（基础数学专业论文）在banach空间中取值的抽象函数类性质的研究.pdf

摘要 摘要 对定义在闭区间陋 上的在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数的性质进行 了分类研究 阐述了各类函数中有关函数的性质及相互关系 讨论了抽象函数 类中的函数列在不同度量和不同的收敛方式下的极限性质 证明了强囿变抽象 函数赋范空间v e 的完备性及有关收敛定理 并给出了它们在实有界变差函数 列极限性质分析中的一些应用 关键词 b a n a c h 空间抽象函数强收敛弱收敛变差收敛 i a b s t r a c t i l lt h i sp a p e r t h ec h a r a c t e r so ft h ea b s t r a c tf u n c t i o nd e f i n e di nt h ec l o s e di n t e r a l 口 仞 w h o s ev a l u e df i e l di so nb a n a c hs p a c e ea r es t u d i e da c c o r d i n gt od i f f e r e n t c a t e g o r i e s t h e n t h ew r i t e re x p o u n d st h ec h a r a c t e r so f t h er e l a t i v ef u n c t i o ni nt h e s e c a t e g o r i e sa n dt h e i ri n t e r r e l a t i o n s a n dd i s c u s s e st h el i m i tc h a r a c t e r so fs e q u e n c e s o fn m c t i o ni nt h ea b s t r a c tf u n c t i o nu n d e rd i f f e r e n tm e a s u r e m e n t sa n dc o n v e r g e n t m o d e s i n a d d i t i o n t h ec o m p l e t e n e s sa n dr e l a t i v ec o n v e r g e n c et h e o r e mo nt h es t r o n g b o u i l d e dv a r i a t i o na b s t r a c tf u n c t i o nn o r m e ds p a c ey e a r ep r o v e da n da p p l i e dt o t h ea n a l y s i so ft h el i m i tc h a r a c t e ro nr e a lb o u n d e dv a r i a t i o ns e q u e n c eo ff u n c t i o n k e yw o r d s b a n a c hs p a c ea b s t r a c t f u n c t i o n s t r o n gc o n v e r g e n c e w e a k c o n v e r g e n c e v a r i a t i o nc o n v e r g e n c e i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 同意如下各项内容 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版 并采用影印 缩印 扫描 数字化或其它手段保存论文 学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版 在不以赢利为目的的前 提下 学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动 学位论文作者签名 互务芝8 i 扣7 年 z 月1 日 经指导教师同意 本学位论文属于保密 在 年解密后适用本授权书 指导教师签名 学位论文作者签名 解密时间 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师指导下 进行 研究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体 均已在文中以明确方式标明 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担 学位论文作者签名 锋耋2 7 年72 其 e l 第一章引言 第一章引言 抽象函数是泛函分析中的一类重要的函数 它们是从数域k 的某些子集到 某些赋范空间中的映射或算子 当一个定义在d c k 上的抽象函数x r 所取值的 赋范空间e r 为实空间时 抽象函数x 0 就是普通意义下的实函数i 抽象函数概念是实函数概念的推广 对抽象函数性质的研究应参考实函数 分析性质的研究进行 如研究函数的极限理论 函数的微分学和积分学性质等 等 但由于一般抽象函数的值域所在空间的拓扑结构具有一定的复杂性 给抽 象函数的研究带来了一定的困难 往往不能获得与数学分析理论相平行的漂亮 结果 因此 对抽象函数理论及应用的研究还有很多工作要做 研究定义在闭区间 t t l 冈上的取值于某一b a n a c h 空间e 中的抽象函数x f 的性质 可以从两个方面入手 一个方面是研究某个抽象函数x q 自身所具有的 性质 如连续性 可微性 囿变性 可测性及可积性等等 并可依据这些性质 将抽象函数分为不同的函数类 另一个方面是在某些抽象函数类中研究函数列 的极限性质 两者的研究都要依赖于函数的定义域及值域所在空间中由各自的 范数所诱导出的度量关系 本文对在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数类性质的研究是在学习文 1 的有 关内容的基础上进行的 对文 1 在 抽象函数简介 一章中指出而未详细定义 的某些概念补充了定义 利用这些概念及b a n a c h 空间中的有关性质 对其中的 某些抽象函数进行了分类研究 并对所取得的部分结果在实值囿变函数中给出 了一些具体的应用 连续函数 囿变函数及可导函数都是重要的抽象函数 函数的连续性 囿变 性及可导性都与函数的其它性质有密切的联系 本文重点研究 连续函数类 囿变函数类 及 可导函数类 中函数的相互关系及各种收敛方式 在建立 的两个抽象函数赋范空间中讨论类似的问题 第二章抽象函数类 第二章抽象函数类 本章依据抽象函数中的某些概念将函数分类 并对其中的一些概念重新表 述 作为本文讨论函数性质的基本依据 第一节连续函数类 设x r 是定义在闭区间陋 冈上的取值于b a n a c h 空间e 中的一个抽象函数 k 为数域 e 为e 的共轭空间 满足下列定义2 1 2 4 的所有函数称为连续函 数类 定义2 1 强 弱连续 设x f 是定义在陋 冈上的在b a n a c h 空间e 中取值 的抽象函数 o 口 冈 i 若在e 中有l i mi lz f 一x t o j 0 则称x f 在r o 强连续 i i 若v f e 都有l i mi 厂口 f 卜f x t o i 0 则称x o 在点t 弱连续 l l i 0 i i i 若x o 在 口 用上的每一点都强 弱 连续 则称x 在陋 上强 弱 连续 定义2 2 绝对 强绝对连续 设z o 是定义在 口 上的在b a n a c h 空间e 中 取值的抽象函数 若v 台 0 j 万 0 使得对于陋 夕 内任意有限个互不相交的 区间 孱 后 1 2 以 只要 尻一 万 k l i 总有0 x 孱 一x 川 占时 称x f 在 口 用上绝对连续 k l i i 总有 i ix p x a 七 l 0 2 第二章抽象函数类 j 占 0 对陋 冈中的任意有限个区间缸 鼠 七 1 2 io 刀 只要 厦一 万 就有 l x i l k 一x l 0 与x 尾 一x a 膏 0 的区间 尾 分别记为 口 展 与 口旷 屈 则由于 展 o r 万 展 二吼 万 所以将下式 分组求和得 窆l x 孱 一x l 陲陬屈 一x l i 善 z ilkk l k 一x 口 0 u f e 了万 0 使得对于陋 f 1 中任意有限个互不 相交的区间 吼 i l k 后 1 2 疗 只要 尻一吼 a s 就有 i f x f l k f x a 七 i 0 j 万 0 使得对于陋 f 1 内任意有限个互不相交的区间 口七 屏 后 1 2 1 只要 i l k 一口七 万 夥 d i 总有l f x f l k f x a 七 i 占时 称函数族 厂b f 厂 d 在陋 f 1 上等度绝对连续 i i 总有 if x f l k f x a l 在陋 f 1 l 等度强绝对连续 3 第二章抽象函数类 第二节囿变函数类 满足以下弱囿变或囿变等定义2 5 2 6 的函数的全体称为囿变函数类 定义2 5 弱囿变函数 设z o 是定义在陋 冈上的在b a n a c h 空间e 中取值 的抽象函数 若v f e 实值函数f i x t 都是囿变函数 则称x f 是弱囿变函 数 根据实分析中囿变函数的定义 实值函数九x 在陋 冈上是囿变的或称之 为是有界变差的 是指存在在常数m 0 对陋 冈的任一分划 a 口 t o l 乙 总有 s u p f x t 卜f x t l m k l 定义2 6 囿变 强囿变函数 设x o 是定义在陋 冈上的在b a n a c h 空间e 中 取值的抽象函数 若 口 气 t 乙 是陋 的任一分划 i 总有s u pl k 气 x t 川 1 1 佃时 称x o 是囿变的 2 1 一 i i 总有s u p l ix t 七 x t k 1 1 1 0 l g 0 对 口 仞中任意有限个互不 相交的区间 吒 尻 尼 1 2 刀 当 a a 七 万时 有 七 l x 尾 一x 11 1 占 因此可 e 都有 k l nl i 厂h 尾 卜厂 x 邮i x a x a 七 l i k li k l j q lf x 屏 一x l i t if 忪 k l 知x f 在 口 冈上弱绝对连续 对于定义在陋 冈上的在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数x p 的囿变性与 弱囿变性而言 文 1 中的 6 1 定理3 指出二者是等价的 即x 在 口 上是 囿变的充要条件是x o 在陋 冈上是弱囿变的 在研究抽象函数的连续性与囿变性的关系时 需要对共鸣定理1 2 1 1 3 1 进行推 论 以便利用它对e 中的某些点集进行有界性估计 为此下面给出一个引理 引理设 x 是b a n a c h 空间e 中的一族元 若v f e 都有 s u pif x l m 则 f s u pi lz i i 佃 f 证明考察e 上的一族连续线性泛函 x o 即 x 厂 f x v f e 由于e 的完备性及v f e 有 6 第三章抽象函数类的关系及性质 s u p1x 厂 i s u pif x i m f r s u pi it i 佃 故由共鸣定理可得 但由于i ix 旧ix j i1 4 1 所以 s u pl lx 1 1 0 j 0 0 对陋 用中任意有限个互 不相交的区间 鼠 七 1 2 丹 只要 尾一吼 就有 k l l 厂 x 反 卜f i x o r t l l t k l 4 或 i 厂 e x 反 一x 吼 l 1 将陋 晰等分 使各区间长度丝 0 x u p a 用的任一分划 口 t o l 乙 则分点如 t l 一 t 必落入这聊个等分区间中 因此 分组求和可得 i 厂 眦 x t i m s o m 对 口 冈的所有分划4 取上确界 有 s u pl 厂 x 靠 一x l m 4 七 l 故由本节的引理有 s u pl l x 也 一x f i 0 j 艿 0 对陋 冈中的任意有限个互不相交的区间 吒 展 七 1 2 玎 只要 尻一吼 万 就有 k l 0 x p x a l 毛 l 现将陋 冈历等分 使各等分区间长度丝 万 又 口 f 乙 是 口 的任一分划 则分点f r l f 必落入这m 个等分区间中 分组求和得 ix t 七 x t 1 1 f 有 f o o 孝 f x o 善 一x j 孝 孝一f s t f 孝 s 2 i s t j 孝 1 有 0z o 一x s 1 1 2 f m a x l x o 孝 一x j 孝 i 纠s 一 i 知x f 是 0 1 上的强绝对连续函数 以下证明v t 口 冈 x t 在 都没有强导数 取定善 f o 根据 1 2 两式有 l i mx s t o x t o t o l i m 业 0 l i m 尘竺 一1 3 朝i s t o s t i s t o s 4 t os t o 由此可知l i r a s b s t o 9 即抽象函数x f 在f 不是强可导的 第三章抽象函数类的关系及性质 第三节囿变函数与可导函数的关系 在实变函数论中 定义在陋 冈上的实值囿变函数是几乎处处可导的1 5 1 但 是对于在b a n a c h 空间e 中取值的一般抽象囿变函数来说 其结论就不一定成立 了l 捌 在上一节的例题中 已知函数 x f 孝 m a x 孝一f o f 0 1 孝 o 1 是强绝对连续函数 因此x 也是强囿变函数 但该例题的结果表明 x t 不是 处处强可导的函数 而对于一个强可导的函数x f 而言 仅仅了解x f 在陋 冈上各点存在强导 数x 7 还不能得出x 一定是囿变函数的结论 因为强导数x f 存在 它所反映 的仍是函数x o 在点t 的局部性质 而函数x f 的囿变性恰是函数在区间上一个 整体性质 当加强对x r 在陋 上的性质要求时 可得以下定理 定理3 6 若在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数x f 在陋 仞上有有界的强导 数 则x f 是陋 冈上的囿变函数 证明已知x t 在陋 上处处强可导 且存在m 0 使v t 口 i ix 7 f 临m 任给k 一个分划 a 口 x o f l t n v f e 则在r 中取值的实函数f i x t 在陋 仞上可导 且有 x f 厂 x f 根据一元实函数的微分中值定理 有磊 t k 小气 k 1 2 3 刀 使 i i x 以 一f x t k 一 i k l i 厂 x f t k t k 一 i f i x 甑 地 t 纠 i k lk l if i x 7 彘 t i 川拶 彘 l i 气一 k lk l 马l 厂l l m f l 一口 m 因此对陋 冈的所有分划 取上确界有 s u p i 厂 x 如 一x t i 4 k l 一 s u p 厂 工p t 卜f x t k 1 i m k l 故由本章第一节的引理有 1 0 第三章抽象函数类的关系及性质 s u pi x 气 x t 纠 1 1 佃 k 1 即x 在 口 冈上是囿变函数 第四章抽象函数列的收敛方式 第四章抽象函数列的收敛方式 本章分三节集中讨论抽象函数列的收敛方式 它们对函数列的极限性质的影 响是很重要的 第一节弱收敛 定义4 1 弱收敛 设x o x n f 0 1 2 3 都有是定义在 口 冈上的在 b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数 若v f e v t 口 冈都有 l i mi f 卜厂 x f 卜0 则称抽象函数列 x n f 在 口 冈上弱收敛于x f 记作x n f 与x o 一o o x f 与x 万一o o 就是v f e 实值函数列 f x o 在陋 用上逐点 收敛于函数 x f 定义4 2 弱一致收敛 设x 9 x f 0 1 2 3 都是定义在陋 用上的在 b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数 若v f e 每个实值函数列 f x 都在 陋 仞上一致收敛于实值函数丌x r 则称抽象函数列 x n f 在陋 上弱一致 收敛于x f 记作x f 墅望一x o 0 专 根据定义4 1 和4 2 可知 函数列是弱一致收敛时 它也是弱收敛的 例设e l e e 是 2 的标准基 v ne n 定义 毛o 气 f 寻 尼 1 2 3 i 气 f 2 i 庀2 1 2 3 9 f o 1 曲 昙 n v f 1 2 由泛函表示定理 存在6 6 6 钆 z 2 使 f x o 厂 三厂0 i 三 三钆 r 1 露 1 2 3 z玎聆 n彤 乡 f i 1 0 1 1 由于 醒 0 使i b ii m 七 1 2 3 v t o 1 1 都有 i1 z f 一f o n b i o1 i6 t 2 1 0 3 n t n v n 都有 i l 邑 f x t l i 在陋 仞上强收敛于x f 记作 x o j 垦 x l j f 刀 o o 定义4 4 强一致收敛 设x x n f 0 1 2 3 是定义在 口 冈上的取值 于b a n a c h 空间e 中的抽象函数 若v 占 0 3 n 6 n v n n e v t 陋 冈 都有0x n 一x t 0 占 则称抽象函数列 x n 在 口 冈上强一致收敛于x o 记 作 f j 墨二塾ox t 刀专o o 同样可知 强一致收敛的函数列也一定是强收敛的函数列 由于v f 毛e 都有 if x o 卜厂 x f j 刊f x o 一x i 马lf0i lx o 一x i 所以有下面的推论 推论若在 口 冈上矗p 马x 0 0 寸o o 则x o 玛x f 0 寸o o 对于上一节例题中的函数列 x n v t 0 1 都有 0 x f 一01 1 i ix t i n i p 七i i 1i ip i l l o 疗 o o 刀刀船 知x o j 堕二b p 专o o 第三节抽象函数的赋范及依函数范数的收敛 定义在 口 仞上的在e 中取值的强连续函数和强囿变函数 对于e 中的线性 运算是封闭的 可以对这两种函数进行赋范 以便进一步研究它们的性质 定理4 1 定义在陋 冈上的且在b a n a c h 空间e 中取值的所有强连续函数 c k 仞 e 构成一个线性空间 证明v x t y t c 陋 仞 e v k k v t o k 用 由于e 中的运算 1 i m 1 lk x t i i 1 ik x t 0 1 i m 0 x 0 y f i i 1 ix t o y f o l i 1 3 第四章抽象函数列的收敛方式 知奴 c 陋 用 e x f y t c k 冈 e 故c 陋 冈 e 是一个线性空间 定理4 2 在线性空间c 陋 冈 e 中 对每个x r c 陋 冈 e 定义x f 的 范数为 m 2 黝i i x t l l r e i 口 i 则 c l 是一个赋范线性空间 证明由于 1 i f 是e 中的范数 以及v t 陋 用 都有x r e 所以有 i 脚 m a x j i ix t 1 1 0 r i m 螂a x j i ix t i i oc 1 1x 兰o 0 x t 0 v t 陋 i i v k e k 忙 m a x j i i 缸 01 1 2 嗽m a p x ll 川ix 爿川 m i i i v x t y f c 口 e 有 i ix y l l n l f m 口a 例x j i i 黝i ix t i i 鼢m 7 l lx 忆 i iy i i m 由i 一i i i 可知 c 1 i i 卅 是一个赋范空间 将上述取值于e 中的强连续抽象函数赋范空间 c 0 简记为c e 也 将 ix 忆记为i lx f 忆 定义4 5 设 x n cc e 若存在定义在k 上的在b a n a c h 空间e 中取 值的抽象函数x f 使得 l i ml ix o 一x i f 0 则称 x f 在陋 冈上依 i 掰收敛x t 记作x f 山x t 0 一o o 设x t 是 口 上的强囿变函数 根据 孽 x s u p y i ix t 七 x t i i m 常数 一 k l 其中a 口 t o t l 是陋 的任一分划 容易得出下面的定理 定理4 3 定义在陋 上的且在b a n a c h 空间e 中取值的所有强囿变函数 矿 陋 冈 e 构成一个线性空间 证明v x t y f y 陋 e ke k 易知 y 触 ky x 常数 bb 矿 y v 矿 少 常数 口口 口 所以k x t y 口 冈 e x t y f y 口 冈 e 故y 陋 e 是一个线性空 间 定理4 4 在线性空间y 口 冈 e 中 对每个x t y 皿 冈 e 定义x f 的 1 4 第四章抽象函数列的收敛方式 范数为 0 x 刊ix 口 l l 矿 x 则 y i 是一个赋范线性空间 证明v x t y 睁 冈 e 根据 i ix 虬 l lx 口 i 孽 x l lx 口 l i s u p l lx t x x 七一 i 口 其中么 口 l i fx o j j 兰0 即x o 兰0 f i t 口 i i v k k 有 i i 缸i i i ik x a 8 s u p l lk x t k x t l i ik10 x a iks u p z l lx t x t i 一 i i ik10 xi i i i i v x t y o y 口 e 有 l ix y 虬 i ix 口 j 口 0 s u p 1 1 x 七 y 气 卜 x r i 1 y 吒一 l q lx 口 i s u p 1 1x t i x t i 1 0 i ly 口 l i s u p l iy o y t i i l i xn i iy 忆 根据i 1 i i 可知 矿 1 i 是一个赋范空间 推论 矿 陋 冈 e 中的每个函数x f 都是有界函数 且 0 x f j i q ixi i vo 口 证明 v t 口 有 8 l ix p i i 司ix 口 i i ix o 一x 口 l i c 7 v e 若存在定义在陋 冈上的在b a n a c h 空间e 中取 值的抽象函数x f 使得 l i m0z f 一x f 0 0 则称 x f 在陋 冈上依变差范数 i 收敛于z 简称为依变差收敛 记作 x r x f 刀 1 5 第四章抽象函数列的收敛方式 由定理3 3 可知 定义在陋 夕 上的在b a n a c h 空间e 中取值的强绝对连续函 数x f 是强囿变函数 当然也是强连续函数 故x o 可同时赋予范数0 x l 卅与 i ix i i v 当一个函数x t 可同时赋予这两个范数时 这两个范数的关系可由下面 的定理给出 定理4 5 若x t y 陋 仞 e 且为强连续函数 n i ixl i m 马ix 忆 证明已知 i 及州i 的定义是 m 2 鼢忪 t l l 0 x l l l ix 口 i s u p l ix t 七 x t i 其中a 口 岛 f l 0 3 n v 刀 n v t 口 均有l x n x t i l 0 j v 刀 n 有 n l f l xl lx n o 一x ol i 刊iz f 一x q f n v t 口 仞都有 0 f 一x f 0 0 x o 一x t i l 0 v f e i n n v n v t 陋 冈都有 f x f 卜f i x t i f i 厂 一x p i 垒i 厂 吒o 一f i x t i 有 l x 一x t l 0 当 陋 且i 卜 气l 万时 有 if x o 一气 i lf x o 卜f x t o 占 从而 if i x t 一f x t l m t o i i 厂 x x x o f 0 l 马厂 x h f t o i if x n o t o i 而v t 陋 由 1 式有 i 厂 x x f t o i s i 厂 x x u ty i if x x l s 占 2 6 但ff i x f t o i 占 从而 lf i x t 一f x t o i 0 3 n v n n 总有 1 8 第五章抽象函数列的极限性质 l i 吒一zj j 0 j 万 0 v t 口 剜 当 it t o 万时 有i ix f 一x j o o 0 占 所以 0 x t 一x t 0q lx o 一x f l i 0 x o 一x b i l l ix f o 一x t o 0 q ix x 0 i ix f 一x 气 0 0 x 一x0 占 占 占 3 e 即x f 是陋 冈上的强连续函数 第二节可导函数列的极限性质 本节主要讨论弱可导的抽象函数列 的极限性质 用x f 表x t 的 弱导数 有下面的定理 定理5 3 设e 为弱列备的赋范空间 x f n 1 2 3 f 口 0 9 是在e 中 取值的弱可导函数列 若 i x i 争x f 疗 争0 0 f c z i i x f 0 1 2 3 在陋 冈上弱连续 i i i z f 在陋 仞上强一致收敛 则x o 在陋 冈上弱可导 且弱导数 x f l i m x t i y n 由条件i x no 与x f 伽专o o 陋 冈 知v f e 都有实值函 数列的极限 l i m f x o 厂b 纠 由条件i i x f 0 1 2 3 在陋 冈上弱连续 知v f e 实值函数九x f 在陋 纠上连续 实值函数f x f 在陋 冈上有连续的导数 且 厂 x f 厂 x 又由条件i i i 可设 o 墅马彳 f 刀 4 o o t 口 d 则v f e 因为 if x o 一厂 4 i 4 ifi i o 一彳 i i 所以 厂 x 堡与厂 彳 f 聆 o o f 口 即实值函数列 f i x f 在 口 冈上一致收敛 1 9 第五章抽象函数列的极限性质 根据数学分析中的实可导函数列的极限性质定理 知f x t z e a t 冈上可导 且 以x f l i m f x f 因为e 是弱列备的赋范空间 所以根据文 1 的 6 2 之定理1 可知x f 在 陋 用上弱可导 且 f x f 一 厂 x f 于是 f x l i m f x r 但 以 r 九 p f 连续 所以 f x l i mf i x f f 1 i mx t i 0 0力 0 0 再由f e 的任意性 知 x f l i m x t o 陋 冈 第三节囿变函数列的极限性质 5 3 1 囿变抽象函数空间的完备性 下面进一步证明囿变抽象函数空间矿 e 是一个完备的赋范空间 定理5 4y e 是一个b a n a c h 空间 证明在v e 中任取一c a u c h y 列 x n r 则v 占 0 3 n v m r l n 有 f 一 忆 占 1 固定f 陋 冈 由定理4 4 的推论有 f fx 一x o i i ix 一x l 在e 中收敛于一点 记该点为x f 于是得到一个在e 中取值的抽象函数 x 口 f 使 塑i ix n f 一x f i i 0 或l i m x o x t 月 n o o 设a 口 f o t l n 总有 1 a 一z 研 口 i i i ii x o 一x 朋o t 一 x t k 1 x t 1 0 k l 马j 矗一 虬 n 是陋 冈上的强囿变函数 即 矗 f x t v e 矢口x t v e 由 2 式有i lx 一x 凯 占 所以x x njo o 知y e 是完备的线性 赋范空间 所以y e 是一个b a n a c h 空间 5 3 2v e 中抽象函数列的极限性质 函数列依范数1 1 1 i 收敛实际上也是一种相对于变量f 的一致收敛 因此 其 极限函数也可得到与通项函数相似的性质 定理5 5 若 x f cv e 是一个强绝对连续函数列 且在陋 冈上 x f 与x t n o o 则x 也是强绝对连续函数 证明由于在陋 上x r x f o o o 即舰i lx no 一x t 1 1 0 所 以v z 0 i n 使v n n 有 0 x f 一x f i i 0 q 8 0 对 口 用 中任意有限个互不相交的区间 反 后 1 2 刀 只要 尾一a k 万 就有 k l 0h a x l i 若l ih 展 一h 瓯 忙l l 屏一吼 i i 则有 0 确 屏一吼 i i 占 k l i lx 尾 一工 i i ix 展一 o k l k l x h x 展一 k l 0 x x 展一吼 i i l lx 尾一吼 0 k lk l x x 反 一 一x 吼 l i l ih 尻一a t l l k lk l q ix i 忆 i ix 展一口七 i i 0 夥 d 都有l 厂 x l i m 则x f 是弱 绝对连续函数 引理l 见文献 7 之定理2 引理2 设x f 是定义在陋 上的在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数 d 是s 的一稠密子集 若函数族 厂h f if d 是等度绝对连续的 则x p 是绝 对连续函数 引理2 见文献 1 的 6 1 定理4 定理5 6 设x t x f r 1 2 3 都是定义在陋 冈上的在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数 若 x 还是弱绝对连续的函数列 且存在s 的稠密子集 d 使 i 厂 专厂 z 刀 o o v f d i i i lf x f 忆 m 常数 刀 1 2 v f d 则x 是弱绝对连续函数 证明由条件i 即l i ml if x f f x t i i 0 知 v 占 0 3 n v n n 都 有 i i 九 f f x t f i v 占 对陋 冈的任一分划a 口 t o f l f 有 lf x t k f x t k 一 i 全 if x t k t k k lk l i 爪矗 x 一一x 气 t i k l if x 气 t 卜厂 一x 气一f i k l h刀 i 厂k k t i i 邝以 x t t l 2 2 第五章抽象函数列的极限性质 if x 气 f i x o i k l l f i x 气 一厂 x 气 一 厂 x t k 一 一以x o 一 l k l 0f x o i i 0f x o 卜 x f i l 0 的任意性知0 厂 x f l m 根据引理1 知x o 是弱绝对连续函数 定理5 7 设x t f 1 2 3 都是定义在陋 上的在b a n a c h 空间e 中取值的抽象函数 若 x f 是绝对连续的函数列 且存在s 的稠密子集d 使 i f i x r l 厂 x f n 专o o v f d i i v nen 函数族 厂 x f i 厂 d 都是等度绝对连续的 则x f 是绝对 连续的抽象函数 证明由于f d cs 知1 1 l l l 有 lf i x o i 纠if0i ix p l l q lx o i i 已知x n f 是绝对连续函数 所以由上式易知九h r 是实值绝对连续函数 由i v f d f x f 专厂 x z 争o o 即 l i r a0f x f 卜厂 x r 川 0 所以v 占 0 3 n 充分大 使 i lf x o 一厂 x o i 是等度连续的函数族 因此对上述占 0 j 万 0 使 当陋 仞中任意一组互不相交的开区间 尾 k 1 2 满足 尾一吼 万时 v f d 均有 k l i f l k l f x i s k l 因此v f d 都有 i f i x i l k 1 f x o t k 1 i al 厂 x 屈一吼 i k lk l i 巾x h h 展一 l k l q f x x 展一吼 i i f x 展一吼 i 2 3 第五章抽象函数列的极限性质 i f x x i l k f x x 吼 川 i f x 展一瓯 i k l k 1 q if x t f x o i i i 厂 x 履 一f x 口七 l k l g 占 2 6 知 f x t lf d 是等度绝对连续的函数族 由引理2 知x f 是绝对连续的抽 象函数 2 4 第六章囿变抽象函数的性质在实分析中的应用 第六章囿变抽象函数的性质在实分析中的应用 第一节依变差收敛的c a u c h y 列 用v a 6 表示闭区间 口 6 上所有实值囿变函数的全体 对夥 x v a b i 厂忆全l 口 i y 力 其中v f 表示实函数f x 在陋 b 上的全变差 这里 v i j o s u p e i 厂 一厂 一 l k l 其中a a x o x l x b 是 口 b 的一个分划 由于实值函数厂 x 在 口 b 上是囿变的是指v f 0 3 n v m 刀 n 有0 厶一无虬 是y 陋 b 中的c a u c h y 列 也称为变差 c a u c h y 列 定理6 1 设 六 cv a b 则 以 是变差c a u c h y 列的充要条件是 六 依变 差收敛 证明充分性显然成立 必要性 已知 是变差c a u c h y 列 因此v 占 0 3 n v m n n 都有 i i 厶一六i i v 占 幸 帆 口 b 根据定理4 4 的推论有 i 厶 x 一无 x i 马i 二一无 l o o 令a a x 1 n 时 有 l 厶 口 一无 口 i l 厶 l x 卜 厶 x 一l x n i 厶一无i i 0 0 得 2 5 第六章囿变抽象函数的性质在实分析中的应用 ll 口 一厂 口 l i 厶 x f x 一 厶 以一 一f x 七一 i 占 k l 有 l i 厶一厂i i v 占 从而厶 f njo o 根据定义4 6 知 是依变差收敛的 第二节实变差函数列的极限定理 根据定理2 1 口 6 上的实值绝对连续函数f x 必是强绝对连续函数 而由 定理3 3 可知强绝对连续函数一定是所定义区间上的有界变差函数 实值强囿变 的 因此根据有关囿变抽象函数的性质1 8 1 可得以下几个实变差函数列的极限定 理 定理6 2 设五0 1 2 3 是 6 上的实值绝对连续函数 若 i 以 为陋 b 上的变差c a u c h y 列 i i x 在 口 b 上几乎处处收敛 则 丢 受以 x l i m d 积f n x 口息于k 6 o 证明 由条件i 并根据定理6 1 中的证明 有函数f x 使 i m f x 力 x 口 6 并有厶j 厂 寸o o 根据定理5 5 之推论 功 是 口 6 上的绝对连续函数 又由条件i i 有函数办 x 使l i m x h x a e 于 a b 记吃 x j x f x i 1 2 3 则玩 x 在 口 b 上非负可积 且 i x d x 矿 六一门 1 l 六一f 因此 0sl i m ij l z x l i mi i 无一 i i 0 门 一 f i o o 有 l i mi 吃 z 0 由f a t o u 引理 得 0 0 d 6 j ih x 一厂 x i 出2j 受 d x 骢 f 办 o a x 0 知l 厅 力一 力f 0 优邑于 口 b 故乃o f o 阢巴于 口 b 即 第六章囿变抽象函数的性质在实分析中的应用 l i r n 出d 生 f x d 蹴 l i m f x 口幺于 口 6 定理6 3 设六 1 2 3 是 口 b 上的实值绝对连续函数 若 厶 为陋 b 上的变差c a u e h y 列 则 l i mi 六 x d x i i r a 六 x 出 n 0 0j 口 口 证明根据己知条件及定理6 1 中的证明 存在函数f x 使在 口 b 上有 l i m 六0 厂 z 玎专0 0 由定理4 5 有 m a x 一肌叫 s b ijf 矿m j 胂出 lf l 六一厂i i d x l 厶一 i l 6 一口 由 i 六一厂忆 o n 专o 得 d d o l i m j 无 dx一 厂 dx一 lim f b oo x 出 j 口一口 口栉 2 7 第七章结论 第七章结论 通过以上一至六章的研究 得到了连续函数 可导函数以及囿变函数等函数 类的一些性质及其表示相互关系的若干定理 在函数类的性质及关系的研究中可知 由与 强 概念有关的命题成立 一 般可以推知与之对应的与 弱 概念有关的命题也成立 强 弱 可导的函数 一定是强 弱 连续的函数 强 弱 连续的函数一定是强 弱 囿变的函数 强导数有界的抽象函数一定是囿变函数 在抽象函数列的极限性质的研究中可知 极限函数的性质与函数列的收敛方 式有关 在 强一致收敛 或 依变差收敛 的方式下 函数列中函数的性质 一般能在其极限函数中得以保持 在强连续函数线性空间c 陋 e 与强囿变函数线性空间y 陋 冈 e 中分 别引入了确界范数 i 与变差范数 l 证明了y 陋 e 在l i l 之下是一个 b a n a c h 空间 给出了同一个函数x f 的两个范数l ixl i 与0x 虬之间的关系 证明 了函数列依 i 收敛 则一定依 i 收敛 引入了 变差c a u c h y 列 等概念 对抽象函数的有关定理在实有界变差函 数列的极限性质分析中进行了应用 得到了函数列的求导和积分运算与极限运 算的换序定理 2 8 致谢 致谢 在本文的撰写过程中得到了定光桂老师热心的指导 从论文选题开始 定老 师就提出了很好的建议 并根据实际情况 给予了较大的选题空间 使论文的 研究内容能与本人的教学工作得以接近 定老师对本人的学习方法和科研方法 的指导 使本人受益匪浅 定老师还为论文的撰写提供了大量的参考资料 使论文的内容更加充实 论 文的撰写能顺利完