（电力系统及其自动化专业论文）结合eeac和时域仿真进行暂态稳定分析的研究.pdf

声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文结合e e a c 和时域仿真进行暂态稳定 分析的研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工 作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 圃塑塞l 日期：兰坐 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 一 作者签名：导师签名 日期：型! ，! 。 日期：! ! 苎：! ! 。乙j 六 曩 f 二 华北电力大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 本课题研究的目的和意义 电力系统是一个复杂的动态系统，一方面它必须时刻保持必要的电能质量和数 量；另一方面它又处于不断的扰动之中，扰动发生的时间、地点、类型、严重性均 有随机性，在扰动发生后的系统动态过程中一旦发生稳定性问题，系统可能在几秒 内发生严重后果，造成极大的经济损失及社会影响。 随着电力系统容量和地域的扩展、单机容量的增大、输电电压的提高以及系统 间的互联，带来显著的技术经济效益。但也易随之引起事故波及。至关重要的是要 防止广延的、失控的事故波及，以免造成重大的社会经济影响。当电网建设滞后于 电源建设，造成网架结构相对薄弱，线路承载度高，迫使系统在接近于暂态稳定极 限下运行。处于极限条件下系统的成功运行，要求掌握受稳定支配的极限参数，如 最大的线路承载能力、发电厂的受载极限等。对于运行情况的变化以及偶然事故的 威胁，要求快速显示稳定度以及指示校正作用，以便减轻不稳定的威胁。所有这些 情况表明：人们有理由在现代能量管理系统中不满足于具有静态安全分析功能而希 望引入动态安全分析功能。数值积分方法仍然是最可靠的方法，但在线应用时计算 负担较重。直接方法也就是暂态能量函数方法因其能够定量度量稳定度、适合于灵 敏度分析以及对极限参数计算快速，从而成为仿真方法的一个重要补充。 电力系统是非线性的大系统，而非线性动态系统的稳定性分析不仅在电力系统 领域即便在更为广泛的自动控制领域、数学分析中的微分动力系统领域也属研究前 沿。这是由于非线性系统稳定性分析不像线性系统那样具有普遍的封闭形式的求解 方法。现代教科书上的相平面法只适用于二阶系统。高阶系统应用它不仅困难也失 去直观性。早在1 8 世纪天体力学家就用暂态能量度量稳定性。1 9 世纪提出的李亚 普诺夫直接法是非线性系统稳定性理论的重大进展。2 0 世纪3 0 年代前苏联学者不 仅运用p a r k 方程研究高压远距离输电，也提出用能量准则分析电力系统稳定。5 0 年代在英国最早出现多机系统能量积分的论文，直至6 0 年代下半叶才出现在李亚 普诺夫稳定意义上的电力系统稳定分析的论文。其后的研究表明用李亚普诺夫法得 出的结果是保守的。7 0 年代末期在美、日等国提出的暂态能量函数方法克服了李亚 普诺夫法的保守性。近2 0 年来暂态能量函数方法一直是电力系统研究领域中一个 十分活跃的分支。经过国内外学者的潜心研究，基于李亚普诺夫函数法的直接法稳 定分析在现代非线性动力学系统理论的基础上已发展到可以展示事故后稳定平衡 点的吸引域的完全拓扑特征。在应用方面增强了适于仿真在计算稳定裕度和决定极 限参数方面的能力。但要有效地进行事故分析，仍需要进一步的改进。 1 f 华北电力大学硕士学位论文 而由我国学者南京电力自动化研究院薛禹胜与比利时p a v e l l a 教授等人提出的 扩展等面积法( e x t e n d e de q u a la r e ac r i t e r i a ，简称e e a c 法) 揭示了暂态稳定 现象的内在机理的规律，并能预言某些尚未被发现的现象的存在。使得相当成熟的 建模理论和缺乏物理解释的数值积分法之间严重不协调的状况开始改观。但是，其 模型适应能力差限制了这一方法在更广泛的范围中的应用。 1 2 暂态稳定计算算法简介 电力系统是一个用常微分方程描述的复杂的动力学系统。电力系统的理想运行 情况是，在任何时刻系统都能以恒定的电压和频率连续不断地向负荷供电。然而在 实际系统中，情况并非如此理想。实际上，负荷的规律性和随机性变化以及相应的 发电机组的调节时刻存在，一些大的变化也时有发生，例如网络中的短路故障，大 容量发电机和重要输变电设备的投入或切除等。一般将上述各种变化因素统称为干 扰或扰动。处于稳态运行下的电力系统在遭受干扰后，原来的平衡状态将被打破， 从而使系统经历一个动态过程。电力系统的稳定性问题就是研究这些动态过程的结 局如何，是否会危及系统的正常运行。从本质上来说，这一问题属于动力学系统的 稳定性的范畴。 稳态运行情况下，电力系统中各发电机组输出的电磁转矩和原动机输入的机械 转矩相平衡，各机组的转速保持恒定。在遭受大的干扰后，由于系统的结构或参数 发生了较大的变化，使得系统的潮流及各发电机的输出功率也随之发生变化，从而 打破了原动机和发电机之间的功率平衡，在发电机转轴上产生不平衡转矩，导致转 子加速或减速。一般情况下，干扰后各发电机的功率不平衡状况并不相同，加之各 发电机的转动惯量也不相同，使得各机组转速变化的情况各不相同。这样，各发电 机转子之间将产生相对运动，使得转子之间的相对角度发生变化，而转子之间相对 角度的变化又反过来影响备发电机的输出功率，从而使各发电机的功率、转速和转 子之间的相对角度继续发生变化。 与此同时，由于发电机端电压和定子电流的变化，将引起励磁调节系统的调节 过程：由于机组转速的变化，将引起调速系统的调节过程；由于网络中母线电压的 变化，将引起负荷功率的变化，等等。这些变化都将直接或间接地影响发电机转轴 上的功率平衡状况。 以上各种变化过程既相互联系又相互影响，形成了一个以各发电机转子机械运 动和电磁功率变化为主体的机电暂态过程。 电力系统遭受大干扰后所发生的机电暂态过程可能有两种不同的结局。一种是 各发电机转子之间的相对角度随时间的变化呈摇摆( 或振荡) 状态，且振荡幅值逐 2 一 - - i 一 华北电力大学硕士学位论文 渐衰减，各发电机之间的相对运动将逐渐消失，从而系统过渡到一个新的稳态运行 情况，各发电机仍然保持同步运行。这时，我们就称电力系统是暂态稳定的。另一 种结局是在暂态过程中某些发电机转子之间始终存在着相对运动，使得转子间的相 对角度随时间不断增大，最终导致这些发电机失去同步。这时称电力系统是暂态不 稳定的。当一台发电机相对于系统中的其他机失去同步时，其转子将以高于或低于 同步速运行，旋转的定子磁场( 相应于系统频率) 与转子磁场之间的滑动将导致发 电机输出功率、电流和电压发生大幅度摇摆，使得一些发电机和负荷被迫切除，严 重情况下甚至导致系统的解列或瓦解。 电力系统正常运行的必要条件是所有发电机保持同步。因此，电力系统在大干 扰下的稳定性分析，就是分析遭到大干扰后系统中各发电机维持同步运行的能力， 常称为电力系统的暂态稳定分析。 上述对电力系统的暂态稳定分析通常仅涉及系统在短期内( 约1 0 秒之内) 的 动态行为，然而有时我们还必须分析系统的中期( 1 0 秒直至几分钟) 和长期( 几分 钟直至几十分钟) 动态行为，这就涉及到电力系统的中期和长期稳定性分析【6 j 。 中期和长期稳定性主要关注在遭受到严重破坏时电力系统的动态响应。当电力 系统遭受到严重破坏时，将导致系统的电压、频率和潮流发生重大偏移，因此必然 涉及到一些在短期暂态稳定分析时未曾考虑的慢过程、控制及保护的行为。对电压 和频率发生大的偏移作用的装置，其响应过程从几秒( 如发电机控制与保护装置的 响应) 到几分钟( 如原动机能量供应系统和负荷电压调节器等装置的响应) o 进行长期稳定性分析的重点是与大范围系统破坏同时发生的较慢的、持续时间 长的现象，以及由此引起的发电机与负荷的有功功率和无功功率显著的持续性失 配。这些现象包括：锅炉的动态，水轮机的进水口和水管动态，自动发电控制( a g c ) ， 电厂和输电系统的控制与保护，变压器饱和，负荷和网络的非正常频率效应等。长 期稳定通常关心系统对特大干扰的响应，这些干扰不属于正常系统设计准则的预想 事故。在这种情况下，可能引发连锁事故及系统被分离成几个孤立的子系统。这时 稳定分析要回答的问题是如何在负荷损失的情况下各孤岛能达到可以接受的平衡 状态。 中期响应是指短期响应向长期响应的过渡。中期稳定研究的重点是各机之间的 同步功率振荡，包括一些慢现象以及可能的大的电压和频率偏移。 电力系统遭受大干扰是人们所不希望的，但事实上又是无法避免的。系统在遭 受大干扰后失去稳定的后果往往非常严重，甚至是灾难性的。事实上电力系统遭受 到的各种大干扰，诸如短路故障，大容量发电机、大的负荷、重要输电设备的投入 或切除等都是以一定的概率随机地发生，因此系统的设计、运行方式的制定总是需 要保证系统在合理选择的预想事故下能够保持稳定，而此系统的设计、运行方式的 3 华北电力大学硕士学位论文 制定总是需要保证系统在合理选择的预想事故下能够保持稳定，而不能要求电力系 统能承受所有干扰的冲击。由于各国对电力系统稳定性的要求不同，因此对预想事 故的选择也就有不同的标准。我国对系统稳定的要求反映在电力系统安全稳定导 则 1 l 】中。 判断电力系统在预想事故下能否稳定运行，需要进行暂态稳定分析。当系统不 稳定时，还需要研究提高系统稳定的有效措施；当系统发生重大稳定破坏事故时， 需要进行事故分析，找出系统的薄弱环节，并提出相应的对策。 下面首先讨论电力系统暂态稳定分析的全系统数学模型的构成。 在电力系统稳定分析中，各元件所采用的数学模型，不但与稳定分析结果的正 确性直接相关，而且对稳定分析的复杂性有很大的影响。因此，选用适当的数学模 型描述各元件的特性，使得稳定分析的结果满足合理的精度要求并且计算简单，是 电力系统稳定分析中一个至关重要的问题。对于包含众多发电机、输电线路、负荷 及各种控制装置的实际电力系统，考虑到任何冲击后果的复杂性，使得各元件的建 模遇到很大的困难。所幸的是，各种现象时间常数的明显差别允许我们把注意力集 中在影响暂态过程的关键元件和所研究区域。 在进行电力系统稳定分析时，由于在遭受干扰后电力网络的电磁暂态过程衰减 很快，因此忽略其暂态过程是合理的。采用这种简化后，电力网络的模型中就仅包 括代数方程。另外，在发电机定子电压方程中，p y d 和p g 。反映了定子绕组本身的 暂态过程，忽略这两项，意味着忽略了定子中的直流分量，因此定子中仅包含基频 电气分量，定子电压方程也就变成代数方程。很明显，同时忽略发电机定子和电力 网络的暂态过程，能够使得定子电压方程和网络方程保持一致，即均为代数方程， 且仅包含基频电气分量，因而可以用稳态关系式描述，这样做显然还使全系统微分 方程的数目大大减少，从而可提高系统稳定分析的效率。由于系统中所有的电气量 在交流系统中是基波交流分量的有效值，故可用相量描述；在直流系统中是直流分 量的平均值。描述各元件电压、电流关系的方程都为代数方程( 和潮流计算中的稳 态方程相同) ；由于系统中动态元件的存在，一些电气量表现出一定的动态特性。 因此，在遭受干扰后，电力系统经历的整个暂态过程可以看成各时刻的稳态量( 正 弦交流量) 按一定动态特性的过渡，这时系统中的电压、电流、功率能够发生突变。 这就是电力系统稳定分析常用的准稳态模型( q u a s i - s t e a d ys t a t em o d e l ) 。 电力系统稳定计算主要涉及由发电机及其励磁系统和调速系统、动态负荷( 如 感应电动机和同步电动机) 、直流输电系统、电力电子控制元件( 如f a c t s 、s v c 、 可控串补) 等众多动态元件和输电网络、静态负荷等组成的非线性动态系统。描述 这一非线性动态系统的是一阶微分方程组( 1 1 ) 和非线性代数方程组( 1 - 2 ) 。 4 毛 华北电力大学硕士学位论文 _ d x ：f ( x ，y ) ( 1 1 ) a l 0 = g ( x ，y )( 1 - 2 ) 电力系统稳定计算( 数值积分方法) 就是求解上述微分一代数方程组的初值问 题。即以系统受扰动前的运行状态为初始条件，对微分方程( 1 1 ) 和代数方程( 1 - 2 ) 采 用某种数值解法推算系统受扰动后的动态过程。 图1 1 给出了全系统数学模型的框架及各元件之间的相互关系【5 1 ，其中包括描 述同步发电机及与同步发电机相关的励磁系统和原动机及其调速系统、负荷、其他 动态元件的数学模型以及电力网络的数学模型。一般地说，系统中的各个动态元件 彼此之间不发生直接作用，而是通过网络将它们联系在一起。 定坐电 速系统方程l _ 豺i 程 力子 标 电变 网 压 换 络 电力系统转子电路方 方方方 稳定器 励磁系统方程 程程程程 微分方程 代数方程 图1 1电力系统稳定分析中全系统数学模型的框架 其他发电机 负荷 ) 直流系统 ) 其他动态装置 整个系统的模型在数学上可以统一描述成一般形式的微分代数方程组如式 ( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，式中：工为描述系统动态过程的状态变量；j ，为系统中的代数变量。 微分方程组( 1 1 ) 主要包括： ( 1 ) 描述各同步发电机暂态和次暂态电势变化规律的微分方程。 ( 2 ) 描述各同步发电机转子运动的摇摆方程。 ( 3 ) 描述同步发电机组中励磁调节系统动态特性的微分方程。 ( 4 ) 描述同步发电机组中原动机及其调速系统动态特性的微分方程。 ( 5 ) 描述各感应电动机和同步电动机负荷动态特性的微分方程。 ( 6 ) 描述直流系统整流器和逆变器控制行为的微分方程。 ( 7 ) 描述其他动态装置( 如s v c 、t c s c 等f a c t s 元件) 动态特性的微分方程。 代数方程组( 1 2 ) 主要包括： ( 1 ) 电力网络方程，即描述在公共参数坐标系x 吵下节点电压与节点注入电流 之间的关系。 气 华北电力大学硕士学位论文 ( 2 ) 各同步发电机定子电压方程( 建立在各自的d - q 坐标系下) 及d - q 坐标系 与x y 坐标系间联系的坐标变换方程。 ( 3 ) 各直流线路的电压方程。 ( 4 ) 负荷的电压静态特性方程等。 实际应用中，常根据对计算结果精度要求的不同，对元件选用不同复杂程度的 数学模型。 目前，电力系统暂态稳定分析方法基本分为两种。第一种方法是数值积分方法， 又称间接法【4 , 5 , 6 , 7 】，其基本思想是用数值积分方法求出描述受扰运动微分方程组的时 间解，然后用各发电机转子之间相对角度的变化判断系统的稳定性。数值积分法由 于可以适应各种不同详细程度的元件数学模型，且分析结果准确、可靠，所以得到 了广泛的实际应用，并一直作为一种标准方法来考察其他分析方法的正确性和精 度。目前，利用数值积分法进行电力系统暂态稳定分析已经相当成熟，并已有许多 商业性程序相继问世。如我国电力科学研究院编制的交直流电力系统综合计算程 序，由b p a 根据美国w s c c 标准开发的暂态稳定分析程序，p t i 开发的p c c e ， 美国e p r i 的e t m s p ，t r a c t e b e l e d f 开发的e u r o s t a g ，巴西c e p e l 的 a n a t e m 及德国的v i s t a 程序和比利时的s t a g 程序等。这些程序除可用于分析 故障后转子的摇摆过程外，还可用于各种动态行为分析，它们已成为规划和运行人 员进行离线暂态稳定分析、安全备用配置、输电功率极限估计的有用工具。 另一种方法是直接法，它不需要求解微分方程组，而是通过构造一个类似于“能 量”的标量函数，即李亚普诺夫函数，并通过检查该函数的时变性来确定非线性系 统的稳定性质，因此它是一种定性的方法。由于构造李亚普诺夫函数比较困难，因 此目前电力系统暂态稳定分析的直接法仅限于比较简单的数学模型，或用暂态能量 函数近似李亚普诺夫函数，因此其分析结果不能令人完全满意。 1 3 暂态稳定分析流程 分析电力系统暂态稳定的主要途径是通过对遭受大干扰后系统动态响应的计 算得出系统是否稳定的结论。通常将系统遭受大干扰的时刻定为初始时刻( 即t = 0 ) ， 在对微分代数方程组用某种数值方法的求解过程中，可根据系统的运行状态利用适 当的判据判断系统的稳定性。暂态稳定分析的基本流程如图1 2 所示【5 1 。 6 华北电力大学硕士学位论文 1 4 本文的工作 否 输入原始数据和信息 扰动前系统的潮流计算，并计算初值y ( 0 ) 计算状态变量初值x ( o ) 形成微分方程和代数方程 置t = o 有无故障或操作 有 修改微分方程或代数方程 是否网络故障或操作 是 解网络方程并重新计算y ( d 判断系统是否稳定 是 置t = t + h 输出计算结果并停止 图1 - 2暂态稳定分析的基本流程 无 否 否 电力系统暂态稳定分析的主要目的是检查系统在大扰动下( 如故障、切机、切 负荷、重合闸操作等情况) ，各发电机组间能否保持同步运行，如果能同步运行， 并具有可以接受的电压和频率水平，则称此电力系统在这一大扰动下是暂态稳定 的。在电力系统规划、设计、运行等工作中都要进行大量的暂态稳定分析，因为系 统一旦失去暂态稳定就可能造成大面积停电，给国民经济带来巨大损失。通过暂态 稳定分析还可以研究和考察各种稳定措施的效果以及稳定控制的性能，因此有很大 的意义。 7 华北电力大学硕士学位论文 离线的时域仿真法，是一种可靠的方法，可以精确考虑各种复杂模型。但是其 只能判断是否稳定，不能给出系统稳定裕度的定量指标的局限性，在一定程度上限 制它的应用范围。所以在可靠的离线时域仿真方法的基础上结合有效、快速的直接 法特别是e e a c 这一保存了多机动态过程的稳定特性的方法，可以得到更多的关于 分析系统的信息，对于研究电力系统的稳定特性有着重要的意义。 结合已有的电力系统暂态稳定分析时域仿真法和e e a c 法的研究，本文根据两 种方法的特性，提出结合两者的稳定分析方法。这一综合的方法能够利用其中一种 方法的优点弥补另一种方法不足，得到丰富详实的系统故障后信息。最后，本文还 对与该课题相关的一些有待完成的问题做了展望。 完成的工作有： ( 1 ) 使用v i s u a lc + + 语言开发了一套结合e e a c 和时域仿真进行电力系统暂态 稳定分析的应用程序。所用算例与电科院的p s a s p 程序进行比较。为适应暂态问题 的复杂性与多元化，程序中建立了不同阶数的发电机模型。并且考虑了励磁机、原 动机调速器等的动态过程，程序中编制了这些动态元件的模型。 ( 2 ) 时域仿真方法采用了目前普遍采用的隐式梯形积分法，能够得到确切可靠 的数据。 ( 3 ) 提出了相对简单的临界群辨识方法。 ( 4 ) 根据提出的混合的方法，把扩展等面积定则应用于时域仿真结果数据，得 到等值机功角曲线。 ( 5 ) 得出等值机功角曲线的同时能够获得相应的暂态稳定裕度值。 ( 6 ) 编制相应的程序，通过分析计算比较了本文提出的方法的优越性。 8 华北电力大学硕士学位论文 2 1 概述 第二章时域仿真法暂态稳定计算 稳定破坏是电网中较为严重的事故之一，大电力系统的稳定破坏事故，往往引起大 面积的停电，给国民经济造成重大损失。为了防止稳定事故，各电网采取了各种措施， 如快速保护、单相重合闸、远方切机切负荷、投入制动电阻等。其中最常用的措施是对 可能发生的各种运行方式进行大量计算，从而避开可能破坏稳定的运行方式。离线的时 域仿真法，或称逐次积分法( s t e pb ys t e p ，简称s b s ) 将电力系统各元件模型根据元件 间拓扑关系形成全系统模型( 如图1 1 ) ，这是一组联立微分方程组和代数方程组，然后 以稳态工况或潮流解为初值，求扰动下的数值解，即逐步求得系统状态量和代数量随时 间的变化曲线，并根据发电机转子摇摆曲线来判别系统在大扰动下能否保持同步运行， 即暂态稳定性。时域仿真法是一种可靠的方法，可以精确考虑各种复杂模型。但当电网 发展到几百个乃至上千个节点时，这种计算耗费机时多，计算速度慢，只能判断是否稳 定，不能给出系统稳定裕度的定量指标。 2 2 暂态稳定计算用数学模型 2 2 1 同步发电机的数学模型 同步发电机模型采用考虑乓，砭，乓电势变化的5 阶模型。模型中发电机转 子d 轴励磁绕组f 及阻尼绕组d 的次暂态和暂态电磁过程分别以乓和乓电势变化表 示：q 轴考虑阻尼绕组q 的次暂态和暂态电磁过程，以历电势变化表示。模型的微 分方程如下【1 2 】： 巧。，e ，= _ + ( 嘞一艺) 厶( 一1 ) 蜀， z d o id 矿e ：i = 一乓，氐瑚乞+ 乓以粤 殇，警= 一礞+ ( 碌一识 鲁= 曼c o , 一( 。一。厶) 一。( q 一磊) 2 万五 等地一1 ) 2 万兀 9 ( 2 1 ) 华北电力大学硕士学位论文 式中： k g c t ? b ，门 d 妒q 、v d 饱和系数，砭= 1 + 6 毯”d 口 饱和参数 阻尼系数：d ( c o 。一磊，) 2 x f o 为阻尼功率标么值， 瓦= 瓦q 乙为系统惯性中心角频率，因c o , 瓦均为标么 值，2 万五的单位为弧度秒，故d 的单位为秒。本模型已详 细计入阻尼绕组的电气阻尼，仅机械阻尼很小，d 可为零。 定子绕组磁链，并有如下关系式： 阱玑11 0 - r o i l i q j + 斯 亿2 ， 定子电压、电流由d - q 坐标变换为r i 公用坐标的变换式是： 黧刿嘲 蹦黧= 删 注入网络的电流方程是： 其中： 川雾g , d l e s 一匮搬 印坐学坶群 岛= 半半孵坐学 鲈帮扣紫鲰2 虿膏 2 虿可 l o ( 2 - 3 a ) ( 2 - 3 b ) ( 2 - 4 ) 华北电力大学硕士学位论文 岛= 絮确= 等紫 2 2 2 原动机调速器的数学模型 调速器模型采用了一种水、火电机组均适用的通用模型，其传递函数框图如图 2 1 所示。 图2 1原动机及调速系统传递函数框图 其状态方程可描述为： p k = 4 c p = , u 6 一砭 z p 蚝= ( ，一等) ，一去蚝 p 圪= ( 1 一a ) 巧- k 瓦 ( 2 5 ) 其中 已= 口匕+ = k 口6 一 = 瓦巧+ 兀， 各个环节及其参数的物理意义见参考文献【1 2 1 。 2 2 3 同步发电机励磁调节系统的数学模型 同步发电机的励磁调节系统具有多种形式【13 1 ，下面仅以图2 - 2 所示的励磁调节 器为例，列出状态方程。 华北电力大学硕士学位论文 其中： i ! ! 尘l 图2 2同步发电机励磁调机系统传递函数框图 p u l = k ，e l u l 】t p u 2 = 【k 。e 2 一u 2 疋 p u 3 = e 3 一u 3 】瓦 p u 4 = 一i v 七k f e 0 t t f u 、= t 鄹一k | e f q 巨= k 。一k 岛= u u 4 e 3 = u 2 + e d o i 。 。 = 0 。i 。 2 h 2 时，改进欧拉法的总运算量比欧拉法要 小。 3 龙格库塔法 改进欧拉法用 “，“1 区间两点的导数( 或斜率) 推算x 。+ l ，拟合了积分函数泰 勒级数的前三项，这就启发人们去考虑：是否可用【“，厶+ l 】区间上更多点的导数去推 算x 。+ l ，以便拟合泰勒级数更多的项数? 结论是肯定的。龙格库塔法就是基于这种 原理建立起来的微分方程数值解法。最常用的是四阶龙格库塔法，这种方法用【t n ，t 川 区间上四个点的导数去推算x 。+ l ，从而拟合了泰勒级数的前五项： h 。= 吒+ z ：办+ z ：酉h 2 + 坪，酉h 3 + 球，等+ 。( n 因此，它的局部截断误差是o ( h 5 ) 阶的，全局截断误差是o ( h 4 ) 阶的。 对于一阶微分方程( 2 11 ) ，当利用四阶龙格库塔法求解时，可以利用递推公式 = + 吉( ”2 k ：+ 2 屯地) k l = h f ( x ，t n ) 尼：= 矽( + 每 + i h ) 屯= h f ( x + 丁k 2 ”争 心= 矽( 地，乙+ 鲁) ( 2 - 1 6 ) 求出x l ，x 2 ，x 3 ， 龙格库塔法的精度较高，但运算量较大，为欧拉法的4 倍。目前，当精度要求 较高时，已逐步趋向于采用运算量较小的多步法来代替龙格一库塔法。龙格一库塔法 往往只作为多步法起步时的一种辅助计算方法。 4 隐式积分法 1 7 华北电力大学硕士学位论文 分析计算公式( 2 1 4 ) 、( 2 - 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 可看出，这些公式等号的右端都是已知量， 因此利用这些递推公式可以直接计算出相应时段终点的函数值+ l 。与此不同，微 分方程的隐式解法不是给出递推公式，而是首先把微分方程差分化为差分方程，然 后利用求解差分方程的方法确定函数值h + j 。 对于方程( 2 11 ) ，若在 0 ，乙+ l 区段近似认为x f ( x ，f ) 为直线( 参见图2 4 ) ， 并以该直线下的梯形面积冬( t + 毛+ ，) 近似于：厂( x ，r ) 讲的真值，则相应的通用计算n n + l 公式为： 厶 + l = + 姜c 阮，乙) + 觚l ，0 1 ) ) ( 2 - 1 7 ) 这种数值积分方法称为梯形积分法。显然，这种方法属于单步、隐式解法，儿+ 。要 通过求解方程( 2 1 7 ) 才能得到。这是一个关于虬+ 。的非线性差分代数方程，它与 一般代数方程的区别在于方程中的参数随着时间变化而变化，步长h 也可能变化。 这是差分方程的特点。隐式梯形法具有二阶精度，局部截断误差是o ( h 3 ) 阶的。 岩 毫 0 图2 4隐式梯形积分法示意图 梯形积分法的数值稳定条件为 1 8 华北电力大学硕士学位论文 l等2h 2 l 0 ) 有向兄 0 ， 位于( 向兄) 右半平面，系统不稳定。 5 几种新方法 除了上述几种常用的微分方程数值解法外，还有几种新方法。 钟万勰先生在9 0 年代初提出的精细时程积分法【l 引，由于其数值结果的高度精 确，已经在结构动力分析、优化控制、偏微分方程的精细求解、非稳态随机动力学等 领域得到了广泛应用。精细时程积分法是一种绝对稳定的显式积分法，可以用它求 解刚性方程。这种方法的特点是：对于保守系统，积分结果将保持系统的守恒量不 变；对于定常系统，可使积分的结果高度准确，乃至得到的就是精确解的数值结果。 正如钟万勰先生所说的“算得的解是如此精确，几乎是计算机上精确解”，且该算法 属于电力系统暂态分析方法中的数值积分法，故称其为精细时程积分法。但遗憾的 是，这种算法也有它的缺点。首先算法中需要求解矩阵的逆阵，而逆阵的求解会带 来不小的误差，即使采用比较精确的解法，这一误差也是无法避免的。其次在进行 仿真计算前必须确定各元件的模型，还要保证矩阵是满秩的，这就降低了模型选取 的灵活性。 为了提高计算速度，很多学者也提出了一些快速算法。文献【l5 j 提出了一种新的 快速算法，这种算法针对发电机常用模型，引入新的状态变量，改变了网络代数方 程的形式，在计算过程中既不需要迭代，也不需要进行三角分解，从而使仿真计算 速度得到很大提高，且计算量随电力系统阶数的增大而增加很慢。文献【l6 j 提出了一 种运用非迭代算法的快速仿真技术，这一算法也引入了新的状态变量。非迭代的算 法可以节约迭代求解的计算量，从而大大提高了计算速度。 由西安交通大学夏道止教授提出的将t a y l o r 级数方法运用到暂态稳定计算中 f 17 1 ，哈尔滨工业大学郭志忠教授等人对其进行了较深入的研究1 8 】- 1 2 6 1 ，提出了快速 高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法。该方法从发电机节点的解析入手，在基于发电机 各种状态量的导数递推关系和高效因子表技术的基础上，计及发电机凸极效应，利 用高阶t a y l o r 级数展开式求解系统微分方程。在满足相同精度的前提下，其速度较 常规的r u n g e - - k u t t a 法快6 倍左右。在此基础上，郭志忠教授等人还对快速高阶的 t a y l o r 级数暂态稳定算法中对步长和阶数的动态控制进行了研究。从而提高了计算 1 9 华北电力大学硕士学位论文 速度。实际上r u n g e k u t t a 法就是根据t a y l o r 级数展开得来的。由于在计及t a y l o r 级数的高阶项时，以前的方法要将微分方程差分化，在积分步长内取多点信息，阶 数越高取的信息越多，从而使计算量过多。快速高阶的t a y l o r 级数法解决了这个问 题，他并不是将微分方程差分化，而是由微分方程和网络方程得到各种状态量的导 数递推关系，在求解网络方程时利用因子表技术提高计算速度，从而达到了高精度 的计算目的。但是，目前的快速高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法也有自身的弱点。 由于它是一种显式单步法，步长的大小和所选阶数的高低，不仅影响计算量，还与 计算的稳定性密切相关。t a y l o r 级数法的阶数越高，允许的步长也就越大，但计算 量也相应增加。这一问题也限制了快速高阶的t a y l o r 级数暂态稳定算法的应用。 2 3 4 微分代数方程组的数值解法 在进行电力系统暂态稳定分析时，需要寻求的是微分代数方程组的联立解，这 里的关键问题是微分方程组( 1 1 ) 和代数方程坌i i ( 1 2 ) 的交接处理。为此，我们可以采 用交替求解法或联立求解法。 i 交替求解法 在这种方法中，数值积分方法用于微分方程组，可独立地求出x ，单独求解代 数方程组得到y 。显然，积分方法和代数方程的求解方法可以相互独立。交替求解 法会造成交接误差，减小交接误差的唯一方法是增加迭代次数，但相应地增加了计 在拿且 异里o 2 联立求解法 联立求解法一般针对微分方程用隐式积分法求解的情况。其基本过程为，先用隐式 积分公式将微分方程组代数化，它和代数方程组一起形成联立非线性方程组，然后求解 此非线性方程组，即可得到所要的解。显然，这种方法不存在交接误差。联立求解的方 法一般采用牛顿法，在求解中，为提高计算效率，应充分考虑方程的稀疏性。 2 4 本章小结 本章介绍了暂态稳定分析的时域仿真法，建立了进行仿真所需要的网络元件数 学模型，讨论了微分方程数值计算方法及这些方法的一些性质。 2 0 华北电力大学硕士学位论文 3 1 概述 第三章e e a c 暂态稳定算法 时域仿真法即逐次积分法是现今求解暂态稳定问题的主要方法，也是最可靠的 方法。其主要优点是：系统模型足够精确：能够提供系统各种变量的时间响应。但 是这种方法的限制是不易导出稳定程度的定量信息和对系统关键参数的灵敏度分 析。李亚普诺夫直接法不是从时域去看稳定问题，而是从系统能量角度去看稳定问 题，故可作快速稳定判断，而不必计算整个系统运动轨迹，即不必逐步积分计算。 但是李亚普诺夫函数必须在扰动后保持定值，才能免去扰动后的积分。而多机电力 系统在本质上是非自治的，严格的李亚普诺夫函数并不存在。这样，不但扰动后的 数值积分无法避免，在多机空间( r 玎) 中直接评估稳定性存在从理论到实践一系列 的困难。 经典模型下单机无限大母线( o n em a c h i n et oi n f i n i t eb u s ，简称o m i b ) 系统暂 态稳定的充要条件可以用等面积法则来形象地反映，也可以用解析式严格地表达。 但是，把等面积法则推广到多机系统的不懈努力却长期未能奏效。矢量李亚普诺夫 函数就是这样一个失败的例子。 e e a c 成功的关键在于保持了原积分空间的完整性，仅把观察空间解耦为o m i b 子系统，并保存了原多机动态过程的稳定特征1 27 1 。 3 2 直接法暂态稳定计算方法简介 3 2 1 直接法稳定研究的综述 李亚普诺夫稳定性理论是在1 8 9 2 年提出的，但是直到1 9 4 7 年才由美国m a g n u s s o n 驯 提出应用李亚普诺夫能量函数研究电力系统暂态稳定的论文。之后，a y l e t t l 2 9 在1 9 5 8 年 提出了用于多机系统的能量积分准则，1 9 6 6 年美国g l e s s 3 0 】和e 1 a b i a d 等人【3 1 】首次提出 不计电网中转移电导的李亚普诺夫函数。这是用李亚普诺夫函数研究电力系统暂态稳定 的早期阶段。 自7 0 年代开始，用李亚普诺夫法研究直接法稳定分析的文章逐渐增多，初期的研 究主要集中于用不同的方法建立运用于电力系统的李亚普诺夫函数( 或称v 函数) ，和 如何求取不稳定平衡点( u n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n t ，简称u e p ) 的方法。开始人们认识 到如有n 个机组，则必有2 一1 个u e p 3 2 】。但是要求2 以1 个u e p 很麻烦，于是p a v e l l a 等人提出，在故障切除时加速度最大的为u e p 3 3 1 。又有人提出，距离s e p ( s t a b l e 2 l 华北电力大学硕士学位论文 e q u i l i b r i u mp o i n t ，简称s e p ) 最近的u e p 为临界u e p ( c l o s e s tu e p ) 。但是早期的研究 没有人计入故障地点和转移电导的作用，所以计算的结果偏于保守。 1 9 7 9 年a t h a y 等人1 3 4 】提出的能量函数第一次计入了故障地点和转移电导的作用， 使得能量函数法在克服保守性方面迈出了重要的一步。 1 9 7 9 年k a k i m o t o 等人【35 】首次提出了势能界面法( p o t e n t i a le n e r g yb o u n d a r ys u r f a c e ， 简称p e b s 法) ，直接利用持续故障轨迹求取临界势能，从而求得临界切除时间( c r i t i c a l c l e a r i n gt i m e ，简称c c t ) ，省去了求u e p 的麻烦，使得速度大大加快。但在当时，势 能界面法是根据一些经验和物理概念导出的，没有严格的理论证明。 8 0 年代以来，m i c h e l 等人【3 6 】提出了单机能量法。f o u a d 等人【3 7 】在动能修正、能量 裕度以及求解相关u e p ( r e l e v a n tu e p ) 等方面做了大量研究工作，迸一步丰富和发展 了暂态能量函数法的理论和方法。p a d i y a r 等人【3 8 】给出了能够计入详细发电机模型和负 荷模型的拓扑能量函数。1 9 8 8 年c h i a n g 和z a b o r s k y 等人【3 9 ，4 0 ，4 1 1 提出了稳定域( r e g i o no f s t a b i l i t y ) 的概念，对势能界面法进行了理论分析，并提出了使势能界面法更准确地条 件。1 9 9 1 年，c h i a n g 等人在其稳定域理论的基础上，又推出了b c u 法【4 2 j ( 一种将u e p 法和p e b s 法结合起来的方法) ，使u e p 法的实用化又前进了步。 另一种主要的直接法是我国学者南京电力自动化研究院薛禹胜与比利时p a v e l l a 教 授等人提出的扩展等面积法( e x t e n d e de q u a la r e ac r i t e r i a ，简称e e a c 法) 。此法在1 9 8 8 年提出【4 3 1 ，以后不断完善，又提出了动态e e a c 法( d y n a m i c ，e e a c ，简称d e e a c ) 4 4 】， 使得计算精度大大提高。 除此之外，国内外还对模式识别法、神经网络法、灾变理论、混沌理论等在暂态稳 定方面的应用进行了研究，但这些方法目前尚未到实用阶段。另外一种方法是采用并行 计算( p a r a l l e lp r o c e s s i n g ) 的方法加快计算速度，这些方法也还在研究中。图3 - 1 描绘 了主要的直接法相互之间的关系【4 5 。 总之，直接法稳定分析的研究不外朝两个方向发展，一个是改进现有的模型，寻求 更准确、更快速和更实用化的方法；另一个是寻找新的求解在线稳定的理论和方法。 2 2 华北电力大学硕士学位论文 全局能 量函数 法 u e p 方p e b s 方加速度 法法法 3 2 2 直接法的理论基础 局部能 量函数 法 单机能扩展等时间尺 量函数面积法度解耦 法法 i 动态扩 展等面 积法 图3 1直接法的分支简图 李亚普诺夫直接法( 简称直接法) 是从一个古典的力学概念发展而来的。该概 念指出：“对于一个自由的( 无外力作用的) 动态系统，若系统的总能量 研矿( x ) ，x 为系统状态向量 随时间的变化率恒为负，则系统总能量不断减少直至最终 达到一个最小值，即平衡状态，则此系统是稳定的。”李亚普诺夫据此发展了一个 严密的数学工具即李亚普诺夫直接法来判别动态系统的稳定性。由于该方法不是从 时域的系统运动轨迹去看稳定问题，而是从系统能量及其转化的角度去看稳定问 题，因此可快速进行系统稳定性分析。 下面我们以单机无穷大系统为例简要地介绍一下直接法暂态稳定分析。 2 3 华北电力大学硕士学位论文 e z 6 x 图3 2单机无穷大系统 设系统如图3 2 ，发电机采用经典模型，设发电机暂态电抗艺后的内电动势e 为 恒定值，并设机械功率只为恒定值，则系统的标么值数学模型为 其中 m 霉：p m l dt ”。 d 6 d t 圮2 詈幽万 ( 3 1 ) 式中缈一一转子角速度和同步速的偏差，稳态时值为零 万一一发电机转子角 m 一一发电机惯性时间常数 f m 一一发电机机械功率 e 一一发电机电磁功率 乓在扰动前、扰动时及扰动后具有不同的值，故相应的发电机电磁功率与 转子角万间的功角特性也不同。图3 - 3 ( a ) 中爿”表示故障前的功角特性，稳态时 只= e n ，万= 磊。设产。时，线路上发生三相故障扰动，功角特性变为2 孙，此时由 于己 e 孙，发电机转子加速，转子角万增加，直到万= 疋处将故障线路切除，功角 特性变为曩3 、，发电机转子开始制动，角速度下降，但万角仍不断增大，当工作点 到达z 3 上厂点时，万角达到最大值8 m 。此时发电机转子相对转速为零，即达到同 步转速。由于厂点存在制动转矩，因此转子将继续减速，万角开始回摆，工作点沿e 3 ) 经过s 达到，万达到最小值瓦i n o 此后往复振荡，若计入阻尼，振荡衰减，最后稳 定在事故后的稳定工作点s ，万角为覆。以上属于稳定情况，参见图3 3 ( b ) 的角 度一时间曲线。若保护装置切除故障线路较晚，例如当万角为时切除故障线路，发 电机的电磁功率特性曲线由曩2 的c 点突变到3 的g + 点，此后工作点沿曩3 的e f 进 2 4 华北电力大学硕士学位论文 行，当艿角到达h 点( 即不稳定工作点处) ，虽然制动力矩为零，但相对速度大于零， 因此转子越过h 点，此后转子在过剩转矩下加速，万不断增加，无回摆可能，系统 不稳定。参见图3 - 3 ( b ) 的角度时间曲线的虚线部分。 o 6u 图3 - 3 ( a )单机无穷大系统功角特性 2 5 华北电力大学硕士学位论文 t ，弋故障粕 ，名0 ：啪e 3 卜州5 6 c | 哦刃6 u ； ；u ! il ； ：6 。i 。 o ! 16 ：! a 一。o 。a i