（理论物理专业论文）宽带压缩真空下运动梯形三能级原子的稳态布居.pdf

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t y p et h r e e l e v e la t o m ( i n t h ec a s eo fn e a r l ye q u i s p a c e dl e v e l s ) d r i v e nb y as u p e r p o s i t i o no fam o n o c h r o m a t i cl a s e rw a v ew i t hab r o a d - b a n ds q u e e z e d v a c u u m f r o mt h eh a m i l t o n i a no f t h ea t o m i c s y s t e m ，m a k i n g u s eo f b o m - m a r k o f fa p p r o x i m a t i o n ，w ed e r i v e t h em a s t e re q u a t i o nf o r t h ea t o m i c s y s t e ma n dt h ea t o m i c b l o c he q u a t i o na n do b t a i nt h es e a d y s t a t es o l u t i o n so ft h e o p t i c a lb l o c he q u a t i o nu s i n g n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n t h e nw ed i s c u s s ， r e s p e c t i v e l y f o rt h ec a s eo fa no r d i n a r yv a c u u ma n dt h ec a s eo fab r o a d b a n d s q u e e z e dv a c u u m ，t h ed e p e n d e n c e o ft h es t e a d y s t a t ep o p u l a t i o nsao n p a r a m e t e r ss u c ha sd e t u n i n ga ，r a b if r e q u e n c i e se , e 2 ，p h a s ef ，s q u e e z i r g p h o t o nn u m b e rn a n ds p o n t a n e o u sd e c a yr a t e s ，y l d 2e t c i nd i f f e r e n tc a s e sb y u s i n gg r a p h i c a lm e t h o d 。w e a l s oa n a l y z ea n dc o m p a r eq u a l i t a t i v e l yo n e - p h o t o n a n dt w o - p h o t o np r o c e s s e so ft h ea t o m i cs y s t e ma n dd i s c u s sq u a n t i t a t i v e l yt h e d o p p l e r - s h i f tc a u s e db y 吨h em o t i o n o ft h ea t o m 。 b ya n a l y z i n ga n dc o m p a r i n gt h eo n e - p h o t o na n dt w o - p h o t o n p r o c e s s e s o c c u r r i n gf o rv a r i o u sc a s e s ，i ti sf o u n dt h a tf o ras q u e e z e dv a c u u m ，o n l yw h e n t h ec a r r i e rf r e q u e n c yo ft h es q u e e z e dv a c u u me q u a l st h ef r e q u e n c yo ft h e d r i v i n gf i e l da n dt h ep h a s em a t c h i n gc o n d i t i o ni sf u l f i l l e d ，w i l lt h e r eb e as t r o n g t w o - p h o t o nr e s o n a n ta b s o r p t i o nf r o m t h es q u e e z e dv a c u u m ( q u i t ed i f f e r e n tf r o m a b s o r p t i o no fp h o 轴n sf r o m ac l a s s i c a l f i e l d ) o t h e r w i s e ，t h et w o - p h o t o n a b s o r p t i o nr a t ew i l lb eg r e a t l yd i m i n i s h e d ， c o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo f t h em o t i o no ft h ea t o mo nt h es t e a d y - s t a t e p o p u l a t i o n so ft h ea t o m i cl e v e l s ，w eg e tt h ec o n c l u s i o n sa sf o l l o w s ：as i t u a t i o n o f t w o - p h o t o nd o p p l e r s h i f t e dr e s o n a n c eo c c u r sn e a r z e r o t w o - p h o t o n d e t u n i n g ，a s i t u a t i o no f o n e - p h o t o nd o p p l e r s h i f t e dr e s o n a n c eo c c u r s n e a rz e r o o n e - p h o t o nd e t u n i n g ，a n dt w o - p h o t o nd o p p l e r s h i f t e d r e s o n a n c ed o e sn o to c c u rn e a rz e r ot w o - p h o t o nd e t u n i n gw h e nt h em o v i n ga t o m i sd r i v e nb yt w oc o u n t e rp r o p a g a t i n gl a s e rb e a m sw i t ht h es a m ef r e q u e n c y 第一章导论 早在1 9 1 7 年e i n s t e i n 提出了物质与光相互作用时动量是守恒的之后，原子与光 场相互作用开始引起人们的普遍关注，如原子在激光场中的偏离。1 、衍射等动力学问题 。1 、激光冷却“1 问题等。自从实验上成功制各出压缩光后对压缩光应用的研究，特别是 对压缩光与原子相互作用的研究引起广泛关注。因为与普通真空不同的是，压缩光中存 在着强烈的双光子关联。正是由于压缩真空这特性，才导致了人们对处于压缩真空中 的三能级原子的双光子吸收产生了浓厚的兴趣。当然已有很多人做了这方面的工作。如 f i c e k 等人“”研究了三能级原子与单模光场作用的荧光强度与压缩效应，文章研究了互 型结构的三能级原子在等间距和不等间距情况下的荧光稳态强度和压缩性能。类似的文 章还有f e r g u s o n 等人“”研究了压缩真空场驱动的三能级原子的共振荧光光谱， j o s h i 和p u r l “”讨论了与双模激光场作用的置型和a 型三能级原子在压缩真空库中的稳态性 质，在共振情况下发现，这两种原子的稳态粒子布居与反映库场压缩性质的参数无关。 李高翔和彭金生“8 1 研究了与单模激光场作用的v 型三能级原子在激光场与原子极化矢量 问有不同相对取向时原子稳态行为对库场性质的依赖。邢怀忠等人”研究了在有压缩真 空注入的腔中 型三能级原子的稳态粒子布居，发现腔的作用降低了压缩真空中的双光 子关联，原子的相干跃迁和压缩真空的相位对原子的稳态布居有很大影响。 但毕竟量子化方法较复杂，如研究粒子布居时，仅将原子量子化而将光场采取经典 模型的半量子化理论使问题大大简化，也能给出较简洁的解释。目前流行的半经典理论 有鼹个学派，是哈肯( h a k e n ) 的半经典理论，理论的出发点是哈肯的三个激光方程； 另一学派是兰姆( l a m b ) 的半经典理论，该理论处理的方法是从经典介质中电磁场的波动 方程出发，通过适当的近似给出激光电场的振幅和频率所满足的方程，理论采用的方法 是量子统计中密度矩阵的方法。 我们知道，研究运动三能级原予在激光场中的布居对于研究原子在激光场中的动力 学、激光冷却等问题有重要意义。另外，多数原子是多能级的、是运动的，而很多文章 只讨论了原子静止不动的情况，所以本文将讨论宽带压缩真空下，运动梯形三能级原子 的稳念伟居。在本文中，由于我们所研究的梯形三能级原子的能级i h j g e 接近相等，所以 可用束单色激光去驱动，使激光同时与原子的卜2 跃迁和2 3 跃迁耦合。对于能级 问距棚差较大的梯形三能级原子，可j t j 科束不同频率的激光去驱动。f | 于稳念行居就是 埘光f 吸收儿：簪的度嚣，所以本文也将时沦各种情况f 的单光r 目i 烈光予过转! 。以便存 相互比较中得到有益的结果。 本论文的其它章节安排为：第二章介绍与本论文有联系的基础知识：第三章介绍压 缩真空下运动e 型三能级原子在激光场中的主方程和光学布洛赫方程；第四章用数值计 算和图示法详细讨论稳态布居与拉比频率、失谐、波矢、光场的平均粒子数、相位等量 间的关系；最后一章给出本文讨论的结沦。 第二章基础知识简介 2 1 引言 一般的来说，量子力学的计算是非常复杂的，量子光学更是如此。但是，如果我们 在计算与推导过程中，抓住了主要因素，忽略某些次要因素的话，那么，计算与推导 的难度就会大大减小。本章所涉及的就是以后用到的一些近似条件、模型及主要概念。 分别是：旋波近似、绝热近似、偶极近似模型及宽带压缩真空。 2 2 旋波近似 6 在处理光场和能级原子的相互作用时，仅考虑接近共振的项( 一吡) ，而去掉远 离共振的项( “+ 。) 。和q 分别为原子的跃迁频率和激光场的频率。这与量子力 学的计算是一致的： 塑：! 二! + 塑：竺二! 。苎：竺二!( 2 1 ) q 一l4 + lm q 一l 对光学频率，分母( + 吡) 是非常大的，而且吡，故与第一项相比第二项可 以忽略掉，这就是所谓的旋波近似。 2 3 绝热近似 3 假设原子波包的大小r 远小于辐射场的波长 ，即： r ( 1 i ( 2 1 0 ) 对我们所讨论的三能级原子系统，在旋波近似和电偶极近似下，其与频率为q 的激 光场的相互作用哈密顿量为 7 ，8 ： ，灯一；r 亢e ：- 1 2 ) ( ，i e 。；。“，) 一i ，) ( 2j e 。未；一4 ) 一；j 疗q ：i 3 ) ( 2 1 e 。五；一虬) 一l2 ) ( 3 p “( 茁；一机) 】 ( 2 - ， 2 5 宽带压缩真空” 压缩真空的定义为： 0 。= s ( e ) 0 一分量的量子噪音减小，而另一分量的涨落增大。 当压缩真空的宽度远远大于原子的自然线宽时，便是宽带压缩真空。 对于宽带压缩真空，其热库算符的6 关联函数满足： r + ( f ) r ( f ) ，ay d ( r t 1 ) ， tf ( f ) r + ( f ) 一y ( v + 1 ) 6 ( f t ) r ( t ) r ( t ) ，y m e 一2 。 d ( f t ) ( f + ( ) r ( f ) ty m e 一2 。n d ( f t ) 其中，n ， 功压缩参数，且满足： im j2 n ( n + 1 ) 当n = 0 时，宽带压缩真空为普通真空；当m ：0 时，宽带压缩真空为热库；当 m 一撕而丽时，宽带压缩真空为最大压缩( 即最小不确定态) 第三章主方程和布洛赫( b l o c h ) 方程 3 1 引言 在本章中，首先，我们在电偶极近似和旋波近似下，得到描述一个三能级原子在 频率为吨的激光场和压缩真空场中运动的哈密顿量；其次，考虑到波恩一马尔科夫 ( b o r n m a r k o f f ) 近似和宽带压缩真空的性质，得到薛定谔表象下密度算符p 的主方 程；最后，通过作合适的变换去掉主方程中复指数型的时间因子，并使用合适的标度化 的变量，便得到重要的光学布洛赫方程。 3 2 哈密顿量 考虑宽带压缩真空下，一束单色激光对运动梯形三能级原子的驱动。原子能级 吣1 2 ) ，1 3 ) 之间的间距接近相等； e ，e ：，e ，分别为原子在各能级上的本征值 ( e ，汪：) e 。) ，驱动激光场波矢为k ，频率为c o l ，同时与原子的i 一2 跃迁和2 - - 3 跃迁 耦合，激光场对原子的驱动处于宽带 压缩真空下( 图3 1 ) 。 图3 1 ：频率为吡的单模激光场对梯 形三能级原子的驱动， la 吐一m 2 1 ，2 ，山l 一埘3 2 分别为激 光频率对两个原子跃迁频率的失谐。 原子基态r 1 和中间态l2 、中间态l2 和高能级态3 之间的跃迁频率分别为m ：和q ：t 此处a = e 。一e ，。这些跃迁分别与 电偶极矩阵元肛。p ：，有关( 为简单起见，假设为实的) ，且在电偶极近似下，j 一3 间跃 迁是禁止的( 芦，；o ) 。因此在电偶极近似和旌波近似下，描述一个三能级原子在频率为 。的激光场和压缩真空场中运动的哈密顿量具有以下形式 7 ，8 ： 疗：詹。+ 膏。+ 昧眩，r ) ( 3 ” 蕻中。；群。+ 砖为系统( 原子敬及驱渤激光场) 的哈密顿量。 瓦m 嘉唾骂俐 m 为簌子蠖量，f 最袁1 为原子的动量和谯置算德，e 为原子和驱动场之闼韵耀互作用岭 密顿量，鼎有以下彤式 7 ： _ * 一；臻q ，【芍净稿* 。n n l l 2 事。潼a m r ，】 一；f a q ：3 ) ( 2 f t 舡n “一1 2 ) ( 3 k “t t m 一，】 ( 3 3 ) 遮璺q 。，q 2 是由激光场振幅和原子偶极矩阵元决定的拉比频率， q l 堪鼓2 。h ；q 2 辫芦血t e 。7 盎( 3 。莲) j 睁。是压缩真空场的哈密顿量： 小n 莩降+ ；) c ss ， e + ，丘是压缩真空场的玻色予霹符。 吱糖， ；为囊统与压绞囊空裙曩终翅趣哙整顿量，程菠波避曩冀下，缭出妇下裘这式 ? 】： 吒伍，t ) 一j 1 按三k 氍l2 ) ，扛啦* 一m 一如p ，i + | 1 ) ( 2 扭州枷一， 一；腩罩k 5 2 域i 3 2 扣一( 肌一”) 一幻，丘+ i2 ) 3 扣mr 枷- “。 ( 3 6 ) 其中蚺鼢 孑) 2 删2 l 号) i 是真空场下通常的单光子挝比燃 韩是单位极化矢量，1 = 暖，i ) 袭示确定的波矢f 和极化i ，为压缩真空场的一种模式。 3 3 圭方程 系统与宽带压缩真空的勰合可看成烂系统与具有大量崮幽度的板子库的柑互作用， 其喻密顿爨为： 厅“疗，+ 疗。+ 吃= 疗。+ 吒( 3 7 ) 穆个系统( 系统+ 库) f j 统泔扎质r v 密度算符膏述。常慢算符碧满自! 抓f 拔动打州 l 5 j ： 胁警= 陋，j = 陋。+ 壤，j 】 ( 3 8 ) 在相互作用表象下，上式化为： 访等= 昧，雪。o ) ( 39 ) 上标，表示算符处于相互作用表象。 积分方程( 39 ) 给出： 牙o ) = 膏佃) + 瓤砒晤( f 。x 膏e 1 ) 】 ( 31 0 ) 把这个解代入方程( 3 9 ) 的右面，则有： 访等= 昧o i 量7 ( 0 ) 】+ 啬上d f l 瞻o i 唿“膳7 0 。) ( 3 1 1 ) 引入卢o ) 一t r 。2 ( t ) 。芦o ) 被称为系统的约化密度算符，其仅与系统算符有关。在相互作 用表象下： t h j 0 ) ；7 k 帆+ 以枷j o k l 帆以j ：“n t r 嬉。“囊l p 蚋p 1 = p 如小卢o k 时s p = p l o ) 4 ( 3 1 2 ) 则对( 3 1 1 ) 式关于库场自由度求迹可得： 访掣：玑 昧o l j 佃) ) + 去j ：砒n 昧o x 昧o 。谚“加 ( 。- 。) 初始时刻( ta 0 ) 系统和库是无关的，则有： j ( o ) = p ( o l r ( o ) ( 3 1 4 ) p ( o ) 和r ( o ) 分别描述系统和库的初态。我们现在利用玻恩( b o r n ) 近似，即没系统与库之 问的相互作用很弱，库是很大的系统则系统对库几乎没有影响，故： 膏。0 ) = p l o k ( o ) 。在玻恩近似下，方程( 3 1 3 ) 化为： 腑望o 塑t ：巩 唿o l p 伽m ( 。 + 去_ 加巩 隙“l 昧。如，。加( 。) 1 ) ( 3 1 5 ) 观察( 3 6 ) 式，可得： 哆7 0 ) = s j e 埘o ) ( 3 1 6 ) 其中s 沁) ，r j 分别是相互作用表象下系统和库的算符。 把( 3 1 6 ) 代八方程( 3 1 5 ) 得： m 言p 7 。) = 去善l j = 出。r 弛l r 沁，) ) b 儿i s 旭扣。+ ( r j 。l r 儿p k 。b j o 。l s ? 。) + 芝( 矾) ) b 儿l p 7 ( 0 ) 其中： ( 尺di 吼k ( o l r 沁h ( 叫o 。l r j 0 = p 。【r ( 0 l r 儿，l r j 如) 】 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 分别为库的一级和二级关联函数。在一个较短的关联时间f 。内，关联函数衰减为0 ，即 是： ( 群0 一or ) ) r 。 ( r j o 。k j 0 ：b o ( 3 1 9 ) 这使得我们能利用马尔科夫( m a r k o f f ) 5 ，9 近似。令f 1 为p 。o ) 的矩阵元发生变化的衰 减时间，假设：f z c ( ( 1 ，则( r 睡1 r ；( f 。 不为0 的时问问隔内，p l o ) 几乎没有变化，我 们就可在方程( 3 1 7 ) 中用p 。0 ) 代替p 0 。) ，此即为马尔科夫近似。在马尔科夫近似下， 主方程与p t 0 ) 的历史无关。假设f ) ) t ，则( r 沁n 一0 。至此我们得到玻恩马尔科夫 ( b o r n m a r k o f f ) 近似下的主方程： 脯昙p7 t ) = z 埔钾v 。c d , 。腑。御o 9 圈o l s 巾1 p 7 ii + 忙j o 押枷，o 砖j o 。i o 皿 ( ：j 2 0 ) 对我们所考虑的三能绒原子与i 缩真空的相互作用。1 = i = i ( 36 ) 式可知： 州d ) * z q j 。域e 雌n “或科“) “( q 巨+ e 一肛n t ，j 强厍为觅帮的压缩翼登场，鼹镉以f 性旗 1 0 ，1 4 j ： ：瓦) = ( )仅当= q ( 颤e ) = ( ) + 1仅当地= 泼瓦) = 耐魄)投当+ 。2 p ：) = m + ( )仅当抛；+ m ，* 2 鸭 ( 3 2 1 ) 其中为压缩真空的载频，即( 峨1 2s ( m ( 吐) + 1 】，( 峨) 为宽带压缩窦空下模式 羹盖的壳弱戆平均粒子数。鬟参量掰( 魄) = 掰( 2 嗨一。) 一 材k 转魄裁画了频率在唆 和2 一间的场模的关联，此处吼为压缩真空的相位。在( 3 2 0 ) 式中使用( 3 2 1 ) 式， 最后可得薛定谔表蒙下密度算符d 的主方程 7 ，u ： 警* ；泌，p 】+ ；f + t 诱。瞬，茚门+ 瞬岛s j l + ；善b 豁泓j 舻? 一；艇b 器? ，茚廖器? 岛s j p m 一羔2 掰+ 善b 瞬，硝岛s p 蚴 遮鼙s ；= 1 2 ( i i ，醚一| 3 2 | ，嚣= l 玲2 l ，墨一| 2 3 l 。i ，饺对i 。2 隶彝，参数t ， 分别为态1 2 ) 到态1 1 ) 相态1 3 ) 到态1 2 ) 的原子的白发辐射率，f l ：为耦台2 - 3 和l 一2 原予 椭关跃迁帮： 分分筘鼢) ( 32 3 ) 3 4 布洛巍, ( b l o c h ) 方程 我们知道，原予内部自由度和外部禽f h 度演化的时间标度是i ；蔺孵。对内部音i | 窿， 疑时到标艘具有激发态豹自然淹命l r “) “i j z 。t l “，而外郏自幽度，其时州括艘的量级为 ，j e r e e ( e r e c 为胤r 的反j l | l 能肇) ，f 1 1 批章如i f 。 n 态i2 的自发发射，o 。也在= o 时达到峰值。当a ：6 时，也就是 说= 0 ，为零低跃迁失谐，此时，由于原予从驱动激光场吸收一个光子( 单光子吸收) ， 而使原子从l l 态跃迁到i2 态的几率很大，则。：达到峰值( 单光子共振) 。此时，由于 激光场与原子1 2 一13 的跃迁失谐，从态i2 到态l3 的跃迁几率很小，故在= 6 处o 。 不会出现峰值。 ( 2 ) 拉比频率对o o 。的影响。 由于单，双光子的跃迁几率均与拉比频率有关，所以，为了看出o o 。在不同 的拉比频率下关于双光子失谐变化情况，我们面出图4 2 图4 2 所选参数为r ，= y ：= y 2 f o 5 ；6 = 5 ：厅v = o ；f = o 2 ( 实线) ，= 2 ( 点线) = 6 ( 虚线) 从该图可以看出，当l = 9 2 = e = 0 2 ( 驱动场很弱) ；o 在a = = 0 处并未出现峰值， 说明未出现双光子共振，o 。仅在h = 6 处出现一个弱峰，况明仅出现单光子共振。这 是因为，原子同时从驱动激光场中吸收两个光子的几率诉比于驱动激光场强度的平方， 而驱动激光场的强度又正比于e 。，所以双光子吸收j l 率币比于e 。而单光子吸收的几 率正比于驱动激光场的强度，故单光子l 殁收几率币比于e2 。也就是说，当e 很小时， 一方面由于双光予吸收几率太小，因此在= 0 处，o 。几乎不出现峰值( 或着酏峰值几 乎为零) 。另一方而，由于双光予吸收几率与单光子吸收儿牢年h 比可忽略不计，即：烈 光r 吸收对o 。贡献与单光子吸收对o ? = 贡献干比可忽略，故，o 。仅在a = 6 处i 耽 一个弱峰( 因为此时单光子吸收几率也很小) 。 如果e 很大，那么，o 。o ：。都在变大。为了观察强场下粒子布居数的变化， 我们画出在r 尸r 。= r 。= 0 5 ；6 = 5 ；k v = 0 ；a - 0 时，如图4 3 所示的o 一e 曲线。 图4 3 所选参数为y 产y 2 = y “= o 5 ：6 = 5 ：价p 如：= o 从图4 3 可以看出，随着e 的增大，o ：、o 。也在增大。当e 足够大时，o 。、 o 。达到稳定值，均为1 3 。原子能级间的布居数饱和，在这以后，e 的增大不会对粒 子布居数产生任何影响。 ( 3 ) 自发发射率y ，：对稳态布居的影响。 首先，我们画出o 。o 。关于双光予失谐和自发发射率之比b = r ：y - 变化的 三维立体图4 4 。所选参数为8 1 = f ：= s = 2 ；h = i 万；6 = 5 ；k p 如。 然后，我们再从立体图中选画出当b 1 ( 例如取i 0 ) ，0 = l ，p l 时，在= o 附近，o o 。均出现了峰值，但o 。 要比o ，大得多。这是由于当r ： y ，时，l3 一2 的自发发射远大于i2 一i l 的自 发发射，这使得原子在中阳】态有较长的寿命，虽然通过双关子吸收，1 3 态的柑居数o 。 达到了峰值，但由于较强的3 一i2 的自发发射，其值并不会大。而ow 则会有很大 的峰值。同时，正是由于原子在中问态有较长的寿命，在= 6 附近，o ：也出现了较 大的峰值。当b 一；1 的自发发射远大于i3 一i2 的自发发射，则o ：! 的值会特别地小这在图上表现为个“符”。在= 6 附近，由于i l 一i2 的单光子 跃迂o 。出出现了峰值。 图4 4 所选参数为= 2 = = 2 ；r ：t = i 万；d = 5 ： p v = 0 图4 5 所选参数为e 1 = e2 = f = 2 ：h = i 万；6 = 5 ；k v 4 ) ；f 3 = 1 0 ( 实线) ：o = 1 ( 点线) ； b - 0 1 ( 虚线) ； ( 4 ) 原子相对于驱动场的运动对稳态布居的影响。 如果原子相对于驱动场以一定的速度运动的话，则双光予与单光子共振失产生多 普勒频移。参照图3 1 ，我们可做血u 下分析： 当原子的速度方向与驱动场的传输方向一致时，k v 0 a ( 1 ) = 珊十kv 一枷2 1 = i + k 矿 a ( 2 ) = 珊+ k v 一叫3 2 = 2 + k v = ( 1 ) + ( 2 ) = a l + 2 + 2 k - v 。，i d = ( 2 ) 一( 1 ) = 2 一1 从以上四个式子又可以得到： 1 。昙( 一6 2 k 矿) 2 ；昙( + 6 2 k y ) 当a = 2 k 时，我们得到： a 。；一号aa ：= a 由于我们所考虑的是能级间隔接近相等 的梯型三能级原子，所毗，6 的值非常小， 故a ，。0 ，a 。0 。即：产生双光子共振。显 然，与原子静止比较，双光子共振产生了 2 ( y 的多普勒频移。 当a = 6 + 2 k p 时，我们得到：a = o ，这 对应1 一 2 的单光子共振，与原子不运动相 比，单光子共振产生了2 k r 的多普勒频移。 当原子的速度方向与驱动场的传输方向 相反时，即v o 时相反。 为了证实上述结果，我们画出图4 6 和图4 7 on om 图47o o 。，关于双光子失渚a 的变化曲线。所选参数为e ，= ：= f 2 2 r ，= r 产r 。= 0 5 ；6 - 5 ：k 卢o ( 实线) ；k v = - 0 1 ( 点线) ；k 净一0 2 ( 虚线) 下面，我们讨论一下两束频率相同，方向相反的激光对原子的驱动。假没驱动 1 一l2 跃迁的那束激光的传输方向与原子的运动方向一致，则驱动2 一i3 跃迁的那 束激光的传输方向与原子的运动方向相反。参照图3 1 ，我们可得到： ( 1 ) = 珊+ k - v 一2 l = a l + k v ( 2 ) = o j l k v 一。3 2 = a2 一k v = ( 1 ) + ( 2 ) = 1 + 2 d = ( 2 ) 一a ( 1 ) = a2 一a 1 2 k v 从以上四个式子又可以得到： 1 ：导( 一d 一2 k 矿) z = ( + 6 + 2 k y ) 当= 0 时 一手( 6 + 2 kr ) ；z = ( a + 2 k r ) 由于我们所考虑的是能级间隔接近相等的梯型三能级原子，所以，6 的值非常小，再考 虑到k v 的值也很小( 见式2 3 ) ，可以认为a ：和a 几乎为零。即：产生双光子共振。 显然，双光子共振没有多普勒频移。 当a = 6 + 2 加y 时，a - 0 ，这对应1 1 一l2 的单光子共振，与原子不运动相比，单 光子共振产生了2 k r 的多普勒频移。我们可从下面的图4 8 看到这一点。 图48。o 关于双光予失谐 的变化曲线。 所选参数为s 2s ：= s = 2 r 严扩产r ：。= 0 。5 ；s = 5 ；扣玲0 ( 实线) ；驴净e 。l ( 点线) ： 2 m = 0 ( n 0 ) 。此时辐射场为类似于热库的宽带压缩真空。 麸方程( 3 2 7 ) 霹戳看到，在掰习澍，鸯静毽对舞粱没有任褥澎响，掰强，在下褥 的分析中，m 可随机取值。 ( 1 ) 。a 。随双党子失谐a 豹变纯。 首先，我们画出a ：、o ”关于双光子失谐及平均光子数变化的三维立体图( 如 鹭4 。9 掰示) ，新选参数为s 1 = 2 = = 2 ；k t - r 产r 。= o 5 ；6 = 5 ；k 净o 。然后，我们 从阁4 9 中选出几条曲线，如图4 1 0 所示。 鼠图4 ，l o 中曲线我们可阱看到：如果不是太大( 例如，n = i ) ，当= o 时，为 零双光子失谐，此时原子同时从驱动激光场吸收两个光予的几率很大，从磁馒o 。达到 峰值( 双光予共振) 。同时，i 墨i 于从态f3 到态 2 的自发发射，o 。也在= o 时达到蜂 值；当= 6 时，也就是说a ，= 0 ，为零低跃迂失谐，此时，由于原子从驱动激光场吸 收个光予 态跹迁到f2 ) 悫的几率很大，则o 。达到峰 值( 单光予共振) 。同时，由于从态1 1 到态 3 的逐步跃适，。也达到峰值 当6 时，也就是说j = 0 ，对应零离跃迁失谐，此时，由于原予从驱动激光场暇收一个光子 ( 雌光子吸收) ，而健原子从j 2 态跃进列1 3 态的几率很大，则o 。达到峰值( 单光子 共振) ；o “函而会减小( 出现一个“谷”) ，如浆n 足谚大( 例如，n = 1 0 ) ，驱动场的作 用被抑制，o 。和a 。表现为条直线。 懑9 所选参数为g t = 2 = s = 2 ；r 产r ：= f 。= 0 5 ；垂= 袅蠢，f - 土0 一一f - 人 2 0 。1 00 图4 1 0 。o 。关于双光子失谐及n 的变化曲线。参数为e 1 = ，= = 2 ； r ，2r 2 - r 2 2 0 5 ；k v = - 0 ：6 = 5 ； ，v - 1 ( 实线) ：= 5 ( 点线) ；n = 1 0 ( 虚线) ( 2 ) 拉比频率对o ：。、o 。的影响。 在驱动场很弱时，亦即拉比频率e 很小( 例如，- 0 2 ) 时，我们取r ，= 5 产r = o 2 ； y - 2r z 2n ，2 0 5 ；6 = 5 ；k p 卸；- 0 ：= l 、5 ，1 0 时，得到如图1 1 所示的o 。、 o 。，关于双光子失谐的变化曲线 浚图表明，由于驱动场很弱，即使在值很小( 例如，n = i ) 时，其对原子的作用 也是被抑制的。：仅在a 一6 处出现一个弱峰。 。柚一1 0o1 0 2 0 图4 1 l = l ( 实线) ：n ，= 5 ( 点线) ；，v - i0 ( 虚线) 为了观察粒子布居数随拉比频牢e 的变化，我们画出在a = 0 ，r 。= r 产n ，- 0 5 呲 m 【 0 o 0 6 - 5 ；k v = 0 ；m ：0 ：n = l 、5 、1 0 时，如图4 1 2 所示的o 。一曲线。 图4 1 2 所选参数为= 0 ，r = r 2 = y 。，= 0 5 ；6 = 5 ：k v = 0 ；g = 0 ：n ：i ( 实线) ：n - 5 ( 点线) ；n ：1 0 ( 虚线) 从图4 1 2 可以看出，随着e 的增大，无论n 取何值，当e 足够大时，o 。o 。 达到稳定值，均为l 3 。原子能级问的布居数饱和，在这以后，e 的增大不会对粒子布 居数产生任何影响( 这和普通真空是一样的) ( 3 ) 自发发射率y ，、y ：对稳态布居的影响。 首先，我们画出o o 。关于双光子失谐和自发发射率之比b = y ：y ，变化的 三维立体图4 1 2 。 图4 1 2 所选参数为8 1 - s 2 ：f = 2 ；r 。一= i 万；d = 5 ；，r v = 00 5 ；肛l 。 然后，我们再从立体图4 1 2 中选画出当0 1 ( 例如取1 0 ) ，b = 1 ，b i 时，o 。在。6 处出现了峰值。因为 此时。一0 ，这对应着零高跃迁失谐，为2 态跃迁到【3 态的单光子共振，从而使o 。， 达到峰值。 如果光场的平均粒子数很大，比如说n - 1 0 ，驱动场和自发发射率对o ：、o 。的作 用都被抑制，如图4 1 4 所示。 o 2 2 o 4 00 5 o3 一一一一一= j 0 图41 4 所选参数为s ，= ：= = 2 ；rz t = 而；6 = 5 ；厅间0 5 ；胆l o ；口= 1 0 ( 实线) ； 0 - 1 ( 点线) ：b = o 1 ( 虚线) ( 4 ) 原子相对于驱动场的运动对稳态布居的影响。 和普通真空一样，如果原子相对于驱动场以定的速度运动的话，单光子和双光子 菇振会产生2 k f 多普勒频移。我们_ j 在r 丽的图41 5 和图4 1 6 看到这一点。 图4 - 1 5 。，z 关于双光子失谐和小r ( 0 ) 变化的三维图。所选参数为：1 2 0 ； f ，= 。2 = f = 2 ；r fr fr m = o 5 ： 6 = 5 图4 1 6 。“关于双光子失谐和厅( 跃迁的那束激光的传输方向与原子的运动方向相反，则驱动1 2 一f 3 跃迁的那 柬激光的传输方向与原予的运动方向 致。为此我们画i ：tf i41 7 。 图4 1 7 所选参数为= 1 ；= o ：f ，= 2 = - 2 ；r ，= r ：= r2 ，- 0 5 ；6 - 5 ；v - 0 ( 实 线) ；k v - - 0 2 ( 点线) ； 从该图可明显地看出，对于双光子共振，不会有多普勒频移；对于单光子共振，仍 有多普勒频移。 3 n 0 ，m = 正i j 再酉，此时辐射场为宽带压缩真空的最小不确定态。 ( 1 ) o 。、o 。随双光子失谐a 的变化。 从方程( 3 2 7 ) 可以看出，由于n 所以，0 o 。：除了由前面所说的参数 决定外，还和中有着密切的关系。因此，为了得出。、0 ，随巾值的变化情况，我 们首先画出如图4 1 8 、4 1 9 所示的o 。o 。关于双光子失谐和m 变化的三维立体 图。然后，我们再分别从图41 8 和4 1 9 中选出几条如图4 2 0 、4 2 1 所示的，当中 分别取0 、2 、n 时，o o 。关于双光子失谐的变化曲线。 图41 8 所选参数为= l ；m = 压；产f 产e - 2 ；r = r 。= r ：= o 5 ；6 - 5 ；怍o0 5 。 忒= 图4 1 9 所选参数为- 5 ；m - 4 y i ；e ，= f 。= - 2 ；y l = r 。= r 。= o 5 ：6 = 5 ；k p = - 00 5 图4 2 0o 。 8 产52 = - 2 ； m = ( 虚线) o 。关于双光子失谐和中变化的曲线。所选参数为；= i ：= 压 r ，= r ：= r ：= o 5 ；6 = 5 ：小胆o 0 5 ；巾- 0 ( 实线) ；巾= 2 ( 点线) ； 图t2 1o o 。关于双光子失谐和m 变化的曲线。所选参数为- 5 ；m - 丽 一 f ，= f ：= f - 2 ；y = r ：= r ：- 0 5 ；6 - 5 ；舻v - 0 0 5 ；中= 0 ( 实线) ：巾= 2 ( 点线) ； m = n ( 虚线) 从图42 0 、4 2 1 发现，与图4 1 0 不同的是，o 。o 。除了与压缩真空的其他参 数有关外，还与巾有关。当d ) - 0 时，o ：、o 。在。0 处出现向上( 向下) 的尖峰。 这两个尖峰来自方程( 32 7 ) 中m 依赖项( 1 2 ) r 。， o ，。e x p ( 一j 中) + o 。e x p ( i 巾) 。 对于巾= 0 ，说明双光子相干o 。( 。，) 在一o 时与压缩真空同相振荡，因此原子与 压缩真空之间产生了强烈的光子对( 频率为m 。和u ，且满足m 。+ 。- 2 u j 交换，原 子自压缩真空的双光子l 吸收极强，故。有极大的值( 向上的尖峰。因而l3 一l2 的自 发辐射被抑制，因此o 。的值就非常的小( 向下的尖峰) 。 当巾= n 2 和m = 时( 双光子相干与压缩真空不同相振荡) ，原子自压缩真空的双 光子吸收这会大大的减弱( 见图4 2 2 ) ，因此，在一0 处，o 。( o 。) 没有向上( 向下) 的尖峰，它们关于双光子失谐的变化曲线与图4 1 0 相似。 ( 舻1 j( 肛5 ) 图4 2 2稳态双光子相干o 。的模关于双光子失谐的变化曲线。参数为= l ，5 ； ，= 丙丽；f _ l = f ff = 2 ：r ，= r 产r 。，= o 5 ；6 = 5 ；睁o 0 5 ；中= o ( 实线) ；中= 2 ( 点线) ：m = ( 虚线) ( 2 ) 拉比频率对o o 。的影响。 首先，我们画出在( i ) - 0 时，o 。、。关于双光子失谐和拉比频率变化 的= 三维图。见图4 2 3 。 然后，我们从图4 2 3 中选择三条如图4 2 4 所示的o 。、o 。关于双光子失谐变 化的m 线。 hc= 从图4 2 4 和图4 2 4 中可以看出，与普通真空和热库不同的是，当辐射场为宽带 压缩真空的最小不确定态时，即使在拉比频率很小( 驱动场很弱) 时，由于原子白压缩真 空的强烈的双光子吸收，双光子共振几率仍很大，表现为o = 在。0 处向上的尖峰。 随着e 的增加，驱动场逐渐增强，o 。尖峰会渐渐变宽，当e 很