（机械制造及其自动化专业论文）基于水平集函数的数字化拓扑优化设计及制造.pdf

焉叁孽二入学二学预二学 立沦文 摘要 本文在现有拓扑优化技术研究的基础上 应用水平奥函数法 对各向同性材 料建立了数字化优化力学模型 应用惩罚函数法来实现结构拓扑优化计算 在完 成数字化优化设计的基础上 进一步创新地研究该设计结果的数字化制造 在得到数字化优化结果以后 利用m a t l a b 软件平台 将优化后高维水平 集函数的点云数据存入结构数据库 提出用三角形面片法逼近拓扑优化后的水平 集蓝面 用面片边线的参数方程实现对优化结果边界的提取 并利用位查询方法 对边界数据排序 按照数字化制造技术的加工标准 对提取的数据编程 实现数 字化优化后工件的数字化制造 最后 利用线切割技术制造的工件证实了本文所 提出的方法和过程的有效性 具体创新研究如下 1 基于水平集和惩罚函数法 建立了各向同性材料结构的拓扑优化模型 2 创新地提出用三角形面片法来逼近拓扑优化后的水平集曲面 提取设计结 果的边界点云数据 3 提出应用位查询原理 对提取的边界点云数据按照不同边界曲线进行排序 4 根据数字化制造方法的特点 对排序后的边界数据做加工处理 将其变为 数字化程序 5 利用n c v i e w e r 软件模拟加工过程 验证所编制加工程序的正确性 最 后将生成的加工设计图之输入数字化加工机床 完成数字化制造 关键词 三角形面片法 拓扑优化 数字化制造 水平集函数 惩罚函数法 ab s t r a c t b a s e do ne x i s t i n gt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nr e s e a r c h l e v e ls e tf u n c t i o nw a se m p l o y e d t od e v e l o pt h eo p t i m i z a t i o nm e c h a n i c a lm o d e lf o ri s o t r o p i cm a t e r i a l p e n a l t yf u n c t i o n m e t h o dw a su s e df o rs t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nc o m p u t a t i o n a f t e rt h ed e s i g no f d i g i t a lo p t i m i z a t i o n t h ed i g i t a lm a n u f a c t u r eo fo p t i m i z a t i o nd e s i g nr e s u l tw a ss t u d i e d f o ri n n o v a t i o n a f t e ra c q u i s i t i o no ft h eo p t i m i z e dr e s u l t s m a t l a bw a sa p p l i e dt o i n p u tt h e o p t i m i z e dp o i n tc l o u dd a t ao fh i g h d i m e n s i o nl e v e lf u n c t i o ns e ti n t os t r u c t u r ed a t a b a s e t r i a n g u l a rp a t c hm e t h o dw a sp r o p o s e dt oa p p r o x i m a t eo p t i m i z e dl e v e ls e ts u r f a c e p a t c he d g ee q u a t i o nw a su s e dt oa c h i e v et h ee x t r a c t i o no fo p t i m i z e dr e s u l tb o u n d a r y a n dl o c a t i o ns c a n n i n gm e t h o dw a se m p l o y e dt os o r tb o u n d a r yd a t a a c c o r d i n gt ot h e s t a n d a r d so fd i g i t a lm a n u f a c t u r e t h ed a t ae x t r a c t e dw a sp r o g r a m m e d f o r d i g i t a l m a n u f a c t u r eo ft h eo p t i m i z e d s t r u c t u r e e v e n t u a l l y t h ew o r k p i e c em a d eb yw i r e c u t t i n gt e c h n o l o g yp r o v e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h em e t h o da n dt h ep r o c e s sp r o p o s e di n t h i sp a p e r t h ei n n o v a t i v er e s e a r c hw a sa sf o l l o w s 1 b a s e do nl e v e ls e ta n dp e n a l t yf u n c t i o nm e t h o d o p t i m i z a t i o nm e c h a n i c a lm o d e lo f i s o t r o p i cm a t e r i a lw a se s t a b l i s h e d 2 i r i a n g u l a rp a t c hm e t h o dw a sp r o p o s e df o rt h ef i r s tt i m et oa p p r o x i m a t eo p t i m i z e d l e v e ls e ts u r f a c ea n de x t r a c tb o u n d a r yp o i n tc l o u dd a t ao f d e s i g n e dr e s u l t 3 l o c a t i o ns c a n n i n gm e t h o dw a sp r o p o s e dt os o r tt h ee x t r a c t e db o u n d a r y p o i n tc l o u d d a t aa c c o r d i n gt od i f f e r e n tb o u n d a r yc u r v e s 4 t a k i n gc h a r a c t e r i s t i co fd i g i t a lm a n u f a c t u r ei n t oa c c o u n t t h es o r t e db o u n d a r yd a t a w a sc o n v e r t e di n t od i g i t a lm a n u f a c t u r ep r o g r a m 5 n c v i e w e rw a su s e dt os i m u l a t et h em a n u f a c t u r e p r o c e s sa n dv e r i f yt h e c o r r e c t n e s so fp r o g r a mw r i t t e nf o rm a n u f a c t u r e f i n a l l y t h ed e s i g np r o g r a mw a s i n p u ti n t od i g i t a lm a c h i n et oc o m p l e t et h em a n u f a c t u r e k e y w o r d t r i a n g u l a rp a t c hm e t h o d t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n d i g i t a l m a n u f a c t u r i n g l e v e ls e tf u n c t i o n p e n a l t yf u n c t i o n a lm e t h o d i i 青岛理工大学丁学硕七学位论文 1 1 选题背景与来源 第1 章绪论 科技发展带动着社会的不断进步 在现代工业生产研究领域 国内外技术的 不断创新 广泛的产品商业化应用 以及层出不穷的新型产品 使人类的生活更 加便捷 目前 在众多的工程实际应用中我们可以看出 优化设计有着广泛需求 和发展空间 尤其在机械设计领域中表现突出 常见的设计是在给定实体材料的 基础上 结合优化理论对材料进行优化设计 获得满足应用要求的最优化结果 1 1 机械优化设计发展到今天 已经从简单的尺寸优化 到结构优化 再延伸到现在 广泛研究的拓扑优化 其中尺寸优化及其形状优化理论已相对完善 并逐渐走向 成熟 而且在机械设计领域中有广泛的应用 而拓扑优化是国内外发展的前沿 它是机械结构优化设计领域中最为复杂和最具有挑战性的课题之一 2 从1 9 世纪 8 0 年代 b e n d s e 等提出的均匀化理论 标志着拓扑优化理论的探索和研究已经 开始 因此 经过十几年的研究发展 理论上有了很大的进步 而且有了相应的 应用实例 目前主要的研究方法包括基结构法 均匀化法 各向同性材料结构的 罚函法和水平集法 以及其他基于上述方法的变种 这些方法的主旨在于将优化 设计问题转化成材料的分布问题 使设计出的结构满足目标函数的测量要求 3 1 本文在现有拓扑优化应用与发展现状的基础上 对其理论与应用展开进一步的探 索研究 机械制造技术是机械生产 乃至国民经济发展的动力 并且随着各学科之间 的融会贯通 机械加工技术已经有了很高的自动化程度 并在不断地促进人类社 会的进步 从最初的机床等简单笨重的加工仪器开始 到现在智能化程度很高的 加工中心 还有因此而发展的设计软件及编程工具 都是机械制造技术飞速发展 的表现 4 因此 研究如何将数字化设计用现代数字化机械加工技术制造出来 是本文的一个研究重点 研究所得的结论对拓扑优化设计的进一步发展 奠定了 重要的基础 也对现代数字化制造技术的发展与应用提供了广阔的空间 本研究受山东省自然科学重点基金项目支持 项目名称 智能结构的数字化 设计理论及其方法的研究 z 2 0 0 7 f 0 4 青岛理t 大学工学硕士学位论文 1 2 研究的目的与意义 机械产品应用的领域中需要高效 灵活 轻便的结构 这就需要优化设计 机械领域内的优化设计可以说是永恒的研究需求 在现有优化理论的基础上对它 作进一步的发展是研究必然 本文在研究拓扑优化设计发展与应用的基础上 应 用国内外广泛使用的水平集拓扑优化方法 对广泛应用的各向同性梁结构进行优 化设计 在实现拓扑优化设计结果的基础上 进一步实现数字化加工制造 是很 有价值的 因此 在现有数字化制造技术发展的基础上 如何进一步实现数字化 拓扑优化结果的数字化制造 国内外对此的研究报道极少 大多资料仅限于不同 设计方法的研刭5 1 因此 本课题正是针对这一研究现状而展开 探索拓扑优化 结果的数字化制造 研究所得的结果有重要的实际应用价值 本文所做的工作 不仅在理论上有很强的创新 而且对各向同性材料梁结构 进行设计 有很高的实际应用价值 3 结合工程设计中常见的力学设计要求 对 各向同性材料梁结构进行最小柔度优化 有很强的实用性 同时 结合实用有效 且计算迅速的惩罚函数法 来实现优化设计的计算 最后 对优化设计结果的数 字化制造展开研究 通过选择适宜优化软件及数字化制造方式 编程对结果进行 边界提取和排序 对结果数据进行编程处理以实现加工制造 使理论优化模型与 实际加工制造方式实现软 硬件连接 充分利用机械生产现有的制造技术 将先 进的拓扑优化设计结果实现制造加工 数字化拓扑优化设计的数字化制造 将应用前沿的水平集函数拓扑优化方法 应用设计模型中 并结合数字化加工技术 提出一套从数字化设计到数字化加工 的方法 不仅促进生产进步和新产品的开发 而且是拓扑优化理论和机械数字化 制造技术的探索与发展 本文所提出的创新思想及其研究所得的理论方法 都属 于研究前沿 因此 探索过程中的任何突破都将有重要的应用价值 在机械设计 与制造领域有着很高的学术价值 1 3 相关领域国内外研究现状 1 3 1 机械优化设计发展 在工程应用中 要做到节省资源又保证质量 优化设计是必不可少的 尤其 2 青岛理t 大学工学硕十学位论文 在航空航天领域 优化设计有广泛的应用 6 结合目前国内外对环境与资源保护 的积极倡导 更多的人将目光放在了节能减排 资源保护 绿色环保等问题上 在实际工程研究领域中 优化设计就是解决这些问题的一种至关重要的技术 在 机械制造领域中 主要针对减轻结构重量 降低应力水平 改进结构性能和提高 产品安全寿命等问题 2 1 在机械设计领域的应用发展中 优化设计因自身设计目 标的不同 而衍生出不同的研究方法 在机械工程制造业中 优化主要针对于材 料结构 具体的结构形式包括了尺寸 形状和拓扑等信息 因此 相对应地 优 化设计可以基本划分为三个层测6 1 截面尺寸优化 求函数的极值包括一元和多元 2 形状优化 先转换成尺寸优化 再进行迭代运算 3 拓扑优化 能改变结构的尺寸 形状和拓扑结构 尺寸优化是最早的优化问题 该方法利用数学算法实现优化计算 形状优化 的早期研究主要集中在厚度 边界等问题的尺寸优化 在求解计算时容易实现 随着应用要求的不断提高 研究人员开始突破对形状优化问题的求解方法 通过 调整产品形状来改变其性能 以实现耗能少 用料少 力学性能优越 结构稳定 的优化结构r 形状优化主要将有限元法和优化方法相结合 通过迭代运算实现 优化 这也是近代形状优化的理论基础 2 0 世纪9 0 年代 拓扑优化开始发展 它弥补了以往优化算法只能在初始拓扑形式上开始求解的缺陷 通过改变材料的 拓扑结构实现最优化设计 然后运用优化理论和优化算法 结合数学编程软件进 行计算 得出满足要求的设计方案及产品 8 拓扑优化对于材料的几何尺寸 材 料的构成等无要求 而只对材料的拓扑结构有严格要求 所以 在设计与实现的 研究中 拓扑优化不同于以往的优化思想 可以说 拓扑优化设计是结构优化设 计领域中最为复杂和最具有挑战性的课题 但随着科研人员的努力 拓扑优化设 计会在我们生活中越来越多地显示出自身的优越性 尤其在航空 航天等高科技 领域 有着至关重要的地位 9 1 1 3 2 优化方法发展 在优化理论发展与进步的同时 伴随着优化算法的探索与应用 今天 通过 优化算法得到的设计产品 已广泛地应用于我们的日常生活 给我们的生活带来 便捷 可见 这些算法的可靠性 准确性和实用性已有足够的实例证明 对于优 3 青岛理工大学工学硕士学位论文 化方法的发展 目前主要有下述的几种方法 1 基结构法 g r o u n ds t r u c t u r em e t h o d 基结构法是早期的优化方法 它主要针对简单的杆件结构进行设计 在初期 结构优化设计中 他起了很大的作用 随着生产需求的改变与提高 基结构法在 杆件删除与恢复问题上产生困难 这在应用过程中是非常难处理的问题 因而目 前限制该技术的进一步发展 1 们 2 均匀化法 h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d 均匀化法是继基结构法发展的新方法 它已经在实现简单结构优化设计的基 础上 将其进一步应用到连续体结构的优化设计中 该方法的优点在于 它能将 拓扑优化问题转化成简单的尺寸优化问题 便于进行数值计算 但是在准确度要 求较高的设计中 它在结构的微尺度效应方面考虑欠妥 会出现一定难以解决的 问题 并且不能在根本上改进 1 0 1 3 各向同性材料结构的惩罚函数法 s t r u 曲玳o fi s o t r o p i cm a t e r i a lu s i n g p e n a l t yf u n c t i o n s i m p 法是优化方法进一步完善的产物 它在具有上述两种方法设计的基础 上 考虑材料或结构的内部特性 在微观方面的研究有很大的提高 该方法的优 点在于优化计算速度比较快 比起以往其他优化算法 它在速率上提高了很多 但是它的缺点是优化边界不光滑 容易引起误算和畸变结构 1 0 4 水平集法 l e v e ls e tm e t h o d 水平集函数法是拓扑优化领域内广泛应用的计算方法 与基于单元描述的方 法相比 水平集函数法是基于节点描述的方法 其最大的一个特点就是能够更直 接地描述结构的几何拓扑形状 在结构演化过程中 通过迭代运算实现拓扑优化 其模型的运算边界光滑 能比较容易地实现拓扑优化 但同时 这种方法存在一定 的小缺陷 因为所需要的计算步数比较多 需要大量的运算 因此它的计算速度 比较慢 l o 综上所述 机械优化设计是一门实用性 综合性很强的理论和技术 在工业 生产中扮演着重要的角色 目前 机械优化设计的应用覆盖领域已从航空 航天 等高科技领域扩展到船舶 桥梁 汽车 机械 水利 建筑等工程领域 因此 对于拓扑优化设计的数字化制造是进一步的创新研究 有着重要的意义 4 青岛理工大学工学硕士学位论文 1 3 3 优化算法的研究及特点 对于建立的优化模型 至关重要的一步就是实现算法的应用 因为 模型一 旦建立 机械优化设计问题也就变成了一个数学求解问题 如上文所述 优化设 计理论已有一定历史的发展 优化算法也有很大的发展 经过相当长一段历史的 发展 优化算法已经产生很多种方法 虽然解决优化设计问题的算法也是种类繁 多 但依据求解问题有无约束条件 可将优化算法分为无约束优化算法和约束优 化算法两类 无约束优化算法较简单 主要包括坐标轮换法 最速下降法 牛顿 法 共轭梯度法 p o w e l l 法 变尺度法 单纯形法掣9 1 约束优化算法顾名思义 即包含约束条件的优化 它主要包括m o n t ec a r l o 法 随机方向搜索法 复合形 法 可行方向法 广义简约梯度法 罚函数法 序列线性规划 序y t j 次规划法 对于无约束优化 它是以非常成熟的无约束优化的线性规划或二次规划类优 化算法为基础发展起来的 9 1 在无约束优化算法中 各种优化方法各有优缺点 坐标轮换法的计算过程比较简单 程序实现较容易 但存在算法收敛速度慢 计 算效率低等缺点 主要用来解决设计变量数目小于1 0 的小规模无约束优化问题 最速下降法具有方法实现简单的优点 计算效率在最初几步迭代时较高 且对计 算初始点不敏感 因而常与其他方法一起使用 但该方法需要目标函数的一阶导数 信息 牛顿法存在计算过程复杂等缺点 主要适合于设计变量数目小及目标函数 阶次较低的优化问趔9 共轭梯度法具有收敛速度快 计算简单 所需存储空间 少等优点 适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题 在无约束优化方法中 p o w e l l 法是计算效率比较高的优化算法之一 它不需要目标函数的导数 是求解 中小型规模优化问题的有效方法 变尺度法也是计算效率比较高的优化算法之一 可用来解决高阶目标函数的优化问题 但存在程序实现比较复杂 存储空间比较 大等缺点 l o 单纯形法具有不需目标函数导数信息 程序实现简单 计算效率比 较高等优点 对于各种约束优化方法 其特点各有千秋 主要体现为 m o n t ec a r l o 法实现 简单 但求解高维优化问题时存在计算量大等缺陷 随机方向搜索法具有优化求 解过程收敛快 但局部寻优较差 因而在使用时需采用选择多个不同初始点的策 略 复合形法具有程序实现简单等优点 但在解决设计变量和约束条件多的优化 问题时优化效率比较低 可行方向法适合求解中等规模化问题 但存在程序实现 青岛理工大学丁学硕士学位论文 复杂等不足 广义简约梯度法具有算法收敛快 计算精度高等优点 但也存在程 序实现复杂等不足 1 0 罚函数优化方法包括内点法 外点法 混合法等 具有方 法实现简单等优点 但其优化过程的收敛速度较慢 适宜于解决中小规模优化问 题 序列线性规划法收敛较慢 只适用于非线性程度不是很强的优化问题t 6 序列 二次规划法是收敛速度较快 优化比较有效的方法之一 比较适合于中等规模优 化问题 遗传算法具有通用性强 不需要导数信息 收敛较快等优点 是近十多 年出现的比较前沿的优化方法 但实际应用的正确性还有待进一步证吲 1 3 4 数字化制造技术 在当今时代 数控加工技术是制造业实现自动化 柔性化 集成化生产的基 础 任何自动化生产设备都与数控技术密切关联 它是集传统机械制造技术 计 算机技术 成组技术和现代控制技术 传感检测技术 信息处理技术 网络通讯 技术 液压气动技术 光机电技术于一体 是现代制造技术的基础 随着数控技 术的发展 相应发展了许多的数字化制造技术 如数控车床技术 数控铣床加工 技术 数控线切割加工技术 加工中心技术等 1 1 在机械制造业得到了广泛应用 机械数字化制造 是以n u m e r i c a lc o n t r o l 机床的应用为起始的 1 9 5 2 年 美 国麻省理工学院首先实现了三坐标铣床的数控化 数控装置采用真空管电路 1 9 5 5 年 第一次进行了数控机床的批量加工 当时主要是针对直升飞机的旋翼等自由 曲面的加工 随之产生的是c a m 系统a p t 自动编程 其中的编程主要是发展自 动编程技术 1 2 1 9 5 8 年美国k t 公司研制出带a t c 自动刀具交换装置 的加工 中心 同年 美国u t 公司首次把铣钻等多种工序集中于一台数控铣床中 通过 自动换刀方式实现连续加工 成为世界上第一台加工中心 进而是c a d 计算机 辅助设计 软件 f m s 柔性加工系统 系统的出现 进入7 0 年代 c a d c a m 开始走向共同发展的道路 美国波音公司和g e 公司于1 9 8 0 年制定了数据交换规 范i g e s 从而实现c a d c a m 的融合 8 0 年代中期 出现计算机集成加工系统 c i m s 波音公司成功应用于飞机设计 加工 管理 将原需八年的定型生产缩短 至三年 1 2 最后 8 0 年代末期至今 c a d c a m 一体化三维软件大量出现 如 c a d a m c a t n u g i d e a s p r o e a c i s m a s t e r c a m 等 并应用到 机械 航空航天 汽车 造船等领域 目前在许多发达国家 数字化制造技术及 其产品 已经成为工业企业生产力水平的标志 近几十年 广泛的大型企业基本 6 青岛理工大学工学硕士学位论文 告别了以往从图纸设计到生产加工的整个过程 而广泛使用专业绘图软件 实现 整个过程的数字化设计 为数字化制造技术的发展开发出更宽广的空间 本文将拓扑优化和数字化制造技术相结合 把优化设计的产品用现有的数字 化制造技术加工出来 让优化设计的产品在我们日常生活中发挥更大的效益 不 仅是数字化制造技术应用的创新与发展 对优化设计结果的规模化应用也有很大 的意义 这样 使高水平 高质量的优化产品规模化生产 提高了工业产品的质 量和生产效率 1 4 本文主要研究内容和章节安排 本文研究基于水平集函数的数字化设计及制造 首先通过应用水平集函数拓 扑优化理论 结合应用广泛的各向同性材料建立梁结构模型 利用惩罚函数法实 现拓扑优化设计 针对国内外有关优化设计结果数字化制造的研究空白 本文提 出关于优化设计结果的数字化制造理论的研究 这对拓扑优化与数字化制造都是 很大的促进与发展 1 4 1 所要解决的主要问题 本文拟解决以下主要问题 1 本文作为优化设计类的课题研究 首先需要建立优化设计的理论模型 了解国内外关于优化设计的发展状况 在大量阅读国内外相关优化设计类文献资 料后 本文选用水平集函数优化方法 它是比以往结构优化 形状优化更有效 更前沿的拓扑优化方法 而且计算边界光滑 能更好更快的进行边界提取 因此 主要解决利用水平集函数法建立各向同性梁结构最小柔度力学设计模型的问题 2 优化设计离不开优化算法 设计的优越性也体现在算法的应用上 本文 结合理论模型的特点 并考虑运算量的大小 优化准确性等因素 本文采用内点 混合惩罚函数法解决拓扑优化的计算问题 3 解决如何实现数字化设计与制造的连接 主要涉及到软件与硬件之间数 据的兼容问题 因此 选择兼容性强大的m a t l a b 软件进行优化编程 4 对于优化的设计结果 进一步研究如何实现数字化制造 是本文要解决 的另一个重点问题 本文提出用三角形面片法 逼近零水平集曲面 截取优化结 果的边界数据 青岛理 丁大学 丁学硕十学位论文 5 如何对提取出来的无序数据实现几何边界的排序与分离存储 本文要利 用位查询法 按照不同边界 解决优化结果边界的排序和存储问题 6 对不同边界的几何数据进行数字化加工编程 编写数控机床加工程序 并利用n c v i e w e r 检验本文方法的正确性 1 2 1 4 2 本文的研究技术路线 本文研究的技术路线为 建立水平集拓扑优化模型 上 基于内点混合惩罚函数法的优化 1 l 编程实现数字化优化设计 上 h 化结果数字化加工边界提取 上 i 优化结果边界数据的数字化制造的编程 上 数字化编程正确性验证 上 实际工件的数字化加工 图卜1 文章研究技术路线框图 首先 在确定研究方向的基础上 结合国内外研究现状 选择水平集函数进 行拓扑优化设计 同时 参考现有机械领域广泛的设计要求 建立各向同性材料 梁结构的最小柔度优化模型 根据建立的模型特点 选择惩罚函数法实现优化设 计计算 最后 将数字化拓扑优化设计与数字化制造相结合 本文选择m a t l a b 编程软件 来满足不同软 硬件之间数据的兼容性要求 在软件实现设计完成的 基础上 选择适于本设计应用的数字化制造技术 探索如何将设计结果实现实际 数字化制造的方法 从数字化制造方式到编程进行数字化加工制造本文都做了详 细的探索研究 从而完成基于水平集函数各向同性粱结构的数字化拓扑优化设计 与数字化制造 青岛理t 大学t 学硕士学位论文 1 4 3 章节安排介绍 从第一章开始 本文分别从数字化优化设计与数字化制造研究的意义和目的 国内外的发展现状以及前景应用进行探讨 提出了本文的研究技术路线 第二章建立所要研究的力学设计模型 并完成数字化设计 基于目前的技术 发展状况及应用前景 本文选择各向同性材料建立最小柔度梁结构设计模型 并 利用水平集函数法和惩罚函数法完成拓扑优化设计 第三章是本文创新思想的体现及方法研究的重点 本章提出从拓扑优化的软 件设计到实际数字化制造的一套研究方法 创新提出用三角形面片法进行设计边 界提取 并创新地用位查询法实现边界数据的分离存储 在实际制造中 还要加 入后期实验所需要的数据 利用常用的文件处理方式进行数据处理 完成加工数 据的编程 利用软件n c v i e w e r 进行结果加工模拟 实现检测 第四章为数字化制造的实现 选择兼容性较强的m a t l a b 软件实现软件编 程设计 鉴于本文设计的模型特点 选择数控线切割方式进行数字化制造 不仅 有利于实现 而且在本研究实验设计中应用较简单 便于后期的处理 最后一章是全文的总结和展望 在这一章里将对全文内容进行总结 并对进 一步的研究方向提出一些看法 9 青岛理t 大学工学硕士学位论文 第2 章基于水平集函数及惩罚函数法的拓扑优化 2 1 引言 随着科学技术的快速发展 带来了高科技产品的不断涌现 使得人类的生活 水平不断提升 然而 为了提高经济效益 就需要质量更高且成本更低的产品 这样才能提高其市场的竞争力和占有率 实现资源的充分利用 而优化设计作为 现代新颖的设计方法 正好满足了科技发展及生产所需 成为最近几十年里最热 门的理论研究领域之一 6 它通过设定目标函数 设计变量 约束条件 建立数 学模型 再利用计算机及相关软件实现优化设计 得到最佳设计方案 从而给生 产带来最优经济效果 尤其在机械领域内 优化主要针对机械设计问题 即在满 足一定的强度 刚度 稳定性 尺寸范围及其他一些技术要求的限制条件下寻找 一组设计参数 1 1 1 实现最优化结构设计 本章在建立各向同性梁结构力学模型的基础上 以最小柔度为优化目标 应 用水平集拓扑优化方法及惩罚函法 对其进行拓扑优化计算 所选的各向同性材 料 属于机械生产中常用的材料 为后期的数字化制造提供基础 所建立的力学 设计模型 在工程设计中有着广泛的应用领域 2 2 各向同性材料力学特性 2 2 1 各向同性材料物理参量 各向同性 亦称均质性 即材料在各个方向上的力学性能和物理性能指标 都相同 物理性质不随度量方向变化的特性 也就是说 当进行参数测试时 沿材料不同方向所测得的性能 显示出同样的结果 日常生活中我们所见的 各向同性材料 如所有的空气 钢铁 铜材 铝材等 它们是由许多晶粒构成 的 实质上是晶体 具有一定的熔点 由于晶粒在空间方位上排列是无规则的 所以金属的整体表现出各向同性 另外就是由分子构成的非晶体材料 如橡胶 塑料等 而各向异性的材料一般是由离子或分子构成的晶体 如石英 金刚石等 1 3 本文采用的各向同性材料为不锈钢 因其应用范围广 材料易购买 同时 l o 青岛理工大学工学硕士学位论文 鉴于实验方便 所以实际研究不锈钢梁结构的优化设计与制造 不锈钢材料在 材料研究中 虽然和岩石一样没有规则的几何外形 但各方向的物理性质都相 同 属于各向同性材料 本文拓扑优化设计的模型即基于不锈钢材料的参数物 理参数建模 根据弹性力学理论中的定理 针对各向同性材料 其力学性质采用下列度量 来描述 1 4 1 常用物理常数 弹性模量e 切变模量g 体积模量k 泊松比 2 单元结构的应变分量 如线应变占 体应变9 和角应变y 3 单元结构的应力分量有 正应力仃 切应力f 全应力p 斜面应力分量 见 风 见 以及吒 体积应力0 4 单元结构的体力分型1 4 z 工 z 5 单元结构的面力分量 正 工 以 6 位移分量 u v w 2 2 2 有限元基本方程 在有限元建模中 各向同性材料仍作为普通的弹性体 因此 对于单纯的弹 性材料 在外力作用下 都会发生变形 所以 仍适用于胡克定律 根据有限元 思想 基本方程用矩阵形式表示 对于二维结构体所受的体力分量 用列阵表示为 1 5 厂 阱六 r 亿t 同样 物体所受的面力也可以用列阵的形式表示 其形式与上述相同 与此相似 3 个应力分量可用应力列阵表示 仃 吒 q 勺 2 2 2 3 个形变分量可用应变列阵表示 占 q 2 2 3 假定材料具有一般的线弹性行为 应力和应变之间的关系将是线性的 1 6 1 即 青岛理工大学t 学硕士学位论文 仃 d e 一岛 专1 阮未 一y 2kn 1 1l d v 占 i 一一 一i f 抛a v 加钆 2 l 缸砂缸砂 平衡微分方程 17 q 去 吒一 巳 哥1 o y 一 q 岛 掣勺 2 勺 孚 六 o 钟 挈 六 o 缸 一 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 根据有限元方法原理有 刚度矩阵 1 8 k ib 7 c b d v 2 1 0 上式对于任何应力应变关系都是适用的 由线性规律可以写成 1 9 g k a 2 一1 1 f l n r b d v j v b r c s d v v b r c r o d v 2 1 2 在方程2 1 1 中 q 表示结构体受到力的总和 式2 1 2 中 右边三项分别表示 对应于体积力 初始应变和初始应力的力 2 0 1 1 2 青岛理工大学工学硕士学位论文 本章基于水平集函数 通过有限元的迭代运算 对各向同性材料梁结构进行 最小柔度的数字化拓扑优化设计 利用算法的实现准则 建立有限元模型 进行 几何方程 物理方程 平衡方程及约束方程等的分析和表述 为进一步实现计算 做好理论基础 2 3 水平集函数拓扑优化 2 3 1 拓扑优化方法 优化设计发展到现在 诞生了许多实用的方法 随之发展的是优化理论 在 实际工程应用中 可以根据不同的初始优化条件和优化标准 选择不同的方法 获得理想优化方案 目前国内外最前沿的研究属于拓扑优化设计 它对材料的结 构 材质等没有要求 直接通过改变其拓扑结构来实现优化 2 1 1 比起以往的优化 设计方法 拓扑优化设计有许多的优点 但它的理论基础要求较高 实现拓扑优 化设计需要涉及多方面的理论知识 因此 拓扑优化设计是结构优化设计领域中 最为复杂和最具有挑战性的课题之一 拓扑优化的理论研究在过去的十几年中已经得到了长足的发展 其主要的算 法有固定拉格朗日乘子法 f i xl a g r a n g i a nm u l t i p l i e r 二分法 b i s e c t i o n 以及 移动渐进线法 m 础o do f m o v i n ga s y m p t o t e s 等t 2 2 1 虽然拉格朗日乘子法在某些领 域得到了广泛的应用 但是 用它很难得到合理的优化结果 二分法计算特别有 效 但它一般用于单约束条件的拓扑优化 移动渐进线法常用于多约束条件的拓 扑优化设计 但它的计算效率有点低 而且迭代过程比较复杂 2 2 1 近年来 水平 集函数法在结构拓扑优化研究领域有广泛的应用 该方法首先由s e t h i a n 和 w i e g m a n n 提出 用来进行等应力结构的设计 它是面向结构几何形状描述的方 法 引入一种描述结构拓扑形状的隐式函数 即水平集函数 用它的零水平集来 描述结构的边界 然后通过目标函数和约束函数的敏度分析 来改变水平集函数 的取值 以得到不断变化的结构拓扑形状 在随后的发展中 水平集函数优化方 法用于解决裂纹扩展 计算机视角识别 模拟流体力学边界的进化等问题 后来 又逐渐发展为应用于多材料拓扑优化的分段常数水平集函数 为层合材料的拓扑 优化奠定了理论基础 2 引 1 3 青岛理工大学工学硕士学位论文 2 3 2 水平集函数 与基于单元描述的方法相比 水平集函数法是基于节点描述的方法 其最大 的特点就是能够更直接地描述结构的几何拓扑形状 在结构演化过程中 所有边 界的几何信息都隐含于水平集函数当中 这样对拓扑相关荷载和边界条件的处理 将变得比较容易 2 3 1 本文正是基于它的这个特点 选择其该方法实现本文的力学 模型优化设计 根据水平集函数的优化过程 可以看成是水平集函数随伪时间变化的动态进 化过程 该函数允许其表面在不改变其拓扑结构的前提下上下运动 从而使嵌入 在其中的优化形状通过边界的合并与断裂在设计域内自动改变其拓扑结构 所以 能通过检测水平集函数的表面运动直接跟踪设计结构的拓扑变化情况 水平集的理论思想是 2 4 首先 定义一个闭子集合 它包含了整个结构形状 的设计域 该闭集边界是l i p c h i t z 连续 q g d 2 或3 r t 舵c d d 是容许设 计域 并通过零水平集来表述 这里引入一个嵌入函数 z f f 来表述设计域的 不同区域 如下式所示 图2 1 为水平集函数的设计域示意图 具体几何意义见 图2 2 所示 i 矽g f f 0 矽g f t 0 i 矽o f t 0 矽二o 制 h a m i l t o n j a c o b i 方程可通过水平集函数砂 x f f o 对时间的导数来获得 破 杉 v 矽 7 s 0 2 1 4 h 书 尚 l i v 硎 弦 5 觎0 嚣 协 6 x 唬 其中 模数i i v 圳 v 7 v 矽是一个标量函数 2 5 青岛理二r 大学工学硕上学位论文 化的拓扑结构是最接近于理论要求的结果 这样才能保证拓扑优化设计的准确性 因此 在设计初始模型的开洞数目问题上 都需要大量的实验结果来找出最佳开 洞数引2 4 1 上文所述的是三维水平集函数优化模型 作为后续的研究 将涉及到更高维 的水平集函数拓扑优化理论 但综合而言 水平集函数的优化思想始终不变 唯 一不同的是引入的初始水平集函数模型不同 需要建立高维函数组 2 6 1 是要知道 水平集函数的迭代速度 就能通过迭代运算得到优化结果 下面就如何求解迭代 速度展开研究 2 3 3 最小柔度几何优化模型 要求解圪 首先要建立优化的理论模型 本文建立梁结构的最小柔度优化模 型 保证了研究内容的前瞻性和实用性 如前文所述 已知各向同性材料的基本 方程和物理参数 这里 先定义最小柔度优化问题 2 7 1 设计的集合模型如图2 2 所示 l 为梁的长度 w 为梁的宽度 p 点为单位外力施加处 f 为单位力 在开集的线弹性域0cr n 2 3 其d i r i c h l e t 边界是 n e u m a n n 边界 是瓯 而且g c a o q uq 矢量值函数p 和f 分别是定义在0 域中的体积力 和定义n c u m a n n 边界的表面载荷 2 8 1 0 域的线弹性系统位移场 是这样求得 2 1 7 上式中l l v 分别表示结构沿着x y 方向上的位移 o u c p 圳 p 甜f 吩 f 2 u 且 厂 日1 q u 0 o n r 在给定 的位移 0 中 p 和o r u 分别是应变张量和应力张量 c 是各向同性材料 的刚度矩阵 2 8 1 6 c n h r n 0 p d 汀 o 一 嘞o l l 以 归 妒m 以 似 一 仃 童璺垩三垒兰兰竺窑兰竺竺当 一 w 图2 3 各向同性材料梁结构的几何模型 各向同性材料的平衡方程或弱解形式和刚度矩阵可表示为 2 9 1 a u v l v u 这里双线性形式a 和线性形式 可表示为 2 9 j c p p v d o 0 lp v d o l 知d g 0 g 2 1 8 2 1 9 设 工 是目标函数 假设结构所占的设计域q 边界为r a q 而且q d 最小柔度问题的模型 2 9 1 为 s 枷一 j 裂 睁 协2 l d q m o 如 这里厂 x 圳 上式即为本设计各向同性梁结构的初始优化模型 青岛理t 大学工学硕十学位论文 2 4 基于惩罚函数法的优化计算 2 4 1 惩罚函数算法 如前文所述 结合本论文优化模型的特点 选择用惩罚函数法来实现优化计 算 通过对惩罚函数应用的探索与研究可以看出 惩罚函数法已经有完备的应用 理论基础和充分的可行性应用实例证明 这也为本文研究的进行提供保证 惩罚 函数法在工程计算中发展至今 按照算法实现的特点和要求可将其分为内点法 外点法以及混合法 3 0 1 其中这几种方法各有其应用特点 故需要根据不同的优化 基础模型来选择算法 内点法是从可行域内某一初始内点出发 在可行域内进行迭代的序列极小化 方法 它仅用于求解不等式约束优化问题 当迭代点在可行域内离约束边界较远 的地方时 泛函是较小的正值 迭代点由可行域内靠近任一约束边界时 泛函具 有很大的正值 越靠近边界 其值趋向于正无穷大 它像围墙一样阻止迭代点越 出约束边界 所以又称围墙函数或障碍函数 3 1 1 围墙函数不一定只限于一种形式 在其他文献中 我们可以在文献中见到的对数障碍法 就是围墙函数应用的一种 在算法应用中 是惩罚函数因子 在一定条件下 随着 趋于0 时 优化问题 得以求解 现在 内点法已经被很好的应用于大规模线性规划及凸形二次规划中 并在工程中有广泛应用 外点法在寻优中 罚因子r 逐次调整增大 即0 o 2 一 一 r 2 l o 喜i b 是障碍项 考胃善p 限似 2 为惩罚项p 3 1 内点形式混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与内点惩罚函数法的相 同 初始点一 可在空间r 一任选 初始惩罚因子 递增系数c 均应参照内点惩罚 函数法进行选取 一般地 惩罚因子的初值r c o 应适当选择 太大容易增加迭代次 数 太小又会使惩罚函数的形态变坏 难以收敛到极值点 对于不同的问题 都 要经过多次计算才能选择一个适当的初始值 通常 我们都是按照经验值来给定 并在此基础上通过部分计算结果来调整 罚因子的大小 首先 取初始惩罚因子为1 根据计算结果再进行调整 按照经 验公式 3 2 1 9 2 2 2 青岛理工大学工学硕士学位论文 这样 使惩罚函数中的障碍项和原目标函数的值大致相等 不会因障碍项的值太 大而起支配作用 也不会因为障碍项的值太小而被忽略 2 4 3 基于内点混合罚函数的最小柔度计算 首先利用惩罚函数的基础思想 对上文中的水平集函数优化模型进行转化 参考式2 2 0 的定义 已知等式约束为a u v u v u 不等式约束为 f d f 2 m o 0 边界约束条件为 l r d 3 6 1 应用内点混合惩罚函数法的思想 五 将不等式约束转化为完全等式约束以后 得到理论方程组 即 脚一叫 专 州m 2 吖高 2 p u d o f u d g r 面瓦1 2 2 3 o6 j 1 o 专r rl c e u e v d o 驴 一例g j 2 这里 为迭代因子 初始迭代因子按照经验公式 我们有 r o u o d q m o 此后 我们有迭代公式r k l c 厂t 迭代因子 将按照迭代 公式来变化 这里c 为缩减系数 一般根据经验选择为o 1 0 7 之剐3 3 1 在惩罚 函数法的计算中 c 的值不起决定性作用 2 5 优化模型的敏度分析 本文应用内点混合惩罚函数法 由于其实现简单 适于小规模优化计算 因 此对于本模型优化的准确性有很大的保证 首先基于内点惩罚函数的基础思想 对上文中的优化模型进行转化 根据公式2 2 1 将不等式约束转化为完全等式约 束 3 7 我们可以得到 以州 卜 卅方 嘶小 2 吖面d l m 2 2 4 吖 i2 一 上述公式基于内点惩罚函数法的拓扑优化公式 下一步就进行设计敏度分析 首先对式2 2 4 进行求导计算 得出下式 青岛理t 大学工学硕士学位论文 p v 等 口 v 一z 1 口 u tv 口 v 一z v 吖r 2 2 5 从状态方程和伴随方程可以发现 最小柔度问题是一个自伴随问题 有 u v1 3 9 1 o 这样 式 2 2 4 可以化简为 p u v r 辜 口 v 一z v a v 口 v 一 v i 睾 口 v 一 v 口 v 2 2 6 m 儿 p 圪订 p v 圪订 车4 r 嘶 v 一 i r c e u e v v d f 面 p u d i v 卅扣 v m c 顽咖 v 圪盯 像2 7 丽哥抄j 这样 根据算法应用原理 4 0 1 且已知r o 我们可以定义敏度为 掰 p u d 扣 知 咒 口 甜 y 一 v c p p y 2 2 8 r 如果所有约束都满足时 惩罚函数的导数与目标函数的导数则会保持一致 为了保证目标函