（基础数学专业论文）g24中的常曲率全纯2球面.pdf

摘要 摘要 本文研究g 口，4 ) e e 的常曲率全纯2 球面证明了定理a 中g ( 2 ，砂所有k 为 常数全纯球面s 2 的解析表达式第一节中用p l t l c k e r 浸入把g 亿矽转化为c p 5 ，那 么矽：s 2 一g ( k ，刀) 可以转化成一个v e r o n e s e 嵌入进行讨论由于要证明定理a ， 在第一节中我们给出了命题1 、命题2 以及引理3 第二节中对伊：s 2 一g ( 后，厅) 分 类证明在情形a 中，我们讨论了9 包含平凡子从的和妒不是满射的情形，得出 了这类情形等价于定理a 中的( 4 ) 中在情形b 中，讨论了在r a n k ( t p ) = 2 的条 件下，通过给出了g 亿砂的f r e n e t 标架，限制了d e g ( d p ) 的范围，得出了d e g ( p ) 2 然后根据不同的d e g ( t p ) 分别进行讨论最后在c 、d 情形中对d = 2 ，d = 3 ，d = 4 ， d = 5 分别进行讨论证明了定理a ，即给出了所有表达式 关键词：g r a s s m a n n 流形；高斯曲率：全纯浸入 a b s t r a c t ht l l i sp a p e r ，w es t u d yc o n s t a n tc u r v e dh o l o m o r p h i c2 - s p h e r e si ng 亿矽a n d g i v eac o m p l e t ep r o o f f o ra l la n a l y t i ce x p r e s s i o no f2 。s p h e r e sw i t hc o n s t a n tg a u s s i a n c u a t u r ei nt h ec o m p l e xg r a s s m a n nm a n i f o l dg 亿剀i nt h ef i r s ts e c t i o nw e c n a n g e g 但砂i n t oc p 5b yp l u c k e re m b e d d i n g ，t h e np ：s 2 专g ( 足，1 ) c a l l t u r nm t 0a v e r o n e s ee m b e d d i n g a sw ew a n t t op r o v et h et h e o r e m 氏p r o p o s i t i o n1 、p t 0 p o s l t l o n 2a n dl 锄m a3w e r eg i v e ni nt h ef i r s ts e g m e n t i n t h es e c o n dp a r tw ef o c u so u r a t t e n t i o no nh o l o m o r p h i ci m m e r s i o nq ) ：s 2j g ( k ，n ) i nc a s ea ，w ep r o v e dt h a t w h e n 妒c o n t a i n sa t r i v i a ls u b b u n d l ea n dt h em a p p i n g 伊i sn o t 如l l ， 缈b e l o n g t o t h e o r e ma i nc a s eb w h e nr a n k ( c p ) = 2 ，w eg e t d e g ( c p ) 2b yf r e n e tf o m u l a 0 f g 口，砂t h e n w ep r o c e e ds e p a r a t e l ya c c o r d i n gt od e g ( q o ) a t l a s tw ed 1 s c u s sm e s i t i o n o f w h 吼d = 2 ，d = 3 ，d = 4 ，d = 5s e p a r a t e l y i nc a s e c 、d ，t h e n w c p r o v e dt h e o r e m a k e yw o r d s ：g r a s s m a n n m a n i f o l d ：g a u s s i a nc u r v a t u r e ；h o l o m 。r p h i ci n u n e r s i 。n 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成聚，也不包含为获得一且焉太堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位做作者签名( 手写) ：刍如主 签字日期- 谚年2 月刁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使只 学，吐t 1 l _ 论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作孝签名( 手写) ：金萜导师签名( 手写) = 鼋键均 签字日期： o 岳年z 月刁日 签字日期： 咯年h 月哆白 第一节引言 第1 节引言 极小子流形理论是微分几何中的一个重要的研究方向，内容非常丰富由于与 方程、拓扑以及物理联系紧密，直受到数学家的充分关注对实空间形中极小 子流形的研究，特别是对球面中极小子流形的研究，在上个世纪7 0 - 8 0 年代是微 分几何的热门课题 由于在黎曼曲面到复射影空间中的调和映射研究上的突破，在过去的3 0 多 年里，人们对c p “中极小曲面的理论的研究取得了比较好的结果特别是二维极 小球面取得的结果较为完美 e c a l a b i 在论文 2 证明了除了相差一个刚体运动外，s ”中的常曲率极小2 球面是b o r u v k a 球面 之后j b o l t o n 等人对c 矽中的极小2 一球面进行了研究在论文 1 中指出 若y ：m - - 俨1 是全纯浸入，k 是m 的诱导度量的g a u s s 曲率若k 是常数，那 么y ( m ) 是v e r o n e s e 全纯s 2 ( cc p ”1 ) 或其一部分，并且证明了除了相差一个c p ” 的全纯等距变换，c p “中的常曲率极小2 一球面是一个v e r o n e s e 极小球面且在 1 中给出了v e r o n e s e 球面清晰的表达式因为浸入c p ”可以看成c p “的全实测地 子流形即”，则c a l a b i 的结果可以看成 1 中的特殊情况 由于g ( k ，玎) 是c = 6 ( 1 ，n ) 的推广，我们可以在复g r a s s m a n n 流形g ( k ，n ) 中考虑与c p ”中相同的问题：c p ”1 中的全纯曲面的哪些结果可以推广到g ( k ，胛) 中的全纯曲面? 当k 为常数时，是否能给g ( k ，n ) 中的全纯曲面一个清晰的表达 式? q c h i 和y z h e n g 在论文 4 中指出k 必为正常数，故可以假定曲面m 为曲 面s 2 以简化讨论平凡的情况是c p l = s 2 在c p ”中的常g a u s s 曲率嵌入，而 凹”可作为全纯全测地子流形可嵌入于g ( k ，l + k _ 1 ) 除此之外，在 4 中对 月 k = 二的情况给出了一个局部的描述 3 在论文 7 中黎镇琦研究了g ( k ，z ) 中的极小曲面文章中首先导出了g ( k ，n ) 中全纯曲面s 2 的广义f r e n e t 公式和广义p l i i c k e r 公式这些公式对g ( 庇，1 ) 中一般 的全纯曲面也可有类似的表述当k = 1 时，它们就是c p ”中的全纯曲面的 f r e n e t 公式和p l t l c k e r 公式利用这些公式，文中给出了g ( 2 ，4 ) 中k 为常数的全 纯球面s 2 的所有解析表达式该表达式说明了刚性定理对一般的g ( k ，刀) 中的全 纯曲面不再成立 第一节引言 众所刷知，除= 一个u ( n + 1 ) 一等值燹换，在复射影空i 司c p “中的常曲率全 纯s 2 可以表示为如下的c 一值全纯多项式： 圪i c = 蜀。厂= 乃。( 1 ，。玉，i i n l ) ( 。1 ) 其中，：s 2 = c up ) 寸c p “是v e r o n e s e 嵌入，1 l ：c 训 o ) - c p ”是自然映 射( 【1 】) 显然在c 上，l 州2 = ( 1 + z 三) 2 并且诱导的度量 d s 2 = 熹d z d z = 历h 1 j 卅2 捌三 ( o 2 ) ( 1 + z z ) 2 、 其中a 2 ，否= ；作为c p “= g ( i ，刀+ 1 ) 的一般形式，我们想要给出具有常 高斯曲率的全纯s 2 在复g r a s s m a n n 流形的g 传，砂一个分析表达式我们讨论了 最简单的情况，并且证明了以下定理 定理a 令p ：s 2jg ( 2 ，4 ) 是一个具有常数的高斯曲率的k 的全纯浸入 s 2 = c u 印 则最多相差一个s 2 的等距变换，映射缈是即，) 等值于以下曲 线， ( 1 ) ，纠c = ，r o 矧； ( 2 ) 一，e p i c = z ro c o s 2 t s z 二压s 。i n t z 弦； 喇砷菇斟 一，9 i c ：万o 盏：目 这个定理是论文【8 中的第一作者提出的，但是没有证明在这篇文章中我们 将给出一个完整的证明这样可以很好的帮助我们解决在一般的g r a s s m a n n 流形 g ( k ，忍) 上的一些问题本文中所有的定义何和记号都是延用论文 7 】和 8 中的定 2 第2 节一般结果 第2 节一般结果 令m ( k ，r 1 ) 是由所有的k xn 矩阵组成复向量空间我们认为g ( k ，挖) 是 m ( k ，n ) g l ( k ，c ) 的轨道空间，其中g ( k ，咒) 是所有秩为k 的矩阵的集合，且复一 般性群g l ( k ，刀) 通过左乘作用在m ( k ，刀) 上即为万：m ( k ，以) 专g ( k ，力) 是一个自 然投影 若够：s 2 专g ( k ，甩) 是具有常高斯曲率k 全纯等距浸入，则我们在s 2 o o 有一个典则坐标z 使得诱导的度量为 d s 2 ：j l 捌三( 1 1 ) k 0 + z z ) 2 假设缈的相伴调和序列是 翌= 翌。专里i 专寸翌。专q ( 1 2 ) 根据论文 7 中我们有一组c “一值全纯多项式u ， ) 使得 za 厶 没有零点且可得 缈l c = 石。彳( 正，厂 ) ， 其中彳( z ， ) 是m ( k ，刀) 一值全纯多项式，f 是第j 行因为p 1 t l c k e r 浸入 p l g ( k , n ) c p - h ( 盹鸬，双) ) h 二。 ia u 2 a u k ) ( = 卜全纯等 距的映射，除了相差一个倍数外，我们可以设 ” 1 2 = ( 1 + z 三广， ( 1 3 ) 其中d = d e g ( t p ) 是缈的度数，且d 等于a c 1 一值全纯多项式z 五a 五的度 数，且由( o 1 ) 和( 1 1 ) 可得出d = 缘 假设 乃( z ) = - 1 “f z 。p ，= d e g ( f i ) ) ， ( 1 4 ) 其中距c ”如果我们令 z 人 = u j z ， ( 1 5 ) 由( 0 1 ) 则 k ，正的第_ ，个分支是 z ，= ( z 五 五，占。 人q 一。 占，) = z ( q ，毛 占h 占，卜1 所以z = 巳+ z g 。，其中g 。为c “值全纯多项式同样对于j = 1 ，k 一1 ， l j = s j 七z gj 为了证明定理a ，我们需要下面的引理 引理3 令a m ( k ，k ) 则存在u l ，u 2 u ( k ) ，使得u 。彳u ：是对角矩阵，且对角线上 的元素都是非负实数 6 第3 节定理a 的证明 第3 节定理a 的证明 现在我们主要讨论全纯浸入缈：s 2 _ g ( 2 ，4 ) a 一些特殊的情况 如果缈包含了一个平凡子丛堡1 ，则有一个正交分解翌= g ( b y ，其中 y ：s 2 一c p 2 和证明命题1 一样，根据d e g ( ( a ) = 1 或2 ，可以得到y = k 或 则9 是u ( 4 ) 一等价于定理a 中的( 1 ) ，或者当t = 叫2 ，u ( 4 ) 一等价于定理 a 中的( 2 ) 如果p 不是满的，则9 是映射到g ( 2 ，3 ) 兰g ( i ，3 ) = c p 2 中的贝, 1 d e g ( t p ) = 1 或 2 这种情况满足当t = 0 ，定理a 中的( 1 ) 和( 2 ) 包括以下情况，如果命题1 的假设适用于缈，则 伊i c _ - o f 三名22 压3 2 2 辩 那么此时的9 i c 左乘一个( ：1 名】并且把基底转”占：，占，s ) 变换成 一q ，占2 ，占3 ，占4 ) ，等价于定理a 中的( 4 ) b 如果r a n k ( c p l ) = 2 我们设妒是满的且，口刀七( 缈) = 2 根据命题2 ，可以设伊l c = 万。a ( a ， ) ，其中 彳c z ，厶，= ( 羔 = ( 三0 。召z g ，iz理g2。) c 2 m 且 1 2 = ( 1 + z 三) 2 因为p i 。石是映射到蜀( 2c 4 ) = c p 5 ，所以要注意d 5 因为h 2c 4 兰c 6 ，我们取一个基 夏= 占la 占2 ，砭= 一2 占3 ，瓦= 一占2 s 4 ，瓦= 占l e 3 , 瓦= s i 占4 ，瓦= 占3 s 4 ， 其中话。，g ：，占，s 。 是c 4 的自然基那么za 可以由所取的基底表示为 z = ( 1 ，z g l ，z 9 2 ，z 9 3 ，z 9 4 ，z 2 h ) ( 2 2 ) 其中 h=g194一9293： ( 2 3 ) 则如果工八五是非零的，d e g ( g ，) d 一1 ，d e g ( h ) d - 2 ( 2 1 ) 可以写成 a ( l ， ) = u ：，c 。z + + c d z d ) ( 2 4 ) 其中c ，m ( 2 ，2 ) ，j = 1 ，5 根据引理3 我们可以假设其中一个c ，是对角矩阵， 7 第3 节定理a 的证明 且它的对角元素是非负的实数 我们有c 4 一值全纯多项式 ，六，使得石 六没有零点且 ( m o d f , ， ) ( m o d f t ，厶，六) ( 2 5 ) 其中p l p ：是全纯多项式贝0 对抚， ，厶，厶) 作s c h m i d t 正交化我们可以得到平凡 a c 4 一个酉标架k ，p ：，巳，气 ，即 由此得 乞2 巳2 i ， q 2 丽l ( z ，z ) 厶一( ，z ) 石】， 阢 五i i 石 厶 六 【( z ，z 五) - ( a a ，z 五) 五+ ( 厶 六，z 五) z ， 2 眵- 巧_ 天万面而( 工 五 六，z 五 元) 厶 一( z 厶，z 五 五) 六+ ( z 六 厶，z 五 五) 厶 一( 五人厶 厶，z 五 五) z 】 e lae 2a a e j2 f 、a 2 a 入 i 阮 乃i ( 参见论文【6 中的引理3 和引理4 ) 有 j = 1 , 2 ，3 ，4 ( 2 6 ) 设酉标架，p ：，巳，气) 的运动方程为 d e 月= 吼8 ，+ 瓦= 0 ，a , b = 1 ，2 ，3 ，4 记臼删= p ，其中扛厅，p a 是实值1 形式由p 。= i - 1 z 和( 2 5 ) ，( 2 6 ) ， d e 。= 一a l n l f , i p 。+ 蚓g a z - 0 ，m o d ( e 。，p 2 ，巳) 因此1 9 1 。= 0 ，q ：，b ，是( 1 ，o ) 型l 一形式 设s 2 的结构方程限制在c = s 2 p ) 上为 由，( 2 7 ) 有 d 国= 矽 缈，坳一筹国 瓦国= 砒 = i p l e l 十兄1 0 3 e 2 + a l 翻e 3 ， 8 ( 2 7 ) p p 三 兰 诉班 ，、l 赢 其中 第3 节定理a 的证明 矽= ( 如。，- e 1 ) = - di n i ：, l + l z l ( 甄，z ) 出= a l n i 陋一a l n i z i 击， 丑国= ( 如。，乏) = i z i 2 i z 厶i - l 1 2 ( 瓠，五) 协，五) ( 锐，z ) k 叩地咖一 其中利用y ( 2 5 ) 类似地，由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 可知0 2 ；= 0 又 d e ：= 一j l n o z i i z 人厶i b ：+ + 删z i 川石 厶 时鞔一( 应= 锭铆只比 陆，芴) 一似，研江k ，z ) z + ( 甄，五) 一( ，z ) 瓠】 从( 2 6 ) 可知( 乃，己) = ( 乃，瓦) ( = 1 ，2 ) ，因此岛。，0 2 ，是( 1 ，o ) 型l 一形式 d e 2 = - 2 1 粥+ i p 2 e 2 + 口2 + a 3 于是可以写出它的广义f r e n n e t 公式 其中国= 妒j e l+ 优2 + a i 丑历匆l + i p l e 2 + a 2 ( o e 3 + a 3 0 ) e 4 口m l 国- - p i a 一2 0 一) e 2 + 和3 e 3 + 旯2 0 3 e 4 一 a 一3 一( d e 2 一旯2 历t+ 0 气气 诱导度量的定义我们有 n 。1 2 + i 口：1 2 + l 口，1 2 = 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 因为z 厶a a = ( d e t b ( f l ， ，厶) ) 占l 占2 a 占4 没有零点，所以 d e tb 是常数通过给 乘以一个适当的倍数我们可令 z 厶a = 毛 占2 占4 由( 2 5 ) ( 2 8 ) 可以得到 a l 口3 国2 e i e 2 e 3 p 4 = e ia e 2 d e i d e 2 飞 d 而c ( 觚) 一( 觚) z ， 9 第3 节定理a 的证明 2 徜巳m ：“抓似 鼢a t a 3 0 ) 2 觥2 焉编憎 胁批是出 叩，= 卷 ( 2 1 0 ) 由( 2 5 ) 我们也可以知道 a a 萌a 阢= p i p 2 za a 厶= p l p 2 占l a 毛 ( 2 11 ) 显然f = i d e t ( 乏三1 2 = 1 以。1 2 k f 2 既不依赖标架p l , e 2 , e 3 , e 4 也不依赖于国， 所以f 是s 2 上的整体函数函数f 的零点数是够的歧点数，由( 2 1 0 ) 知道这些 零点是孤立点并且记为_ r ( 缈) ( c 【7 】) ( 2 1 0 ) 我们知道如果0 0 不是歧点，则f 的 零点数与p 。p 2 的零点数相等反之如果d e g ( p i p 2 ) 0 且口是一个实数因 为h 在( 2 2 ) 中是一个常数且d e g ( g 。) = 1 ，通过( 2 3 ) 可得9 4 = 0 ( 2 2 ) 就变 为 za = 【1 ，a o z + 韶2 ，6 0 z ，c o z ，0 ，b o c o z 2 ) = ( 1 ，0 ，0 ，0 ，o ) + ( 0 ，a o ，6 0 ，c o ，0 ，o ) z + ( o ，口，0 ，0 ，0 ，b o c o ) z 2 从( 1 6 ) 通过( 嵋，瓦) = 0 可以得到口。= 0 通过假设可以得到b o c 。0 否则缈不 是满的且r a n k ( c o ，) 2 经过给定厶一个适当的倍数和对占：和占。进行适当的旋 转，可以令b o ，c 。r 则由( 1 6 ) 可得b 0 2 + c 。2 = 2 则对于一些t r ， 6 b = 2s i n t ，= 2c o s t 同样从( 1 6 ) 可以得到口= + c o s 2 t 实际上通过替 换z 为一工，以上情况以一等价于定理a 中的( 2 ) 情况的 如果在( 2 4 ) 中c 2 = 0 ，可以令c i = d i a g ( a ，6 ) 则由( 1 6 ) 得口2 + 6 2 = 2 且 口6 = 1 因此口= 6 = 1 且妒等价于当f = 三时，定理a 中的( 4 ) d 当d 3 因为r ( c p ) = 2 ( d 一2 ) ，除了一个s 2 的等距变换，在此情况下，我们可以取 1 0 第3 节定理a 的证明 z = 0 为歧点通过引理3 和( 2 11 ) 可以令c 。= d i a g ( a ，o ) 则由( 2 1 ) 得 石 厶= 毛 占2 + n z s 3a e 2 + z 2 9 ( z ) ，其中g 为 2c 4 一值全纯多项式与命题1 的证明相同，我们可以得到盘= d 且z g 。= 厶，占，a6 ：) = d z 则g 。= d ， 由以上，( 2 1 ) 与( 2 2 ) 分别可得 盼z 厄2 9 3 如z 2 9 。2 ， 亿埘 z 五= ( 1 ，d z ，z 2 9 2 ，z 2 9 3 ，z 2 9 4 ，z 3j i i ) ，( 2 1 3 ) 其中 h = 兹。一z g ：g ， ( 2 1 4 ) 则当g ，0 ，那么d e g ( g ，) d 一2 ，= 2 , 3 ，4 且如果h 0 ，得d e g ( ) l ，g ( k ，刀) 中不保持刚性定理由( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 的方法可以计算出 4 f = 4 l 口。1 2 l 口3 1 2 = s i n 2 ( 2 f ) 显然在g ( 2 ，4 ) 全纯等距的作用下f 是不变的因此对 于t z 对应的，与9 ，是不一致的 ( 4 ) 定理a 中( 3 ) 的嵌入映射缈有两个歧点这是g ( 2 ，4 ) 中的全纯s 2 与凹” 中的全纯s 2 的区别 1 4 致谢 致谢 时间飞逝，两年半的研究生生活很快就要结束了，我的硕士论文也是在导 师黎镇琦教授的精心指导下完成的在论文完成之际，感谢我的导师黎镇琦教授 以及向在研究论文过程中给予我启发、支持和关心的所有人表示衷心的感谢! 金苗苗 2 0 0 8 年1 1 月 参考文献 参考文献 【1 】j b o l t o n ，g r j e n s e n ，m r i g o l ia n dl m w o o d w a r d ，o nc o n f o r m a lm i n i m a l i m m e r s i o n so f $ 2i n t oc p n ，m a t h a n n 2 7 9 ( 1 9 8 8 ) ，5 9 9 6 2 0 【2 】e c a l a b i ，m i n i m a li m m e r s i o n so f s u r f a c e si ne u c l i d e a ns p h e r e s ，j d i f t g e o m 1 ( 1 9 6 7 ) ，111 1 2 5 【3 】s s c h e ma n dj g w o l f s o n ，h a r m o n i cm a p so ft h et w o - s p h e r ei n t oac o m p l e x g r a s s m a n nm a n i f o l di i ，a n n m a t h 1 2 5 ( 1 9 8 7 ) ，3 0 1 3 3 5 【4 】q c h ia n dy z h e n g ，r i g i d i t yo f p s e u d o h o l o m o r p h i cc u r v e