（运筹学与控制论专业论文）具有旋度控制的方程的精确可控性.pdf

中文摘要 中文摘要 本文章研究了具有旋度控制的线性梁方程的精确可控性 所用的方法是文献1 1 1 研究波动方程精确可控性的方法 即h u m m l b e r tu n i q u em e t h o d 方法 本文的主要结论是证明了如下系统 iy n x t z t 0讯n 0 j 暂 o t 0 o 0o n o o 巧 ip 三 力 0 g k 二 力 口 印o f i l o 刁 l z 0 矿 轨 毛0 y l 扛 饥n 当t 2 r 茬7 时在状态空问二2 聊x 督 2 固上是精确可控的 首先 我们证明齐次粱方程 偿溉2 i nnx r o nf r i n q 解的存在性 而且解 t 满足a u t l 2 o 置l 2 r 然后证明梁振动系统解的存在性 最后将系统的精确可控性归结为空问霹 q x 工2 q 与l 2 q 日一2 n 同构的证明 关键词t 波动方程ih u m 法i 粱方程 精确可控性 墨互蕉壅丝型堕丝塑苎塑旦苎丝 一 a b s t r a c t t h ep a p e rs t u d y se x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h el i n e a rb e a me q u a t i o nw i t hr o t a t i o n 0 0 n t r 0 1 u s e st h em e t h o di 8l i t e r a t u r e1 1 1s t u d i e st h ew a v ee q u a t i o ne g a tc o n t r o l l a b i l i t y m e t h o d a e h u m h i l b e r tu n i q u em e t h o d t h em a i nc o n c l u s i o ni nt h i sp a p e ri 8t h a tt h ef o l l o w i n gs y s t e m f 弧 t z t 0 讥q x o 即 i 彭 q 对 0 l o 对 0 o n o o 力 1 工 t 0 l i l 0 口 t o n l x o 砷 z 0 矿 z v t z o y l z 伽 n j 8p r o v e de x a c t l yc o n t r o l l a b l ei ns t a t es p a c ep q x 日 2 q i ft 2 r e 互 f i r s t l y lw ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n gh o m o g e n e o u s b e a me q u a t i o n 意毓二 i lq r o rrxr f u r t h 咖o f e t h es o l u t i o ns a t i s f i e st h ef o r m u l a 力 l 2 o r 胪 i s e c o n d l y w e8 r eg o i n gt os h o wt h e e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h eb e a mv i b r a t i o n s y s t e m f i n a l l y i tw i l lb ep r o v e dt h a tt h es y s t e mi 8e x a c t l yc o n t r o r a b l el fa n do n l y 让t h e h i l b e r ts p a c e 瑶 研xl 2 n a n dt h ed u a l i t ys p a c el 2 q h 2 a r ei s o m o r p h i c s p a c e s k e yw o r d s w 姗e q u a t i o n h u m b e a me q u a t i o n e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y 承诺书 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是在导师指导 下独立完成的 学位论文的知识产权属于山西大学 如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关 的内容 将承担法律责任 除文中已经注明引用的文献 资料外 本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的成果 学位论文作者 签章 习 仂1 年歹月弦日 馅梅 引言 引言 设n 0 1 a n r r f u r r 一 o r 1 我们在柱形区域 q o t 上考虑如下精确可控性问题 i h z t 弘 茹 t 0 i nf zx 0 力 可 o t o 啦 o t 0 m 0 o l 1 t 0 妇 1 t t t d n 1 o t 7 z 0 y o z y t x 0 y l z i n q 其中铷 伊 卯 口 l 2 0 t l 2 r 若对任意的 y o 9 1 l 2 q 日 2 哟 存在t o o 和控制函数 l 2 0 t l 2 r 使得当t 蜀时 系统 0 1 的解满足 刃兰挑 刁三0 则系统 o 1 在 2 x 日 2 n 上是精确可控的 首先考虑齐次线性方程的情况 l 珏付 o t t 茹 幻 0 i nq r u z t 锄 z t 0 d l r r 0 2 it 喾 0 矿 z 他 霉 o 钉1 z 衲n 我们知道 任取 u o t 1 瑶 q p 哟 系统 o 2 有唯 謦t t 并且满足 牡 玩 r 驴 r 即 i 训2 d f d t c 卵 o 扩 n i i 1 0 各 n 1 0 o 3 j t r 其中c 固 0 设矿是下面问题的解 i 毛t 弛 扛 t 0 i n o o 印 y o 0 o 妇 o 母 o m o o 习 o 4 l 1 t 0 y z 1 t a u t o n 1 0 刃 i z o y o z 执忙 o y l 正 i nq 由于 由系统 o 2 唯一决定 系统 0 2 由 护 u 1 唯 决定 因此 对v o o 1 瑶 q xl 2 n 可定义如下映射a 瑶 n l 2 n 一l 2 f 2 h 2 q a 竺黝 1 0 5 具有旋度控制的方程的精确可控性 由系统 0 2 0 5 可知系统 o 2 在l 2 q h 2 上的精确可控性归结为映射a 为从瑶 q l 2 q 到三2 q h 2 q 的同构映射 2 预备知识 预备知识 为了方便起见 我们引入下面概念 设映射a v 一 定义为 a u p y 札 u 口 y 其中 y 为无穷维h i l b e r ts p a c e 则称映射j 4 为对偶映射 而且由r i e s z p r e c h e t 定 理 2 l 知映射a 是从空间y 到 的等距同构 设 为另一无穷维h f l b e r ts p a c e 且vch 为紧嵌入 假设h h 7 则有 v c h h 1 c v f 定义映射 为y 到 的紧嵌入 则线性映射t a 1 0 i v y 为自共轭的紧 映射 由谱定理 存在实数列a l a 2 为a 的特征值 y 的子空间序列历 z 2 满足 0 a l a 2 i a z a k z 比 磊 v k 之1 d i n g k 8 记d 一 u d 口 我们考虑齐次发展问题 a 缸 0i nr 札 o 矿a n d o 一 1 1 其中a 为对偶映射a v 一 y 为h i l b e r ts p a c e u 0 牡1 d 一 故有护 醒 t 1 e 畦 峨 u 磊 k 1 2 3 具有旋度控制的方程的精确可控性 引理1 1 设o t r u 0 u 1 p 1 2 口 则问题 1 1 有唯 解 满足 u c t c r d l 2 n c l r d a n c 2 r 风一l 2 u t 可表示为 t 迟c 0 8 佩 砬堕挈 t e r t 迟 佩 砬骂铲 k l 解的能量为风 r r 定义为 昂 t 扣 删磐 2 矿1 i t 训 2 事实上 对于v t r 能量上0 t 守恒 考虑问题 a v 卵 g 伽n 口 0 o n r o 1 2 乱 删 0mr 1 其中n 为有界区域 表示边界上向外的法向量 r r o u r l 为q 的边界 引理1 2 如果磊n 庐 q l o o n 口 g 1 r 1 则对于任意9 l 2 n 问题 1 2 的解口 r e a 且满足 l 伊 n sc l l g l l 胪 这里c 为固定常数 证明一由椭圆正则定理 2 可证明此结论成立 在空间v 瑶 q h l 2 q 中 分别定义范数为 日 f l 池i v 2 l i v l l v l i v l i l 2 n 由引理1 2 当r o r q o 时 有 0 伊 n c l l g l l l n c 0 训i l n 所以范数 定义成立 而且等价于空问y 在通常意义下的范数 引理1 3 任取g l 2 q 问题 a 2 口 9 i n q 口 乱t 0o nr 4 预备知识 存在解 满足口 h 4 q 而且i i v l i m a c m l 胪 n 其中c 为常数 与g 的选择无 关 证明 由椭圆正则定理 2 可证明此结论成立 引理1 4 设n i p 为c 似2 1 类有界区域 锄 r r r o u r l 磊n 口 则在q 上存在伊 1 类向量场h q r n 满足 h l o n f o a n dh 0o nr l 证明 由q 为c k k 1 类有界区域可知 任取一 f o 在r 中 存在矿的 个开邻域y 和g 类函数l p v r 满足 v 妒 z 0 比 k 妒 z 0 营z 吖 r 不妨假设 p 一 v 妒 一 0 选择邻域i v 充分小 满足tc a r l 妒 并且v a r 连通 那么函数妒 y r n 妒 v 妒 i v 妒 为伊 1 类函数 而且 妒 l o ny n r 由于f l 有界 r o 紧 因而r o 存在有限个满足上述条件的邻域的覆盖 不妨设 有限个邻域为h 相应的函数为咖 则有 l o c h u u m u u n r 妒 讥 l mv n r o l m 在r 中选取开集k 使得 q c u u v o n r o 击 定义函数 一r 为怕 z o 令巩 为而的覆盖 v k 的 个c 类单位分解 满足 仇 诺 k a n d 0 晚 1 0 m 5 具有旋度控制的方程的精确可控性 如 l o n 矗 易证明向量场h h f 登o i b i ll n 为满足条件的向量场 易证明向量场 l n 为满足条件的向量场 i 0 在证明过程中经常用到下面记号 固定护 0 1 记 m z 一扩茁 r r r z o s u p 1 z z o i z q 缸 m y t v f l r t z r m z v x o r 一 茹 r t r i z 王 动 0 则存在 个常数c c r 0 使得对于v t l o t 1 z z 系统 0 2 的解满足不等式 z i 缸1 2 打出 4 1 1 1 1 c i i 纠i 知 结果 有一个连续映射 l 瑶 q l 2 n 一皖 r 工2 r 使得l 札o 1 牡 v 扩 t 1 1 z z 证明定理2 之前 我们先证明如下引理 引理2 1 设t 王魄 r h 4 n 满足系统 o 2 h q r 为 个伊类向量 场 则对于任意一o o s t 2 劫i 1 2 则存在 个常数c 0 使得 z 上i u 1 2 d f d t d e v 护 u 1 h o b n 驴 q 证明 首先证明i l v v l l l z s 而10 训伊 啦 咖 瑶 q 9 具有旋度控制的方程的精确可控性 任取v 瑶 q 有 地 协 i 1i l i l w l l 2 v 口 珊 a v t 仇 仇 划地1 1 2 i l w l l p n 了1 p i 训口 瑶 q 任取铲 1 互j i s t 由引理2 1 当h 仇时 有 f z 阻1 2 出 上 加 v 叫 f 上c 钟 s l 训2 出出 由e i 1 丘l t 1 2 l e l 2 d z 有 f 加2 3 阻1 2 如出渊e 对于任意t r 有 肛一叫 撷柏蚓俐州班而2 r f 由于能量守恒 所以有 f 肛砰刃抛 z 一等 e 取d 2 1 i l 一4 可 西 有 z z i u 1 2 d i n d t d ev 护 让1 瑶 n 铲 q 成立 考虑齐次边界问题 矿 a 2 口 o i nq r 0 弛 廿 o nr r 2 3 o y o o 1 i nq 1 0 仇 入 i 一 2 地 砰 斟 i l 地 x 嘲 k 九 i 2 主要结果及其证明 设y c 4 q 1 0 刀 是满足 2 3 的 个函数 任取 u 0 1 vx 日 s r 用y 乘系统 0 2 中方程 2 t 0 的两边有 z 5 上c 省咖抛 l 咖一 如卜z 5 上彬 h 2 y 脚 j 5 上 乱 g 一 a 埘 乱 一u 巩 d r d t 上 s y s 一 s 以s 护y l i z i y o 如一 o j 0 8j 厂p u 刃d tj n 定义 厶 扩 1 0 5 上 钍扣d r 出 u l y 0 扩 1 出 2 4 由上述有 工 扩 i 1 一 s s t 0 s i t v 日 2 5 定义1 如果 们 g r h v 对于v s r u o 口1 v e 2 5 式成 立 则称 卵为问题 2 3 的解 定理4 任取 y o y l l 2 f 2 日 2 q l 2 0 c r 胪 r 则系统 0 1 有唯一 解 而且 线性映射 y o 1 口 一 可 矿 在相应的拓扑下连续 证明一由定理2 和 2 4 式有 w 胚z 8 肛归 5 上护叻5 d t c 面 0 用p 1 表示问题a 2 p a y j 孑 q 的第 个 特征值 定理5 如果t 2 r v 丽 那么对于任意 矿 1 缛 岿 驴 n 月彳2 n 存 在 个 l 2 o t 铲 r 使得当 t o x o d 时 z t 0 而且系统 0 1 的解满足一可 即 碍 t 诌 证明一这里假定得 站 0 任取 u 0 1 瑶 胪 n 由定理1 和定理2 问题 0 2 有唯 解 满足 t l 2 o t l 2 r 而且线性映射 i u 0 t 1 一a u 是从瑶 q xl 2 f 2 到l 2 o t l 2 q 上的线性连续映射 由定理4 任取 f o 硝1 l 2 q xh 2 q a u 系统 0 1 有唯 解 这样定 义了 个映射a v h hx v 7 即 a 扩 1 o o 由定理1 定理 2 定理4 知a 是线性连续算子 令f 掰 o 驴 q 则a f 一 要证系统 0 1 精确可控 只需证明映射a 是满射 为此 下面我们i i e 睚j 个更强的结论 即 如果t 2 r 析石 a 是从f 到p 的 个同构映射 用u 乘方程旷 a 2 0 有 t 上让 a 2 y d x 出 一j r z c 出出 l 耐一 叫 pf u a a u 一 岛 u 乱 一 乱z x u y d r d t 1 2 主要结果及其证明 上一州0 山 0 出 r z 埘黝 即 a c u o 钍1 o u 1 f v f j 乒矗 u 2 d f d t 当t 2 r 面时 由定理3 有 z rz 酬2 打毗 2 c e 所以 a t 1 0 u 0 1 p f2c 0 扩 1 瞻 任取 u 0 u 1 v o 1 e 定义f 上的共轭双线性泛函为 n 扩 札1 护 1 1 a 矿 t 1 护 1 f 由a 为有界算子有 i a 护 u 1 俨 t 1 i l a u o u 1 护 口1 p f isi i l l l l u o u 1 1 1 f i i v o 口1 1 1 f 由l a x m i l g r a m 定理 2 1 a 是从f 到 的同构映射 综上所述 当t 2 r i 两时 系统 0 1 精确可控 具有旋度控制的方程的精确可控性 结论 本文主要是给出了关于一维空间中一端固定一端自由的线性粱方程解的存在性及 其精确i r 控性 具体地讲 我们运用h u m 方法得出瑶 n xl 2 n 到l 2 n h 0 2 q 是同构的 证明的关键是乘子法的使用 需要特别指出的是 本文还有许多值得继续 深入研究之处 例如t 本文证明一维空间中梁方程的精确可控性的方法如何推广到三 维空间中的梁方程问题 对于 般的粱方程问题 由于方程模型的限制 我们是否还 可以用h u m 法来证明精确能控呢 遗憾的是 由于时间和知识的局限 本人并没有 在这些方面做出较大突破 我会在将来的工作中不断学习 同时也期待与有志的同行 共同探讨 1 4 参考文献 1 l v k o m o r n i k e x a c t c o n t r o l l a b i l i t y a n d p a r i s m a o n 1 9 9 4 7 6 0 1 2 l 张恭庆 林源榘 泛函分析讲义 第一版 北京 北京大学出版社 2 0 0 4 7 8 2 0 7 3 v k o m o r n i ka n de z u t m ad i r e c tm e t h o df o rb o u n d a r ys t a b f l i z a t i o no ft h ew a v ee q u t i o n j 1 m 雠h p e ta p p l e 1 9 9 0 6 9 3 3 5 4 4 陈恕行 现代伯徽分方程导论 田 第一版 科学出版社 2 0 0 4 1 2 9 1 4 8 1 5 l i o n s j l e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y s t a b i l i z a t i o n a n dp e t u r l m t i o n sf o rd j s t r i b u t e d 吨m s j 1 j v a nn e u m a n nl e c t u r e t1 9 8 6 s i a mr e v i e w m a r c h1 9 8 8 1 8 8 嗍p e n o f e iy a o o nt h eo b e n w a b f l i t yi n e q u a l i t i e sf o re x a c tc o n t r o l l a b j l i t yo fw a v ee q u s t j o mw i t hv a r i a b l ec o e f l l c i e n t i s i a mj c o n t r o lo p 血 v 0 1 3 7 n o 5 1 5 6 8 1 5 9 9 川r i c a r d of u e n t e sa p o l a y a e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rn m p 1 1 l yw a v ee q 呲 眦唧 p o r t u g a l i a em a t h m a t i c a v 0 1 5 1 1 9 9 4 4 7 6 4 8 7 8 jy y o u e n e r g yd e c a ya n de x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h ep e t f c k ye q u a t i o ni nab o u n d e dd o m m n 闭 a d v a n c e si na p p l m a t h 1 9 9 0 1 1 4 6 6 4 7 8 9 1 司守奎 陈叔平 p e t k t 板方程的精确内部能控性 j 教学年刊 2 0 0 1 2 2 a 1 8 1 8 8 1 0 j v k o m o m i k e x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o n m r a mr na p p l m a t h s a s s o n j o h n w i l e y p a r i s c h i c h e s t e r 1 9 9 4 n h w u c l s h e n a n dy l y u a ni n t r o d u c t i o nt or i e m a n n i a ng e 1 e t 吲阻田 u n i v e r s i t yo