（计算数学专业论文）解非线性方程组算法的收敛性分析.pdf

解非线性方程组算法的收敛性分析 摘要 本文对b a n a c h 空间中两种修正牛顿代及一种修正h a l l e y 迭代的收敛性进 行了研究。全文共分为四章。在第一章中，用优序列方法研究了减少导映照 计值次数和避免导映照求逆的牛顿迭代在弱条件下的收敛性。在第二章中 用第一章讨论过的两种牛顿迭代来解决不可导方程的求根问题。并且用优序 列方法给出了收敛性囊囊在第三章中，构造了一族避免二阶n 。6 。h e t 导数的 修正h a l l e y 迭代，用其去逼近b a n a c h 空间中非线性算子方程的解，同时给出 了存在唯一性定理和一种新型的递归关系。在第四章中，针对第三章提出的 修正h a l l e y 法，我们给出了一个数值例子。 解非线性方程组算法的收敛性分析 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d i e dt h ec o n v e r g e n c e so ft w od e f o r m e dn e w t o ni t e r a t i o n sa n dad e f o r m e dh a l l e yi t e r a t i o n t h ew h o l ea r t i c l ec o n t a i n so f f o u r c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eu s e d t h em e t h o do f m a j o r i n g s e q u e n c e st os t u d i e dt h ec o n v e r g e n c e so f n e w t o n sm e t h o d s o f r e d u c i n g t h ec o u n t i n go fd e r i v a t i v e ”a n d w i t h o u ti n v e r s i n go fd e r i v a t i v eu n d e r w e a kc o n d i t i o n s ”i nt t l e s e c o n dc h a p t e r ，w eu s e dt h et w od e f o r m e dn e w t o nw h i c hw a s d i s c u s s e di nt h e c h a p t e r1 t os o l v e t h ep r o b l e mo f f i n d i n gt h er o o t so fn o n d i f f e r e n t i a b l ee q u a t i o n sa n de s t a b l i s h e dc o n v e r g e n c et h e o r e n l su s i n gm a j o r a n tm e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w e d e r i v ean e w f a m i l yo fd e f o r m e dh a l l e y m e t h o d sw i t h o u tt h ee v a l u a t i o no ft h es e c o n df r 6 c h e t - d e r i v a t i v et o a p p r o x i m a t et h er o o t so f n o n d i f f e r e n t i a b l ee q u a t i o n si nb a n a c h s p a c e w ea l s op r o v i d e dae x i s t e n c e - u n i q u e n e s st h e o r e m a n dan e ws y s t e mo fr e c u r r e n c er e l a t i o n s i nt h ef i n a lc h a p t e r ，w e g i v e dan u m e r i c a lc a s eb a _ s e d o nt h et h i r dc h a p t e r i i 致谢 本文是在我的导师韩丹夫教授的悉心指导下完成的。导师的辛 勤指导和谆谆教诲使我顺利完成学业并在学习上不断取得进步。导 师严谨治学的学风，精益求精的精神和言传身教的作风将使我终身 受益。在此，我向韩老师表示衷心的感谢 在两年半的求学过程中也得到了王兴华教授、郑士明教授、江 金生教授，黄正达副教授、程晓良教授对我的关心和指导，在此向 各位先生致以诚挚的谢意! 同时也深深地感谢曾经关心、支持和帮助过我的同学和朋友 们，他们的关心、支持和帮助使我的学习生活愉快、丰富，并促成 本文的顺利完成。 最后，我还要感谢我的父母在这两年半来在生活和学习上给予 我的关心的支持! 解非线性方程组算法的收敛性分析 概述 设e ，f 同为实或复的b a n a c h 空间，f ：e _ f 是一个非线性映照，求解非线性 方程盼算法伺堪 f ( x ) = 0 的问题，不论从理论上还是从实践上考虑，都是相当重要的数学内容。古今许多数学工 作者都曾从自己的需要或兴趣出发，去对它做不同角度的研究。 在创立微积分的十七世纪，n e w t o n ，h a l l e y 分别发明了用这种新数学工具解方程的， 现在普遍以他们名字命名的迭代法到后来c h e b y s h e v 也发明了以他用自己名字命名的 迭代法。虽然以上三种迭代法都是很强有力的方法，并且收敛很快，但数值工作者还是 从应用需要出发对它们做了种种改进。由此最近出现了许多对以上三种方法进行修正的 迭代法1 1 3 1 。 在诸多迭代法的研究中，又以对n e w t o n 的研究居多。o s t r o w s k i 和k a n t o r o v i c h 1 4 ， 1 5 1 给出了对于判断在某个区域中取初值的n e w t o n 迭代的收敛性，条件简洁明快，相对于 他们提出的区域条件，最近s m a l e 1 6 1 9 给出了点估计判据下的n e w t o n 迭代的收敛性。 也就是说，根据s m a l e 提出的理论，从初值点本身的信息，我们便能完全刻划n e w t o n 迭 代的收敛性。 纵观诸多迭代法，不外乎用优序列法或递归法证明迭代序列的收敛性。在文献绷【 2 2 1 中，王兴华，郑士明，朝丹夫在s m a l e 的点估计判据下得到了最好可能的绝对常数 o o = 3 2 吾，使得当d = 卢7 = l i e ( z ) 一1 f ( x ) i i s u p i i f ( z ) 一1 掣| | i 与o o = 3 2 互 时，n e w t o n 迭代、e u l e r 迭代族及h a l l e y 迭代族以z o 为初值都收敛，并且界值3 2 以 都是最好可能的。根据数值泛涵文献的通常理解，以上文章都是弱条件的假设，为此文 献 2 3 2 5 提出了弱条件下n e w t o n 迭代、h a l l e y 迭代族、e u l e r 迭代族的收敛性。与强条 件相比，在弱条件下n 阶收敛的迭代法只需知道f 直到k + 1 阶导数的信息。 以上讨论的函数f 都是可导算子，若f 是不可导算子，以上方法便不能使用。一种 解决方案便是把f 分成两个算子之和，可导部分记为h ，不可导但l i p s c h i t z 连续部分 一1 一 解非线性方程组算法的收敛性分析 记为g 。由此求解f ( z ) = 0 的方程变为求解h ( 。) + g ( z ) = 0 的解，由此牛顿迭代 变为 z n + l = z 。一f7 ( 卫) 一1 f ( z ) ，n = 0 ，l ，2 。n + 1 = z n h7 ( 。) 一1 ( h ( z 。) + g ( x 。) ) ， n = 0 ，1 2 对后者文献 2 6 】和【2 7 都进行了深入研究，并建立了收敛性理论。 在证明迭代法收敛的另一种方法是用递归法。对此jmg u t i d r r e z 和ma h e r n d t n d e z 等人对h a l l e y 、c h e b y s h e v 、s u p p e r - h a l l e y 型迭代的收敛性进行了一系列的工作 2 8 3 2 。 早期文章中用到的四个实数序列到减少递归关系而采用的两个实数序列，递归关系在不 断的简化，结果也变得越来越漂亮。 2 解非线性方穗组算法的收敛性分析 第一章弱条件下若干变形牛顿迭代的收敛性 1 1 引言 令岁是b a n a c h 空阕x 到另一个b a n a c h 空溜y 豹巷线缝葵子。热聚，在x 瓣蘩个 邻城内是f r e c h e t 可导，那么牛顿法是个很好的选择去解方程： ，( z ) 一0 妊然牛顿法怒个强有力的方法并且收敛很快，但在菜魃情况下它的缺点也是很嘲照 的。比如说，如果，( z ) - 1 很难计值时，方法( i i ) 是个很好的选择。另一方面，如果每步 ，7 秘q 戆诗募花赞 夔大薅，我瓣霉瑷曩方法i ) 。 ( i ) 。+ i = 譬。一( 。m 奄) 一1 f ( 。h ) ，霉e 中馆= m k ，m k + 1 ，m k + 门q 一1 ，k n o ， ( i i ) x n + 1 = 。一a 。f ( z n ) ，其中a + 1 = 2 a n a 。，+ ( z n + 1 ) a ，v n n o 程文敲暇中，至兴华，韩建夫裁羚方搭译缓分缨了上述嚣秘变形字镁迭代在s m i l e 点债计理论下的收敛性分析。他们的文章按数值泛涵文献的通常理解，怒强条件的假设。 和【8 】相比，我们参照口4 l 提出了上述两种变形牛顿迭代在弱条件下的收敛性。 黠正数7 秘p ，缓设，在瑷；i 西内是如除哥导著虽芦7 ) 是霹避豹。 定义1 1 1 所谓，在x 0 点满足关于哥丽的舡阶1 。条件，是指，+ ( 。) 一1 存在，并 且 | | 芦( 。) 一1 ，# j ( 。) | | l1 7 。一1 ，i = 2 ，t t 。，女， 盯) - l s f 祭骂胆，v x e 硒而 显然，。一阶7 条件就是s m a l e 在文献【1 3 】中所讨论的条件。 令筵1 1 。2 黠经俺1 sj k ，若，( 。；褒鼢灌是夏；夏西懿一除，条俸，裂，) 猩 z o 必满足关于b ( x o , p ) 的j 阶，y 条件。 现在陈述如下主要定理： 宠瑾1 a 3 设，。) 满足关予b ( x o ，( 1 一南l ，7 ) 酶k - 除于条件8 ；萨，y 3 - 2 以。 假设a o = ，7 ( z o ) ，那么上述两种变形牛顿迭代( i ) 和( i i ) 对所有n n o 都有意义，由 它们产生的序列 z 。 在百珏i 两内都收敛予方程，z ) 一0 的唯一零点，并且满足不 一3 解非线性方程组算法的收敛性分析 等式 其中 + 伊1 + c , 笔- , ( 1 乒+ a ) 堕2 _ 8 a 卸+ 扣 ( 1 疆1 p 。) 是从r o = 0 出发，把迭代( i ) 和( i i ) 应用到实函数： 上所产生的实序列。 其中 对于迭代( i ) 卅) = 一r 十篙 51 2 减少导映照计值次数的牛顿迭代 n = m k ，m k + 1 ，一，m k + m 一1 n o 在前面定义的前提下，我们首先介绍一些引理。 谰1 2 - 姗归纠+ 禹 一铲器，m 曼n 邮+ 1 ) ， n o ，且t o = 0 ，如果a = 卢7 3 2 、，百，那么 t 。) 单调递增的收敛于h 的较小零 点t + 。 证明 这在几何上是很直观的。我们也可以根据 ( t ) 和( t ) 的表达式归纳的证明。 引理1 2 2设，( z ) 在。o 点满足 们有 ( i ) ( z o ) 一1 ，( 1 ( z ) | | “) ( 1 l x z o i i ) ， ( i i ) f7 ( z ) 一1 存在并且 阶7 。条件，如果z b ( x i 丁= 翱那么我 i l l ( 矿1 ，k 。) 1 1 - 一高 一4 一 功虬 一 印 现 一 j o r) 一 h 十 一 h 十 0 p 一 一 解非线| 主方程组算法的收敛性分析 证明注意到 ! 生! ! ! ! ! ( 1 一训z 一。0 1 1 ) + 2 从7 一条件，我们直接得到 i f ，7 ( z 。) 一1 ，“) ( z ) 1 1 i i ：j 彳岛= “) ( j j z z 。 所以( i ) 成立，另一方面由t a y l o r 公式 九训吖萎地竿鳖”训2 + z 1i i ! 研，。( 。) 一1 ，( + 1 ) ( x o - b sx - - 3 ：0 ) ) ( 。一。) ( 1 一s ) t 一，d s ， 由个条件和h 的非正性，我们得到 t ( z o ) l ，( 】 ，kp-1(o)一1+1(。o)sll1 ，( ( 。) 一竖堕鼍掣z x o l l 2 十1 矿1 j ：f ( z 。) 一1 严+ 1 ( x o a - sx - - x 0 ) ) h x - - x 0 怖一s ) d s k - 1 ( i + 1 ) 1 7 f 掣( i + 1 ) 1 7 孕 l = l j of 1 器坚掣山 ( 一7 s l l 。一z o f i ) 七+ 2( 七一1 ) ! u 6 学忙圳t +1 i i _ = ；可“( t + ”( 。+ s ( z 一。) ) l l x - x o i i ( 1 一s ) 。一- d s = h i ( 1 l x z o i i ) + 1 1 由是根据b a n a z h 引理，( i i ) 也成立。 口 引理1 2 3在引理1 2 1 和引理1 2 2 的条件下，我们有 ，7 ( 。o ) 一1 ( x 。+ 1 ) 1 1 h ( t 。+ 1 ) j n o 证明由迭代方程，得到 ，( 。o ) 一1 f ( x 。+ 】) = ，7 ( z o ) 一1 ( ，( z 。+ 1 ) 一( x 。) 一，( z 。女) ( z 。+ l z 。) ) 一5 一 解非线性方程组算法的收敛性分析 + ，( 。o 厂1 ( ，( z n ) 一f ( x m ) ) ( z 。+ 】z 。) ) = ，( z o ) 。( 。i ，f 。) ( z 州一z 。) 2 一一9 ” + z 1 击严州) ( x n + s ( 撕。一训) ( 1 叫州一引，d s ) + 九。) 一，( k - 1 ；，“川( 。) ( 。一。) t + z 1 杀可+ 1 b 。t + s ( z - z m k ) ) ( 1 刊枉( z 。一) k d s ( 撕。一训) 因此，由1 条件，得到 b 扩坼川i 塞；f 海| | ：r n + l - - x n l f 。 。，1 1f ! ! ! ! 1 2 l i z 。+ l x n i i k + l ( 1 一s ) ， 。厶两矿i 厩= i 万瓦i i 驴山 + c 蓦i 两器忙。刮l t +z1矿1可i(ki+厩1)!iykilxn再-xmkilk(=1-5)k-ik 1 8 ( zx m k ) 1 1 ) k + 2 酬k + 。一蚓i i 。、)j o ( 一1 ) ! ( 一7 j j 。m k 一。o +n 一 一u 5 l l 。“+ 1 一z “ 打删( k ) l i t 。+ 1 一t i i i = 2 9 + z 1 击膨+ 1 m 。州沁z “) ) ( 1 叫 e 一11 + ( h 件1 ( t m k ) l i k t m t 旷 + z 1 志水+ 1 ) ( t r e k + s ( t n - - t 。k ) ) ( 1 一s ) k - l d s h t n + l - t n i i ) = ( 如十1 ) 一h ( t 。) 一 ，( 。) ( t 。十1 一k ) + ( 7 ( “) 一 ( t m k ) ) ( t 。+ 】一靠) = h ( t n + 1 ) 口 6 解非线性方程组算法的收敛性分析 引理1 2 4在引理1 2 1 和引理1 2 2 的条件下，我们有 z n + 1 一o n | | s n + l t n ， o n n o 证明 显然，当n = 0 时，引理成立。现设它对某个n 成立，取k 为满足m n 的 最大整数，有 m k 1m k 1 l l 。砒一z o 忙恢+ l 一如忙t i + l t 。= t m ks t + ， i = 0i = 0 所以，由引理1 2 2 可知，( z 。k ) 。存在，。+ 2 有意义，并且 | | 扛m ) 。1 ，扛圳l9 志， 由迭代( 1 2 1 ) 得 z 。+ 2 一。+ 1 = 一，( 。k ) i ( x 。+ 1 ) = 一，( z 。) ，( 。o ) ，( z o ) 一1 ，( x n + 1 ) 所以由引理1 2 2 和引理1 2 3 ，得 h x n + 2 - - z n + l t l - l l k 剖，k ) ll 胁o ) - l ，( 圳i s 一等黜扩沁 由归纳法可知引理1 2 4 对任何n 0 都成立。 口 根据以上引理，迭代( i ) 的收敛性定理陈述如下： 定理1 2 - 5 设，( z ) 满足关于b ( x o ，( 1 一击) 1 丽的一阶7 条件，并且。= 卢| ys 3 2 、，互。那么迭代( i ) 对所有n 都有定义，由它所产生的序列 z 。) 在t 3 ( x o , ：f 1 ) 内收敛 于方程，( z ) 的唯一零点e ，并且满足不等式 z 。+ l 一茹。l l ( r n + l 一。) l l z l 一茁。忆 i i z 。+ 1 一( | | s ( r 4 一i r t ) l l x l z or l ， 其中 陋t 卢= 坐型攀 ( 1 + 劫- j ( 1 一击聊) ， 4 12、 p n ) 是对咖从v o = 0 出发的( i ) 型迭代序列，它收敛于莎( r ) = 0 的较小零点r 。 7 解非线性方程组算法的收敛性分析 证明注意到 ；邶忙卅) = 1 一r + 篙臼” 一7 1 一d 7 = r + 卢，t = r 4 + 卢，n = r n 卢， 由引理1 2 1 和引理1 2 4 即得本定理。 口 对于迭代( i i ) 51 3 避免导映照求逆的牛顿迭代 x n + 1 = 。n a n f ( x 。) a 。+ l = 2 a n a n ，( z n + 1 ) a n ，v n n o a o ：x 斗y 是，( x 0 ) 的近似逆 令 ( 13 1 ) “= c o ( x o ，a o ，) = 7 ， 芦= i i a o ( 。o ) l t ， 1 上 7 2 ：p | | 五a o f 2 ( z 。) | f j l 定义1 3 f 2 q 所谓，( 。) 在。o 点满足关于甄丽j 西的女一阶7 一条件，如果a o 存在并且 i i a o f 。( 。0 j i i1 7 1 ，i = 2 ，( 1 3 2 ) 怖，1 扛) l l i i a o | | f 糕尝海，比西丽， ( 133 ) 我们也先介绍几个引理 引理1 3 1设a o 可逆并且满足 i i j a o f ( 。o ) 1 1 1 一日，0 0 兰1 ， 如果n s2 + 0 2 、i 干百，令 坤) = 高( 卢- o r + 禹) ， t o = 0 ，o o = 一i i a o l l ， 解非线性方程组算法的收敛性分析 n n + 1 = 2 a 。一n i ( t n + 1 ) ，v n n o 那么t 。单调递增的收敛于h 的较小零点t + + ；一! ! ! l 近! 卫三巫巫 。一 2 ( 1 + 口) 7 而a 。是单调减小的正数，且 。n 三而f 证明参照文献 1 7 口 引理1 3 ，2在引理1 3 1 的条件下，我们有 | | a o ，( + 1 ) ( z ) | | i i a o i i h ( + 1 ) ( 1j z x o i i ) ，v k n o 证明注意到 附1 ( 1 1 = - = o 帅= 南d 踪眦0 刚由( 1 3 3 ) ，引理显然成立。 口 引理1 3 3在引理1 3 1 的条件下，对所有n n o ，成立 ( i ) a 。可逆， ( i i ) j | 酊1 i is a 啪n ， ( i i i ) f ，一a 。，( 。) | | 茎1 一a n h ( t 。) 1 ， 证明显然，以上四个结论对n = 0 自然成立。现设它们对从0 到某个n 成立，则 1 。由 a n + l = 2 a 。一a n ，( 。n + 1 ) a n 和归纳法假设( i ) ，得 a n + l 且二1 一，= ，一a 。，( z 。十1 ) = ，一a 。，( z 。) 一a n ( ，( z 。+ 1 ) 一，( z 。) ) 其中 一9 祥非线性方程组算法的收敛性分析 ，b 州) - ，) = 圭i 勰(r1=2x n + 1 - - x n i2 ，7 ( 撕1 ) 一，( z 。) = # 等( ) ”1 l 。一， + 志0 1 ，肚+ ”( x n 4 - s ( z n + t z n ) ) ( 1 一s ) 一1 ( z n + 一z n ) “d s 凼此利用归碉妆假砹【i i i ) ( i i ) ，【i v ) 布引埋1 3 2 ，侍 卅一，i i - 1 1 1 - a n f 川懒删( 到k 等簪”i i ( z n + l - z n ) t _ + 南0 1 l i a 。，+ 1 ) ( x n - - 8 ( x n + l - - 。n ) ) i i ( 1 一s ) 一1i l ( 。n + t z n ) l i d s ) 茎- 一n n ( t n ) + 嚣( 塞止生型垫；铲2 n + l - - x n ) 。一1 i i + t i ：；1 i 0 1i i a 。| i ( + 1 ) ( 1 l x , t - x o + x n + - - x n ) l ( 1 一s ) 。一1 t l z n + l - - x n i l 。一l d s ) 外砌币扣猷塞黜c t n + 1 - t n 厂1 + t 嘉! j i 可f o h ( k + 1 ) ( t nq - 8 ( t n + l - - t n ) ) ( 1 一。) 一1 ( t n + l - - t n ) d s ) = a n + l o i l 1 1 所以根据b a n a c h 引理可知a 。+ l 存在，并且可逆，即( i ) 对n 十1 成立。 2 。参照文献 9 3 。参照文献【9 】 4 0 由迭代( 1 3 1 ) ，得 。n + 2 3 7 n + 1 = a n + l f ( z n + 1 ) = a n + l ( ，( z 。+ 1 ) 一f ( x 。) 一，x 。) ( z 。+ l z 。) ) + a n + i ( ，( z n ) 一a i l ) ( 。+ 1 一。) 咄“圭i = 2 掣( 。n + - - x n ) 。 十击：1 产+ 1 ) ( z 。+ s ( z n + l - - x n ) ) ( 1 一s ) 。( 。一z 。) 州d s ) 解非线- 性方程组算法的收敛性分析 | | z 。- z z 。+ ，| s | | 4 n + ，a i l i i ( 塞“掣| | ( x n + l - - x n ) 川 + 击巾埘+ 1 沁n 州x n + l - - x n 川m 叫( 嘶咱) + | 1 。+ l a 二1 ) | 1 1 1 ( a 。，( z 。) 一i ) 1 1 1 f ( z 。+ ，一z 。) | i 如州c 塞掣c g n + l - - t n ，。 + 矗：1 小“沁。+ s ( t n + l - - t n ) ) ( 1 _ s ) ( t n + - - t n ) k + l d s ) + o n + l o ：1 ( 1 一a n h ( t n ) ) ( n + l t n ) = t n + 2 一t n + 1 所以( i v ) 对n + l 成立。 口 根据以上引理，迭代( i i ) 的收敛性定理是t 定理1 3 4 设，( z ) 满足关于b ( x o ，( 1 一击) 1 7 ) 的 - 阶7 ，条件，a o 可逆并且a o 和z o 满足 i i j a o ，( z o ) l sl p ，0 8 1 ， o l = o ( 嚣o ，a o ，) 2 + 曰一2 v t 干o ， 那么迭代( i i ) 对所有n 都有定义，由它所产生的序列z 。在甄丽了两内收敛于方程 ( x ) = 0 的唯一零点c ，并且满足不等式 z n + l 一。i i ( r n + l r 。) i 扭l x o i l l 。+ 1 一( | | ( r + 一r 。) j z l z o 其中 阳4 伊坐型学 ( 1 + 劫2 ( 1 一击x 2 ) l 7 ， q ，y 、 ) 是对咖从r o = 0 出发的( i i ) 型迭代序列，它收敛于庐( r ) = 0 的较小零点r + 。 样非线性方程组算法的收敛性分析 证明注意到 扣川刊归1 卅+ 篙1臼、” ”7 1。”1 一n t + = r + 卢，t ”= r ”卢t 。= 卢， 由引理1 3 1 和引理1 3 3 即得本定理。 口 1 2 解非线性方程组算法的收敛洼分祈 一一 第二章求解不可导方程的修正牛顿迭代及其 在b a n a c h 空间中的收敛性 52 ，1 引言 令，是b a n a c h 空间x 到另一个b a n a c h 空间y 的非线性算子。如果，在x 的某个 邻域内是f r ；c h e t 可导，那么牛顿法是个很好的选择去解方程； ，( z ) = 0( 2 1 1 ) 虽然牛顿法是个强有力的方法并且收敛很快，但是从应用方面考虑，许多数值工作 者对它作了种种改进。接下来的两种方法： ( i ) x 。+ 1 = z n f ( x m k ) 一1 f ( x 。) ，其中n = m k ，m k + 1 ，一，m k + m 一1 ，k n o ，( 2 1 2 ) ( i i ) z 。+ 1 = 。一a 。f ( x 。) ，其中a 。+ i = 2 a 。一a n ，( 。+ 1 ) a 。，v n n o ( 2 1 3 ) 就是两种很好的修正的牛顿法。但是如果f 是一个不可导的算子，那么方法( 2 1 2 ) 和 ( 2 1 3 ) 就不能使用。一种很好的解决方法就是的f 分成两部分 2 6 ：一部分是可导的，叫 做日；另一部分是l i p s c h i t z 连续，叫做g 因此，( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 就可以写成如下形式： ( i ) x n + l = x n - - h ( z m 女) 一1 ( h ( z 。) 十g ( g 。) ) ，；# 中n = m k ，m k + l ，r a k + m - 1 ， ( 2 1 4 ) ( i i ) z 。+ 1 = x n - a n ( 日( z 。) + g ( z 。) ) ，其中a 。+ l = 2 a 。一a n 日( x n + 1 ) a n ，v n o ( 21 5 ) 在文献 2 6 】中，韩提出了如下的收敛条件： 条件2 1 ，1 定义一个球b ( x o ，r ) ，使得b ( x o ，r ) = z 一。o i i r 并且哥i i 可定义了它的闭包。 因为卸甄i i 可，假设，7 ( z o ) 。存在并且 f l s ( z 。) 一1 ( h ( 。) 一日( y ) ) 0 l t 2 - y l l 三( u + j i x - - x 0 f 1 ) d “， | | h ( 。) 一1 ( g ( x ) - a ( y ) ) l l ! 上n 。i = ”- y l l2 ( “+ l i 。一。l f ) d u , v x ，y 秀丽， l l 。一f f + l l z x o l ls r ( 2 1 6 ) f 2 1 7 1 在本文中，我们用优序列的方法来分析( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 在条件( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 下的收敛性。 2 2 减少导映照计值次数的牛顿迭代 一1 3 解非线性方程组算法的收敛- 性分析 其中 对于迭代( i ) ， z 。+ 1 = z 。一h7 ( z 。) 一1 ( h ( x 。) + g ( z 。) ) ( 2 2 1 ) 扎= m k ，m k + 1 ，一m k + 盯z 一1 ，k n o 我们称之为减少导映照计值次数的牛顿迭代。根据条件( 2 ，1 6 ) ( 2 1 7 ) ，我们把优函数定义 成如下形式： f t ，t “( 。) = 卢一+ o l ( “) ( 一u ) 8 ，do ，g ( t ) 2 正d u ，( 2 舢) 令f ( t ) = h ( t ) + g ( t ) ，那么，我们可以得到 引理2 2 1 假设t ( 0 ) 0 ，于是k7 ( 如) 0 。 所以k ( t 。) 在【0 ，r 1 中是单调递增的。于是由( 2 2 5 ) 和，= h + g 0 和h t j 由迭代假设，我们有 勺0 + 1 = k ( t j ) k ( r 1 ) = r 1 因此，( 2 , 2 6 ) 对于n = j + 1 也成立引理证毕 口 引理2 2 3 因为z o x ，令h ( z o ) _ 1 存在假设日在丽丽中满足条件( 2 16 ) ， 那么h ( z ) - 1 存在，且 i i h ( 圹1 日( 酬s 一志 证明我们有 h ( 。o ) 1 h ( 。) 一j i l = i i h ( z o ) 一1 ( 日( z ) 一h ( 。o ) ) i i z ”。一。0 | il ( “) 咖z 2 三( “) d u = ( t ) + 1 1 ， 因此，根据b a n a c h 引理，我们得到日( 。) 一1 存在，且 f f s 协1 日恪一南 引理证毕 口 下面我们陈述主要定理 定理2 2 4 因为x 0 x ，令h ( 蜘) 一1 存在且卢= i i s ( 卸) 一1 ( 日( 知) + a ( x o ) ) m 假设日 和g 在百e i 可中满足条件( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 假设 咒 p j o i t ( n ) 一。( u ) + 上( u ) 叼也，( 2 ，2 t 8 ) 一1 5 那么由( 2 1 4 ) 产生的序列 z 。) 有意义收敛到f 在百i 再可中的唯一的z + ，并且，我们 。一o l l | l z ；+ 1 z 。l t i + l 一赴= t m s t 1 ， 憎( ) 。日( 训s 一东， ( 22 - 1 0 ) 兰1f ”。n 一。m ”+ 5 l f 。n + 1 一。n “工( + i l 。一z 。i i ) d s d 。1 1 。+ 1 一。i 】 j 0 。j 0 - 川。8 + 1 一。“”t 7 ) l i d 缎。篡t ( u + 纛i x - 并x o ) l l a u 篇u ( t + l - i n ) + 广1 吨) 心“灿 s一坐掣掣：坼。“+1h 3 ( t m ) ”2 ”。 解非线性方程组算法的收敛性分析 一一 于是，( 2 2 9 ) 对于任何“+ l 都成立这意味着 叩 卵) = 南瓜啪2 删) 令，( ) = ( ) + 9 ( ) 那么，我们可以得到 引理2 3 ，l 假设f ( o ) 1 _ 我们有当且仅当 卢上) 一f ( “) + 三( “) u d u ，( 2 洳) 那么，( ) 在( o ，。o ) 中有两个正根r 1 和，2 ( ，1 ，2 ) 其中r 满足 f n 0 三( u ) d u + j ( r ) = 目( 2 3 6 ) 证明如果“0 ) 钆由于，( ) = 面( 一日+ o 。l ( 0 “) 扎+ m ) ) j 且三，z 是非减的正 j f 1 j j 7 一1 r j j j 一 函数，于是存在唯一的r ( o ，o 。) 使得占i ：) 成立因此，当且仅当，) so 时，( t ) 解非线性方程组算法的收敛- 性分析 在( 0 ，。) 中有唯一的实根。这就是条件( 3 5 ) 另一方面，因为，单调递增的趋向于无穷 大，于是r 2 也存在。引理证毕 口 从，的定义我们可以很容易看出，1s r r 2 现在我们来定义一个实序列： 岛+ 】= t n o n ( ( 如) + g ( t 。) ) ，( 2 3 7 ) a n + l = 2 a n 一：h ( t n + 1 ) ，v n o ， 其中t o = 0 ，a o = 一i i a o i i 引理2 3 2 假设月。是可逆的且满足： | | ，一a o h ( x o ) l i 1 0 ，0 o 于是 n n + 1 = o n + n n ( 1 一口n ( t n + 1 ) ) n n 引理证毕 口 现在我们来陈述主要的定理 定理2 3 3 因为2 ：0 x ，令h ( 。o ) 一1 存在且卢= i i h ( 。o ) 和g 在百瓦i 可中满足条件( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 假设 卢10口(r)一2(“)+上(u)“durr ， 1 ( h ( x o ) + g ( 。o ) ) m 假设盯 那么由( 2 1 5 ) 产生的序列f 。) 有意义收敛到f 在百e 鬲可中的唯一的z + 有 j z n + l 一。n | | t n + l t 。， 2 = 0 ，l 其中 k ) 由( 2 3 7 ) 式定义，r l 是，的一个较小的根，r 满足( 23 6 ) 式。 为了证明定理2 3 1 ，我们只要证明 ( i ) a 。是可逆的， ( i i ) i i a n a 0 1 怄i a n ， ( i i i ) l f ，一a 。h 7 ( z 。) i is1 一a n h ( t 。) ， ( i v ) f f 。n 十l z 。i fs t n + 1 一t 。 显然( i ) - ( i v ) 对n = 0 都成立现在假设对n 也成立，那么 1 。由 a n + 1 = 2 a 。一a 。，扛n + 1 ) a 。， 和归纳假设，我们有 - 4 n + 】：1 一，= i 一月。，7 ( z n + 1 ) = i 一：，( z 。) 一4 。 ，( 。+ 1 ) 一，( 。) ) 1 9 一 ( 2 3 1 0 ) 并且，我们 ( 2 3 1 1 ) 解非线性方程组算法的收敛性分析 用归纳假设i i i ，i i ，i v 和( 2 3 ，2 ) ，我们有 1 1 4 。+ 1 ：1 一x l l5 j ，一a n h ( z 。) 1 1 + | a 。a i l | j r i i a o ( h 。( z 。一】) 一h ( z n ) ) 1 一。咖。) 一一a n ，“m 十恢。i i ) d 。 a oj 0 = a n + l n ：1 1 1 于是由b a n a c h 引理，我们可以得到a 。+ 1 的逆存在且x n + 2 有意义，于是( i ) 对于n + l 也成立 2 。见文献【8 3 。见文献 8 4 。从 日( z 。+ 1 ) + c ( x 。+ 1 ) = h ( x 。+ 1 ) 一h ( 石。) 一日( 。) ( z n 十1 一z 。) + c ( x 。+ 1 ) 一c ( x 。) ：，1 ( 日( 。+ 。( z 。+ 1 一。) ) 一日( z 。) ) d s ( 。+ l z 。) + g ( z 。+ 1 ) 一g ( 。) ， j 0 我们有 i i a o ( 日( 。+ 1 ) + g ( z 。十1 ) ) l l - f 0 1 s 1 x - + , - x nj l l ( “+ i i ；r n - - x o i i ) d “d s i i 。+ 1 一。 + ，”。n + 1 一。”“l ( u + i i 。一。i i ) d 。 j 0 z 1z “一h l ( u + t n ) d u d s ( t n + 1 - - 1 e n ) + f o t + 1 t “f ( “+ 如) d u = i i a o l l ( h ( t 。+ 1 ) + g ( t 。十1 ) ) ， ( 2 31 2 ) 从( i i ) 和( 2 3 1 2 ) ，我们有 l i z 。+ 2 一z n + l f | = i i a n + 1 ( 日( z n + 1 ) + g ( x 。+ 1 ) ) | | ir a 。+ l a 0 1 | i i a o ( h ( x 。+ 1 ) + c ( x 。十a ) ) l l a + l l a o i i ( h ( t 。+ 1 ) + g ( t 。+ 1 ) ) a f ) = - a n + l ( ( n + 1 ) + 9 ( “+ 1 ) ) = t n + 2 一t 。+ 1 解非线性方程组算法的收敛性分析 因此( i v ) 对n + 1 也成立，这意味着 x 。) 是一个c a u c h y 序列令 z 。 的极限为矿 那么从 a ：1 ( = r 。+ l z 。) = n ( x 。) + g ( z 。) ， 我们有h ( z + ) + a ( x + ) = 0 或f ( x + ) = 0 定理2 3 1 证毕。 口 一2 l 解非线性方程组算法的收敛性分析 第三章修正h a l l e y 法的收敛性分析及其应用 3 1 引言 我们考虑解决非线性方程 f 扛) = 0 的问题，近年来已出现许多对此三阶迭代过程的研究。在这些方法中最著名的莫过于h a