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参数曲线的光顺延拓 摘要 在c a g d 中，经常需要延长已知的参数曲线到一个给定的延伸点或曲线， 所延长的曲线和原曲线同型且满足一定的光滑度，这一问题即参数曲线延拓问 题。关于参数曲线延拓问题的讨论有很多，在大多数的系统中，常采用的一种 方法是在曲线的末端点和延伸点r 之间构造一条g c l 连续的三次b e z i e r 曲线。 但是曲线的可调性差，为了使延拓的曲线形状可调，周元峰等提出了一种满足 g 2 连续且曲线形状可以调整的延拓方法，并利用该方法将三次b 6 z i e r 曲线延拓 到一点。接着王维国等又将周的方法应用到了两条三次b 6 z i e r 曲线之间的延拓。 本文主要讨论了带形状参数五的三次、四次b 6 z i e r 曲线的光顺延拓。这类 曲线最先由韩旭里、刘圣军等提出，是b 6 z i e r 曲线的一种扩展形式。由于表达 式中有调控参数五，对其进行c 1 、c 2 延拓时，延拓的曲线形状可以随力的变化 进行调节。文中主要对带形状参数旯的三次b 6 z i e r 曲线进行g 光顺延拓，作 者分别利用近似曲线弧长、能量表达式作目标函数，通过极小化目标函数的方 式来确定参数，达到更为光顺的效果。对带形状参数z 的四次b 6 z i e r 曲线的延 拓，作者分别给出了两段曲线间的g 1 延拓和到目标点的g 2 延拓下对应的控制 顶点的关系式。因为由极小化目标函数得到的方程组中形状参数九在分母上， 方程组是非线性的，运算过于复杂，方程组的解难以讨论，作者只定性的分析 了参数取值对延拓曲线的形状影响。 关键词：光顺延拓，几何连续，参数连续，形状参数，曲线弧长，曲线能量 s m o o t he x t e n s i o no fp a r a m e t r i cc u r v c s a b s t r a c t i nc a g d ，w eo f t e nn e e de x t e n dap i e c eo fp a r a m e t r i cc u r v et oak n o w n p o i n t o rap i e c eo fc u r v e ，t h ee x t e n d e dc u r v ei st h ep a r a m e t r i cc u r v ew i t ht h es a m ed e g r e e ， a n da tt h ej o i n to ft h e s et w oc u r v e sa r r i v ec e r t a i ns m o o t h n e s s ，w h i c hi sc a l l e dt h e p a r a m e t r i c c u r v ee x t e n s i o n t h e r ea r em a n yd i s c u s s i o n sa n ds t u d i e so nt h i s q u e s t i o n ，a n di nt h em o s ts y s t e m s ，t h em e t h o di so f t e nu s e d ，w h i c hi st oc o n s t r u c ta c u b i cb 6 z i e rc u r v ew i t h g c c o n t i n u i t yb e t w e e nt h el a s tp o i n to ft h ep a r a m e t r i c c u r v ea n dag i v e np o i n t b u tt h ec o n s t r u c t e dc u r v ei sa l m o s tu n a d j u s t a b l e t oa d j u s t t h es h a p eo ft h ee x t e n d e dc u r v e ，an e wm e t h o do ft h ec u r v ee x t e n s i o ni sm a d eb y z h o uy u a n f e n g ，b yw h i c hw ec a ne x t e n dac u r v et oag i v e np o i n tw i t hg 2 c o n t i n u i t y , a n dt h ee x t e n d e dc u r v ei sa d j u s t a b l e t h et h e s i sd i s c u s s e st h es m o o t he x t e n s i o no fc u b i ca n dq u a r t i cb z i e rc u r v e s w i t ht h es h a p ep a r a m e t e r , w h i c hi sa ne x p a n s i o nf o r mo fb 6 z i e rc u r v e b e c a u s et h e e x p r e s s i o ni nt h ef o r m u l ah a st h er e g u l a t i v ep a r a m e t e r ，t h es h a p eo ft h ee x t e n d e d c u r v ew i t hc 1o rc 2 c o n t i n u i t yc a na d j u s ta l o n gw i t ht h ec h a n g eo ft h es h a p e p a r a m e t e r t h et h e s i sd i s e u s s e st h es m o o t he x t e n s i o no fc u b i cb z i e rc u r v ew i t ha s h a p ep a r a m e t e r , w h i c ha r r i v e g 1c o n t i n u i t ya tt h ej o i n to ft h eg i v e nc u r v ea n dt h e e x t e n d e dc u r v e t h ea u t h o rs e p a r a t e l yu s e st h es h o r t e s ta r c l e n g t ha n dm i n i m u m e n e r g yt os e tu pt h eo b j e c t i v e f u n c t i o n s b ym i n i m i z i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n s ，t h e f r e e d o md e g r e ea n dt h es h a p ep a r a m e t e ro ft h ee x t e n d e dc u r v ea r ed e t e r m i n e d w h i c hc a ng e tt h em o r ef a r i n gc u r v e s o nt h es m o o t he x t e n s i o no fq u a r t i cb 6 z i e r c u r v ew i t has h a p ep a r a m e t e r , t h er e l a t i o nf o r m u l a so ft h ec o n t r o lp o i n t sa r eg i v e n i nt h ec a s e so ft h ec u r v ee x t e n s i o nw i t hg 1c o n t i n u i t yb e t w e e nt w og i v e nc u r v e s a n dt h ec u ee x t e n s i o nw i t hg 2c o n t i n u i t yt ot h eg i v e np o i n t b e c a u s et h es e to f e q u a t i o n s ，w h i c hm a d eb ym i n i m i z i n gt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n s ，i sn o n l i n e a r ，t h e o p e r a t i o ni st o oc o m p l e xa n dt h ed i s c u s s i o no nt h es o l u t i o no fe q u a t i o n si st o o d i f f i c u l t ，t h ea u t h o ro n l ya n a l y s e st h ei n f l u e n c eo ft h ep a r a m e t e rv a l u e so nt h e e x t e n d e dc u r v e ss h a p eq u a l i t a t i v e l y k e y w o r d s ：s m o o t he x t e n s i o n ，g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ，p a r a m e t r i cc o n t i n u i t y ，s h a p e p a r a m e t e r s ，c u r v ea r c l e n g t h ，c u r v ee n e m y 图2 1 图2 2 图3 1 图3 2 图3 3 图3 4 图3 5 图3 6 图4 1 图4 2 图4 3 图4 4 图4 5 图4 6 图4 7 图4 8 图4 。9 图4 1 0 图4 1 l 图4 1 2 图4 13 图4 14 图4 15 插图清单 带参数五的三次b 6 z ier 曲线9 带参数名的四次b6 z ier 曲线10 参数区间到曲线的映射1 l nurbs 曲线的延拓15 将一条四阶b 样条曲线延长到一个目标18 将一条四阶b 样条曲线延拓过多个目标点2 0 控制顶点对应关系2l 目标点的四个区域位置23 两条曲线的连续性示意图25 曲线c 1 延拓到目标点e ( 2 ，0 ) 28 曲线c 1 延拓到两个目标点b ( 2 ，0 ) 、p 4 ( 4 ，1 ) 2 8 曲线c 2 延拓到一个目标点p 4 ( 4 ，1 ) 2 9 固定厶的值，改变o 30 固定a 的值，改变 30 三条延拓曲线比较l 32 三条延拓曲线比较2 33 固定= l ，五= l 改变口34 固定口= 1 ，乃= l 改变35 固定口= l ，= l 改变五，3 5 扩展的三次b 6 z i e r 曲线的g 2 延拓3 6 固定= l ，乃= - 2 改变口37 固定球= l ， = - 2 改变3 7 固定口= l ，= l 改变五38 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金匿王些太堂或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名。r 侈 签字魄竹6 月7 日 | 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金世王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 盒胆王些盘堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 繇p 蓓 签字魄叩6 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师躲爰形n 签字日期：弘刃年6 月r 日 电话： 邮编： 致谢 本论文能得以顺利完成，首先要感谢恩师黄有度教授在这三年里给我的不 倦教诲。黄老师对学术的执着以及良好的科学素养，都深深感染了我。他不仅 有着渊博的学识，更有着博大的胸怀。在读研的三年里，他给我提供了一个宽 松的学习环境，生活上也给予我无微不至的关怀，使我在读研的三年中受益匪 浅。 本论文从选题、构思、收集资料到修改，直到论文的完成，均得到了恩师 的教诲与支持，在这里再次对恩师表达我最诚挚的敬意与感谢。 同时感谢陪我一路走来的朋友、同学，他们在学习和生活上给了我很大的 帮助，和他们愉快的度过了三年时间，是我人生的一大财富，我会好好珍惜。 最后我还要感谢父母及孙磊给予我的支持与鼓励，谢谢你们，你们永远都 是我生命中最重要的人。 作者：陈苗 2 0 0 7 年5 月 1 1 课题选题背景和意义 第一章绪论 计算机辅助设计与制造技术简称c a d c a m 技术，是计算机应用的最重要 的领域之一，产生于2 0 世纪5 0 年代后期发达国家的航空和军事工业中，随着 计算机软硬件技术和计算机图形学技术的发展而迅速成长起来。2 0 世纪6 0 年 代初，美国波音飞机公司的弗格森采用参数矢函数来描述产品的形状，从此以 后它就成为形状数学描述的标准t t l 。1 9 6 2 年，法国雷诺汽车公司工程师b 6 z i e r 提出一种通过控制多边形设计曲线的新方法，并以此为基础，建立了著名的 u n i s u r f 自由曲线曲面设计系统瞄j 。1 9 7 2 年，f o r r e s t 提出现在普遍使用的定 义，指出它恰好是b e m s t e i n 基与控制顶点的线性组合。之后，国内也涌现出大 量研究类b 6 z i e r 技术的文献【弘7 1 。由b 6 z i e r 技术生成的曲线曲面具有一系列很 好的性质，如几何与仿射不变性、凸包性、保凸性、对称性、端点插值性等。 而且这些曲线曲面可以很好的控制整体形状，设计人员通过移动控制顶点方便 的修改曲线，并且可以预测曲线大致形状。1 9 8 3 年，f a r i n 更近一步研究了能 统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理b 6 z i e r 曲线【8 母l 。2 0 世纪8 0 年代中后期， 法国d a s s a u l t 飞机公司研制推出了c a t i a 系统，也广泛采用了b 6 z i c r 方法。 虽然b 6 z i e r 所采用的方法仍存在拼接和局部修改的问题，但它大大改进了曲线 曲面设计，奠定曲线曲面造型发展的基础。 参数多项式表示方法被广泛的应用到c a d 及c a g d 系统和自由曲线曲面 的表示中，例如b e r n s t e i n b 6 z i e r ，s c h o e n b e r g b - s p l i n e 和h e r m i t e - c o o n s 等i l 州 i l l 【1 3 】。以b e r n s t e i n 基构造的b a z i e r 曲线由于结构简单、直观是计算机辅助几何 设计( c a g d ) 中表示曲线和曲面的重要工具之一。但是如果要修改曲线的形 状，就必须对b 6 z i e r 曲线的控制顶点进行调整。有理b 6 z i e r 曲线可以利用修改 曲线中的权因子对曲线的形状进行调控，但它更适合于做局部调整，做整体调 控比较难以把握，而且求导和求积比较复杂。为了更加方便灵活的解决曲线的 调控问题，韩旭里、刘圣军提出了一种扩展二次b a z i e r 曲线，即带形状参数的 三次b 6 z i e r 曲线【1 4 】，接着吴晓勤、韩旭里又给出了三次b 6 z i e r 曲线的扩展【”j ， 后来刘植将其推广到n 次b a z i e r 曲线 1 6 1 。其所用的方法是提高多项式次数以获 得不同于b e r n s t e i n 基、含有参数 的基函数，得到的曲线具有b 6 z i e r 曲线类 似的结构和性质。通过改变参数五，可以调节整条曲线与控制多边形的接近程 度，从而调节曲线形状。由于具有b 6 z i e r 曲线类似的结构和性质，且能方便调 节整条曲线的形状，该类扩展的曲线有着广泛的应用背景。 1 2 参数曲线延拓 在一个c a d 系统中，研究者们会加入很多实用的算法，如对b 6 z i e r 和 b s p l i n e 曲线而言，有升阶、降阶、节点插入及删除等常见的算法，早在1 9 7 2 年，d eb o o r 和c o x 就分别提出了b s p l i n e 计算的标准算法【1 7 。1 引，1 9 8 0 年b o e h m 和c o h e n 给出了b s p l i n e 曲线的节点插入算法1 1 9 锄】，1 9 8 4 年p r a u t z s c h 等人又 发展了b s p l i n e 曲线的升阶算法 2 l m l 。这些算法实现了曲线的形状修改、光顺 等一系列造型操作。但是实际应用中会碰到许多问题，仅靠给出的算法是得不 到解决的。例如，在模具设计中，经常遇到的一个问题是已知的曲线不能满足 需要时怎样对原有曲线进行延展。抽象出的数学模型是延长一条已知参数曲线 到达一个给定的延伸点或延伸到一定长度，所延长的蓝线段仍用原参数曲线的 表达形式表示，并要求曲线之间在拼接点处达到某种程度的光滑连续性。这就 引出了本篇论文的研究主题一一参数曲线的延拓 对于曲线延拓问题的讨论有很多 2 3 - 2 5 】，在大多数的系统中，常采用的一种 方法是在曲线的末端控制点和延伸点r 之间构造一条g c l 连续的三次b 6 z i e r 曲线。s h e t t y 等1 2 3 j 针对有理b s p l i n e 曲线曲面的延拓问题提出了一种直接的方 法，所延长的曲线被表示成节点向量形式的有理b s p l i n e 曲线。h u 等【2 5 】提出 了延拓b s p l i n e 曲线的另一种方法，延拓的曲线同原曲线能够在拼接点处达到 最高连续阶，即对于三次曲线，在拼接点处可达到c 2 连续，但作为有理b s p l i n e 曲线的特例，此方法应用在三次b 6 z i e r 曲线的延拓问题上，虽然在拼接点处可 以达到c 2 连续，但得到的延拓部分的曲线形状是唯一的，不具可调性【l ”。为了 使延拓的曲线形状可调，周元峰等【z7 j 提出了一种满足g 2 连续且曲线形状可以调 整的延拓方法，并利用该方法将三次b 6 z i e r 曲线延拓到一点。接着王维国等【2 研 又将周的方法应用到了两条三次b 6 z i e r 曲线之间的延拓。但是这些大都是针对 三次b 6 z i e r 曲线的延拓，本文第四章主要讨论了一类扩展的b 6 z i e r 曲线即带参 数五的三次、四次b 6 z i e r 曲线如何延拓到目标点和目标曲线，构造的曲线在拼 接点处满足g c l 或g c 2 连续。 1 3 本文主要内容 第二章介绍了b 6 z i e r 曲线基础知识和在b e m s t e i n 基函数中引入调配参数九 的b 6 z i e r 曲线的扩展曲线及性质，第三章介绍了几种曲线延拓算法：s h e t t y 等 满足曲率连续的n u r b s 曲线的延拓算法；h u 等b s p l i n e 曲线延拓算法；周元 峰等g 2 连续约束下三次b 6 z i e r 曲线延拓算法。第四章作者主要讨论了带调配参 数九的一类扩展b 6 z i e r 曲线的延拓问题，以带参数五的三次、四次b a z i e r 曲线 为例，可延拓到目标点或目标曲线，构造的曲线在拼接点处满足g c l 或g c 2 连续。第五章作者对全文进行了总结。 第二章b 6 z i e r 曲线及扩展 本章首先介绍了b 6 z i e r 曲线的基础知识及b e r n s t e i n 基函数的基本性质， 着重介绍一类在b e r n s t e i n 基函数中引入调配参数九的b 6 z i e r 曲线的扩展曲线， 它有着类似b 6 z i e r 曲线的良好性质，而且随调配参数九的取值不同逼近控制多 边形的效果也不同。本章内容主要作为后面几章的准备知识 2 1b 6 z i e r 曲线的定义和性质【2 9 1 1 b 6 z i e r 曲线的定义 定义2 1 设 魂毙是疗+ 1 个空间的点，以，1 次b e r n s t e i n 多项式 啪，= p 一扣巍川 为调配基函数的曲线段 r o ) = b 。( b o ，b l ，既；f ) = e b f b j ，( f ) 0 f 1 ( 2 1 - 1 ) 叫做以 以琵为控制点的n 次b 包i e r 曲线，这里e2 五舌当币 2 b e m s t e i n 多项式的性质 b e r n s t e i n 多项式有如下性质 ( 1 ) 单位分解：( t ) - - - 1 ( 2 ) 非负性：0 b f 。( f ) 1 ( o t s l ) 端点眠= 矗是，b f ，胁0 蒜 ( 4 ) 对称性：马。( f ) = 目却( 1 一，) ，0 1 ( 5 ) 递推关系：e 。o ) = ( 1 一r ) 置州o ) + 幔一t ，t ( f ) ( 6 ) 导数递推公式：三垦，( f ) = 斑骂_ l 川( d 一旦川( f ) 】i = o ，1 ，疗 口f ( 7 ) 最大值：恳，( ，) 在t = h n 处达最大值。 图2 - 1 给出了b e r n s t e i n 基函数的图形( n = 2 ，3 ) ： 圈2 - 1b e m t e i n 基函数的图形( n = 2 3 ) 3 b 6 z i e r 曲线的性质 ( 1 ) b 6 z i e r 曲线有递推关系： 鼠( ，磊，玩；，) = ( 1 一，) 最一。瓴，a ，既一。；，) + 坦，一i 傅，如，屯；，) ( 2 ) 端点性质： b 6 z i e r 曲线玩( n o ，岛，也；f ) 以i , o 为起点，以吒为终点，即 i e ( o ) = i 玩( 1 ) = 屯 b 6 z i e r 曲线玩( b o ，岛，屯；f ) 与特征多边形的首末两边相切，首末端 点切矢的模长分别等于特征多边形的首末两边长的门倍，即 je ( o ) = 尼( 岛一6 0 ) 【既。( 1 ) = 丹( 屯一毛一。) ( 3 ) 对称性：把b e z i e r 曲线各顶点鱼( f = o ，1 ，功完全颠倒过来作为新的顶点 作出的b 6 z i e r 曲线与原曲线重合，只不过方向相反，即有： 峨( 吃，屯- l ，b o ；t ) = e ( b o ，鱼，屯；l t ) ( 4 ) 凸包性质：b 6 z i e r 曲线落在其控制点的凸包之中。 ( 5 ) 几何不变性：b 6 z i e r 曲线的形状仅与控制多边形的各顶点鸟( 江o ，1 ，n ) 有关，而与坐标系的选取无关。 ( 6 ) b 6 z i e r 曲线的导矢：疗次b a z i e r 曲线的首末端点的k 阶导矢分别为 ：凄：倍m ， j 6 = a k - i b ，+ l 一“1 b j 【。6 = b 2 2 带形状参数五的b s z i e r 曲线的定义和性质【1 4 1 6 1 以b e r n s t e i n 基构造的b d z i e r 曲线由于结构简单、直观是计算机辅助几何 设计( c a g d ) 中表示曲线和曲面的重要工具之一。 但是，在给定b * z i e r 曲线的控制顶点及相应的b e r n s t e i n 基以后，b 6 z i e r 曲线就被确定了，如果要修改曲线的形状，就必须对b d z i e r 曲线的控制顶点进 行调整。为了能够对曲线的形状进行调控，通常是利用有理b a z i e r 曲线中的权 因子，但有理b e z i e r 曲线更适合于做局部调整，做整体调控比较难以把握，而 且求导和求积比较复杂。为了更加方便灵活的解决曲线的调控问题，韩旭里、 刘圣军提出了一种带形状参数五的三次b 6 z i e r 曲线，后来刘植等又将其推广到 行次b 6 z i e r 曲线。 带形状参数的b 6 z i e r 曲线主要是在给定控制点的情况下，通过引入参数五， 将b 6 z i e r 曲线扩展为相对控制多边形不同位置的一组曲线，并且具有与b 6 z i e r 曲线相同的的结构和性质。通过改变参数五，可以调节整条曲线与控制多边形 的接近程度。 对于行次b 6 z i e r 曲线的扩展r t 【0 , i 】，自然数n l ，我们引入记号 狮北h 掣斗卅驴叫， 陋2 山 【球，( 旯；l f ) ，j = n - n ，n 其中五e r ，匕 = 可i 兰面，当蚪为偶数时，n = n 2 - 1 ；当行为奇数时， = 2 ( 片+ 1 ) ，4 一l 。 定义2 2 1 ：对t e 【o ，1 】，一刀s 兄1 ，定义关于t 的多项式 色，( 2 ；0 ，( _ ，= o 1 ，) 为带参数五的调配函数，根据以的不同取法目，( 五；r ) 有以下四种形式( m n ) ： ( i ) 当r = 4 m 一2 时 i p _ ( 旯；r ) ，= o ，l ，2 m 一2 ，2 m ，晖 e 月a 2 i ( ；) + 五 c ，一r ，一，= 2 埘一t ( i i ) 当月= 4 m 一1 时 毋，( 彳；f ) ；哆厶( 五；，) ( i i i ) 当疗= 4 m 时 归骸拨? 等2 卅1 2 斛1 川； ( i v ) 当n = 4 m + 1 时 吣垆段裂嚣2 斛2 ，珥 其中b ( ，) 为聍次b e r n s t e i n 基。 当五= o 时，e ，( 五；f ) = 目，( f ) ，即b e r n s t e i n 基是上述调控函数的特例。 容易验证上述调控函数与b e r n s t e i n 基具有类似的性质： ( i ) 非负性，对f ( o ，1 ) ，e ，( 五；f ) o 。 ( i i ) 规范性，弓，( a ；r ) = l 。 ( i i i ) 对称性，马。( 五；f ) = 最一加( 2 ；1 一t ) 。 ( i v ) 端点性质， 吣卟器嚣佴驴器巍。 图2 2 给出了调控函数的图形； 图2 2 带参数五的调配函数的图形( n = 2 ，3 ，兄= - 1 ) 定义2 2 2 ：给定行+ 1 个控制点l e r 4 ( d = 2 ，3 ；j = 0 , 1 ，”) ，则称曲线段 r ( a ；t ) = 乏：l 目，( 力；r ) ，( o s f 1 ) ( 2 _ 2 - 2 ) 。o 为带形状参数五的n 次b 6 z i e r 曲线的扩展。 对给定的控制多边形，曲线的形状将随着丑的不同取值而改变，当a 取0 时即为一般的n 次b * z i e r 曲线。 上述构造的扩展的b d z i e r 曲线具有与一般b e z i e r 由线相类似的基本性质： 性质1 非负性。0 s b ，( a ；t ) s l ，( o r 1 ；- n 茎旯1 ) 月 性质2 权性。e ，( t ；t ) - - - 1 ，( o f s l ；一n _ 2 a 1 ) j l 。 性质3 对称性q ， ；f ) = 最- j , n ( 兄；l t ) 性质4 端点性质。即插值控制多边形的两个端点为： r ( a ；o ) = p o ；r ( a ；1 ) = l 并且曲线在首尾两点分别与控制多边形的首末两条边相切： r ( 五；o ) = ( 打+ 五) ( e - t o ) ；r 。( a ；1 ) = ( n + a x e - p , 一1 ) 性质5 凸包性。曲线位于控制多边形p 0 ，p l ，l 内 性质6 几何不变性。由于曲线是为矢函数，因此曲线的形状与坐标系的选择 无关。 特别的，当r = 2 时 6 0 ，2 ( f ) = ( 1 一加) ( 1 一f ) 2 6 1 工( ，) = ( 2 + a ) ( 1 一r ) f 其中0 f 1 ，一2 a 1 ( 2 2 3 ) 6 2 。：( f ) = ( 1 一a + 五r ) ， 2 则曲线r ( 五；，) = p ，( f ) 为带参数五的三次b 6 z i e r 曲线。 t - 0 当玎= 3 时 b o 。( f ) = ( 1 - a t ) ( 1 - t ) 3 篡三嚣：篙竺尹黼鲻，- 3 i ，依然采用累加弦长法，群采用 ( 3 - 2 2 ) 式进行计算，v 由下式给出： + 斋上l 慨气+ ，) - p ( t k + ，。) 0 假设最终曲线的节点向量为t t 4 ：必，“，协“，2 掣 通过解开曲线，将节点向量调整到 垒旦= ，铀，1 ，“，芝! 尝! tk - 2 运用算法一来计算新的控制顶点q 。，0 i 蔓疗，对于重新参数化的曲线q ( t ) ， 如何将其延拓到第一个目标点r ，并且有下面的节点向量： g 旦翟旦，t k , - - , ，1 ，”，芝二善! k k - t 而从r 延长到尺比较容易得到。为了计算出从曲线q ( t ) 延长到r 后新增的控制 1 8 顶点q 。，h u 提出了一种基于d e b o o r 算法逆过程的外推算法。 算法二通过外推法计算控制顶点q 。 ( 1 ) 初始化令j = n + l ，t = + l ，q k 一- 1 + l ( f ) = r 且 q o + f j - k 4 1 ) ( f ) = q 。+ 2 一t “，z = 0 , 1 ，k 一2 ( 2 ) d e b o o r 算法循环，令 q ：o ) = 醴亏上q 一( r ) + 粤q 。r - i ( ，) l h t l l rt i + l l i + r r = l ，2 ，k - 2 ；i = j - k + l ，j - r - 1 ( 3 ) d e b o o r 算法逆循环， q ：o ) ：t 生t = x _ v 。+ l 二t 上 卫上鲨r t 一+ ， r = k 一2 ，k 一3 ，o ；i = ，一7 ( 4 ) q 。= q o ( ，) 通过算法二计算出控制顶点q 。之后，令q 。= r ，新的b 样条益线表达 式为： n + 2 o ( 0 = y , q ，m j ( r ) ，o 0 ，= 口：，为任意实数，如图 ， ( 哆弋 厂 、 飞j 2 i 1 2 l 葺 k 鳓 下面需要讨论口，y 两个自由度的选取，以使得所延长的曲线具有比较好 的形状，由于直接采用曲线的弧长、能量和曲率作为约束i i l 数来确定自由度， 会引起非线性问题，求解非常困难，因此，周使用f i q ( t ) j 2 出、f l q 。( t ) 1 2 出、 f i q 。( 0 1 2 毋三个函数来近似的代替曲线的弧长、能量和曲率，通过极小化上面 的函数来取定延拓曲线的自由度口，。 为了确定口，y 的值， 需要确定f l q ( t ) f 2 d t 、f i q 。( 0 1 2 西和f l q ”( t ) 1 2 a t e _ - - 个目标函数的表达式。 我们首先考虑函数c i q 。( t ) 1 2 d t ，设延拓的三次b 6 z i e r 曲线为 q ( t ) = ( 1 一f ) 3 q 。+ 3 ( 1 一f ) 2 t q 。+ 3 ( 1 一t ) t 2 q ：+ f 3 q ： 原曲线p ( t ) 的控制顶点的坐标为墨( 五，咒) ，( 屯，乃) ，b ( 而，乃) ，只( 而，m ) ， 令啊0 1 = 一x 3 - x 兕2 三弱篡篙，结合( 3 - 3 - 1 ) 式，隅 z ga：rn l 目 啊2 乃一兕呜2 乃一m口6 = 儿一乃 。 。 f i q 侧2 国= 3 6 ( 矿+ 町+ 广) 岛+ 3 矿+ 1 驰一3 6 ( 筇+ z 剐岛 ( 3 - 3 - 2 ) 一3 6 ( a + db 5 + 3 6 f l b 5 其中， 三2 彳+ 霹竺- - 4 + 4 = a ，a 2 + a a s = a l a ，+ a 4 a 。乏= 2 a 霹2 a + ，+ 露a s a 6 ( 。，) 如岛魄 。7 将条件= 口2 代a ( 3 3 2 ) m 以得到下面的目标函数 l l 0 ( 4 1 一1 ) q ( o ) = p ( 1 )( 4 - 1 - 2 ) 若要求在结合处达到g 2 连续，即两条曲线在结合处在满足g 1 连续的条件 下，并有公共的曲率矢： 代入q ( o ) = a p ( 1 ) 得： p ( 1 ) p 。( 1 ) q ( o ) xq 。( 0 ) i p ( 1 ) 1 3l q ( 0 1 3 这个关系式为： p ( 1 ) q ( o ) = 口2 p ( 1 ) p 。( 1 ) q 。( o ) = o f2 p 。( 1 ) + 俨( 1 )盯 0 ，为任意常数 ( 4 - 1 3 ) 当口= 1 ，p = 0 时，即 g 2 连续就成为c 2 连续。 q ( o ) = p 。( 1 )f 4 - 1 - 4 ) 图4 1 两条曲线的连续性示意图 2 曲线光顺与极小应变能 衡量曲线光顺有几种标准，通常是建立一个最优函数来衡量。在c a g d 实 践中常用的判断曲线是否光顺的一种准则是应变能极小准则，即曲线的曲率的 平方沿整条曲线的积分e = 陆2 d s 最小。但曲率表达式非常复杂，计算量大，实 ， 际应用中一般用近似的函数来代替，采用曲线的一阶导数的平方作为近似曲线 弧长、二阶导数的平方作为能量函数，建立光顺约束方程。 4 2 基于参数连续约束的带参数兄的b 6 z i e r 曲线的延拓 由于这类扩展的b 6 z i e r 曲线的调配函数中引入参数九，在拼接点处达到c 1 或c 2 连续的延拓曲线也具有可调性，而b a z i e r 曲线满足参数连续下的延拓曲线 不具可调性，本节分别对带参数五的三次、四次b 6 z i e r 曲线进行参数连续下的 曲线延拓，说明它的可调性。 前面已给出带参数旯的三次、四次b 6 z i e r 曲线的定义式，即 当n = 2 时 其中o 0 、 0 为两个自由度， 、五、五分别为p ( u ) 、q ( f ) 、r ( v ) 的 调控参数( 这里假定丑、如确定) ，一旦确定两个自由度a 、p 和调控参数五。延 拓的曲线就确定了。 这种情形下，比带参数a 的三次b 6 z i e r 曲线的g 1 延拓多了一个自由度口， 同样选取近似曲线弧长、能量、曲率变化率作为目标函数，运用极小化目标函 数的方法来确定a 、p 、五的值。作者通过计算得到是在分母上的关于、五 的非线性方程组，运算量非常大，方程组解的情况讨论较三次b e z i e r 曲线的延 拓而言过于复杂。在实际问题中，一般对计算速度及稳定性要求较高，所以本 文对这三种目标函数不再做讨论。 由( 4 ，3 7 ) 可以进一步得到控制顶点间的比例关系： 呈些：口三量 ( 4 3 8 a ) p i p 23 + 也 、 一q 2 r o ：磐 ( 4 - 3 - 8 b ) r o r l j 十啦 & 9 p 2 分丽的比为盯鬻 r 0 分丽的比为瑾等。，十厶j 十厶 a 越大五越小，q 。越远离p z ；p 越大五2 越小，q ：越远离r 。：反之，亦然。 延拓曲线的形状随控制点q 。、q ：位置改变而变化。 下面三幅图形分别是固定两个参数的值，改变第三个参数的值对应的曲线 变化情况： 如图4 8 ：固定- - - l ，五- - i 改变口从上到下口依次为3 、l 、0 5 、0 2 图4 - 9 固定= l ，五= i 改变口 如图4 9 ：固定口- - i ，五= l 改变，从i - _ n f 依次为3 、i 、0 5 、0 2 图4 t o 固定口= 1 ，五- - i 改变 如图4 1 0 ：固定口= l ，p - - 1 改变如，：叭i - n - f 五依次为1 5 、l 、一o 5 、o 、 图4 - 1 1 固定a = 1 ，= 1 改变如 2 、基于g 2 连续约束的带参数旯的四次b 6 z i e r 曲线到点的延拓 设给定的带参数五的四次b 6 z i e r 曲线p ( u ) ，控制顶点是p f0 = 0 ，l ，2 ，3 ) ，要构 造一条带参数五的四次b 6 z i e r 曲线q ( f ) ，使得曲线q ( f ) 与p ( “) 在p 3 处能g 2 拼接。 如下图： 图4 1 2 扩展的三次b a z i e r 曲线的g 2 延拓 类似于4 2 计算，由几何连续条件及带参数五的四次b 6 z i e r 曲线导矢可 得控制顶点间的关系 即有 ”枷鬻c 似3 哪 q ：= b + 口( 3 + 一 导) ( p 3 一p 2 ) 一a 2 ( p 2 一p 1 ) + ，( p 3 一p 2 ) 。 其中y ：口：( 1 + ) + 掣 o 把式( 4 3 9 ) 代入式( 4 3 6 ) ，即为满足在拼接点达到g 2 连续的延拓曲线的表 达式。式中同样也多了一个自由度，两个自由度口、和调控参数如确定了 延拓的曲线也就确定了。 下面三幅图形分别是固定两个参数的值，改变第三个参数的值对应的曲线 变化情况： 如图4 1 2 ：固定= l ，五= - 2 改变岱，窃从上到下依次为1 5 、l 、o 5 、0 2 图4 一1 3 固定= 1 ，五= - 2 改变窿 如图4 - 1 3 ：固定口= l ，五= - 2 改变，从上到下依次为3 、1 5 、1 、o 5 图4 - 1 4 固定口