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对流扩散问题的几种紧致差分格式 摘要 对流扩散方程是流体力学的基本方程之一求解这一方程在理论上和实际应用中都具 有重要意义。对于对流占优的流动，许多数值方法往往会给出伪震荡解或非物理的负解 目前，求解定常对流占优方程，常见的数值方法主要有：有限单元法、有限体积法、有限分 析法和有限差分法其中，有限差分法以其构造差分格式简单且形成线代数方程组容易而 被广泛研究和应用。在有限差分法中，高精度紧致差分格式又尤以其涉及网格点少、边界无 需特殊处理且具有较好的精度而成为研究热点。 本文考虑定常线性含源对流扩散方程的新的紧致差分格式格式系数的确定利用待定 系数法，即通过对某一中心点的临点进行关于中心点的泰勒展开，但与传统的有限差分法 不同的是，展开不是截取有限项，而是取无穷多项( 但这些项构成收敛级数) ，力图使得最 后的差分格式具有更好的计算精度同时，本文在构造格式的过程中，指出传统误差分析的 局限性以及用有限差分格式构造高精度差分格式的真正困难所在 本文在第二节针对一维线性含源对流扩散方程，以这种全新的思路首先构造了三点无 条件稳定的二阶紧致差分格式，数值实验表明该格式计算精度好于前人给出的二阶甚至四 阶格式然后，在此基础上通过系数修正给出了一种条件稳定的三阶格式，接着利用系数摄 动修正法又给出一种截断误差为四阶的格式，并均进行了数值实验 第三节首先将前一节中的一维二阶基本格式的结果直接推广应用到二维情形，得到一 种二阶五点差分格式，然后通过对系数的摄动修正给出了一种四阶精度的九点差分格式 最后直接从微分方程出发，通过泰勒展开和级数收敛性又构造了一种无条件稳定的五点新 格式。数值算例将揭示出各种格式的计算效果。 关键词：对流扩散方程，紧致差分格式，对流占优问题，奇异扰动 s o m ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s f o rc o n v e c t i o n d i 肌s i o np r o b l e m s a b s t r a c t c o n v e c t i o n 。d i f f u s i o ne q u a t i o ni so n eo ft h eb a s i ce q u a t i o n si nt h ef i e l do ff l u i dm e c h a n i c s t h e s o l v i n go ft h i se q u a t i o ni so fg r e a ts i g n i f i c a n c ei nt h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n di np r a c t i c a la p p l i c a t i o n f o rc o n v e c t i o n - d o m i n a t e df l o w ，m a n yn u m e r i c a lm e t h o d so f t e ng i v ep s e u d os o l u t i o no rn o n p h y s i c a l n e g a t i v es o l u t i o n a tp r e s e n t ，c o m m o nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs t a t i o n a r yc o n v e c t i o n d o m i n a t e d e q u a t i o n sa r e ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f i n i t ev o l u m em e t h o d ，f i n i t ea n a l y t i cm e t h o da n df i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d a m o n gt h e s e ，t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di sw i d e l ys t u d i e da n du s e df o rt h e s i n p l i c i t yo ft h es c h e m ea n df o r m i n gt h el i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n se a s i l y i nt h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，t h ec o m p a c th i g h - a c c u r a c yd i f f e r e n c es c h e m ee s p e c i a l l yb e c o m e sar e s e a r c hh o t s p o tf o ri t i n v o l v e saf e w e rg r i dp o i n t sa n dt h eb o u n d a r ys h o u l dn o tb et r e a t e ds p e c i a l l y , a n dt h en u m e r i c a l r e s u l th a sab e t t e ra c c u r a c y i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rs t a t i o n a r yl i n e a rc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hs o u r c e w b t r yt od e s i g nn e wc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e s t h ec o e f f i c i e n t so ft h es c h e m ew i l lb ed e t e r m i n e d b yt a y l o re x p a n s i o n ，t h a ti s ，e v e r yp o i n ta r o u n dt h ec e n t e rp o i n tw i l lb ee x p a n d e db yu s i n gt a y l o r f o r m a t ，b u td i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，w ew i l lk e e pi n f i n i t en u m b e r o ft e r m si n s t e a do ff i n i t et e r m s ( t h e s et e r m sc o n s t i t u t eac o n v c r g c n ts e r i e s ) ，i no r d e rt oo b t a i nt h e b e t t e ra c c u r a c yo ft h es c h e m e m e a n w h i l e ，d u r i n gt h ec o n s t r u c t i o no ft h es c h e m e ，w ew i l lp o i n t o u tt h ec o n s t r a i no ft r a d i t i o n a ld i f f e r e n c es c h e m ea n dt h er e a s o nw h yi ti ss od i f f i c u l tt oc o n s t r u c t t h es c h e m ew i t hh i g ha c c u r a c y i nt h es e c o n ds e c t i o no ft h i sp a p e r ，o n e - d i m e n s i o n a il i n e a rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t h t h es o u r c ei sc o n s i d e r e d f i r s t ，a nu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l et h r e e - p o i n tc o m p a c td i f f e r e n c ei sc o n - s t r u c t e dw h i c hh a ss e c o n d - o r d e ra c c u r a c y , n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ec a l c u l a t i o na c c u - - r a c yo ft h es c h e m ei sb e t t e rt h a nm a n yo t h e rs e c o n d - o r d e rs c h e m e sa n de v e nf o u r t h o r d e rs c h e m e s g i v e nb yp r e d e c e s s o r s t h e nat h i r d - o r d e rc o n d i t i o n a l l ys t a b l es c h e m ei sg i v e nt h r o u g hc o e f f i c i e n t a m e n d m e n t af o u r t h - o r d e rs c h e m et h r o u g hc o e f f i c i e n tp e r t u r b a t i o ni sg i v e na tl a s t n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sf o ra l lt h es c h e m e sa x ep r o v i d e d i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ew i l lo b t a i nas e c o n d - o r d e rf i v e - p o i n td i f f e r e n c es c h e m ef o rt w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m sb ya p p l y i n gt h es e c o n d o r d e rb a s i cs c h e m ei ns e c t i o no n e t h e naf o u r t h - o r d e rn i n e - p o i n t s s c h e m ei sg i v e nt h r o u g hc o e f f i c i e n tp e r t u r b a t i o n f i n a l l yaf i v e - p o i n tn e ws c h e m ew i t hu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ei sc o n s t r u c t e db yt a y l o re x p a n s i o na n dc o n v e r g e n c eo fs e r i e s n u m e r i c a le x a m p l e sw i l l r e v e a lt h ee f f i c i e n c yo fa 1 1t h e s es c h e m e s k e yw o r d s ：c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ，c o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e ，c o n v e c t i o nd o m i n a t - i n gp r o b l e m ，s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗竖塾盘堂或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文版权使用授权书 期：诬2 么：争 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 盘宣蘧导师签名： 电魄 纠 ， - 一一 1引言 对流扩散方程出现在应用数学的许多分支，例如：流体流动中其速度、温度和组分等的 变化，地下储藏石油的开采模拟，热传导问题，半导体器件的模拟等【对流扩散方程有 限差分方法的一个基本困难，即是源于一阶对流项的所谓迎风效应 2 1 因为从物理过程的 特点来看，一阶导数项的离散是最为困难的，这主要与对流作用带有强烈的方向性有关 从数值计算及其结果而言，对流项离散方式构造的是否合适影响到下面三个方面的特性： f 1 ) 数值的准确性：对于大多数有实际意义的问题，扩散项的二阶截差的离散格式已完 全能满足需要【3 】。数值计算结果误差的主要来源在于对流项的离散格式当对流项采用一 阶截差格式时会使数值计算的结果中出现假扩散误差| 4 】，即由一阶导数项的离散格式的截 断误差小于二阶而引起较大数值计算误差 ( 2 ) 数值的稳定性：某些离散格式( 例如中心差分) 在一定条件下会导致数值解发生振 荡，这称为数值解的不稳定性。 ( 3 ) 数值解的经济性：构造相对简单的差分格式，使其形成的代数方程组无论在占有内 存还是运行时间上都比较少 到2 0 世纪8 0 年代止出现的各种数值方法主要是将扩散项与一阶对流项分开来处理， 如中心差分格式、迎风格式、混合格式以及利用多个网格点( 即非紧致) 的二阶迎风、三阶 迎风、q u i c k 格式等f 5 j 进入9 0 年代以来，人们不再把一阶项，二阶项以及源项分开 来处理，而是充分利用原微分方程将这些项联系起来统一处理其中一种重要的方法就是 紧致差分方法紧致差分方法是利用计算区域内较少的网格点达到较高精度的数值计算方 法，其经济性好是显而易见的，重点要确保的是格式的准确性和稳定性。目前已有的紧致格 式主要有直接从原方程出发构造的二阶差分格式1 6 - 9 1 ，以及通过对原有低阶格式进行系数 摄动修正产生的高阶格式( 一般是四阶) 1 0 - 1 3 1 。 在高精度紧致差分方法中，d e n n i s 和h u n d s o n 针对对流扩散问题提出的四阶紧致格 式f 1 5 l 早期在国际上影响较大该格式不需将对流与扩散过程分步考虑，且只涉及相邻网格 点，能以较粗网格获取相当准确的结果但遗憾的是其未能充分反映对流项的“迎风”效 应，不适用于对流占优问题。国内陈国谦、杨志峰、田振夫等就对流占优问题进行了大量研 究1 9 - 1 4 其中，文献 8 对于定常对流占优问题基于迎风变换导出了具有二阶精度、无条件 稳定的指数型格式，以其简单有效成为处理定常问题时一种应用较广的差分格式 本文将对一般线性含源对流扩散问题进行研究第二节，研究一维情形首先，我们利 用待定系数法以及无穷级数收敛性，对一维对流扩散方程以一种崭新的思路构造了二阶基 本格式，该格式具有无条件稳定性，计算效果优于同阶其它格式( 如二阶中心差分格式以及 文献【8 , 9 】给出的二阶格式) ，甚至优于文f 1o 】给出的四阶差分格式从本文的二阶基本差 分格式出发，通过对差分方程系数及右端项做近似处理，可以得到诸多前人给出的差分格 式，从而以一种全新的角度理解过去的各种方法，深入理解仅以截断误差阶判断方法准确 度的局限性接着，通过对二阶基本差分格式进行修正，给出一种截断误差为三阶的格式， 并从格式构造过程中可以看出有限差分法提高数值解精度的真正困难所在最后利用同文 献【1 3 】一样的摄动修正思想，给出一种截断误差阶为四阶的格式数值实验表明，从全局 来看，本文推导出的三种格式误差同前人已有的最好的方法基本在同一数量级，远远优于 迎风格式从最大误差来看，本文二阶、三阶格式相差无几，最优 第三节，研究二维情形首先将前一节中的二阶基本格式的结果直接推广应用到二维 情形，得到一种无条件稳定的二阶五点差分格式，然后通过对系数的摄动修正给出了一种 无条件稳定的四阶精度的九点差分格式接着从原微分方程出发，通过泰勒展开并利用级 数收敛性构造了又一种无条件稳定的五点新格式最后数值算例表明，对于系数较大的对 流占优方程，本文所构造的两种二阶格式在边界层上可以达到很好的逼近效果，且构造的 四阶修正格式在非边界层处能取得更高的精度 2一维对流扩散方程的差分格式 2 1 形式上精确的差分格式 定常一维含源线性对流扩散方程为 厶；| - 一u ”+ 乏：z ) u ：2 ( x ) ，z ( a ，6 ) ； ( 2 1 ) iu ( n ) = o ，u ( 6 ) = p 、 7 其中乱= u ( z ) 为待求量，a ( x ) 0 为对流系数，( x ) 为源项，并设a ( x ) 、i ( x ) 充分光 滑，q ，卢为边界值 将区间i = a ，b 等距剖分为等分，节点集为：厶= a = x o ，x 1 ，x n = b 步长 h = = - ，记u o ，u l ，u n 为方程( 2 1 ) 在剖分节点的准确值，砜，队，为要采用 的离散差分格式在剖分节点的计算值。 由t a y l o r 公式，有 虬，= 喜掣= u i + u 知宁m = 喜掣砘邶+ 努宁帆一 其中。知札表示历d k u 以下类似记号同理，不再说明。 2 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 如记 由方程( 2 1 ) 知u ”= a 札7 一f ，反复利用此式，可得 a 一，； 胤”+ a l u 一f 7 = ( a 2 + ) “7 一( a f + ，) ( a 2 + a 7 ) u ”+ ( 2 a a 7 + a ) u 7 一( a 7 ，+ a ，7 + ，) ( a 3 + 3 a a 7 + a u 7 一【( a 2 + 2 a 7 ) 厂+ a ，7 + ，】； k - 2 d 血u ( z ) = b k ( x ) u k ) 一n k , j ( x ) d j f ( x ) j = o ( 2 4 ) ( 2 5 ) 且简记b k ( z ) 为b 知，a k d ( z ) 为o ，j 对( 2 5 ) 式求导，且观察组式( 2 4 ) ，易知：序列 b k ( k = 1 ，2 ，) 满足通项公式： ：三二6 七一。+ 砭一。尼：2 ，3 ， 序列a k , o ( 忌= 2 ，3 ，) 满足通项公式： = 1 ， = b k 一1 + 口z 一1 o ( k = 3 ，4 ，) 序列。幻0 = 1 ，2 ，) 满足通项公式： a j + 2 ，j = 1 ， a k ，j = a k 一1 ，j 一1 + o ：一l j ( 后= j + 3 ，j + 4 ，) ( 2 5 ) 式分别代入( 2 2 ) 、( 2 3 ) ，有： 如记 “i + l2让i + 乱：芒1b k ( x t ) 胪尼! 一墨2 笔；妣，j ( 轨) 厂。( x i ) h 意! 札i + 趾：墨。b k ( x i ) h 知七! 一器o ，。( z t ) z l - j + 2a k d ( x _ i ) h 2 刎 u t 一1 = + 让：墨lb ( 戤) ( 一危) 知尼! 一墨2 譬n ，j ( 兢) ，。( 戤) ( 一危) 船后! = 钆 + u ：墨1b k ( x t ) ( 一 ) 膏k ! 一墨o ，u ( 翰) 墨，+ 2o 幻( 翰) ( 一 ) 知忌! 】 ( z ) = b k ( x ) h 。k ! k = l 0 0 & ( z ) = 一 南= 1 b k ( z ) ( 一九) 8 k 1 3 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) i i = j i = ； u u。矿 ，、li【 0 0 彩 黜 ，、【 和 g l ( x ) = g 2 ( x ) = 则( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 式为 勺( z ) = 口匙，j ( x ) h 知七! k ：j + 2 d j ( z ) = 纸，j ( z ) ( 一九) 七凫! k = j + 2 声【囊q 。j ( x ) h t 尼! 】，( z ) = 妻勺( z ) ，( z ) d 。萎。(l 】聊 卜甍姒八动 j = o 缸= j + 2 ，一“ o oo o j ( z ) ( 一 ) 。k d j f ( z ) 。 j = ok = j + 2 讹+ l = u i + 乱：s 1 i g 1 t 让“= u i 一岛i g 2 , ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 9 7 ) ( 2 1 0 7 ) 其中s n ：s l ( 甄) ，& t ：( 疵) ，g “= g l ( 戤) ，g 2 = a s ( 耽) 上两式消去u ：，即得 到在点翰处的准确差分方程： 一s 1 讹一1 + ( & + s 2 t ) t 一如+ 1 = s 1 g 2 i + s 2 t g l t 0 = 1 ，2 ，一1 ) 上式两端同除以s l t ，可等价于： 一t 正扣1 + ( 1 + q t ) u i q 钍件1 = g 饿+ q i g l ( i = 1 ，2 ，一1 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) 确的黧篡i 她j 等可根据通项公式( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ，( 2 28 ) ，利用m a t h e 删c a 符号撇能 序列6 知以及o k ，j 等可根据通项公式( 2 - 6 ) ，( 2 7 ) ，( 8 ) ，利用m a t n e n l a u c a 1 弓弓1 臣识阢 力，计算得出其中，序列b l ，b 2 ，为： b l = 1 b 2 = a b 3 = a 2 + a ， b 4 = a 3 + 3 a a 七a i 魄：+ 6 岔a ，4 - 3 ( a ，) 2 + 4 a a + a )， i ：a 5 + i o a 3 a ，+ 1 5 a ( a ，) 2 + i o a 2 a + i o a a 7 + 5 a a p + a 似 4 ( 2 1 8 ) ， d p而 瑚 旭氲理其 近计地蒯准 腓无我m械枷 嘏算 b 寸专嚣 在2 o豢瓦凇淞 。，维提产方均 q 在量 序列a 2 ，o ，a 3 ，o ，为： a 2 ，o51 a 3 ，o = a 。4 ，。二a 舢2 + 2 a ，。， ( 2 1 9 ) a 5 o = a 3 + 5 a a 7 + 3 a ” 、“7 a 6 ，o = a 4 + 9 a 2 a 7 + 8 ( ) 2 + 9 a a 7 + 4 a ( 3 ) 以及序列a k ，l ( k = 3 ，4 ，) 、a k ，2 ( k = 4 ，5 ，) 为： a 3 ，1 = 1 a 4 1 = a a 5 ，ra d 3 2 + 3 a ，。， (220)4-7aa 6 a 0 6 1 = a 3 7 + ” 、“7 a 7 ，1 = a 4 十1 2 a 2 a 7 + 1 5 ( a 7 ) 2 + 1 6 a a + 1 0 a ( 3 ) + 4 a 7 + 9 a + 1 0 a ” ( 2 2 1 ) + 1 5 a 2 a 7 + 2 4 ( a 7 ) 2 + 2 5 a a + 2 0 a ( 3 ) a k ，3 ，a k ，4 等的计算同理。 为方便先引入一些记号。定义p d c l e t 数为p e ( x ) = a ( x ) h ，筒记为p e ，p e i = p e ( x i ) 定义i u ( z ) i o o = s u pf u ) i ，即i ( z ) l 的上确界i y l o o = 哆眵i v , i ，即网格函数在所有网格 七1 0 ，1 1 “c 1 “ 点的绝对值最大值 2 2 已有的几种差分格式及其分析 由式( 2 1 1 ) 与组式( 2 1 8 ) 可见，如果假设a ( z ) 无穷可微且微分不为0 ，则& ( z ) 是由 无穷项的和组成的同样可见岛( z ) ，g 1 ( z ) ，g 2 ( x ) 也是如此但由于计算的限制，我们只能 保留有限项作为研，g l ，g 2 的近似，因此一般情况下想从差分格式得到原微分方程在节 点处的真解是不可能的人们对进一步提高解的精度的探索一直没有止步，从目前进展看 常用的是一种余项修正法，即一般都是基于一种二阶格式，通过修正余项，来提高截断误差 阶，常见的可将截断误差阶提高到4 阶p 2 - 1 3 1 而尴尬的是真正的数值验证显示所谓的高精 5 1 a a a a = | j i | = = 盘 盘 盘 盘 盘 m耋踯钾嬲； ，i_l_i_ljf、_llli-【 度数值解与其所基于的二阶格式相比其计算效果并没有显著提升，有时还会下降( 见数值 算例) ，分析原因主要是因为；如果原二阶格式近似解与真解的误差是c l h 2 ，四阶格式误差 为c 2 ，而c 2 往往远远大于c 1 为什么提高解的精度难度如此之大? 本文试图进行一下分析传统差分格式的构造思 想主要是在无穷项中保留有限项，我们举例来说：在( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 式中保留前两项作 为研( z ) 和( z ) 的近似，得到研( z ) h + a ( x ) h 2 2 ，岛( z ) h a ( x ) h 2 2 在 ( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 式中仅保留一项作为g ( z ) 和g 2 ( x ) 的近似，得到g l ( x ) c 0 扛) ，( z ) ， g 2 ( x ) d o ( z ) ，( z ) ，然后，( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 式仅保留一项作为c o ( z ) ，d o ( z ) 的近似， 即：c 0 ( 。) a 2 ，o ( x ) h 2 2 ，d o ( 茁) a 2 ，o ( z ) ( 一九) 2 2 ，由( 2 7 ) 将a 2 ，0 ( x ) = 1 代入，得到 g l ( x ) h 2 2 f ( x ) ，g 2 ( x ) h 2 2 f ( x ) 将研，岛，g l ，g 2 的近似值代入( 2 1 7 ) 式，然后两 端同时除以舻，经过整理我们得到差分格式： 阢一1 2 配+ 阢+ 1 。 阢+ 1 一既一1。 一万一十伪1 r 2 7 此式就是我们熟知的二阶中心差分格式一般情况下对上式的截断误差分析是这样的：由 泰勒展开式知： 塑二h 盟2 一“? = 笙1 2 d 4 u ( 锄， ”t一”、t ， 等一“：= 等眺( 吼)i 广一“t2 百u l 吼j 其中，矗，礓( 甄一1 ，x i + 1 ) ，从而中心差分格式的截断误差为： 一熹d 4 u 婚) + = 。笔d 4 u ( 叩t ) 有两个问题需要注意： 其一，对上面的截断误差，常规处理是认为截断误差为o ( h 2 ) ，然而当对流占优即a 绝 对值很大时，d 4 札( z ) 的绝对值往往很大，自然f a ( x ) d 4 u ( z ) l 也很大，这时h 需要取得非 常小( 计算机性能的限制，往往很难达到) ，否则将造成截断误差很大( 以第6 节中的数值 算例为例，如取e = 1 0x1 0 一，可计算d 4 u ( z ) 的绝对值上界为6 2 5x1 0 1 4 ) 因此此时的 所谓o ( h 2 ) 实际值可能很大 之所以造成这种局面，我们可分析如下：传统的截断误差分析一般认为省略的无限项与 保留下来的有限项相比是相对无穷小的项，然而对于对流占优的情形，事实似乎并非如此。以 中心差分格式中( z ) 的计算为例，在( 2 1 1 ) 式中我们省略的无穷项是七o o ：3 如( z ) 胪后! ， 对于一般情形我们认为省略掉的是o ( m ) 项，然而对于对流占优情形，从( 2 1 8 ) 式可见， 即便仅保留组式中的第一项b k a 肛1 作为6 知的近似( 此时等价于a 为常数的情形) ，可 得到我们省略掉： k o o ：3b k ( z ) h 詹k ! 墨3a n l ( z ) 胪k ! = 去0 0 彤( 圳七! = 去( ( e p e 一1 ) 一( p e + p e 2 2 ) ) 6 可见当p e 很大时，省略掉的项是e 指数数量级，远远大于保留的前两项p e 2 数量级 这必将导致当p e 很大时中心差分格式的解与真解误差较大，也说明了传统截断误差分析 的局限性。 其二，从模型方程( 2 1 ) 出发，假设o t = 0 ，= l ，f ( x ) = 0 ，并设a ( x ) 为常数a ，此时 中心差分格式的解为： ，2 + p e 、 1 r r 、e 。e ， 叫一r 竺旦、一1 f 一1 1 一i 、2 一p e 7 一 其中p e ：a h ，可见当p e 2 时，有f 2 + p 毛e o ，岛 o ，竹 0 ，且倍= + 竹，则当l h u j o ( l h 0 ) 时，有： 巧m a xu j 2 m 口z v o ，) ( m i 圯nu j 2 m 饥( u o ， ) 且除非码在网格厶上为常数，否则最大值( 最小值) 仅在边界达到 证明：仅证三 0 情形从( 2 3 3 ) 有 = 考一t + 考+ + 万1 玩青一- + 考码+ 1 0 假设最大值在某内点u j 达到，如果+ 1 ，吩一1 其一严格。 0 这有时需要剖分足够细。因此本格式是条件稳定的三阶格式 以上内容整理发表见文献 1 8 1 2 5 摄动修正四阶格式 2 3 节导出了一种形式简便，具有二阶精度、无条件稳定的指数型格式，下面拟对其差 分系数进行适当摄动，使该二阶格式的精度改进至四阶。将2 3 节截断误差分析中的格式 一i j 南阢一，+ 石鳊玩一i j 盎阢+ - = 币 ( 2 必) 1 2 毒嘉南 两端同除以( 1 - _ p e 生i 2 ) p e i 得到等价的基本二髟 差分格式为 嘉警阢= 去器+ 嘉南+ 将上式中的u 换成仳，以便推导其等价的修正方程 去垡骅讹=三箬啬一，+土拿与ui+l+h2 t h h 2 五 萨二- i j 广讹。一歹；j _ 1 十一苫了 “ 将u 一1 ，u + l 都在u i 处做t a y l o r 展开： 三垡骅讹：去垡骅讹+ 去( 7 譬与一丽e p e p e ij石duh2 一7 i j 二讹2 萨l 孑i 专一讹+ 萨1 7 苫= 了一苫_ 1 j 石吖 + 去( 晶+ 垫e p e i - 1 、丝d x 2 飘1 ( 旷p 百e i 丽e p e i p e i 悟d 3 u 可h 3 + 去( 鲁+ ；e v q p e i ) d 矿4 u 酉h 4 + 嘉( 7 鲁一丽e p e i p e i j一dsuld x 5 等 十萨【孑瓦- 二了十；。；一1 石，。酉卞萨l 孑瓦二1 一苫p e i 一7 51 而 p e te p e t p e p e i ( 1 + l + p e i + 簪+ 譬+ o ( 酽) ) e p e i j l + e p e i j l2 1 p i 虿z 再- 4 - 丽o ( h 丁4 一一。一，牟垡4 群 ( 2 4 5 ) ( 2 4 5 7 ) 七七 t ( 2 4 6 ) 2 - 尸龟+ i 雨了再巧丽 ：取+ 2 ( 1 - ( t p e i + 酉r e ? + 虿p e aj , + ( 万p e i + 等卜( 竽) 3 + 。( 咖 ：2 + 擘+ o ( h 4 ) ( 2 4 7 ) o 一丽epeipeiepei 1 = m ； 一 e p e t 一1 v ( 2 4 8 ) 将( 2 4 7 ) ，( 2 4 8 ) 代入( 2 4 6 ) 得 去型骅：嘉垡骅乱；+ 去( 一尸e 。塞危+ 嘉( 2 + 下p e 2 ，f f 孬2 u - 酉h 2 + 去( 一取) 象筹+ 嘉( 2 + 下p e 2 ， 承d 4 u 筹+ 去( 一) 塞酉h 5 + + 即有 。：一a 磊d u + ( 2 + 下a 2 h 2 ) 西1 夏d 2 万u 一_ a 犷h 2 瓦d 3 u + ( 2 + 下a 2 h 2 ) 刃d 4 u 酉h 2 一百a h 4 礤d s u + 这样得到基本二阶格式的等价微分方程为： 一孬d 2 u + a 瓦d u = ，十( 西a 2 孬d 2 u 一百a 孬d a u + i 1 2 如d 4 u 4 ，h 2 + 。( 4 ) ( 2 4 9 ) 我们期望对( 2 4 5 ) 作简单的修正，使格式的精度提到四阶。现设四阶格式与二阶格式相同， 其中 丢警阢= 三h 生e a 州h 生- l ，z _ 1 + 丢荔昔+ ( 2 5 0 ) 其相应等价微分方程为 a p = a + a h 2 p = l 七a h 气 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) a p 石d u 一坠：昂+ ( a j 堋2d 2 u 一百a 历d 3 u 托1 凹d a u ，) h 2o(dx2 酽)( 2 5 3 ) a p 石一2 昂+ j zo z 一百夏+ i z 凹， 旷)( n 丙3 ) 将( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 代入( 2 5 3 ) 式，得： ( a 九2 ，瓦d u ：，h 2w ( 西a 2 蕊d 2 u 一百a 丽d 3 u + 西l 承d 4 u ，凡2 + 。( h 4 ) ( 2 5 4 ) 由原微分方程知 象= a 塞一， 孬d 3 u = ( a 。+ 石d a ) 磊d u 一盯一差 孬d 4 u = ( a 3 + 3 a 筹x + 丝d x 2 、垫d x 一( a 2 + 2 面d a 肛a 差一象 将( 2 5 5 ) 一( 2 5 7 ) 代入( 2 5 4 ) 得： ( a 铲) 窆：，九z + 西1 ( a 石d a + d 2 a z a 。) 口d z u 。+ 西h 2 ( a 蕊d 一2 筹，一象) + 。( 危4 ) 为了使精度提到四阶，我们可得： a a = 壶瓦d a + 丽d 2 a ) ，= 壶c 2 筹，- a 差+ 象， 离散形式可用二阶逼近的中心差分来确定 ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 0 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) a l = 西1 【芴a i ( a 冲1 一a 一1 ) + 萨1 ( a 件l 一2 a i + a 一1 ) 】 = 去【( 2 + a h ) a i + 1 - - 4 a + ( 2 一a h ) a 】 ( 2 6 0 ) = 壶 鲁( 4 件- 一a t 一- ) 一衾( 五十一 一- ) + 去( + - 一2 + 一t ) 】 1 4 = 云嘉 ( 2 一a ) + 1 + 2 ( ( a 件1 一a i - 1 ) 一2 ) + ( 2 + a i ) 一1 1 ( 2 6 1 ) 这样我们就得到了基本二阶格式的四阶修正差分格式。四阶格式与二阶格式具有完全 相同的形式，只是对流系数和源项带上二阶修正基于下面的理由，此类二阶修正可据二阶 指数型格式计算结果一次性确定： 设对流扩散方程有准确解1 1 ，二阶格式的解为u 2 ，四阶格式的解为u 4 由于二阶格式 和四阶格式的关联系数皆为正，可依g e r s c h g o r i n 方法证明【1 9 | 1 l u u 2 1 1 。= o ( h 2 ) i l u u 4 1 1 。= o ( h 2 ) 从而 i i u 2 一u 4 1 1 。l | u u 2 1 t o 。+ i i u u 4 i l 。= o ( h 2 ) 在二阶修正中以二阶格式计算结果取代四阶近似，只会产生四阶或四阶以上的小量，不会 影响格式的四阶相容性。所以由二阶格式的无条件稳定性可知修正的四阶格式也是无条件 稳定的。 2 6 数值算例 例一维线性对流问题 y a n g 2 c h e n 4 x i n 4 c h e n 2 x i n 2 x i n 3 ，可见当扰动参数很小是对流占优时所谓的四阶差分格式c h e n 4 以及x i n 4 精确 性反而不如二阶格式c h e n 2 ，x i n 2 ，验证了仅凭截断误差不能断定方法精确性从最大 误差角度来看本文x i n 3 精确性略优于x i n 2 优于c h e n 2 最好 ( 5 ) 由于篇幅所限，这里没有对后面的表格( 对流占优情形) 列出全局误差分布事实 上全局误差分布来看，x i n 2 误差完全小于c h e n 2 ，x i n 3 与x i n 2 的误差基本是同一数 量级但有的点误差略大于x i n 2 有的点处误差略小于x i n 2 从计算效果看本文x i n 2 是最 值得推荐的格式，其保持全局误差较小，最大误差亦较小，而且格式导出最简单且满足绝对 稳定性 附注1 ：同以往的文献( 9 】 1 4 1 ) 一样，本文仅指出了截断误差阶，更深入的分析需要进 行一致收敛性分析，国外目前是一种研究热点，本文作者将在以后进行进一步研究 附注2 ：高精度差分格式研究是研究的一个活跃领域，有限差分方法无论如何构造， 其基本原理都是取有限项来近似一无限项的和，而省略的仍是很复杂的无限项的和，作者 以为其方法的构造特点决定有限差分方法无法真正将格式的计算精确性提高很多( 这里指 的是真正的计算效果精确度，而不是指提高截断误差阶) 3二维对流扩散方程的差分格式 3 1 已有的几种二维差分格式及其分析 二维定常对流扩散方程 一象一券+ a 塞+ b 考= s ， 一礤一砑+ a 瓦+ b 瓦2 s ( 3 1 ) 其中a = a ( x ，秒) ，b = b ( x ，夕) ，s = s ( x ，y ) 本文考虑剖分区域q 为矩形网格：q = ( z ，y ) l a z b ，c 0 ( 对于a ，b 不均为正的情况，根据本文思 路，其格式都可以进行相应修正，但需要分各种情况讨论) 为简单引入记号，记：( x i ，协) 为0 点，( 。件1 ，y j ) 为l 点，( 翰一1 ，珊) 为3 点，( 毛，珊+ 1 ) 为 2 点，( 瓤，协1 ) 为4 点，如图一所示则对任意网格函数v ，有v ( x i ，劬) = v o ，v ( x i + 1 ，珊) = ，v ( x i 一1 ，协) = v 3 ，v ( x i ，缈+ 1 ) = ，v ( x i ，玢一1 ) = v 4 1 7 i i l i n i i l i ： 4 5 8 图1 ：鬲敢域q 为了进行数值比较，下面列出二维对流扩散方程的几种差分格式：有经典格式，也有效 果较好的新格式 ( 1 ) 迎风差分格式( 这里仍认为a 0 ，b 0 ) ：该格式具有一阶精度和无条件稳定性 一下l + a o h 一1 + 彪。b o k u 4 + ( 生铲+ 生笋) 一去巩一百1u 。= 岛 ( 3 2 ) ( 2 ) 陈国谦迎风变换二阶差分格式【8 】：该格式具有二阶精度，无条件稳定性 一5 3 u 3 5 4 魄+ q o u o 一0 1 u 1 5 2 0 - 2 = s o( 3 3 ) 其中 q 025 1 + 0 2 + 5 3 + 0 4 q=去e舢3 2 q2 萨。 a 12 去e - a o h 2a 12 萨 q 4 = 去e b o 眦 q 42 丽e a