2013转本数学冲刺33讲-讲稿.pdf

转本冲刺转本冲刺 33 讲讲 讲稿 第一讲第一讲 函数的基本性质函数的基本性质 1 设 f x在 有定义 则下列函数为奇函数的是 A yf xfx B yx f xfx 32 C yx f x D yfxf x 解 32 yx f x 的定义域 且 3 232 yxxf xx f xy x C 2 下列函数在 内无界的是 2 1 1 A y x arctanB yx sincosC yxx sinD yxx 解 排除法 A 2 1 122 xx xx 有界 Barctan 2 x 有界 C sincos2xx 故选 D 第二讲第二讲 函数连续和可导的关系函数连续和可导的关系 1 设 f x 1 0 0 x e x x kxb x 在0 x 可导 求 k b的值 解 1 f x 在0 x 连续 0 1 lim1 x x e x 0 lim x kxbb 故有1b 2 f x 在0 x 可导 0 1 1 0lim 0 x x e x f x 2 00 0 0 111 limlim 22 xx xx exe xx 0 1 1 0lim x kx fk x 1 2 k 答 1 1 2 kb 第三讲 极限的求解第三讲 极限的求解 1 导数的定义导数的定义 1 设 1 2 f xx xxxn 则 0 f 2 已知 f x是可导函数 则 0 lim h f hfh h A fx B 0 f C 2 0 f D 2 fx 2 变限函数求极限 变限函数求极限 1 0 2 0 sinln 1 4 lim tan1 21 x x tt dt xx 解 原式 0 0 2 sinln 1 4 lim 1 2 2 x x tt dt xx 3 0 44 lim 3 x xx x 2 求极限 2 0 0 tan lim sin x x xx t tt dt 3 两个重要极限的应用 两个重要极限的应用 1 1 1 3ln 0 lim sin3 x x x 解 原式 0 0 3cos lim sin3 0 ln sin3 3 lim 1 3ln 0 x x x x x x x ee 换底法 00 3 1 limlim 3sin3 3xx xx xx eee 2 lim 1 x x x x 解 原式 lim 1 1 11 lim 1 1 x x x x x ee x 4 无穷小的替换和罗比达法则 无穷小的替换和罗比达法则 1 求极限 3 lim sin x x xx 2 求 2 1 limln 1 x xx x 解 原式 2 0 1 ln 1 1 lim t t t x tt 2 0 ln 1 lim t tt t 通分 0 1 1 0 1 lim 2 t t t 0 00 1111 limlim 2112 tt t t tt 第四讲 无穷小的比较问题第四讲 无穷小的比较问题 1 若 22 0 ln 1 lim0 sinn x xx x 且 0 sin lim0 1 cos n x x x 则正整数n 解 22 22 00 ln 1 limlim sinn n xx xx xx xx 2 0 42 0 lim0 2 n x nxn x 2 4 nn 指出 f x的间断点 并判断间断点的类型 解 1 1x 为间断点 0 x 可能是间断点 2 在1x 处 11 11 11 lim0 lim xx xx eee 1x 是 f x的第二类无穷间断点 3 在0 x 处 1 1 1 00 lim lim ln 10 x xx eex 0 x 是 f x的第一类跳跃间断点 第六讲 微分的计算第六讲 微分的计算 1 显函数求导 微分 显函数求导 微分 1 设 2 1 lnf xx 则 fe 解 1 22 11 2lnln 2 1 ln1 ln xx xx fx xx 2 1 12 22 fe ee 2 隐函数求导问题隐函数求导问题 1 方程 1 sinln1 x xy y 确定 yy x 求 0 x dy dx 解 1 11 cos 1 xyyxyy xy 0 2 当0 x 时 0ln1yye 3 1 cos 0 0 1 0 0eey e 1 1 0 ey e 0 1 ye e 3 参数方程求导 参数方程求导 1 若 sin cos t t xet yet 则 2 2 d y dx 解 1 2 cossin 1 sincos tt t tt dyetet e dxetet 2 23 2 2 sincos t d ydyedydx dtdtdxdxtt 第七讲 微分学的几何应用第七讲 微分学的几何应用 1 曲线 2 1 21 x y xx 的水平渐进线为 解 2 2 2 1 1 11 limlim 1 22 2 xx x x xx x 直线 1 2 y 是曲线的一条水平渐进线 2 设曲线 3 3yxx 则其拐点坐标为 A 0 B 0 1 C 0 0 D 1 解 3 3 6yx yx 令 0y 得0 x 0 0 xy当有 当0 x 时 0y 故 0 0 为曲线的拐点 C 3 ln x f x x 的单调增加区间为 0 e 解 1 定义域 0 2 2 1 ln x fx x 当 0 x 故 f x的单调增 区间为 0 e 第八讲 闭区域连续函数的性质及中值定理相关问题第八讲 闭区域连续函数的性质及中值定理相关问题 1 1 已知 3 4 5 f xxxx 则 0fx 有 B A 一个实根 B 两个实根 C 三个实根 D 无实根 解 1 3 4 3 4f x 在 连续在 3 4 0ff 可导且 f x 在 3 4 满足罗尔定理条件 故有 1 0f 1 34 2 4 5 f x同理在满足罗尔定理 22 0 45f 有 综上所述 0 3 5fx 在至少有两个实根3 0fx 是一元二次方程 至多有两个 根 故选 2 证明方程 cos0 xpqx 恰有一实根 其中 p q常数 且01q 证明 1 令 cosf xxpqx 2 1sin0 fxqxf x 单调增函数 0f x 故最多有一实根 3 f x q p q p 在 连续 且 cos0fqpqpp qqp 0 0f x 由零点定理知 至少有一实根 4 综上所述 0f x 有且仅有一个实根 第九讲 不等式的证明第九讲 不等式的证明 1 证明 当0 x 时 有1 xx xexe 成立 证 1 构造辅助函数 0 1 xx eee 令 0 t f te tx 2 t f te 在 0 x应用拉格朗日中值定理 0 0 0 x eeexx 3 x e 是单调增函数 0 x eee 故有1 xx xexe 证毕 2 当0 x 时 证明 11cos x exx 成立 证 1 变形 令 1 1 cos x f xexx cos2 x exx 2 1sin x fxex 一阶导数符号不易判定 借助 fx fx cos00 x exx fx 且 00f 00fxf 0fxf x 单调增加 3 f x 在 0 单调增 且 00f 00f xf 故有 1 1cos0 x exx x 证毕 第十讲 最值应用题 基本不考了 第十讲 最值应用题 基本不考了 1 在半径为 R 的半径内作一个圆柱体 求最大体积时的底半径与高 解 1 画出示意图 2 依题意 设所求圆柱体体积为 V 2222 Vr h rRh 2223 VRhhR hh 3 求驻点 22 3VhRh 令0V 22 3Rh 驻点 1 3 hR 4 求最值点 6Vh 0 3 R V F t 单调增加 故 0F t 在 a b至多有一实根 4 F t 在 a b连续 且 0 b a F af x dx 由零点定理知 0F x 在 a b至少有一点 使 0F 5 综上所述 在 a b有且只有一点 使 0F 证毕 4 求由曲线 22 2 yxyx 所围平面图形分别绕 x 轴 y 轴旋转的体积 x V及 y V 解 1 画出平面图形 2 42 2 20 2 yx xx yx 交点 1 1 或 1 1 2 1 24 0 22 x Vxxdx 对称性 3 115 1 000 1 22 35 x xx 1144 22 3515 3 12 2 01 2 y Vydyydy 2 1232 011 1 2 23 y yy 47 2 36 5 设曲线 2 01yxx 问 t 为何值时 图中的阴影部分面积 1 S与 2 S之和 12 SS 最 小 解 1 选择 y 为积分变量 2 1 12 0 1 t t SSSydyy dy 33 11 22 0 33 22 t tt yyy 3 2 41 33 tt 3 求极值 1 2 4 3 121 3 2 Sttt 令 0St 驻点 1 4 t 1 2 1 2 2 Stt 11 0 42 S 1 4 t 为极小值点 由单峰原理 也是最小值点 答 当 1 4 t 时 12 SS 最小 第十六讲 具体函数的偏导数求解第十六讲 具体函数的偏导数求解 1 设 1 arcsin x f x yxy y 则 1 x fx 解 1 1 0f xx 2 1 1 x fxx 2 已知 22 x yx yyx 且 1 z xx 则 z x A 21 2xyx B 2 2xy C 2 1xx D 212xyx 解 1 2 1 1 z xxxx 2 1xxx 2 222 1z x yx yyxx 3 21 2 z xyx x 3 设 66 zf xy f u可微 则 z y 解 6666 y z fxyxy y 6655 66 6 6 fxyyy fxy 第十七讲 全微分问题第十七讲 全微分问题 1 函数 xy ze 在点 1 1 的全微dz A 2 e dxdy B xy edxdy C e dxdy D dxdy 解 xy dzeydxxdy 在 1 1 dze dxdy 2 求 2 1 arctan y y zx ex x 在点 1 0 处的一阶偏导数 全微分 解 1 2 0 0 2 z x z xxx x 故有 1 0 2 z x 2 1 1 yy zy zyee y 故 0 1 0 1 z e y 3 1 0 2dzdxdy 3 设 1 xzxy 求 z x z y dz 解 1 lnln 1 zxxy 2 1 ln 1 1 zxy xy x zxy 1 ln 1 1 x zxy xyxy xxy 121 1 1 xx z xxyxxxy y dz 2 1 ln 1 11 x xyx xyxydxdy xyxy 第十八讲 复杂抽象函数的高阶偏导数求法第十八讲 复杂抽象函数的高阶偏导数求法 1 设 2 sin zfxy yx 其中f有二阶连续偏导数 求 2z x y 解 1 12 2cos z ffyx x 2 2 1112 2 1 sin z ffx x y 2 cosxf 2122 cos 1 sinx y ffx 21122 cos2sin cosxffyxxf 121221 2sincos xyx fff 2 设 y uf x y xe f有二阶连续偏导数 求 2u x y 解 1 123 10 y u fffe x 2 2 1112 01 u ff x y 133 yy fxee f 313233 01 yy efffxe 2 312133233 yyyy e ffxe fe fxef 3 设 22 xy zf xye f有二阶连续偏导数 求 2z x y 解 1 12 2 xy z fxfey x 12 2 xy xfyef 2 2 1112 2 2 xy z x fyfex x y 2 xy y yef 2122 2 xy xy yefyfex 2 11122 42 xyxyxy xyfx efeyex f 2 2 2122 2 xyxy y fexyef 1221 ff 2 2 1 xy z exyf x y 2 1122 4 xy xyfxyef 22 12 22 xy xyef 2 21122 1 4 xyxy exyfxyfxyef 22 12 2 xy xyef 第十九讲 二重积分的基本概念及对称性应用第十九讲 二重积分的基本概念及对称性应用 1 设 D 2222 1 D xyRxyd 则 A 0 B 2 R C2 R D 2 2 R 解 1 画出积分区域 D 2 原式 2 DD xy dd 2 0 D xy d D 关于 y 轴对称 2 xy关于 x 轴为奇函数 原式 22 0RR 选 B 2 设 01 10Dx yxy 若 222 12 D axy d 则a 解 由二重积分几何意义知 222 D axy d 上半球体积 3 2 3 R 3 2 312 a 1 2 a 3 设 D 222 xyR 则 22 D x xy dxdy 解 1 画出 D 2 D 关于 y 轴对称 且 22 f x yx xy 关于 x 为奇函数 原式 0 第二十讲 交换积分次序及计算第二十讲 交换积分次序及计算 1 交换 1233 0010 yy Idyf x y dxdyf x y dx 积分次序 解 1 画出 12 DDD 1 0 1 02Dyxy 2 1 3 03Dyxy 2 交换积分次序 I 23 0 2 x x dxf x y dy 2 计算 1 0 sin x x y Idxdy y 解 1 画出积分域 D 2 交换积分次序 I 2 11 2 0 sinsin y yo y yy dydxxdy yyy 11 0 sincos o dydyy 111 coscossin 000 yyyy 1 sin1 第二十一讲 二重积分计算及证明第二十一讲 二重积分计算及证明 1 计算 2 2 D x dxdy y 其中 D 由1 2 xyxyx 所围闭区域 解 1 画出积分区域 D 2 选择积分次序 为了不分片先对 y 分积分 后对 x 积分 原式 2 2 1 1 2 1 x dxx d y 2 2 1 1 1 x xdx y x 42 2 3 1 2 9 1424 xx xx dx 2 证明 bxb aaa dxfy dybx f x dx 证 画出左式积分区域 D bx aa dxf y dy 交换积分次序 bbbb ayay dyy dxfydxdy bb aa by fy dybx f x dx 右式 3 设 f x y为连续函数且 D f x yxyf u v d 其中 D 2 0 1yyxx 所 围闭区域 证明 1 8 D f x y dxdy 解 1 画出积分区域 D 2 二重积分是一个确定常数 D f x y dxdyA fxyA 故有 x y 3 A 2 1 0 x D xyA ddxxyA dy 22 2 1 00 2 xx D y xdxAydx 53 11 00 1 23123 xxA dxA 移项得 A 1 8 故 1 8 D f x y dxdy 第二十二讲 向量基本概念及运算第二十二讲 向量基本概念及运算 1 设3a 5b 且ab 与ab 互相垂直 则 A 3 5 B 3 5 C 3 5 D 9 25 解 0abab 2 2 2 0ab 2 2 2 93 255 a b 选 C 2 已知2 3a 2b 2ab 则 a b A 4 B 3 C 5 6 D 2 3 解 2 4ab 2 2 24aba b 4 1224a b 6a b 2 2 3cos 6a b 3 cos 2 a b 35 arccos 266 a b 选 C 3 已知三点 1 0 1 1 2 0 1 2 1ABC 求AB AC 求以 A B C 为顶点的三角形面积 解 1 0 2 1 2 2 0ABAC 0 2 12 2 0AB AC 0404 2 1 2 ABC SABAC 又 0212 2 4 220 ijk ABAC 222 1 2 2 4 2 AC S 12 44 1666 22 第二十三讲 空间曲线及曲面方程第二十三讲 空间曲线及曲面方程 1 方程 222 0 xyz 表示的二次曲线是 A 球面 B 旋转抛物线 C 圆锥面 D 圆柱面 解 这是yoz面上 抛物线 2 zy 绕 Z 轴旋转的旋转抛物面 2 22 zxy 即 222 0 xyz 2 在空间直角坐标系中 方程组 22 2 zxy z 代表的图形是 A 圆 B 圆柱面 C 抛物线 D 直线 解 这是旋转抛物面 22 zxy 与平行于xoy面的平面2z 的交线是一个圆 第二十四讲 直线方程求解第二十四讲 直线方程求解 1 求通过点 1 2 0 A 且平行于直线 1 L 210 250 xyz xyz 的直线方程 解 1 1 2 1 2 1ss 112 121 ijk s 1221 11 211 1 12 3 1 1 2 所求直线方程 120 311 xyz 2 化直线方程 2350 3240 xyz xyz 为标准式直线方程 解 1 求s 2315 7 11 312 ijk s 2 求直线上一个点 0 M 令0y 250 3240 xz xz 2 得x 2 代入 得z 1 2 0 1 O M 3 标准式直线方程 201 5711 xyz 第二十五讲 平面方程求解第二十五讲 平面方程求解 1 求过点 0 2 9 6M 且与连接坐标原点及 0 M的线段 0 oM垂直的平面方程 解 1 2 9 6OM 法向量 2 9 6n 2 平面的点法式方程 点 2 9 6 o M 法向量 2 9 6n 2 2 9 9 6 6 0 xyz 即2961210 xyz 15 2 求过点 1 1 1 A且垂直于平面7xyz 和321250 xyZ 的平面方程 解 1 1 1 1 3 2 12nn 11110 15 5 3212 ijk n 取 2 3 1n 2 点法式平面方程 2 1 3 1 10 xyz 即2360 xyz 第二十六讲 级数的基本概念第二十六讲 级数的基本概念 1 若lim0 n n U 则常数项级数 1 n n U A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 不一定收敛 解 1 lim0 n n 但 1 1 n n 发散 2 1 lim0 n n 但 2 1 1 n n 收敛 选 D 2 下列级数条件收敛的是 C A 1 1 n n n n 1 B 2 1 1 n n n C 1 1 n nn D 1 3 1 2 n n n 解 1 1 1 1 n nnn n 1 发散 1 1 2 p 1 由比较法的极 限形式知 3 1 1 arctan 2 n n n 也收敛 3 判别 1 2 1 4 n n n 的敛散性 解法 1 这是正项级数 2 1 4 n n 3 4n 且 1 3 4n n 收敛 1 1 4 q 在 0 a1 三种条件下的敛散性 解 1 当 0 a 1 时 22 1 n a nn 1 由比较法知 2 1 n n a n 也收敛 2 当 a 1 时 2 1 n n a n 2 1 1 n n 收敛 p 2 1 3 当 a 1 时 1 1 2 limlim 1 n n nn n Ua U n 22 lim1 1 n n nn aa an 由此值判别法知 2 1 n n a n 发散 综合 当01a 时 2 1 n n a n 收敛 当1a 时 2 1 n n a n 发散 第二十八讲 幂级数的收敛区间问题第二十八讲 幂级数的收敛区间问题 1 幂级数 21 1 1 3 n n n n x n 的收敛半径R 解 1 lim n n n Ux x Ux 2 1 3 lim1 31 n n n n x n 21 1 3 x 2 x 3 x 3 故 R 3 2 00 21 nn n nn xx 的收敛区间 考虑端点 是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 2 2 D 1 1 2 2 解 1 0 2 n n x 的半径 1 1 2 R 0 1 n n n x 的半径 2 1R 故 R 1 2 2 在 1 2 x 处 0 2 n n x 发散 0 1 n n n x 收敛 故原级数在 1 2 x 处发散 选 C 3 求 1 1 2 n n n n x n 的收敛半径与收敛域 解 1 1 1 2 limlim 21 n n n nn n an a n 1 2 收敛半径 R 2 2 当x 2 时 1 1 nn 发散 1 2 p 1 当x 2 时 1 1 nn 收敛 莱布尼兹级数 3 收敛域为 2 2 4 求幂级数 1 3 2 n nnn n xx n 1 的收敛域 解 1 变形 原式 1 16 2 n n n n n x 2 1 lim n n n a a 1 1 1 162 lim 2 16 n n n nn n n 1 1 1 1 1666 lim3 262 1 1 6 n n nn n 1 3 R 3 当 1 3 x 时 1 16 6 n n n 发散 0 n un 当 1 3 x 时 1 16 6 n n n n 发散 0 n un 故级数的收敛区间 1 1 3 3 第二十九讲 函数展开成幂级数问题第二十九讲 函数展开成幂级数问题 1 将 2 32 x f x xx 展开成 x 的幂级数 解 解法 1 1111 211 2 1 2 f xxx xxxx 1 11 000 1 1 22 n nn nn nnn x xxx 收敛域 1 2 x 1111xxx 即 解法 2 2 1 2 21 2 1 21 xx f x xxxx 0 111 1 12 1 2 n n n x x x 11x 2 将 2 ln 12f xxx 展开成x的幂级数 解 1 变形 ln 1ln 1 2f xxx 2 展开 1 1 00 11 2 11 nn n n nn f xxx nn 1 11 0 1 12 1 n n nn n xx n 3 收敛区间 11 11 22 xx 故有收敛区间 1 1 2 2 3 将 2 1 2 f x xx 展开成 x 1 的幂级数 解 1 变形 1 32 f x xx 231 325 xx xx 111 532xx 2 展开 111 52131 f x xx 11111 11 523 11 23 xx 00 11111 1 52233 nn n nn xx 11 0 111 1 523 n n nn n x 3 收敛区间 11 1 1 23 xx 收敛区间13x 第三十讲 可分离变量的微分方程第三十讲 可分离变量的微分方程 1 2 cosdyy dxx 的通解是 A 1 sectanyyc x B 1 tan yc x C 1 ln cos yc x D 11 cos c yx 解 22 1 cos dy dx yx 1 tan yc x 选 B 2 lnlnyxdxxydy 满足 1 1 x y 的特解是 解 1 lnlnyx dydx yx 22 lnlnyxc 2 由 11 000ycc 特解 22 lnlnyx 第三十一讲 齐次方程第三十一讲 齐次方程 1 微分方程 2 y xy dxx dy 是 A 一阶线性方程 B 一阶齐次方程 C 可分离变量方程 D 二阶微分方程 解 变形 2 2 2 dyxyyyy dxxxx 原方程是一阶齐次方程 选 B 2 2 2 yy y xx 的通解是 解 令 y u x 2 1du dx xuuu 1 ln ln x cxcx uy ln x y cx 第三十二讲 一阶线性微分方程第三十二讲 一阶线性微分方程 1 2 2 x yxye 满足 0 0y 的特解是 A 2 x yxe B 2 x yxe C 2 x ye D 2 x ye 解 222xdxxdx x yeeedxc 222 xxx eee dxc 22 xx cexe 由 00y 得0c 故 2 x yxe 选 A 2 求 22 11x xdyxydxdx 满足 1