段bc的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)题型四定值(定点)问题【例4】椭圆有两顶点a(1,0)、b(1,0)，过其焦点f(0,1)的直线l与椭圆交于c、d两点，并与x轴交于点p.直线ac与直线bd交于点q.(1)当|cd|时，求直线l的方程(2)当点p异于a、b两点时，求证：oo为定值 (1)解因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为x21.直线l垂直于x轴时与题意不符设直线l的方程为ykx1，将其代入椭圆方程化简得(k22)x22kx10. 设c(x1，y1)，d(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|cd|.由已知得，解得k.所以直线l的方程为yx1或yx1.(2)证明直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k1)，所以p点坐标为.设c(x1，y1)，d(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2，直线ac的方程为y(x1)，直线bd的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y得.因为1x1，x21，所以与异号22.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1，与y1y2异号，与同号，解得xk.因此q点坐标为(k，y0)oo1.故oo为定值【变式4】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆c于a，b两点，线段ab的中点为e，射线oe交椭圆c于点g，交直线x3于点d(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|og|2|od|oe|，求证：直线l过定点(1)解设直线l的方程为ykxt(k0)，由题意，t0.由方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意0，所以3k21t2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，所以y1y2.由于e为线段ab的中点，因此xe，ye，此时koe.所以oe所在直线方程为yx，又由题设知d(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t2时，m2k2取最小值2.(2)证明由(1)知od所在直线的方程为yx，将其代入椭圆c的方程，并由k0，解得g.又e，d，由距离公式及t0得|og|222，|od| ，|oe| ，由|og|2|od|oe|得tk，因此直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点(1,0)重难点突破【例5】如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m、n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2的离心率都为e.直线lmn，l与c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d.(1)设e，求|bc|与|ad|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得boan，并说明理由 解析 (1)因为c1，c2的离心率相同，故依题意可设c1：1，c2：1，(ab0)设直线l：xt(|t|a)，分别与c1，c2的方程联立，求得a(t，)，b.(4分)当e时，ba，分别用ya，yb表示a，b的纵坐标，可知|bc|ad|.(6分)(2)t0时的l不符合题意t0时，boan当且仅当bo的斜率kbo与an的斜率kan相等，即，(8分)解得ta.因为|t|a，又0e1，所以1，解得e1.(10分)所以当0e时，不存在直线l，使得boan；当e1时，存在直线l，使得boan.(12分)巩固提高1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()a相交 b相切c相离 d不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案a2 “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点答案a3已知以f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()a3 b2 c2 d4解析根据题意设椭圆方程为1(b0)，则将xy4代入椭圆方程，得4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22.答案c4已知双曲线e的中心为原点，f(3,0)是e的焦点，过f的直线l与e相交于a，b两点，且ab的中点为n(12，15)，则