（电子科学与技术专业论文）微波分形天线的研究与设计.pdf

浙江大学硕士学位论文 ab s t r a c t f r a c t a l w a s f i r s t p r e s e n t e d b y ma n d e l b r o t i n 1 9 7 5 . f r a c t a l c a n b e u s e d t o c h a r a c t e r i z e u n iq u e o c c u r r e n c e i n n a t u r e w h i c h w e r e d i f f i c u l t t o d e f i n e w i t h e u c l id e a n g e o m e t r i e s . f r a c t a l h a s s p a c e f i l l in g a b i l i t y a n d s e l f - s i m i l a r i t y a b i l i t y . wh e n a p p l y i n g t h e f r a c t a l t o t h e d e s i g n o f a n t e n n a s , w e g e t t h e f r a c t a l a n t e n n a s . f r a c t a l a n t e n n a s h a v e s h o w n t h e p o s s i b i l i t y t o m i n i a t u r i z e a n t e n n a s a n d i m p r o v e i n p u t m a t c h i n g . t h e y c a n a l s o b e c o n f i g u r e d t o o p e r a t e e ff e c t i v e l y a t v a r i o u s fr e q u e n c y . s o , t h e y a r e w e l l s u i t e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f b r o a d b a n d a n d s u p e r - b r o a d b a n d wi r e l e s s c o m m u n i c a t i o n s . c u r r e n t r e s e a r c h o f f r a c t a l c e l l a n t e n n a s m a i n l y f o c u s e d o n t h e b a s i c f r a c t a l g e o m e t r y . b u t i n p r a c t i c e w e m u s t c o n s i d e r t h e t r u n c a t i o n e ff e c t . w e c a n o n l y g e t t h e f r a c t a l w h i c h i s d e f i n e d 妙 s e v e r a l it e r a t i o n s , n o t i n f i n i t e i t e r a t i o n s . t h i s t y p e o f f r a c t a l i s n a m e d p r e fr a c t a l a n d p r e s e n t t r u n c a t i o n e ff e c t . t r u n c a t i o n h a s a g r e a t in fl u e n c e o n t h e p e r f o r m a n c e o f f r a c t a l a n t e n n a s , i f w e d o n t d o s o m e m o d i f i c a t i o n s o n t h e b a s i c f r a c t a l g e o m e t ry , u s u a l l y w e c a n t e x p e c t e d g o o d p e r f o r m a n c e . s o , i n o r d e r t o m a t e r i a l i z e t h e m e r i t s o f f r a c ta l , i t i s n e c e s s a ry t o d o s o m e m o d i f i c a t i o n s o n t h e b a s i c s t r u c t u r e s , m e a n w h i l e , w e m u s t u n d e r s t a n d t h e e ff e c t o f s o m e i m p o r t a n t p a r a m e t e r s o n t h e p e r f o r m a n c e s o f a n t e n n a s . w h e n i t c o m e s fr a c t a l a r r a y , c u r r e n t r e s e a r c h m o s t l y t a k e t h e f r a c t a l c e l l s f o r i d e a l c u r r e n t s o u r c e s a n d d o n t c o n s i d e r t h e e ff e c t o f c o u p l i n g , w h i c h a l s o h a v e g r e a t d i ff e r e n c e s w i t h p r a c t i c a l c a s e s . i n t h i s t h e s i s , w e f i r s t i n v e s t i g a t e d t h e s i e r p i n s k i m o n o p o l e , b e c a u s e o f t r u n c a t i o n e ff e c t , t h e r a t i o b e t w e e n t h e f i r s t r e s o n a n t fr e q u e n c y a n d t h e s e c o n d re s o n a n t fr e q u e n c y i s a b o u t 3 . 5 , t h i s t h e s i s p r e s e n t e d s o m e m o d i f i c a t i o n s a n d l o w e r e d t h e r a t i o t o 2 .2 . t h e m o d i f i e d s ie r p i n s k i m o n o p o l e c a n b e u s e d i n t h e d e s i g n o f g s m8 5 0 a n d p c s d u a l fr e q u e n c y a n t e n n a . wh e n i n t r o d u c e d t h e f r a c t a l t o t h e d e s i g n o f s i e r p i n s k i m i c r o s t r i p a n t e n n a , w e f o u n d o u t t h a t t h e f i r s t r e s o n a n t f r e q u e n c y i s h i g h e r t h a n t h e c o n v e n t i o n a l t r i a n g l e m i c r o s t r i p a n t e n n a . t h i s t h e s i s a n a l y z e d t h e r e a s o n sa n d p r e s e n t e d l o we r e d t h e s o m e m o d i f i c a t i o n s . t h e m o d i f i e d s i e r p i n s k i m i c r o s t r i p a n t e n n a s u c c e s s f u l l y f i r s t r e s o n a n t f r e q u e n c y b u t s t i l l p o s s e s s m u l t ib a n d c h a r a c t e r i s t i c s , a t t h e s a m e t i m e , t h e s i z e i s c o m p a r a b l e w i t h c o n v e n t i o n a l t r i a n g l e a n t e n n a t h e k o c h m o n o p o l e h a s g o o d c h a r a c t e r i s t ic s , t h i s t h e s i s p r e s e n t e d a n o v e l c u rv e d k o c h l v 浙江大学硕士学位论文 m o n o p o l e w h i c h a r e s u it a b l e t o d c s + p c s b a n d . a ft e r i n t r o d u c e d t h e 9 0 0 r ig h t a n g l e , th e h e ig h t 凡 o f m e a n te n n a c a n o e io w e re a to 4 u % o f th e c o n v e n tio n a l - m o n o p o le , b u t th e im p e d a n c e4 b a n d wi d t h i s i n c r e ase d t o 1 7 %. i n t h e l as t o f t h i s t h e s i s , w e i n v e s t i g a t e d t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e k o c h y a g i a n t e n n a , t h e e m p h a s i s i s o n t h e e ff e c t o f c o u p l i n g . t h e r e s u l t s h o w s k o c h y a g i a n t e n n a c a n l o w e r t h e r e s o n a n t a n d a t t h e s a m e t i m e m a i n t a i n t h e g o o d r a d i a t i o n k e y w o r d s : fr a c t a l , a n t e n n a , m i c r o w a v e , w i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n 浙江大学硕士学 位论文 第一章 概述 1 . 1分形概述 自从 e u c l i d在两千多年前创立几何学以 来， 在漫长的 岁月里， 人们对某个数学集合 总 是 习惯于 在e u c l id 空间( r , e u c l id e a n ) 对 其 研 究 和 度 量， 其中 字 母n 表示 该 空间 的 维 数， 通常它是一个整数。 对有限 个点， 取n =0 : 一条线段或平面上一条的曲 线， 取n = 1 ; 一个有限平而，取n =2 :对有限的空间 儿何体，则取n = 3 ,同时也可分别得到它们的定 常度量， 习惯上分别称它们为点的 个数、 线段的长 度、 平面的 面积和立体的 体积。 但e u c l i d 几何学不是万能的， 大自 然中的许多现象都不可能由e u c l i d几何来解释，比如“ 中国的海 岸线有多rc ?”的问 题， 这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以l k m为 单位测量 海岸线， 得到的近似民 度将短于i k m的 迁回曲 折都忽略掉了， 若以i m为单位测量， 则能测 出被忽略掉的 迂回曲 折， 长度将变大， 测量单 位进一步变小， 测得的长度将愈来愈大， 这些 愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。答案似乎解决了， 但是可以 发现: 当测量单位变小时， 所得的长度是 无限 增大的。 因 此海岸线的长度实际上是 不确定的， 或者说， 在一定意义上海岸线是无限长的。 为什么会出 现这种现象呢? 答案也许 在于海岸线的极不规则和极不光滑。 众所周知， 经典几何学研究的是规则图形， 平面解析儿 何研究的是一次和二次曲 线， 微分几何研究的 是光滑曲 线和曲 面， 因 此， 传统上将自 然界中 大量存在的不规则形体先规则化再进行处理， 例如， 只有将海岸线折线化， 才能得出 一个有 意义的长 度。 因 此长度也许已 不能正确概括海岸线这类极其不规则图形的 特征。 海岸线虽然 很复杂， 但却有一个重要的性质 自 相似性。 从不同比 例的地形图 上， 可以 看出 海岸线的 形状大体相同， 其曲 折、 复杂程度是相似的。 换言之， 海岸线的任一小部分都包含有与整体 相同或相似的细节。因此，要定量分析像海岸线这样的图 形，引入分形维数也许是必要的。 2 0 世纪7 0 年代， m a n d e l b r o t 的分形儿何出 现了， 像海岸系长度之类的“ 数学怪物” 及大自 然中的 许多 现象在分形几何学 里都迎刃 而解。 图1 . 甲 是 一张由 分 形几 何算 法生成的 计 算机 图像， 从中可以看到分形可以很好地模拟大自 然中 复杂的 几何形状， 其逼真程度甚至可以与 照片相媲美。 浙江大学硕士学位论文 第一章概述弟一早僦逊 1 1 分形概述 自从e u c l i d 在两千多年前创立几何学以来，在漫长的岁月里，人们对某个数学集合。 总是习惯于在e u c l i d 空间( r ”，e u c l i d e a n ) 对其研究和度量，其中字母n 表示该空间的维 数，通常它是一个整数。对有限个点，取7 = 0 ：一条线段或平面上一条的曲线，取 = 1 ； 一个有限平面，取”= 2 ：对有限的空间几何体，则取”= 3 ，同时也可分别得到它们的定 常度量，习惯上分别称它们为点的个数、线段的长度、平面的面积和立体的体积。但e u c l i d 几何学不是万能的，大自然中的许多现象都不可能由e u c l i d 几何来解释，比如“中国的海 岸线有多| 吏? ”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以l k m 为单位测量 海岸线，得到的近似睦度将短于l k m 的迂回曲折都忽略掉了，若以1 脚为单位测= 嚣，则能测 出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些 愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。答案似乎解决了， 但是可以发现：当测量单位变小时。所得的长度是无限增大的。因此海岸线的长度实际上是 不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么会出现这种现象呢? 答案也许 在于海岸线的极不规则和极不光滑。众所周知，经典几何学研究的是规则图形，平面解析儿 何研究的是一次$ 1 1 _ - 次曲线，微分几何研究的是光滑曲线和曲面，因此，传统上将自然界中 大量存在的不规则形体先规则化再进 亍处理例如，只有将海岸线折线化，才能得出一个有 意义的长度。因此长度也许己不能正确概括海岸线这类极其不规则图形的特征。海岸线虽然 很复杂，但却有个重要的性质自相似性。从不同比例的地形图上，可以看出海岸线的 形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的。换言之，海岸线的任- - d 部分都包含有与整体 相同或相似的细节。因此，要定量分析像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的。 2 0 世纪7 0 年代，m a n d e l b r o t 的分形几何出现了，像海岸系长度之类的“数学怪物”及大自 然中的许多现象在分形几何学里都迎刃而解。图1 1 f 1 1 是一张由分形几何算法生成的计算机 图像，从中可以看到分形可以很好地模拟大自然中复杂的几何形状，其逼真程度甚至可以与 照片相媲美。 浙江大学硕七学位论文 图i 1 由分形算法绘制的风景画。画中的云，山，草，树以及水面都用分形算法建模。 分形在英文中为f r a c t a l ，此词源丁拉丁文形容词f r a c t u s ，对应的拉丁文动词是f r a n g e r e ( 破碎、产生无规则碎片) 。此外，它与英文的f r a c t i o n ( 碎片、分数) 及f r a g m e n t ( 碎片) 具有相同的词根。因此，m a n d e l b r o t 取拉丁文之头，撷英文之尾所合成的f r a c t a l ，本意是不 规则的、破碎的、分数的。m a n d e l b r o t 是想用此词来描述自然界中传统e u c l i d 几何学所不能 描述的一大类复杂无规则的几何现象，例如，蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉、粗糙不 堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、眼花缭乱的繁星等。它们 的共同特点是：极其不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。 分形作为几何对象。与普通的e u c l i d 几何有几点明显的区别： 1 e u c l i d 图形是规则的，而分形是不规则的，也就是说，e u c l i d 图形一般是逐段光滑 的，而分形往往在任何区间内都不具有光滑性。 2 e u c l i d 图形的层次是有限的，而分形从数学的角度上讲层次是无限的。 3 e u c l i d 图形一般不会从局部得到整体的信息，因为它们不强调局部与整体的关系， 而分形强调白相似性，白相似性就是局部与整体相似，局部中又有相似的局部，每 - d , 局部中包含的细节并不比整体所包含的少，不断重复，无穷跌套，形成了奇妙 的分形图案。特别要指出的是，这里的相似性不但包括严格的几何相似性，而且也 2 浙江大学硕上学位论文 包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。 4 e u c l i d 图形越复杂，其背后的规则也必定越复杂，而对于分形图形，虽然表面上看 十分复杂，但其背后的规则却有可能是相当简单的。 5 e u c l i d 图形基于特征长度与比例，而分形无特征长度与比例。 分形几何的诞生才不过短短3 0 来年，但它对多种科学的影响却是极其巨大的。卷入分 形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学家等，在社会科学与人文 科学方面，大批哲学家、经济学家乃至画家和电影制作家都蜂拥而入。本文将电磁学与分形 相结合，由于电磁辐射、散射都与物体的几何形状息息相关，而传统的天线设计都基于e u c l i d 几何，因此将分形的概念用于天线的设计，有望得到较好的性能。 1 2 分形的语言：迭代函数系统( i f s ) 迭代函数系统0 f s ) 是描述分形结构的通用方法。它建立在一系列自仿射变换w 的基础 之上，1 , v 可用公式表示为 或者其等价形式 w 为 w ( x ，y ) = ( 鲥+ 砂+ p ，既+ 方+ 厂) 式中的口，6 ，c ，d ，p 和厂都是实数。因此，自仿射变换w 由六个参数来表示 其中口，b ，c ，d 控制旋转和比例变换，p ，f 控制线性平移。 ( 1 2 ) ( 1 _ 3 ) 假设w l ，w 是一系列线性自仿射变换，同时a 表示最初的几何图形。通过对a 应 用变换得到w 1 ( 爿) ，w 2 ( 4 ) ，( 爿) ，把这些结果做并集就得到了新的几何图形，_ l = j 公式可 表示为 ( 爿) ( 1 4 ) 式中的矿称为h u t c h i n s o n 算子。重复应用彬于前一级圈形就得到了分形几何。例如，直u 果 4 代表初始的图形，那么 、 p 厂 6 d 口 c ， ) 4 ( ” 。u 浙江大学硕士 学位论文 包括通过大量的统计而呈现出的自 相似性。 4 . e u c l i d 图 形越复杂， 其背后的 规则也必定越复 杂， 而对于分形图形， 虽然表面上看 十分复杂，但其背后的规则却有可能是相当 简单的。 5 . e u c l i d 图 形基于特征长度与比 例， 而分形无特征长度与比 例。 分形几何的诞生才不过短短3 0 来年，但它对多种科学的影响却是极其巨大的。卷入分 形狂潮的除数学家和物理学家外， 还有化学家、 生 物学家、 地貌学家等， 在社会科学与人文 科学方面， 大批哲学家、 经济学家乃至画家和电影制作家都蜂拥而入。 本文将电磁学与分形 相结合， 由 于电 磁辐射、 散射都与物体的 儿何形状息息相关， 而传统的夭线设计都基于e u c l i d 几何，因此将分形的概念用于天线的设计，有望得到较好的性能。 1 . 2分形的语言:迭代函数系统 ( i f s ) 迭代函 数系统( i f s ) 是描述分形结构的通用方法。 它建立在一系列自 仿射变换w的基础 之上，w可用公式表示为 ( 1 . l ) 、leswel夕 efr 了十、 + 、1护 xy l、 干/ ，口d ac 了! - 、!. x夕 zl w 或者其等价形式 w ( x , 力= ( a x 十 b y + e , e x + d y 十 f ) ( 1 . 2 ) 式中 的a , b , c , d , e 和 1 都 是 实 数。 因 此，自 仿 射 变 换、由 六 个 参 数 来 表 示 ( 1 . 3 ) 、一 ef : 乙刀d 口c 2!、 其中a , b , c , d控 制旋转和比 例变 换，e , f控制线 性平 移。 假 设w w 2 ， 二 ， 巧是 一 系 列 线 性自 仿 射 变 换 ， 同 时a 表 示 最 初 的 几 何 图 形 。 通 过 对a 应 用 变 换 得 到w , ( a ) , w 2 ( a ) ， 二 ， w , , ( a ) ， 把 这 些 结 果 做 并 集 就 得 到 了 新 的 儿 何图 形， 用 公 式 可 表示为 w ( a ) 一 u w ( a ) ( 1 .4 ) 式中的w称为h u t c h i n s o n 算子。 重复应用w于前一级图形就得到了分形几何。 例如， 如果 a代表 初 始的图 形， 那么 浙江大学硕士学位论文 a , = w ( a , ) a , 二 w ( a ) , . . .， a k 十 1 = w( a k )( 1 . 5 ) 而 最终得到的a - 具有下列性质 a . = w( a . ) ( 1 .6 ) 因此它被称为i f s的 “ 吸引子， 。 迭代函数系统是分形天线设计的强有力工具， 因为它提供了一种描述、 分类和操作分形 的通用方法。为了对其有一个感性的认识，图1 . 2 给出了分形树的i f s 系数及由其生成的分 形树。 b e d。f 0 .1 9 5 0 .4 8 8 0 ,3 4 4 0 .4 4 3 1 0 .4 4 3 1 0 .2 4 5 2 0 .4 6 2 0 .4 1 4 - 0 02 5 2 0 . 3 6 1 0 .2 5 1 1 0 .5 6 9 2 ; - 0 .0 5 8 - 0 .0 7 0 .4 5 3 - 0 . 1 1 1 0 .5 9 7 6 0 .0 9 +6 9 一 。 .0 3 5 。 .o 7 一 。 .+1 6 9 一 。 、。 2 2 0 .4 8 8 4 0 .5 0 6 9 甘 - 0 .6 3 7 0 .0 0 .0 0 .5 0 1 0 .8 .5 6 2 0 .2 5 1 3 图 1 . 2分形树及生成它的s 1 . 3本文概要 本论文主要由 九章构成。 第一章介绍了 分形的 基本概念、 它与欧氏 几何的主要区别及用 来描述分形的迭代函 数系 统。 第二章对分形天线的研究现状进行了一些总结并提出了目 前存 在的一些问题。 第三章介绍了本文用到的数值模拟方法 有限元方法， 并概括了其基本步 骤。 第四 章介绍了 分形 夭线的 制作和测 试方法。 第五 章针对传统的s ie r p in s k i 单 极子 天 线提 出了改进措施，改进后的天线可用于g s m8 5 0 和p c s 双频天线的设计。第六章针对传统的 s i e r p in s k i 微带天线提出 了 改 进， 改 进后的 天线可用于多 频带微带天 线的设 计。 第 七章 设计 浙江大学硕士学位论文 了 一种应用于d c s + p c s 频段的新型折叠型k o c h 单极子， 相对普通单极子天线， 它的 尺寸 大大减小， 带宽却有所增加。第八章将分形与阵列相结合， 研究了k o c h 八木天线，并将它 与 普通八木天线作了对比。第九章对全文做了总结并提出了将来的研究方向。 浙江大学硕士学位论文 第二章 分形天线的研究现状 自从2 0 世纪 8 0 年代分形几何与ma x w e ll电 磁理论相结合形成分形电动力学以 来，人 们对分形天线进行了 一系列研究， 主要集中在分形天线单元和分形天线阵列这两方面。 下 面 对分形天线研究现状做一概述。 2 . 1分形天线单元的研究现状 普通天线振子 ( 如圆 柱状天线振子) 作为谐振犬线时， 其电 流呈驻波分布， 输入电 阻及 输入电抗都是其电 长度的函 数。 尤其是输入电 抗， 不仅其大小随 大线的电长度急剧变化， 而 且其性质也随电r 度呈周期性变化。 这些天线的带宽较窄， 即使通过适当的变形， 如双锥天 线、 盘锥天线、折合振子天线等也只能扩展一到几倍的 带宽， 不能满足宽频带通信的 需要。 特别是随 着跳频、 扩频通信技术的发展， 要求天线在瞬时频率上也是宽带的， 因此， 利用普 通天线振子实现多频带和宽频带难度很大， 分形理论的基本概念应用于天线阵子的设计止好解决了以上面临的问 题。 由于 分形几伺 的结构复杂性和不规则性， 使得天线的设计体积减小， 同时由于分形几何的自 相似特性， 使 得天线具有多频带特性，而且优化了大线的增益，带宽等特性。 2 . 1 . 1 k o c h 分形天线 k o c h曲 线的生成方法是把一条直线等分成二段， 将中间的 一段用具有一定夹角的 二条 等长的折线代替， 形成一个生成元， 然后再把每个直线段用生成元进行代换， 经n 次迭代就 得到n 阶k o c h 曲线。图2 . 1 给出了当夹角8= 6 0 的情形。 ( a ) k o c h曲线迭代( b ) 双极天线 图2 . 1 k o c h 天线 浙江大学硕士学位论文 p u e n t e 等人 2 3 重点讨论了k o c h 曲 线的单极天线特性， 当 保持天线的高 度不变时， 随 着迭代次数的增加，曲 线 的 长 度 将 按 兰 的倍数增长，天线的辐射电阻增加，谐振频率减小， 并趋于某一有限值，同时品 质因数q值减小，也趋于某一有限 值。 当利用此曲线作为天线的两个振子时，即形成 k o c h偶极子， k o c h偶极子随着迭代次 数的增加， 辐射电阻增加， 谐振频率逐渐减小， 并 趋子某一有限值。 当 保持偶极子天线的谐 振频率不变时， k o c h曲 线的高度减小，随着迭代次数的增加， 天线高度趋于有限值，长 度 却无线增r0 中 ; t 0 ( 3 . 1 . 5 ) 了.，j飞、 、了了 中 .j 中 护 尹了、. 则式( 3 . 1 .2 ) 式中的 算符和是正定的。 如果( 3 . 1 .2 ) 式中 算 符户既自 伴 又正 定， 那么， ( 3 . 1 .2 ) 式的解可通过求 卜 列泛函对中的极小值得到: 响一 合 v 4) b 一 合 (cd , f ) 一 合 tf d) 7 ( 3 . 了 6) 式中，小表示试探函数。 一旦确定了 泛函， 即可用下述步 骤来求解。 为简单起见， 假设问 题是实数值的， 并假定 ( 3 . 1. 6 ) 式中的巾可近似展开为 币 二 i c w i 一 i , 。 一 i m ( 3 . 1 . 7 ) 式 中 ， v 1 是 定 义 在 全 域 上 的 展 开 函 数 ， 示向量的转置。将 ( 3 . 1 .7 )式代入到 c , 是 待 定 的 展 开 系 数 。 t 呼 仍 表 示 列 向 量 ， 上 标 t 表 ( 3 . 1 . 6 ) 式中，得到 贝 v )yd f v r d q c 卜 w 贝 v f d q ( 3 . 1 . 8) t c 产、才. 1一2 - f 为 了 求 以 叫的 极 小 值 ， 令 其 对 。 的 偏 导 数 为 零 ， l k d m到 线 性 方 程 绍 浙江大学硕士学位论文 afac, 合 f v, vt “q c+ 2 h t f “ 、 v -d q 一 扭d q = - c f(vj v2 i=i n 、 v, q - 了 f v ,d o ( 3 . 1 . 9) =0 ( i = 1 , 2 , 3 ， 一 、 n ) 可将其写成下列矩阵方程 i s 1 c = b ( 3 . 1 . 1 0 ) ! s 的 元 素 为 (3l1l) 、 一 合 f(v, : 、 v, q 【 习 的 元 素 为 b , 一 丁 v ; f d q ( 3 . 1 . 1 2 ) 显 然 ， s 是 对 称 矩 阵 。 引 用 算 符 p 的 自 伴 性 质 ， 凡 可 写 成 s v = 丁 : 。 v ,d q ( 3 . 1 . 1 3 ) 求解矩阵方程 ( 3 . 1 . 1 0 )式，即可得到 ( 3 . 1 .2 )式的近似解。 在有限元方法中，泛函f可表示为 f ( cd ) = y f ( 4) ) ( 3 . 1 . 1 4 ) v = 丁 f n ; d 6 2 ( 3 . 1 . 1 9) 因 为90是自 伴 算符， 所以 ， 到 单 元 矩 阵 k e 是 对 称 的 将 ( 3 .1 .1 7 ) 式 、 : 入 3 .1 .1 4 ) 式 ， 得 卿 通过求和运算， f (cd ) = 氢 咭 ， ， k j(d 一 cp jt 井采用全局结点编码，上式可写成 : 一 含 。 丁 k lq 一 (d t ” ( 3 . 1 . 2 0 ) ( 3 . 1 . 2 1 ) 式 中 k 是 n x n 对 称 矩 阵 ; n 是 未 知 量 或 结 点 总 数 ; (d 是 n x l 的 未 知 量 ， 其 元 素 是 未 知 展 开 系 数 ; 歼 是 n x l 的 己 知 向 量 。 应 用 驻 点 条 件 ， 即 令 f 对 。的 偏 导 数 为 零 : o f 1 日 巾 . 2 酬戈 十 凡冲 ， 一 吞 = “ 一 1 , 2 , 3 , ， 二 ， n ( 3 . 1 . 2 2 ) 即 可 得 到 方 程 组 因 为 【 k 是 对 称 的 ， 戈= k p ， 因 此 ， ( 3 . 1 .2 2 ) 变 成 afa (d , 一 n,y l /k ,l,d-l厂 “ 一 。 一 ,2,3,-,n ( 3 . 1 . 2 3) 或写成矩阵形式: k l f (d 卜l b i ( 3 . 1 . 2 4 ) 与 上式等 价 但推导 方式略 微不同 的 推导 过程是首 先取f “ 对v 的导 数: a fr ， _ =i 挥. a 0 2 d (1 _ 卜 户_、 _ _ 、 _ _ 、二、 . f a f ) 、 1 _ 为 于 狄得万程组,必现百无水出s 二 ， ， ，达生 l d 中j 浙江大学硕士学位论文 万 竺 飞 = 竺、竺.， 、皿) t a o j l a te ,。 中 : = p (b 一 .f $ 。( 3 . 1 .2 9 ) 示的 最 佳 近 似 应能 使 残数r 在q内 所 有 点 上 有 最小 值。 残 数 加 权方 法 要 求 r , = 丁 w ,rd 4 = 0 ( 3 .1 .3 0 ) q 这 里r 表 示 残 数 加 权 积 分， w ; 是 所 选 择的 加 权 函 数 。 在伽辽金方法中， 加权函数与近似解展开中所用的函数相同。 通常， 这样可得到最精确 的 解， 因 而， 这是 建立有限元方程的常用途径。 为了 更清楚地说明这种方法， 假设方程的 解 可用 ( 3 . 1 . 7 ) 式中的 方法表示， 那么， 加权函数选为 w ; = y ( i = 1 , 2 , 3 , . . .， n ) ( 3 . 1 . 3 1 ) 浙江大学硕士学位论文 m此，( 3 . 1 . 3 0 )式变成 v ; v t 小: 、 卜 52 = 0( 一 ,2 , 3 ， 二 、 n ) ( 3 . 1 32) “只0 一- 尺 这里同样得到了( 3 . 1 . 1 0 ) 式 给出 的 矩阵方 程组。 在 此， 除 非算符v是自 伴算符， 否 则， 矩 阵 【 s 不 一 定 是 对 称 的 。 在 算 符 0 为 自 伴 算 符 的 情 况 下 ， 伽 辽 金 方 法 与 里 兹 方 法 得 到 相 同 的 方程组 。 除了 选择展开函数作为加权外，也能选择其它函数作为加权。 这样可得到不同的公式。 常用的方法有以卜 三种。 1 . 点配置法 在电 磁学界， 这种方法也称为点匹 配法。 狄拉克 ( d i r a c ) s函 数被选为加权函数 ( 在i 点 ，城= ; 在 其 它 各点 ，w ; = 0 ) ， 结 果( 3 . 1 .3 0 ) 式 变 成 ， 一 p v t 。 一 厂 一 。 ( 3 . 1 . 3 3 ) 显然，这等价于在给定点上满足 ( 3 . 1 . 2 ) 式。 通常， 选择的匹配点数等于未知量的个数。 2 . 子域配置法 在这种方法中，令加权函数在给定子域内等于1 ，在其它地方为零。因而有 ， 一 f (p v 小中q 一 。 ( 3 . 1 . 3 4) 式中，s 2 表示第i 个子 域。 通常， 所 选择的 子 域数也等于 未知量的 个 数。 3 . 最小二乘法 定义新的误差项 i = 工 p f 2 n ( 3 . 1 . 3 5 ) 最小二乘法就是求上式的 最小值。极小值是对近似解的未知系数求的，这相当 于 会 f v ( tn，一 f )d 。 一 “ ( 3 . 1 . 3 6) 在这 种情况下， 加 权函 数显然为0 v ; 。 在有限元方法中， 对于 ( 3 . 1 . 2 ) 式， 第e 个单元的残数加权为 r ; 一 f n ( 。 一 f ) d q， 一 1 , 2 , 3 ， 二 、 。 ( 3 . 1 . 3 7 ) 浙江大学硕士学位论文 将 ( 3 . 1 . 1 ) 代入 ( 3 . 1 .3 7 ) 式后得到 n ,p f n ,y 1 t d o f (d 一 f ff ; m 一 ， 2 ,3 , 、 。 ( 3 . 1 . 3 8) =j“ r , 也可写成矩阵形式 ( 3 . 1 . 3 9) 这里 j r 一 k f (d 一 另一类是齐次诺曼边界条件， 它要求边界处中的法向 导数为零。 第一类边界条件是必要的 边界条件， 它必须显式地强加 在计算中; 第三类边界条件通常在求解过程中隐含地自 动满足。 正是这种原因， 第二类边界 条件通常称为自 然边界条件。 可以看出，在这一步骤中，实际上有三个子步骤。 首先， 应用两种方法中的任一种，写 出单元方程 ( 3 . 1 . 1 7 ) 或 ( 3 . 1 . 3 9 )式。 其次， 将单元方程对所有单元求和， 得到方程组，这 浙江人学硕士学位论文 个过程叫组合。 最后， 应用边界条件来得到方程组的最终形式。 在用计算机实 现此计 算的过 程中， 这三个子步骤通常不是分离的， 相反， 它们相互交织在一起。 单元矩阵的生成和边界 条件的强加通常发生在组合过程中。 3 . 1 . 4方程组的求解 方程组的求解是有限 元分析的最后一步。最终的方程组是下列两种形式之一: k d 卜 b j ( 3 . 1 .4 1 ) 或 a ql 卜a b ( id ) ( 3 .1 .4 2 ) 方程 ( 3 . 1 .4 1 )是确定型的， 它是从非齐次微分方程或非 齐次边界条件或从它们两者兼有的 问题中导出的。 在电磁学中， 确定性方程组通常与散射、 辐射以及其它存在源或激励的确定 ,t问 题有关。 而方程 ( 3 . 1 .4 2 ) 是本征值型的， 它是从齐次控制微分方程和齐次边界 条件导 出的。在电磁学中， 本征值方程组通常与诸如波导中波传输和腔体中谐振等无源问 题有关。 在 这 种 情 形 下 ， 已 知 向 量 付 为 零 ， 矩 阵 i k 可 写 成 【 习 一 元 川的 形 式 ， 这 里 r 表 示 未 知 的 本征值。 一 旦 解 出 中 的 方 程 组 ， 就 能 计 算 出 所 需 要 的 参 数 ， 例 如 电 容 、 电 感 输 入 阻 抗 和 散 射或辐射图 等， 并能用曲 线、 图形或彩色图 片等形式表示结果， 这些形式更有意义并易于解 释。这个步骤也称为后处理过程，可完全同其它步骤分开处理。 3 .2天线远场参数求解 在解得方程组之后， 远场各参数可通过以下 公式得到 e = - j r ,) a ( 3 .2 . 1 ) h二 一 - ji x a r 叮 ( 3 2 .2 ) 其中77 = 示为 表示自 由 空间 波阻抗， 护 表示沿径向的单 位欠量， 在笛卡儿坐标系中它可表 尸一， 浙江大学硕士学位论文 r = $ s in o c o s 必 + 乡 s i n b s i n 沪 + i c o s b( 3 . 2 . 3 ) a r 表示a的 转置， 在 远场a可简 化为 a (r ) = n 些 f i (i )。 一 ， 。一 d s 4 ) cr招 ( 3 .2 . 4 ) 天 线的方向性可表示为 d ( b , 护 ) = 4 7 c u ( 9 1 0 ) p , ( 3 2. 5 ) 其中u表示 辐射 密度， 它 可由 电 场的b 和必 表示， 即 u (0 10 ) = 六 (i e b(b , 0 )1z + i e , (b , 0)i z ) ( 3 . 2 . 6 ) 月 。 表 示 天 线 的 入 射 功 率 ， 可 由 电 压 与电 流的 乘 积 得 到 ， 即 : 一 n r (v,1,) ( 3 .2 .7 ) 其中9 3 表示取实部。 浙江大学硕士学位论文 第四章 分形天线的制作与测试 由于天线的制作和测试在实际工作中的重要性， 以 下将简要概述本文中 用到的制作方法 与测试方法。 4 . 1天线的制作 有好几种天线的 制作方法在设计中 被考虑过。 第一种， 也是最简单的 一种是直接由 金属 丝弯曲成分形形状。 这种方法所需的设各最少， 成本最低， 但精度不高， 并且它只适用于线 天线的制作， 对平面天线无能为力。 另一种方法是把几段金属丝焊接成分形形状， 这种方法 的精度比 前一种有所提高，但它同 样只适合于线天线。 第三种方法采用标准p c b工艺，只 要把天线的布局在 e d a软件比 如p o we r p c b 中画好，就可直接交给电路板工厂 生产。这种方法精度最高， 而且适用于线天线和平面天线， 成本也在可接受范围之内， 因此 本文中的所有天线都按照此法制作。 4 . 2天线的测量 天线的测量主要包括天线谐振特性的测量和辐射模式的测量， 以下就这两方面做一简耍 介绍。 4 . 2 . 1天线谐振特性的测量 表征天线谐振特性的主要参数有输入阻抗和带宽。其中输入阻抗可由反射系数来表示 _ 1 十r z - 1-= z , 不 了 ( 4 . 1 ) z o 、 二表 示 天 线的 输 入 阻 抗 ， zc表 示 传 输 线 的 特 征 阻 抗 。 r 表 示电 压 反 射 系 数， 对 一 端口 网 络 而 言， r = s i l l s , 、 表 示 散 射 系 数 ， 可由 网 络 分 析 仪 直 接 测 a 得 到 具 体 的 实 验 装 置 见图4 . 1 . 浙江大学硕士学位论文 n e t w o r k a n a 如e 尹 图4 . 1 天线反射系数测量装置 天线阻抗带宽可