（一般力学与力学基础专业论文）非光滑的多刚体系统动力学与线性互补性问题研究.pdf

内容摘要 本文旨在保留系统的刚性假设的前提下，完善能够有效地处理多个非光滑点 ( 包含接触、碰撞、摩擦等因素) 的多刚体系统动力学的框架，并在此框架内研 究奇异性等难点问题，以期最终实现对非光滑多刚体系统的精确模拟。 本文主要研究了以下内容： 1 通过线性互补性方法( l c p ) ，建立了含非理想双边约束的多刚体系统多 点接触问题的动力学模型。通过该模型，可以在考虑非理想约束的情况下， 方便地处理多刚体系统的多点接触问题中复杂的接触点状态改变的问题； 2 在该框架内，通过松驰法以及l c p 理论，研究了因刚性假设和库仑摩擦定 律同时使用而引起的奇异性问题，对引起奇异性的条件、原因进行了分析， 并给出了解决方法； 3 建立了含有非理想约束的多体系统多点碰撞问题的线性互补性模型，并进 行了有效模拟。 上述工作使得我们能够在统一的微分方程线性互补性问题的混合框架内处理 含有非理想的双边约束的多刚体系统的多点接触和碰撞问题，并能预测和处理计 算过程中出现的加速度不协调以及速度不协调现象。 关键词：多刚体系统，接触，碰撞，摩擦，非光滑，奇异性，线性互补性问题 a b s t r a c t b a s e do na s s u m i n gr i g i db o d ya n dr i g i dc o n s t r a i n t s ，t h ee x i s t i n gt h e o r e t i c a l f r a m e w o r ki si m p r o v e dt od e a lw i t hm o r en o n s m o o t hf a c t o r s i nt h i sn e w f r a m e w o r k ，t h es i n g u l a r i t yw i l lb ed i s s c u s s e d t h eu l t i m a t eo b j e c t i v ei st o r e a l i z ea c c u r a t es i m u l a t i o nt om u l t i r i g i d b o d ys y s t e m s r e s e a r c hc o n t e n t sp r e s e n t e di nt h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ad y n a m i c a lm o d e lw i t hl i n e a rc o m p l e m e n t a r yc o n d i t i o n si se s t a b l i s h e d ， w h i c hc a nd e a lw i t ht h ed r yf r i c t i o ni nb i l a t e r a lc o n s t r a i n t s i nt h i sf r a m e ，t h es i n g u l a r i t yi ss t u d i e d t h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n si s a n a l y z e d w h e nt h ef i n i t es o l u t i o n sf a i lt ob eo b t a i n e d ，av e l o c i t yj u m p i s i n t r o d u c e da tf r i c t i o n a lc o n t a c tp o i n ta n da na n a l y t i c a le x p r e s s i o ni s d e d u c e dt of i n dap r o p e rv a l u eo f t h ej u m p - m u l t i p l ei m p a c t sa r ee x p r e s s e da sl i n e a rc o m l e m e n t a r yp r o b l e ma n ds o i n t r o d u c e di n t ot h i sf r a m e e f f e c t i v es i m u l a t i o ni sm a d e t h ea b o v ew o r km a k e si tp o s s i b l et od e a lw i t ha l lt h e s en o n s m o o t hf a c t o r s u n d e rau n i f o r mf r a m e w o r ka n dp r e d i c tt h ei n c o n s i s t e n c yo fa c c c e l e r a t i o n a n dv e l o c i t y k e y w o r d s ：m u l t i r i g i d b o d ys y s t e m ，c o n t a c t ，i m p a c t ，f r i c t i o n ，n o n s m o o t h ， s i n g u l a r i t y , l i n e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m ( l c p ) 第一章绪论弟一早三百t 匕 1 1 引言 现代科学和工程技术提出了许多复杂系统的动力学问题，各种车辆、机械、 机器人、水下工作机、航天器等的研制都需要在制造样机之前就对系统进行运动 学和动力学分析、结构参数的综合优化和全数字防真，否则将可能失败，造成巨 大浪费。多刚体系统动力学就是在一背景下，在经典力学的基础上发展起来的一 个新的学科分支，它的研究对象是由多个刚体连接而成的系统，它的主要任务是 研究建立系统的适用于计算机的动力学模型的方法。到目前为止，对于光滑的多 刚体系统的理论和计算方法已经相当成熟，7 0 年代以来，相应的大型通用软件问 世，并成功地应用于工程实耐l 】【2 】，但涉及到非光滑因素的多体系统动力学发展得 相对较慢。非光滑因素包括接触、碰撞等广泛存在于机械系统、航天工程、机车 车辆、化学反应过程、甚至生物工程等多个领域中，这类现象的存在将导致系统 的动力学行为呈现非光滑、不连续的动态行为。如何基于多刚体系统动力学的分 析框架，建立描述和分析这类非光滑系统的分析工具和方法是当前包括力学、应 用数学、物理、生物，以及工程领域等多个学科所关注的一个重要科学问题。 从力学意义上，含摩擦接触碰撞等现象的机械系统可归结到单边约束的力学 系统，对应的数学描述是含有不等式约束的非光滑系统。该类系统具有很强的工 程应用背景，但在数学及力学上难以处理。到目前为止，这类问题还没有一致的 公认的可靠的解决方法。 粗略地讲，非光滑力学与经典的光滑力学的区别在于：非光滑力学允许力学 系统的状态变量是不可微或不连续的，对于不等式问题，它能够精确刻画不等式 性质发生改变时力学量的不可微或不连续。非光滑力学理论的发展，不仅满足了 摩擦、接触和弹塑性等不等式理论研究的需求，而且鉴于它和数学规划、非光滑 分析等数值数学的密切联系，而使得非光滑力学数值方法的发展具备了强大的理 论依托【3 1 。 将逐步成熟的非光滑力学理论与现代计算力学的研究成果相结合，这是将非 光滑力学的研究推向实际应用的必然途径。计算模型方面，变分不等式理论、最 大单调算子理论、凸分析和不可微优化理论等应用数学的成熟为非光滑力学提供 了丰富的建模方法；计算力学方面，近年来，以数学规划领域中互补、对偶、松 弛、正则化和内点法等为代表的新型数值手段的快速发展为非光滑力学的数值模 拟提供了多种简洁、高效的途径。因此，从非光滑力学的角度出发，研究力学中 各类不等式问题高效计算理论的时机已经成熟。 本文的工作正是基于这样的背景下，旨在保留系统的刚性假设的前提下，完 善能够有效地处理多个非光滑点( 包含接触、碰撞、摩擦等因素) 的多刚体系统 动力学的框架，并在此框架内研究奇异性等难点问题，以期最终实现对非光滑多 刚体系统的精确模拟。 1 2 文献回顾及分析 1 2 1 碰撞、接触问题的背景分析 关于碰撞、接触问题的研究由来以久，但因其复杂性，到目前为止，还没有 一致的公认的具体解决方法，因此，目前在国际上仍然是研究的热点和难点。 碰撞是物质相互作用的一种形式，其特点是：作用强度很大，而作用时间很 短。接触作为一个概念，同碰撞相比，常常被混淆。在此，我们将接触描述为在 有限的时间内发生的一种连续的过程。如果将接触在法向和切向上加以分解，则 切向接触产生了我们通常意义上的摩擦。 对于物体的碰撞接触问题的研究，一般分为两种方法： ( 1 ) 保留刚性接触假设，引入速度突跳，这实际是经典的碰撞理论h 1 所包含的 内容。在该方法中，碰撞过程被看成是瞬时的，碰撞力无限大，而碰撞冲量则有 限，这就导致了系统运动过程中位置空间连续，而状态空间可能不连续，即：可 以将刚体的碰撞问题看作是因速度的不协调而引起的奇异性。对于刚性假设而言， 必须通过引入速度的突跳，才能使得系统在碰撞之后，继续按原来的模型继续计 算下去。 对于刚体碰撞问题中速度跳断量的计算，一般是通过引入碰撞恢复系数的方 法来得到的。碰撞恢复系数的定义中比较有名的有三种：牛顿的运动学碰撞恢复 系数、p o i s s o n 的动力学的恢复系数以及s t r o n g e 的能量恢复系数。研究表明钉 晦3 ：三种定义的恢复系数均不仅与材料常数有关，而且与碰撞的初始条件，如碰撞 点的初始速度、碰撞位形及多体系统的连接方式等有关。为此，关于碰撞恢复系 数的定义及计算依然是研究的热点，在最近的一些研究报告中，碰撞恢复系数被 重新定义为考虑了更多的能量损耗的能量损失因子。如：w a g g 通过能量平衡的方 法将碰撞引起的振动效应并入到恢复系数的定义中，从而得到包含系统位形、碰 撞速度以及系统振动阻尼的恢复系数的分析表达式n0 。关于恢复系数研究工作的 一般性回顾在文献口1 可以见到。 在刚体的接触问题中，也存在类似的奇异性问题。1 8 9 5 年，p a i n l e v 6 在研究宜 杆沿刚性地面滑行时所发现的“p a i n l e v 6 疑难”是对这类问题的首次关注。 “p a i n l e v 6 疑难”所描述的解的奇异性问题是发生在刚性的单边约束系统 中，但这种动力学解的奇异性并非仅存在于含库仑摩擦与刚性的单边约束的系统 中，在含库仑摩擦的双边约束系统中的某些特定参数下，系统动力学方程也会出 2 现类似的无解及多解的问题。如在p a i n l e v 6 k l e i n 6 1 】【6 2 】的例子及闸皮系统【6 3 】中都可 以遇到这种问题。 l e s u a na n 将此类双边约束的p a i n l e v 6 k l e i n 问题推广到含一个摩擦接触点的 多刚体系统，得到了系统取得唯一解的条件及疑难区域的范围，并通过松弛法研 究了在系统奇异位置处解的稳定性问题1 6 。i v a n o v 将确定多刚体系统的广义加速 度与法向约束力的基本问题同一个从s ：r 哼r 的分段光滑的映射的奇异性联系 起来，得到了没有疑难的条件，并研究了改进的p a i n l e v 6 例子中有疑难的区域内 分岔的类型【6 3 1 。 上述这类特殊简单的系统中所含的p a i n l e v 6 疑难在于：当系统的运动状态进入 到无解或多解的状态时，系统的广义加速度及法向约束力求解问题按原来的方法 不能进行下去。p a i n l e v 6 疑难说明完全刚性的约束假定和接触作用力的库仑于摩擦 定律在一定情况下是不协调的。动力学上遇上这种情况有两种摆脱困难的方式： 引进系统的速度突跳，使系统由动力学的非协调状态突跳到协调状态，继续在 原来力学模型下运动。这种突跳就是所谓“切向冲击 。这里的困难是如何合理地 确定突跳规律。采用松弛法，放松约束的刚性假定，引进约束的碰撞模型，并 研究当此模型刚度充分大时，系统具有稳定性的动态行为。 许多学者采用第一种思路，在无解的情况下引入跳断规律。因为这时的法向 相对速度为零，所以也称“无碰冲击或是“切向冲击 。对于跳断规律，b a r a f f 曾经提出了两条规则【l 。根据b a r a f f 规则，可以建立p a i n l e v 6 例子中刚杆的跳断 规律，但这种规律是否符合实际受到质疑。w a n g y u 利用r o u t h 图形法，在一定的 力学模型下，求出了另一种切向冲击的跳断规律。按这种规律得到的与b a r a f f 的 不刚1 2 1 。按照第二种思路，s o n g p 利用松弛模型取极限的方法研究了p a i n l e v 6 例 子中双解的部分情况【b 】；赵振引入了考虑弹塑性变形的双非线性碰撞模型，以此为 基础，应用多体系统数值计算方法，全面研究了p a i n l e v 6 例的各种情况。研究证明， 在p a i n l e v 6 疑难的非协调状态下，必然引起“摩擦突变”，从而由切向滑动导致法 向冲击作用，并引起法向跳起。根据松弛模型的数值研究，得到了能有效克服 p a i n l e v 6 疑难困难的状态连接规犁7 5 儿m 。 ( 2 ) 放弃刚性假设，在连续的框架内用接触力的形式来表达接触、碰撞作用。 这种接触力的模型可以表现为显式的力与位移的形式，其中较经典的力一位 移模型有下列几种：d u b o w s k y 利用线性弹簧阻尼模型解决含间隙连接铰的碰撞问 题飘，h e r t z 接触模型处理非协调接触问题n 引，s h i w a s v a m y 直接从试验入手拟合 出改进的h e r t z 接触模型用以解决安全帽的建模问题，并且认为对于相对冲击速 度较低碰撞宜采用非线性弹簧阻尼模型，而相对冲击速度较高的碰撞应采用以塑 性为耗能机制的双非线性模型n 。如果在法向接触力和接触变形间没有明显的函 数关系，接触力也可以通过隐式的方式嵌入，但在接触点需要强加上非穿透性的 条件，这种方法通常是通过有限元或边界元来实现的。 当研究的重点由两个物体的单点碰撞接触问题推广到多体系统的多点摩擦、 碰撞及接触问题时，如果直接按照上述两种方法来处理多点接触碰撞过程，则会 产生新的需要解决的问题。 在多点接触、碰撞问题中，频繁的状态改变( 包括接触与分离，滑动与粘滞 等) 会带来不同套系统广义坐标系的转化、组合问题，由此带来的计算量会是相 当惊人的。p f e i f f e rf 在m o r e a u 和p a n a g i o t o p o u l o s 嘲乜铂的研究基础上直接把含单 边约束多体系统的接触问题引导向求解l c p ( l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) 和 n c p ( n o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ) l 拘方法上髓。他在处理多体( 多刚体及 多柔体系统) 的接触碰撞问题时，保留了接触处的刚性假定，对碰撞问题嵌入了 碰撞恢复系数的模型。但当在刚体接触的框架内解决多点碰撞问题时，接触点之 间相互的耦合效应导致系统因缺少足够的方程而不能获得唯一解，因此需要引入 一些附加的假设条件。如果假设多点同时碰撞，可以采用恢复系数和动量守恒的 方法获得唯一解，但是这种唯一解往往与实验观测的结果不相符合。如果放弃同 时碰撞的假设，而是采用某种碰撞序列，结果可能会与实验观察现象一致。对于 多点接触问题，这样的碰撞序列有多种可能，为什么要采用这种序列，而不是其 他，才与实验结果相符呢? i v a n o v 旧3 在研究三个平面圆球同时碰撞的例子时指出： 多点碰撞后的速度跳断敏感地依赖于三个小球碰撞时的初始位形，随着系统刚度 趋向无穷，初始位形的偏差与刚度的不同关系决定了刚体碰撞后的跳断规律。而 这种初始位形的偏差正是决定碰撞顺序的关键因素。马炜和刘才山以三质点弹性 系统为例，通过其在h a m i l t o n 空间中的严格理论解，讨论了质点的材料特性与碰 撞序列的关系啪。b r o g l i a t o 也给出相似阐述口1 。 放弃刚性假设的处理方法也被广泛用于多体系统的多点接触碰撞问题中。 k r a u spr 和k u m a rv 处理多点碰撞时直接使用了切向和法向的力一位移模型啷3 。 k i ms u n w o o k 在解决空间机器人的接触问题时直接把有限元模型建立在多体系 统的接触构件的局部上戥。k t i b l e rl a r s 和e b e r h a r d p e t e r 为了提高计算效率，把接 触时的构件用有限元方法建模，分离时用刚体建模钔。 上述研究问题的基本思路是属于非变分的，但也有一些学者在变分学领域对该 类闷题进行了研究。m o r e a u 在n 个自由度的拉格朗r 系统中建立了高斯原理的拘 束函数，从而实现了高斯原理在受到单边约束的系统中的推广澍1 。研究表明：高 斯原理同线性互补性问题( l c p ) 密切相关，借助于高斯原理，可以证明无摩擦过 约束的系统中广义加速度具有唯一解。； k o z l o v 及t r e s h c h e v 通过m a u p e r t u i s 变分原理研究了弹性碰撞问题担9 ：b a h a r 利用准速度研究了j o u r d a i n 微分变分原理 ( j v p ) 在刚体碰撞动力学中的推广= ：引经典的h a m i l t o n 原理在非光滑系统中的推 广需要回答以下两个方面的问题：定义在何种空间内的可达曲线可以使 h a l m i t o n 泛函存在极值；泛函取极值的充分与必要条件是什么? 该问题可通过 修改可达益线的空间或改进l a r a n g e 函数的形式来解决。基于上述思路，m o r e a u 2 8 3 以及p a n a g i o t o p o u l o s h 将h a m i1t o n 原理推广到可变形物体的碰撞问题，但他们 研究的都只是完全弹性碰撞的问题。 综上所述，在上述的物理框架内来解决多点碰撞和接触问题，有下列几点需 要说明： 在解决多体系统的多点碰撞、接触问题时，保留接触处刚性假设的效率显 然比后面两种方法的效率要高，但是力一位移模型和有限元方法能够给出碰撞过 程中接触力的详细信息，同时大变形菲线性有限元对于研究碰撞是一种非常有效 的工具，它能够精细地刻画碰撞过程中的局部变形、应力波传播、构件的大范围 运动以及振动情况。实际中模型的选择要在工程需要、计算效率、计算精度之间 作出平衡； 碰撞恢复系数引入的目的是为了通过代数的方式解决刚体碰撞的不连续问 题，从而简化系统的计算过程。而目前定义的恢复系数对多种因素的依赖性表明： 若按此方式将恢复系数引入含多个光滑点的多体系统的计算中时，势必会增加计 算成本，减弱采用刚性模型的优点。如何在考虑接触的弹塑性特征的基础上，找 到在碰撞中的不变量作为新的恢复系数，碰撞恢复系数才会重新获得它最初引入 的意义。用力一位移模型来处理碰撞问题比采用恢复系数法要复杂。而远比有限元 等隐式方法要简单。但同碰撞恢复系数的确定相类似，它也是对碰撞的精细过程 的一个模化，存在的模型很多，但目前尚没有一致公认的确定模型，现存的许多 模型中的参数需要在特定的条件下通过试验确定，有时会具有任意性； 对于含摩擦的多点接触问题同样存在“p a i n l e v 6 疑难”问题，其在高维问 题中的解决方法依然是数值计算中经常会遇到且难以解决的问题； 多点碰撞问题需要采用何种碰撞序列也是研究的难点。从能量意义上，碰 撞问题可以描述为不同运动形式的能量转化和传递的过程。因此，对应多点碰撞 的碰撞序列问题实际涉及到各接触点之间能量传播和再分配的过程。 1 1 2 互补性阎题的数学背景 互补问题是一类重要的优化问题，在实际应用中，它出现在工程物理、经济 与交通等领域；同时，它也出现在约束优化的最优性条件中。 互补问题的标准形式是：给定一个函数f ：r 专r ，、线性互补性问题c p ( f ) 就是要找到一个x r 满足0 f ( x ) 上x 0 ，这里上表示内积为0 。当函数f 为非 线性，称此问题为非线性互补性问题，记为n c p ( n o n l i e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m ) ， 当f 是关于工的线性函数，则称此问题为线性互补性问题，记为l c p l j 6 j ( l i n e a r c o m p l e m e n t a r yp r o b l e m ) 。互补问题的一个自然推广就是变分不等式问题，即求解 一向量x q ，使得 ( j ，一x ) 7f ( x ) 口，v y q 其中q 量r “为一个非空闭凸集。它们恰似相伴而生的孪生兄弟，常常出现在有关 的书籍和文献中1 3 5 j 【3 7 】。 标准互补问题首先由著名运筹学家、数学规划的创始人c l b d a l l t z i g 和他的学 生r w c o t t l e 于1 9 6 3 年提出。次年，c o t t l e 在其博士学位论文“n o n l i n e a rp r o g r a m s 晰t hp o s i t i v e l yb o u n d e dj a c o b i a n s ”中第一次提出了求解它的非线性规划算法【3 9 1 。 这一数学问题在初期曾被称为“拼合问题”( e o m p o s i t o p r o b l e l n ) 、“基本问题 ( f u n d a n l e n t a lp r o b l e m ) 或“互补转轴问题”( e o m p l e m e n t a r i t yp i v o tp r o b l e m ) 等。标准 互补问题是从线性规划和非线性规划推广而形成的，特别地，它可能来源于求解 一个非线性的优化问题的k a r t l s h k u h n t u c k e r ( k k t ) 系统。该问题很快引起 了当时运筹学界和应用数学晃的广泛关注和浓厚兴趣，许多人参与了这类问题的 研究。至8 0 年代中后期，经过2 0 余年的努力，在理论和算法两个方面都已取得 了比较丰硕的成果。关于1 9 9 0 年以前的工作，可见h a r k e r 和p a n g 的综述文章【3 8 】 以及该时期的优秀专著1 3 6 j 。由于互补问题与最优化、变分不等式、平衡问题、博 弈论、不动点理论等数学分支的紧密联系，以及它在科技与经济方面的广泛应用， 越来越显示其重要性，这刺激人们对之进一步研究，出现了二十世纪9 0 年代以来 的高潮。在这十余年的时间里不仅改进和丰富了其理论成果，而且还提出多种有 效算法。需要特别注意的是，进入二十一世纪以来，人们已经将标准互补问题推 广到二阶锥互补问题和半定互补问题【3 5 】【4 1 1 ，并在实践中发挥了重要作用。 1 2 3 单边约束多体系统动力学的研究背景 含摩擦接触碰撞等现象的机械系统可归结到单边约束的力学系统，对应的数 学描述是含有不等式约束的非光滑系统。其中，接触与不接触的变化受非穿透不 等式的约束；在c o u l o m b 摩擦定律中，粘滞与滑动状态之间的变化受c o u l o m b 摩 擦等不等式的约束。这些不等式可能处于两种状态：主动约束和被动约束( 所谓 主动约束是指等号成立的不等式约束，否则称为被动约束) 。伴随着力学过程的进 展，不等式约束经常会在主动和被动这两种状态之间转变，这导致问题的求解至 少具有如下困难： 在加载过程中，事先无法确定力学状态变量属于哪种状态，即无法确定哪 些不等式是主动约束，哪些是被动约束； 约束性质在主动和被动之间转换的临界点处，力学问题的状态变量往往呈 现不可微甚至不连续性。 2 0 世纪7 0 年代以来，随着计算力学的兴起，关于此类问题的研究逐步取得了 进展。但由于直接处理不等式问题的计算方法尚未成熟，所给出的算法多属于“试 验一误差 类迭代算法。此类算法关于不等式问题的处理通常按两个阶段进行：首 先，通过“试验误差”类迭代过程确定哪些不等式成为主动约束；然后，将主动 约束按照处理等式约束的办法( 如l a g r a n g e 乘子法和惩罚函数法) 强制满足。这 类算法在处理如静态接触分析问题等获得了成功。但是，由于迭代法忽视了不等 式约束性质发生突变( 主动与被动的相互转换) 时力学响应可能存在的不连续性， 在处理诸如动力问题、结构设计和控制问题等更为复杂的力学问题时，其计算结 果可能与实际情况失之毫厘，差之千里。例如，在接触碰撞问题中，当发生碰撞 时，垂直于接触界面的速度发生了瞬时不连续变化，h u g h e s 等指出基于迭代法的 计算方法无法直接确定接触点速度的跳跃量，从力学的角度分析，在接触发生的 瞬间，接触性质的约束由被动变为主动了，而这种转变伴随着接触点的冲击过程， 超过了一般牛顿力学研究的范畴。经过努力，基于迭代法的经典非线性计算力学 虽然已部分的解决了上述问题，但其解决问题的办法多为“治标”式的，忽略了 问题的数学和力学本质，且其算法也经常受到收敛不稳定、计算效率低等的困扰。 对于包含单边约束的多体系统，这个系统中包含多点接触以及它们的相互作 用。直接按照“试验误差 类迭代过程来求解这些过程将导致一个高维的组合解， 则不但会出现上述问题，而且计算量惊人。 1 9 8 0 年，l o t s t e d t 首次将多刚体系统的接触问题归结为一个含线性互补性条件 的数学规划问题( l c p ) 来处理【4 2 】，此后，p a n a g i o t o p o u l o s l 2 3 1 ，b a r a 一4 3 】，g l o c k e r l 4 4 1 等一些应用领域的学者对此开展了深入的研究，p f f e i f f e r 等人将这一理论框架应用 于多体系统动力学当中【2 0 】【2 l 。随着现代应用数学理论，如微分包含、变分不等式、 凸规划理论的发展，以及虚拟现实、机器人动力系统控制等工业技术的不断进步， 对这一问题的研究逐步深入，并且近年来在国际上形式了一个重要的研究方向。 j e a n m o r e a u 对考虑干摩擦的碰撞问题进行了研究【4 5 j ，m o n t e i r o 对相关的碰撞理论 作了证明m j 。k w a k , b m 通过线性互补性方法处理了包含干摩擦的两维接触，并 研究了相关算法f 4 7 】【4 引；o d e n 研究了摩擦振动的自激振动，他将摩擦约束由变分不 等式来描述，并在规则的摩擦特征的基础上来评估【4 8 】【4 9 1 。b a r a f t t 删o d e n l 4 9 1 讨论了 涉及到摩擦接触问题的广义加速度的唯一解问题的存在性。b r o g l i a t t o 对于这个主 题进行了回顾【l 。 对于非光滑的力学可以进行一般性的理论描述，但相关问题必须通过数值求 解。尽管很多学者对非连续系统的计算方法进行了研究，但现存的算法依然是相 当耗时的。对于平面接触问题，我们可以得到线性互补性条件，而对于空间接触 则对应的是非线性互补性问题。对于线性互补性问题的计算方法较为成熟，但对 于非线性互补型问题而言，尽管各种各样的近似计算方法被应用到实际中，但因 近乎所有的解的方法的迭代特征而使计算时间很大。因此，各种各样的互补性问 题的数值解依然是现在研究中的课题。 p f e i f f e r 及其他的团队对于与多体系统动力学相联系的单边约束问题的研究已 经进行了2 0 年以上，其基础性的工作可见【2 0 】【2 。他们将多体理论同不等式相结合 来描述多点接触的单边特征，通过互补性条件来刻画接触点状态改变的特征，并 同m o r e a u 的工作背景相结合，将该工作应用到多点碰撞问题中，通过广义测度理 论已经可以证明上述相关理论，该理论在很多大型实际系统中得到了很好的应用。 1 3 研究目标和研究内容 本文旨在保留系统的刚性假设的前提下，完善能够有效地处理多个非光滑点 ( 包含接触、碰撞、摩擦等因素) 的多刚体系统动力学的框架，并在此框架内寻 求解决奇异性、能量不协调等问题的有效途径，以期最终实现对非光滑多刚体系 统的精确模拟。 从目前非光滑多体系统动力学的研究现状来看，关于理想约束的多刚体系统多 点接触问题的动力学建模方法及计算方法已经取得了很大进展，但在该框架内考 虑非理想的双边约束的研究较少且并不成熟，因此，本文主要研究了以下内容： ( 1 ) 建立了含非理想双边约束的多刚体系统多点接触问题的动力学模型，通 过该模型，可以在考虑非理想约束的情况下，处理含有多刚体系统多点接触问题中 复杂的接触点状态改变问题； ( 2 ) 在该框架内，通过松驰法以及l c p 理论，研究了因刚性假设和库仑摩擦定 律同时使用而引起的奇异性问题，对引起奇异性的条件、原因进行了分析，并给 出了解决方法； ( 3 ) 建立了处理含有非理想约束的系统多点碰撞问题的线性互补性模型，并 进行了有效模拟。 上述工作使得我们能够在统一的微分方程线性互补性问题的混合框架内处理 含有非理想的双边约束的多刚体系统的多点接触和碰撞问题，并能预测和处理计 算过程中出现的加速度不协调以及速度不协调现象。 1 4 报告的结构安排 报告共分五章，其中每章都可作为独立完整的部分，而各部分之间又互相联 系。 在第一章中，我们对文中所研究问题的文献作了回顾和分析，阐述了本文的 研究目标和主要研究内容，并讨论了所研究内容的意义以及可能会遇到的难点问 题； 在第二章中，讨论了平面多体系统接触与碰撞的几何学与运动学的一般理论 与方法，目的是回答多体系统在运动过程中，何时、以何种位形、以何种状态发 8 生接触、碰撞。 基本内容安排如下： ( 1 ) 平面物体一般性的几何描述： ( 2 ) 平面物体接触的几何学； ( 3 ) 平面物体接触几何的精确计算； ( 4 ) 平面多体系统的接触运动学 在第三章中，我们研究了含线性互补形式的非光滑的多刚体系统动力学模型， 这是本文的核心章节。 基本内容安排如下： ( 1 ) 简单介绍线性互补性问题； ( 2 ) 引入了具有不独立广义坐标的拉格朗日方程； ( 3 ) 推导了上述拉格朗日方程中拉格朗日乘子与实际位形空间中的理想约束 反力之间的关系； ( 4 ) 叙述了p f e i f f e r 处理单边约束系统的l c p 方法； ( 5 ) 研究了非光滑( 含多点摩擦、多点接触的单边约束以及双边约束) 系统 的l c p 动力学模型。 在第四章中，我们研究了含摩擦的刚体系统的奇异性问题，希望能够回答： 。( 1 ) 如何建立奇异性问题发生的条件；( 2 ) 如何摆脱奇异性状态。 基本内容安排如下： ( 1 ) 通过两个引例，介绍发生在单面约束和双面约束中的奇异性问题； ( 2 ) 从分析力学的角度，对奇异性进行解释； ( 3 ) 研究单边约束系统中的奇异性问题：给出奇异性一般条件；通过数值方 法研究奇异性特点； ( 4 ) 研究双边约束系统中的奇异性问题，通过松驰法研究奇异性的一般规律。 在第五章中，主要讨论如何通过互补性的方式来处理多体系统多点碰撞的过 程。 本章主要安排如下：( 1 ) 关于碰撞的基本问题；( 2 ) 处理多点碰撞问题的l c p 方法；( 3 ) 算例及分析。 在第六章的结束语中，我们总结了前五章的主要学术观点，并提出了未来的 研究方向和目标。 9 第二章接触与碰撞的几何学与运动学分析 2 1 引言 多体系统运动学与动力学研究在现代科技中有重要的作用。其中有不少应用 中包含多体系统的碰撞过程。将接触碰撞过程引入多体系统( 刚性或柔性) 运动 学与动力学，考察包含接触碰撞对象的多体运动规律，是一个很有意义的研究方 向。 研究含有接触碰撞的多体系统运动规律，首先必须解决多体系统接触与碰撞 的运动学问题，即回答多体系统在运动过程中，何时、以何种位形、以何种状态 发生接触、碰撞。通常的多体系统运动学是研究由于运动副连接而引起的运动学 关系，此时没有考虑每一个物体外沿的具体形状。实际上，在多体系统中，每一 个物体的外沿本质上都是一个“单边约束 ，即在该物体的外沿之外，其它物体可 以不受限制地运动，而一旦碰上这个外沿，其它物体就和该物体发生接触和碰撞。 这种单边约束是普遍存在的。因此，研究单边约束力学系统的理论和计算具有基 础性的意义。深入研究这种单边约束的多体系统理论的，有德国的学者e p f e i f f e r 。 本章的内容参考和发展了他的工作。 研究多体系统的接触、碰撞运动学，一般而言，应该考虑三维空间的情况， 但本文只研究平面多体系统的接触碰撞问题。一方面，它比较简单，另一方面， 它也有很多重要的应用，并且它的成果也可为三维多体系统的碰撞运动学研究打 下基础。本章的基本内容如下：( 1 ) 平面物体一般性的几何描述；( 2 ) 平面物体 接触的几何学；( 3 ) 平面物体接触几何的精确计算；( 4 ) 平面多体系统的接触运 动学。 2 2 平面物体的几何分析 为建立平面多体系统接触与碰撞运动学的一般理论与方法，首先要对平面物 体进行一般性的几何学分析。 2 2 1 平面上的两个基本几何对象 我们考虑任意一个平面。在平面上建立直角坐标系o x y ,见图2 1 。为研究需 要，我们明确定义以下两个平面上的基本几何对象： 1 0 j i 罗 歹 - 、逍 。 0 圈2 1 光滑线段c 的几何表示 ( 1 ) 光滑线段c ，图2 1 所示。 在数学上，光滑线段c 定义为单参数u 的闭区间【o 甜1 】到o x y 平面上的光 滑单射，即 c ： d 刀哼r r ，光滑单射。 若平面上的点用坐标x , y 来描述，则光滑线段可用参数式表达： c ：髓翟o u 0 ，则b 。，b ：处于接触，但即将按加速度级别产生分离的状 态。 g ，= 口，雪 口，则b 。，b ：处于接触，但即将按速度级别产生分离的状态。 以上没有考虑切向滑动。如考虑切向滑动，则有更复杂的状态区别。例如 g 。= 口，季= 口，营= d ，；誊， 0 ，则b 。，b ：处于保持接触，