（机械制造及其自动化专业论文）梁、板的直接边界元法机械系统解析及应用.pdf

独创性申明 秉承祖国优f 造道德传统和学校的严潢学风郑畦l f i i 埘：本人所! i ! 交的学 化论文是我个人任导师指导卜进行的硼f 究l _ = 作及取得的成果尽我所知 除特别加以标注和致均 的地方外论艾- i t l ；包含毖他人的研究成果与我 i l i i 工f i ：f f , h 对本文所论述的i ：作的1 t 何贡献均已住论_ _ = = t 卜作r 明确的 说明并已致驸， 本论文及其相关资料荇仃不实之处，i l j 本人承m 切相父责任 论文作者箍私： 保护知识产权申明 本人完全了解西安p l ! i ：大学仃关保护知。 l i 产枞的舰定，即：，f 究生任 校攻谈学位划i h n 取得的所台研究成果的知识产权属西安理t 大。学所有 本人保证：发表或使f h j 本论文丰| i 关的成果时署名啦位仍然为州安理工大 学尢论何时何地，未经学校许町决小转移或扩敞与之午关f l , j f l 何技术 或成果。学校有权保留本人所提交论文的原件或复印件，允i 午论文被查阅 或借阅；学校可以公佑本论文的全部或部分内容可以采j _ i 彩印、缩印或 其他下段复制保存本论_ _ = = ( 加密学化论文解密之前后以t ：j l i 明嗣样适用) 论文作者签名： 臼管同 导师签名：尝至：蒸，年 月，几 诵要 论文题目：鎏! 题的亘接边：昼丞法扭越 系统解析及应用 学科名称：机械制造及其自动化 硕士生：田金刚( 签名) fr t l 憎f 指导教师：黄篮j 盥盟一 ( 签名) 墨2 ：蒌： 答辩日期：2 0 0 5 3 摘要 虚拟样机技术是一种新型模式的新产品的开发技术，对提高产鼎质量、降低研 制费用具有重要的意义，其中机械系统整机特性( 整机的静态、动态、热态性能) 是影响样机整机内在质量的关键指标。因此在整个机械系统设计阶段，在满足系 统功能要求的前提下，必须对其进行整机结构性能的及时预i n ；f t 修改。而边界元法 对于处理机械系统中的刚性和柔性结合部比较方便，因此，运用边界元法对机械系 统零、部件及整机进行建模和解析具有非常重要的意义。 本文针对粱、板机械系统整机结构静态特性的直接边界元建模和解析方法开展 了相关研究工作，推导了复台粱及弹性基础梁弯曲问题的静态特性的直接边界元解 析公式，推导了薄板的拉压、弯曲及弹性基础板的弯曲问题的静态特性的直接边界 元解析公式，并根据所推导的边界元解析公式，基于m a t l a b 语言开发了梁、板 结构的静态特性解析软件并通过实例验证其正确性。 此外，本论文还进行了机械系统分析方法研究及包本机封皮机构中凸轮机构的 殴计，并对包本机机械系统进行r 三维建模、运动学仿真、力学分析和基于边界元 法的变形分析，进一步表明了边界元法在机械系统结构特性分析中的应用潜力。 关键词：虚拟样机，直接边界元法，机械系统分析方法，包本机 b s t r c t a n a l 。y s i sa n da p p l i c a 1 1 i o no fm e c h a n i c a ls y s f e mi n c i 。u d i n 6 b e a m sa n dp l a t e su s y n gt h ed i r e c 、b o u n d a r ye l e m e n 3 、m e t h o d s p e cia 1t y ：丛! ! ! ! ，! ! i ! 垫j a n u f a c t u r ? a n da u t o m a t i o n a u t h o r ：凹、1 i 望g 垫g( s i g n a t ul e ) 五：尘叠! 竺 t u t 毗1 ：地旦旦j 堕巫( s i g n a t u r e ) 血驰舀血业 a b s t r a c t a san e wp r o d u c td e v e l o p m e n tm e t h o d ，v i r t u a lp r o t o t y p e t e c h n o l o g yh a sa n j m p ( ) r t a n ts i g n i f i c a n c et oi n c r e a s ep r o d u c tq u a l i t ya n dd e c r e a s ei t sc o s t 。i nt h ef a c t o r so f a f f e c t i n g t h ei n t e r i o r p e r f o r m a n c eo faw h o l ep r o t o t y p e ，t h ew h o l es t r u c t u r a l c h a r a c t e r i s t i c si n c l u d i n gs t a t i c ，d y n a m i ca n dt h e r m a lp e r f o r m a n c ea r et h ek e yi n d e x 。 s o ，t h ep r e d i c t i o na n dm o d i f i c a t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i c so faw h o l em e c h a n i c a l s t r u c t u r ea ti t sd e s i g ns t a g em u s tb ep e r f o r m e dw h e ni t sf u n c t i o ni ss a t i s f i e d 。b e c a u s e b e mh a sa na d v a n t a g ei nd e a l i n gw i t har i g i do rf l e x i b l ej o i n t ，i t sa p p l i c a t i o ni n m o d e l i n ga n da n a l y s i so fm e c h a n i c a ls y s t e mp l a y sa ni m p o r t a n tp a r t 。 t h i sp a p e rr e s e a r c h e so l lt h em o d e l i n ga n da n a l y s i so fs t a t i cc h a r a c t e r i s t i c so fa w h o l em e c h a n i c a ls t r u c t u r ei n c l u d i n gb e a m sa n dp l a t e sb yu s i n gd b e m 。f i r s t ，t i l e f o r m u l a so fac o m p o u n db e a mb e n d i n ga n di t sb e n d i n go nf o u n d a t i o na r ed e d u c e d ，a n d a l s oat h i np l a t es t r e s s ，b e n d i n ga n di t sb e n d i n go nf o u n d a t i o n 。t h e n ，t h ec o r r e s p o n d i n g p r o g r a m sa r ep r o g r a m m e du s i n gm a t l a bl a n g u a g ea n dc o r r e c t l yt e s t e db ys o m e e x a m p l e s c f u r t h e r m o r e ，r e s e a r c h e so na n a l y t i c a l m e t h o d so fam e c h a n i c a l s y s t e m a r e p e r f o r m e d ，a n da l s oac l a m pe a r ni sd e s i g n e di l l t h eb o o k i n c o v e r ，a n dt h e ni t sw h o l e 3 - d i m c n t i o n a lm o d e l i n g ，m o t i o ns i m t d a t i o n ，m e c h a n i c a la n a l y s i sa n dd e f l e c t i o na n a l y s i s b a s e do i lb e ma r ep r o c e s s e d 。b a s e do nt h ea b o v et h e o r y ，t h eg r e a tp o t e n t i a lo fb e m a p p l i e di nt h es t r u c t u r a la n a l y s i so fam e c h a n i c a ls y s t e mi si n d i c a t e d k e y w o r d s ：v i r t u a lp r o t o t y p e ，d b e m ( d i r e c tb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ， a n a l y t i c a lm e t h o do fa1 1 1 c c h a n i c a is y s t e m ，b o o k ，i n c o v e rm e c h a n i s m 。 第1 辛绪论 1 绪论 1 1 机械系统分析方法 所渭机械系统可以是一台机器，或一个部件，或一个组件。机械系 统是一个复杂的系统，是由大量的零件以及结合部组成( 零件和零件的 结合部分) ，分析起来十分麻烦。虚拟样机技术的发展为机械系统的仿真 分析提供了便利。虚拟样机技术是指在产品设计开发过程中，将分散 的零部件设计和分析技术揉合在一起，在计算机上建造出产品的整体模 型，并针对该产品在投入使用后的各种工况进行仿真分析，预测产品的 整体性能，进而改进产品设计，提高产品性能的一种新技术。它是一种 新型模式的新产品开发技术，对推动创新产品研究开发、提高产品质量、 降低研制费用和缩短试制周期具有重要的意义。虚拟样机是数字样机， 其评价包括功能、性能等诸多方面的内容。 机械系统整机功能仿真一般是通过运动仿真来实现的。目前，功能 强大、性能稳定的商品化虚拟样机功能仿真软件已经实现，比较有影响 的产品包括美国机械动力学公司( m e c h a n i c a l d y n a m i c s i n c ) 的a d a m s ， 比利时l m s 公司的d a d s 以及德国航天局的s i m p a c k ，其中美国机械 动力学公司的a d a m s 占据了市场的5 0 以上。a d a m s 软件主要进行 机械系统的运动学分析、静力学分析和动力学分析以及优化设计分析， 现在已经被广泛的应用于工程机械、工业机械、航空航天和汽车工程中， 在各种机械系统殴计中起着越来越重要的作用”1 。 在虚拟样机中，整机特一胜( 整机的静态、动态、热态性能) 是影响 整机内在质量的关键指标。整机特性解析不同于零件解析，其工作量和 难度远比零件解析大得多得多。整机特性解析的特点如一f ：( 1 ) 由于工 程中的机械零件的结构和形式比较复杂，而且整机机械系统是由无数零 件的数值解析模型通过刚性及柔性结合部相结合而成，所以其数值解析 西安理工大学项士学位玲文 模型和建模方法非常复杂，计算1 作量非常大。( 2 ) 由于柔性结合部的 特i i - x , i 整机影响很大( 刚度占整机的5 0 以上，阻尼r q - 整机的8 0 以上“： “1 ) ，而且结合部特性又是非线性的，因此整机特性准确预测难度人。( 3 ) 样机既要实现产品的功能指标，又要实现产品的性能指标，因此整机的 特性仿真与功能仿真应结合进行，以期通过方案的选择、修改获得晟佳 整机特性和作、l e 空问。目前，整机特性解析和仿真方法主要有有限元法 ( f e m ) 和边界元法( b e m ) ，当然其也可以方便的应用于零件解析中。 有限j 法( f e m f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 的基本思想可以追溯到 c o u r a n t “1 在1 9 4 3 年的工作，他首先尝试应用在一系列三角形区域上定 义的分j 。连续函数和最小位能原理相结合，来求解s t v e n a n t 扭转问题。 此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元的 离散理论、方法及应用进行了研究。有限元法的实际应用是随着电子计 算机的出现开始的。1 9 6 0 年c l o u g h “1 求解了平面弹性问题，并第一次提 出了“有限元法”的名称。近儿卜 i = = 来，伴随着电子计算机科学和技术 的快速发展，有限元法作为工程分析的有效方法，在理论、方法的研究、 计算机程序的丌发及应用领域的，f 拓诸方面均取得了根本性的发展。有 限元法采用的是变分原理，属于领域型数值解析方法，直接将对象体的 整个领域分割离散成有限个学元，单元的维数与对象体的维数相同，单 元的特性用单元的节点值描述，然后写出全部结点方程式，即总体联立 方程式，求解方程式即可得到领域及边界上的结点的位移值。f f 前，有 限元法的研究及软件丌发已经比较多，如有名的商品化软件a n s y s 、 n a s t r a n 、a d i n a 、m a r c 、a l g o r 等，它们无论在功能、性能、使 用i 都已趋于成熟，尤其是这些软件具有非常好的前、后置数据处理功 能，已在工程中发挥了道要的作用。但在弹性体解析方面的应用成果大 多是对零件的强度、刚度和动态及热态特性进行解析计算，用这些商品 软件进行整机特性仿真，功能尚不完善、挚机特性预测的效果电不够理 想，i - 要是因为划整机中存在的大量柔性结合部进行有效处理的难度大， 第l 章绪论 而边界元法能够较好的处理柔一t t t - * - - 自台部，这正是本文的研究意义所在。 边界元法( b e m - - b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 是继有限元法之后的 又一数值解析方法，它的发展相比有限元法较晚，与有限元法不同的是， 边界元法是在边界上划分单元，把所考虑问题的维数降低一维来进行处 理，对于处理柔性结合部比较方便，有利于提高机械系统整机特性仿真 的精度，而且，柔性结合部的数学模型可以方便地以元件形式或以结合 条件的形式直接写入到整机特性的边界元模型中去，因此整机特性仿真 时解析方便，优势更为明显。由于边界元软件开发比有限元软件起步晚， 因此其软件不如有限元软件那样成熟，功能那样强大，目前较常用的软 件有b e a s y g i nb e m d y n “等，很多情况下都是由用户自己开发软件 进行边界元解析，本文采用自己编制的程序进行杆、板的边界元解析。 1 。2 直接边界元法简介 1 2 1 边界元法( b e m b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 发展概 况 边界元法的理论虽然在近百年前就已奠定，但边界元方法的本身是 在大容量、高速度的计算机发展后出现的。边界7 己法作为数值方法的提 出，可以追溯到1 9 6 3 年j a s w o n 的论文“”，他首先对边界元法的间接方法 提出了较为完整的概念，随后1 9 6 7 年r i z z o “对经典弹性问题提出了一 种边值问题解，这是文献上最早的一篇关于直接边界元方法的论文， c u r s e “。1 予1 9 6 9 年完成了直接边晃元法的若干重要公式的推导，他们两 人配合，相继提出了直接边界元法若干重要论文。1 9 7 7 年，c u r s e 就固 体力学的边界积分方程法，包括直接法和间接法的数学基础发表论文1 1 3 1 是这方面最早的全面的系统性的理论著作。1 9 7 8 年，在英国南安普顿市 召开了边界元法国际会议，并出了文集“边界元方法的最新发展”，边界 元方法这一名称得到了公认。自1 9 7 8 年起至今，c a b r e b b i a 已经主持了 望兰竺兰查兰塑兰兰堡垒兰 一i - j l i i l 国际边界兀会议，p k i a n e r j e e “”编辑 版了川期边界元法进展。 目前边界元文献已经相当卜富，有关的因际会议不断举行，还出版了许 多边界元法的专著，边界儿法已在工程科技中得到了广泛的推厂+ 和应用。 1 2 2 商接边界元法( d b e m ) 的建模过程及特点 边界元法属f 边界型数值解析方法，又称边界积分方程一边界元法。 它把所考虑问题的控制方程式变换为积分方程式，由积分方程式得到边 界积分方程式，通过对边界划分单元离散，化为代数方程组求解得到所 有的边界未知量，然后可e b 边界量通过积分方程式的离散形式得到域内 任。一点的物理量。边界离散时可采用与有限元法相同的方法，如利用常 单冗、线性单元、二次币元、高次单元及等参元“5 ，等。 边界元法有直接法( d b e m ) 和问接法( i b e m ) “”两种。间接法利 用位势理论中经常采用的f 层位势和双匿位势来推导公式，使用的变量 的物理意义未必清楚。直接法是根据把积分变换成边界上的面_ 分的 g r e e n 公式而米的，采川物理意义明确的变量，然后进行公式推导。目前 这种方法在工程问题的许多方面，i f 在成为主要力法。工程问题的直接 边界元法的具体f r i 74 7 7 过程如1 图i _ 1 所示。其主要包含的具体步骤如下： ( 1 ) 数理解析首先应用基本解和积分原理，建立领域与边界的火 系式，即积分方程式；然后将领域问题转化为边界问题，建立边界l 怕 关系式，即边界积分方程式。 ( 2 ) 数值解析边界积分局程式是在边界一l 进行积分，所以只需在 边界上进行离散，将边界分割成若干单j ，写出边界节点方程式，用求 和的方法写出边界联立方程式。 ( 3 ) 求解对边界联、) 方程式求解，即可求卅刺象体边界上j 拘节j 囊 位移，然后根据领域与边界的关系，即可求出领域内的内j _ 值。 第l 聿绪沦 图1 - 1 龃接边界儿建模与解析过程 1 2 , 3 有限元法与边界元法的比较 i 一数值解 ，；析过程 有限元法与边界元法建模与解析过程既有相同之处，又有不i 司之处。 其相同点是：两者都是通过分割单元进行离散，建立联立方程式，通过 解联立方程式对问题求解。不同点是：有限元法可直接进行离散，但对 整个领域离散；而边界元法首先通过数理解析将整个领域问题转化为边 界问题，然后对边界进行离散。相比f 有限元法，边界元法的建模和解 析特! j “”如下： 磊曼 数析一 r：一 西安理工大学硕士学位沦丈 ( 1 ) 数据准备最小由r 边界元法只需在列象体边界上进行离散， 划分边界学j ，咀元的维数比对琢体的维数降了维，这样求解问题的 自由度数量显著减少，而且对象体边界的l 噶散电比区域的离散方便得多， z 用较简单的单，i 准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数 方程绢，使得计算时间短，费用降低。 ( 2 ) 解析精度高由j 二边界元法只对对象体的边界进行离散，所队 只需适当增加边界单元的个数，就可提高其解析精度，而日，对于一维 问题，其边界为点，所得问题的解为精确解，相比较于有限元法来蜕， 在计算时间相当的条件下，边界元法比有限元法的解析精度高，特别是 对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现 奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。 ( 3 ) 处理一些特殊问题非常方便由于边界元法所利用的微分算子 基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域 以及半无限域问题，如无限介质巾圆孔受压问题。 ( 4 ) 建模较复杂，需进行数理解析边界法的主要缺点是它的应 q 范嘲以存存井h 应微分鳟子i 勺基木解为前提，列于非均匀介质等问题难 以应用故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解 代数方程组的系数阵是非刘称满阵，列解题规模产! 卜较大限制。对般 的非线性问题，由于在方程巾会出现域内积分项，从而部分抵消了边界 y l 法只要离散边界的优点。 ( 5 ) 应用软件功能尚不够强大边界元法与有限元法梢比，软件的 研究开发及工程应用的历史要短，囚此目前的应用软件不如商品化的有 限元软件的功能那么强大。 1 3 本论文的主要研究内容 n 包装机械的判战机构 ，主要是板和梁以及其纷合体所组成的 机械系统，本沦文拟聚川梁1 1 ；_ l ，e 和板单元柬建立包装机构的静念特性的 第1 章绪论 边界元模型并对其进行解析。 作为机械系统结构静态特性计算机辅助工程技术丌发中的一部分内 容，本文作者在查阅了国内外有关文献的基础上，主要做了以下几方面 的研究工作： ( 1 ) 推导了复合梁问题的静态边界元解析公式，并用m a t l a b 语言 编制了相应的边界元解析程序。 ( 2 ) 推导了薄板拉压问题和薄板弯曲问题的静态边界元解析公 式，并用m a t l a b 语言编制了相应的边界元解析程序。 ( 3 ) 推导了弹性基础梁和弹性基础板的静态边界元解析公式，并 用m a t l a b 语言编制了相应的解析程序。 ( 4 )使用所编制的程序对算例进行解析，通过梁和薄板静态问题 的解析解及有限元法的数值解( a n s y s 建模和计算) 与之相比较检验了本 文的有关杆和薄板静态问题边界元解析方法和公式及所开发软件的正确 性。 ( 5 )完成了包装机械封皮机构中的夹紧凸轮设计及其整机模型的 三维建模( 使用s o l i d e d g e 软件) 。 ( 6 )使用运动学和i 动力学分析软件a d a m s 完成了包装机械封皮 机构整机的运动学仿真及力学仿真，并使用所编制程序对其零部件进行 静态特性解析( 变形分析) 。 西簧理x - 走学硕士学位论文 2 梁问题的直接边界元法解析 在工程中，通常粱的受力形式为：( 1 ) 弯曲载荷( 横向载荷，垂直 于轴线的平面内) 和弯矩；( 2 ) 拉压载荷( 车| | 1 线方向) ；【3 ) 扭转载荷； ( 4 ) 三种载荷兼而有之。 2 1 梁弯曲问题 2 1 1 微分方程式 将直梁沿x 轴放置其将在x y 面内产生弯曲，梁的微元弯曲受力情 况如图2 一l 所示。由微元的力平衡方程式和矩平衡方程式得到如下关系 武： q ( x ) 珂：一掣 q 目警 ， m 一e 1d z v ( x ) 丁一d r ( x ) + d m d o 阿2 - 1 梁横向弯曲时微，l 血受力_ i 息 由上式得梁的芎曲微分万程式为： 倒掣- q o ) ：o ( 2 2 ) ( i x 其。t - ，q ) 为单位长度七的分布载荷，q 为剪，j ，m 为弯矩，e 为纵向 弹性模量，为惯性矩，v 为弯【| ：f i 位移( 挠度) ，丁为弯曲角位移( 挠角) 。， 2 l 2 基本解 基本解是指将甲位集r t t 载荷作川在x = g 时的无边界条件_ f 杆件的位 第2 章梁问题的直接边界元法解析 移分布状态。式( 2 - 2 ) 的摹本解是方程式( 2 - 3 ) 无边界条件f 的解 日掣一6 ( 。， ) ：o ( 2 - 3 ) 吡 其中a c x ，亭，为狄拉克函数，a ，勘2 三二：鼍。 求解( 2 - 3 ) 式，得梁弯曲问题的基本解为 嘶，1 ) = 面1 ( 2 r + r 3 - 3 l r 2 ) r ( z ， ) 面1 ( r 2 2 l r ) s g n o ，1 ) m ( x ，g ) = i 1 ( 一r ) q b 铲一丢s g n ( 埔) 式中r = z t l ，s s n ，；，5 ：_ 1 ：i 式( 2 - 4 a ) 中对 分别求导得： 旷+ x ，1 ) ：掣：r o ，e ) 讯铲掣a 一掣te 廊+ ( 。，1 ) ：掣：qx ，1 ) 直( x ，1 ) ：掣：o 2 1 3 边界条件 ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) 梁的弯曲为一维问题，其边界为梁的两个端点以厶曲端边界值分 别为矿( o ) 、丁( o ) 、q ( o ) 、m ( o ) 、y ) 、z ) 、q 犯) 、m ) ，由于约 西安理工大学硕士学位论文 束与运动是一卫。斥的关系，囚此八个边界条件中! 必定有叫个为已知 四个为未知。 2 1 4 积分方秸! 式 式( 22 ) 两边乘以是本解v ( x ，1 ) ，并在区问( 0 ，) 上积分，即 广e ，型i d 掣x r + ( x ，l m f q ( 七肜+ ，l m = 。 ( 2 5 ) 对上式分部积分四次后得到内点和边界值的关系式，另外，又有下式成 立：，( 亭) = 一旦挚，故将内点和边界值的关系式合写为式( 2 _ 6 ) ( 1 ) q 。( o ，勘 m + ( o ，1 ) 一q 犯，1 ) 1 丁( 1 ) f i 一豆+ ( o ，1 ) 一厨( o ， ) 童+ ( l ，1 ) ft + ( o 1 ) 【f i o ，1 ) 一y + ( o ，毫) 旷4 ( 0 ，芎) 丁+ ( l ，鼍) 一丁4 犯，1 ) 一扩+ ( l ，毫) 1 旷( 诣) j m ( - q ( o ) m 旺) q ( l ) + 似 菇水 式( 2 - 6 ) 表示了梁上任一内点值f 挠度和挠角) 与边界值之州的关 系，此式即为梁弯曲的城内积分方程式，但由丁一维问题的边界为点， 故积分方程式实际为领域内点1 i 边界点的联立方程式。 2 1 5 边界积分方程式 在式( 2 - 6 ) 中，分别令z 一0 和x l ，然后化简整理得梁弯曲的边 界积分方程式为( 同上述理由，一维梁边界为点，实际为边界联立力程 式) ： 缈陌盯， 固黔u 埘旷 第2 辛粱问题的直接边界元法解析 1 一q ( 0 ，0 ) 一q + ( 0 ，l ) 一q ( o ，0 ) 一q + ( 0 ，l ) 上 一r + ( o ，0 ) 一r ( 0 ，l ) 于( 0 ，0 ) 丁+ ( o ，) = f oq ( x ) 肘”( 0 ，0 ) m ( o ，三) 1 一府( 0 ，o ) 府( o ，三) 瑟卜 q + ( l ，0 ) 耍( l ，l ) 一r ( l ，0 ) 一r + 犯，三) 于( l ，0 ) f + ( 工，工) 2 1 6 分布载倚的离散化 m 犯，0 ) m ( ，工) 廊，o ) 一1 + 府+ 犯，l ) 矿+ 犯，0 ) v ( ，l ) 一旷+ ( 工，0 ) 一旷+ ( l ，) - m ( 0 ) q ( 0 ) m ) q ( r ) y f 0 1 丁f o ) 矿f l l r ( l ) ( 2 7 ) 由以上可以看出，式( 2 - 6 ) 和式( 2 - 7 ) 均含有分布力的积分项，在 编程计算时，可对其进行离散化处理。把分布力离散成个集中力只， 只作用在彤处，则口( 曲可用d 函数的线性组合表示为： q ( x ) = 鼻吣，_ ) ( 2 8 ) 又有6 函数的选择性： f m ) 吣，l = ，( 1 ) ( 2 _ 9 ) 则( 2 6 ) 和( 2 - 7 ) 中的积分项fq ( z 渺+ ( t o ) 出可转化为： r q ( x 少o ，。) 出= f 荟n # 6 。，t ) 矿4 ，。) 出= 羹p y ( t ，。) ( 2 - 1 0 ) 式( 2 - 6 ) 和( 2 - 7 ) 中其它几项含q ( x 1 的转化方法同上。 于是( 2 7 ) 式_ j j - 写为： 船船 旷旷驴驴 西安理工大学硕士学位论丈 l q ( 0 ，0 1 q ( 0 ，l 1 一q + ( 0 ，0 ) q ( o ，l ) + 一丁+ ( 0 ，0 ) 一7 1 ( 0 ，l 1 于+ ( o ，0 ) 于( o ，l ) 一肘“( o ，0 ) 一m ( 0 ，l ) 1 一厨+ ( 0 ，o ) 一肠4 ( o ，l ) 矿+ ( o ，o ) ( o ，l ) 一旷f o ， 一旷f 0 ，l ) f 矿+ ( ，o ) ：_ p t ，l ) 白21 一+ ( ，0 ) i 一旷+ ( t ，l ) q8 ( j l ，0 ) 1 + o + ，l ) q + ( l ，0 ) q + ( l ，l ) 一丁( 工，0 ) 一丁犯，l ) 7 1 ( l ，0 ) 丁( l ，l ) 2 1 7 边界值和内点值求解 1 2 m ( l ，0 ) m + 化，l 1 府( l ，0 ) 1 + 廊，l ) 矿( l 0 ) 矿旺，上) 一矿+ ( l ，0 ) 一旷旺，l ) 圈 ( 2 - 1 1 ) 进行形式匕的化简。在式( 2 - 1 1 ) 中，令 一m + f o ，0 ) 一m ( 0 ，l ) 一1 一府+ ( o ，0 ) 一肘+ ( 0 ，l ) y 4 ( o ，o ) y + f 0 ，) 一矿+ ( 0 0 ) 一旷+ ( o ，l ) 矿+ ( 五，0 ) y 8 ( 五：，l ) 一旷“o 。，0 ) 一旷。( x ，l ) q + ( l ，0 ) 1 + q + ( l ，l ) q + ( l ，0 ) q + ( l ，l ) 一r ( l ，0 ) 一，( ，l ) 丁+ ( l ，0 ) 7 1 + ( ，三) 圈 m 4 ( l ，0 ) m 8 ，l ) 庸+ ( l 0 ) 一l 十廊+ 犯，l ) 矿+ 江，0 ) 矿+ ( 三，l ) 一y + ( l ，0 ) 一y + 犯，) 则式( 2 - 1 1 ) 可转化为： h u + g f 。 p 一m ( 0 ) 1 篇卜) q ( l ) l ( 2 1 2 ) 捌dd，删即n叭叭加 瓣 m m m ，匆万，九九 第2 章梁问题的直接边界元法解析 式中，【- tj 、【g j 为4 x 4 的系数矩阵， u 、 f 和 p j 为4 x l 的夕邮午。根 据已知边界条件求解方程式( 2 - 1 2 ) ，即可得末知边界条件值。 对于式( 2 - 6 ) ，离散化后可简化为： ) = p i v + h f ) 十 ( 2 1 3 ) 式中， r l j 1 q 4 ( o ，1 ) m 4 ( o ，) - q ( 厶1 ) 一m ( ，1 ) 1 l 爿j 2 i 一卣+ ( o ，鼍) 一面+ ( o ，1 ) 豆+ ( 工，g ) 肪， ) f r 一，1 丁( o ，芎) 一| ，( o ，芎)r 4 ( ，鼍) 一矿+ ( 三，亳) 1 l l j = f 一于+ ( o ，鼍) 矿( o ，鼍)一j 二( l ，专) 旷( l ，芎) i p 1 = 誊叫絮毛 将所有的边界条什值带入到式( 2 - 1 3 ) 中，即可求得内点的u 。值， 以e 就是直接边界元法解析杆弯曲问题的全过程。 2 2 弹性基础梁的弯曲问题 - f 群中啦件慕础粱的应用e 器广泛，奠具体结构见图2 - 2 所示。 弹性基础梁的弯曲问题 建模过程如卜： ( 1 ) 将内部连续约束边界用 连续分布的弹簧代替 ( 见图2 。3 ) ( 2 ) 将内部连续弹性内部 约束解除，用约束力表 示( 见图2 - 4 ) 。令单位 长度上的弹簧h 0 度为k 、。+。一 图2 - 2 弹性地基粱模型 l 则单位长度的弹性约束力为k v ( x ) 。 西安理工大学硕士学位论文 2 2 1 微分方程式 令i 笋。0 ( 2 - 椎r - v t x ) + d m 令p 4 = 刍，则f ：式变为： h 一职a 。 肼警+ 4 田咿( 小= o ( 2 _ 1 5 ) 帅_ 4 鼢嘏堋图 2 2 2 基本解 微分方程式( 2 1 5 ) 的摹本解即为式( 2 - 1 6 ) 的解： 日掣+ 4 日p n v + ，g ) + 6 ( z ，1 ) ：o ( 2 1 6 ) ( i f 解1 ：述方程得基本解如下： 旷b 铲南e 母( c o s ( 阴“啦) ) r 弋t 勖2 靠芦咖伊巾g n 勤 ( 2 - 1 7 a ) m b 去e 廿( c o s ( m “n ( m ) q b 丢 ”c o s ( 1 3 巾g n ( 坫) 式中，r = k 一刮，分别对f 求导得 旷( 王，鼍) = - ，( x ，毫) 九砖) _ _ 掣 1 7 b ， 府4 ( ，1 ) = 一q ( x ，；) 童( x ，；) = 一e ，p 4 v ” ， ) = 一k v ( x ，；) 第2 章粱问题的直接边界元法解析 2 2 ，3 边界元解析 应用与粱弯曲求解相同的方法，可以求出弹性基础梁的边界方程式 如f ： h “g f ) = p ) ( 2 - 1 8 ) 式中 明、 g 、 u ) 、i f ) 、 p ) 的内容同式( 2 - 1 2 ) ，解上述方程式及得 边界值，内点值求解嗣粱弯曲一样，见式( 2 1 3 ) 。 2 3 梁复合问题 与梁的弯曲问题一样，可以建立起梁的拉压、扭转的边界元解析方 程式( 这里叙述从略) 。对粱的拉压、弯、扭同时进行求解的边赛元法称 为一维弹性问题的复合边界元法，其左右端点的坐标系取法如图2 - 5 所 i 。 陲l2 - 5 粱的坐标系 其中x 。方向为粱的拉压，x 。、x 。：方向为梁的扭转。对于等截面均质梁， 假定不考虑其拉压、扭转、弯曲之问的耦合闽题，则将梁的拉压、扭转 和弯曲的边界元方程式按前述坐标方向合写在一起，即可得到一维弹性 问题的复合边界元求解公式： h 【， + g f ) = p ( 2 1 9 ) 式中， g 、 刎分别为1 2 1 2 的系数矩阵； u 、 f ) 、 p ) 分别为1 2 1 雕j 列阵。 西安理j 2 大学硕士学位论走 2 4 本章小结 在本章中，利用直接边界死法( 这里采用的是分部积分法) 先后推 导了梁的弯曲及弹性基础梁弯曲的的静态特性边界元解析公式，然后堆 积梁的弯曲、拉j i i ：、扭转方程式得到复合梁问题的静态特性边界元解析 公式，为梁的静态问题编程求解做好公式准备。 第3 章薄板i 0 1 题的直接边界元法解析 3 薄板问题的直接边界元法解析 满足薄板的条件为：平板的厚度( x 3 方向) 的尺寸远小于另外两个 方向( x l ，x 2 方向) 的尺寸。假设x 3 方向的高度为h ，x 1x 2 方向的长度分 别为a ，b ，且a b ，则在l 程计算中，h a 5 即可保证精度。 薄板通常的受力情况为：( 1 ) 垂直于薄板中面的弯曲载荷( 横向载 荷) ；( 2 ) 作用于中面内的平行载荷( 面内载荷) ；( 3 ) 同时作用横向载 荷和面内载荷。 3 1 薄板弯曲问题 3 1 1 基本假设 薄板承受垂直于平板中面的载荷时会产生弯曲变形。薄板弯曲问题 采用图3 - 1 所示的坐标系，x 1 x 2 表示半板的中面，x 3 轴方向垂直于中面。 对于薄板弯曲问题作如下假定： ( 1 ) 变形前垂直于中面的直线段， 变形后仍保持为直线，且仍垂直于r p 面，长度不变。这个假设通常称为直法。 线假设，i u 以表达成：e 1 3 = 0 ，e 2 3 = 0 。 ( 2 ) 平行于中面的平面上正应力 再r 对变形的影响很小，线应变近似为0 ， 嗤3 - 1 薄板弯曲问题的坐标系 可以不计，故有：0 3 3 = 0 ，5 3 3 ；0 。 ( 3 ) 中丽内各点没有平行于中面的位移，即i n x 3 = 0 e l 寸， 。u 2 1 = ：0 。 3 1 2 基本方程式 西安理工大学硕士学位论文 由以卜皋本假没可得如p 基本公式 ( 1 ) 力平衡方程式 塑+ 塑+ 日：0 嵋o x ： q 1 ：掣+ _ o m z l ( 3 - 1 ) q ：；些+ _ 0 m 2 2 图3 - 2 薄板弯曲的微兀受力图 式中q i 、m 。，f ，= l ，2 ，3 符号说明见图3 - 2 。q i 是法线为力向剪力，m “ 为力矩，q 为薄板承受的x ，方向l 的分布载荷。 ( 2 ) 应力廊变关系式 c ：生 l 一“2 l“0 “】o o o ( 卜 其中，“为泊松比，扛为弹性模量。 ( 3 ) 应力与位移的关系式 l x ，d w 一f 亭o x ，o x ： 式中w 为x ，方向化移。 ( 们内力) 位移的关系式 毒 害， ( 3 。2 ) ( 3 - 3 ) 挚譬叫氅节 可 1 盱 铲 第3 章薄板问题的直接边界元法解析 q l _ 加掣 o ，：一do ( v - w ) “ 缸2 一。( 警+ 豢) m 。一。( 害+ 害) m ，：m ：，d ( ip ) 善兰 批o x 式中，d 为平板弯曲刚度，d = 乓。 1 2 ( 】一卢。) ( 3 4 ) ( 5 ) 微分方程式 由式( 3 - 1 ) 、( 3 - 2 ) 、( 3 3 ) 、( 3 - 4 ) 可以得到平板弯曲的微分方程式： d v 4 w g = 0 q 内 ( 3 - 5 ) 式州；毒+ 2 鑫毒，n 是眠 3 1 3 边界条件式 由图3 - 3 及式( 3 - 4 ) 可求出边界上物理量间的关系式： 瓦吖= 等 小撕一口( 等+ “害) 帆= m j i n , t j = - d ( 1 刊等 q ：= ，! ，一d 杀v 2 w k 咆+ 掣 ( 3 6 ) 西簧理工大学硕士学位论更 式中，、m 胪m 。、q ”k ，分别为边 界上边界点的法i 匈挠角、弯矩、扭矩、剪 力和等效剪力( 见图3 3 ) 。，z 代表边界曲 线的外法线方向，f 代表l 刀线方向，s 为边 界曲线的弧坐标p 为光滑边界线的曲率 半径( 以凸边界为正) 。而边界算了 旦：一s i n 卢旦十c o s # # 旦一( c o s 一三1 旦 b s8 r r a 0 l 。 r1a 8 其中，卢= ( n ，r ) ，0 = ( r ，) ，见图3 1 所示。 扳的边界条件式如下： 当为光滑边界时： 图3 - 3 薄板弯曲0 日题的边界力 r 一【： r + 上 r m 上 f3 - 7 ) r 。上 r 上 在实际应用中常见光渭。边界的典型边界条件为： ( 1 ) 简支边界：w = 0 ，m 。= 0 ； ( 2 ) 固定边界：w = 0 ，l ；0 ； ( 3 ) 自由边界：m 。= 0 ，k 一0 。 当边界上存在角点( 如图3 ，1 中的a 。) 时，在角点前后挠度w 是连 续的，但边界法线在角点处不连续，这时角点处司能发生扭矩的跳跃( 可 解释为集中力) 。如果边界条件是阻止位移的角点支座，则 只= 【、f 。j 】，。= m 。( 爿 + ) 一m ，。( a 一) ( 3 - 8 ) 式中f ：是角点a k 处的集中力。如果角点位移是自由的，则f k = 0 ，并 且扭矩在角点附近是连续的。 $0一0，吣一聪圻一呱划 = |)=哆舻”胁”脚 叫毛m。m 第3 章薄板问题的直接边界元法解析 3 1 4 基本解 薄板弯曲问题的基本解是一个在源点奇异，而在不包括源点的邻域 内是一个双调和函数的解，即是式 d v 4 w 4 ( p ，q ) = a ( p ，q ) ( 3 - 9 ) 的解。基本解w 妒，q ) 的物理意义是对于弯曲刚度为d 的无限大平板在源 点q 上作用有单位载荷时在观测点p 点处的挠度。式( 3 9 ) 的解如下： w ( p ，q ) 2 赤f 2 l n ( 3 - 1 0 ) 式中，= p q 。 将基本解1 4 + ( p ，q ) 代入公式( 3 - 6 ) 可得到相对应的挠角n 、弯矩m ：、 扭矩m 等效剪力矿+ 。如下： ，+ “p ，q ) 5 赤( 1 + 2 1 n r ) i r c o s f l ”( 明) 2 昙【2 ( 1 堋n ，+ 1 ) + ”砌c o s 2 剧 ( 3 - 1 1 ) m + n t p ，q ) = 掣s i n 2 3 矿+ 。( p ，q ) ；- c o s 3 。1 2 + ( 1 一o c o s 2 3 + ! 三旦c o s 2 冁y姐o 3 1 5 积分方程式 微分方程式( 3 - 5 ) 乘以基本解w ( 尸，q ) ，在领域。内积分，然后对 方程式分部积分4 次，便可得到域内积分方程式： w ( 尸) 2 正w ( p ，q ) q ( q ) d f f 2 ( q ) 一正k + ( p ，q o ) w ( q o ) 一m ”+ 妒，q ( ，) _ _ 121 ( q o ) + + ( p ，q o ) m 。( 蜴) 一w 8 ( 只q o ) k ( q o ) d r ( o o ) 当薄板边界上存在有限个角点f 共有k 个角点1 时，求解域内任一点 挠度的积分方程为： 西安理工大学硕士学t i 沧更 w