（应用数学专业论文）奇异与非奇异neumann边值问题的多重正解.pdf

o 7 k塾 r 筮q r 翟 p 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名瘟垒 亟 日期 蔓 旦 苎 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或其它复制手段 保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名羞匾生 日 期 土q 缸 昱 垃 指导教师签名 捣 日 期 0 立f 2 薹 2 电话 邮编 k i f i l i 7 矿 一 定理证明结论 关键词 格林函数 n e u m a n n 边值问题 正解 l e r a y s c h a u d e r 抉择 锥不动点定理 删舢舢0 7 4 5 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rs i n g u l a ra n d n o n s i n g u l a rf o rt h es e c o n do r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sb yc o n s t r u t i n gg r e e n sf u n c t i o na n d p r o v i n gp o s i t i v ep r o p e r t yo fg r e e n sf u n c t i o n l 甜 功 9 工 功 g x 曲 工 1 i 7 o l 0 w h e r eq x i sc o n t i n u o u sa n d0 9 功 譬 t h ep r o o fo ft h em a i nr e s u l t sr e l i e so nan o n l i n e a ra l t e m a t i v e p r i n c i p l eo fl e r a y s c h a u d e rt y p ea n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s k e yw o r d s g r e e n sf u n c t i o n n e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m p o s i t i v es o l u t i o n l e m y s c h a u d e r a l t e r n a t i v e f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s i j 目录 1 引言 1 2 格林函数及其性质 2 3 奇异n e u m a n n 边值问题的多重正解 7 4 非奇异n e u m a n n 边值问题的多重正解 1 1 参考文献 1 6 致谢 1 8 l l i 本文共分四节 本节做为全文第一节 概括介绍本论文的主要工作 在第二节中简单 介绍本论文所涉及的一些基础知识 着重证明了对后文起重要作用的格林函数的定义及性 质 第三节和第四节是本论文的核心 研究了n e u m a n n 边值问题 ig i r t 力 g x 工 g 工 砷 0 工 1 i 甜7 o l 1 0 的多重正解 其中9 是连续的且0 q 曲 譬 特别针对非线性项甙工 在 0 处的奇异 与非奇异展开研究 在文献 3 中 李晓月等考虑了下面对二阶n e u m a n n 边值问题多重正解最优存在理论 i 一 0 西 f 八f 甜 力 0 t 1 1 甜 o o 1 0 和 f 7 7 f p f f t 力 0 t 1 iz o 0 u s 1 0 一 其中a t 0 1 0 叫是非负连续的 p l 是正常数且0 p 2 等 从条件可以看到非线性项 厂 f 材 是非奇异的 在其研究过程中运用线性n e u m a n n 边值问 题的特征值 并运用锥不动点定理得到相应结论 此文献与本论文相同之处均研究了n e u m a n n 边值问题二阶导数前系数为1 的情况 不同之处在于文献中p l 是正常数且0 以 等 本论 文中的9 功是连续函数 在文献 2 6 中 蒋达清和储继峰等考虑了超线性排斥奇异方程 f 力 口 f 工 a t 功 0 t 1 i o 以1 工7 o 1 的多重正解 这里f t 功在x o 处是排斥奇异的 在z o o 处是超线性的 论文中主要研究了 排斥奇异扰动方程的正周期解 证明了当算子满足反极大值原理且扰动项在无穷处是超线 性时 扰动问题至少有两个正周期解 证明过程主要利用锥压缩和锥拉伸定理及非线性抉 择 此文献与本论文的相同之处在于方程均为排斥方程 不同之处在于文献是周期边值问 题 本论文为n e u m a n n 边值问题 综上 本文则将二阶n e u m a n n 边值问题中存在的非线性项g x 在u 0 处是奇异和非 奇异两种情况下的正解存在性均加以证明 在具体方法上运用l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择定 理和锥不动点定理得出结论 东北师范大学硕士学位论文 2 格林函数及其性质 为书写简洁 约定下面记号 令 u 一肋 c 趴i l u 2 州m a x l 力 那么 u i i 是一个b a n a c h 空间 设 o 刀 p 1 o o 对 三p 定y i i l i p fi 甜 j r 幽 引理2 1 9 如果 c 1 口 6 且使得 口 0 或 6 0 则 i l u l l 2 2 b a i l u l 2 吼l pl u f i 6 一口 甜 2 丌t e a b 本文考察n e u m a n n 边值问题 l 劝 q d x 甙x x 工 j 7 o 1 0 2 1 2 2 2 3 正解存在性 这里上甜兰甜 9 g 甜 功 在下文中假设9 x 连续且0 g x 0 0 0n 功 c 2 1 r 是增函数且 z 0 o i o 肌 工 兰0 m o 1 m 7 o 0 7 o r 胛 力量0 1 1 n i 1 o 俐m x n 7 功一m 7 功珂 功兰叫细为正常列 证明设m l x 和m z x 是方程l m 0 的基础解系 根据朗斯基行列式我们有 荆嘏三 引她 取常数亿 2 9 l 和q 2 使得 fi 硝m1 o 如12研m和z 0 1 2 整理 有 历 i j 一 i m x l i m 2 出 f 2q x m 2 d x 0 历 i j j 1 02 蚺j 0 2 0 jj 由能量不等式 2 2 可知 j r 硎2 出一i r 口 z 砌2 功出 卜k 铲划寺 2j 7 m 出 从而 1 0 0 ti m t 陋 小翮触 c 刍 2j r 以功出 萼j 丁以姚 即9 曲 譬 与已知条件矛盾 因此 m 功 0 由m x 口 x 挖 x 0 可得 即m 7 曲是减函数 从而有 m 工 q x m x 0 m 7 曲 0 结论 v 满足 令q 且q l i x y qi o x y 1 q 2 i x 力 ai o y 工 l j 3 的且满足 两边同时 东北师范大学硕士学位论文 定义 g 瓴加 盏t o 怒主妻 亿5 g 工 力 一1 壶 蠢 云 2 5 函数g x 力为相对应齐次边值问题 2 4 的格林函数 其中m 和甩线性无关 并且m 胛和 叫满足下列引理 引理2 3 假设引理2 2 的条件满足 那么被 2 5 定义的函数具有下列性质 何g x 力在q 上是连续的 并且是对称的 0 0g x 力在q l 和q 2 上有连续的偏导数a x g 鲁 o i o 当工 y 工 1 时 对于固定的y g x 力满足l g x 力20 且g 二 o 力2g 二 1 y 20 y o 1 o v 当石 y 时 有第一类间断点且g o 力一 一o y 1 y o 1 证明由g x 力的定义可知 g 力在q 上是连续的 眠力 攀恻主妻 且 g 卓m o n t x m x 小y q 组2 由上可知g 工 力 g y 工 结论 i 满足 由于g 工 y 在q 上是连续的 从而有g 工 力在 q 1 和q 2 上有连续的偏导数 结论 i i 满足 当x j 固定y 工c y 时 l g 圳 嘶咖咖融y 掣掣州x 学 警 州咖 瑚 o 当y o 1 时 警 a x 力 m o n y w 孑 m o 一 n y w 丁 n v w o 且 鲫 力 m 1 n v 了w m 一 1 n y w 孚 o 工 一 即q o y q 1 y 0 结论 i i i 满足 t 当工 y 时 h mg 煎掣 4 2 6 倒边值问题 2 6 有唯一一个解 例如果函数u 被定义为u x f 0 1g x y h y d y 那么t 是 2 6 边值问题的一个解且u c 2 d i i i 如果u c 2 1 是边值问题 2 6 的一个解 那么u 曲 rg 五y h y d y 引理2 5 1 如果 是方程 x f o l g 五力厅 哆方 的解 其中g x y 是方程 甜 功 9 力 o x ei 2 7 lu t o t 1 0 的格林函数 那么 是方程 p x 9 咖 瑚 艇l 2 8 i 7 o 0 的解 令 肚 熙lg x 力 b 2 o 曼瑟lg x y 0 茎x l o 立 l 则b 彳 0 0 旷 a b 1 当矗 x 1 时 我们用山 x 表示 2 8 的唯一解 山 功 厂1g 五y d y j 0 5 东北师范大学硕士学位论文 定义 k u o 峨r a i n l 啦 o l l i i 由此可知k 是u 中的锥 当厅 l i o 1 且厅 20 时 乃 厂1g 工 y h y d y k j 0 假设f 0 l r 一 0 o o 是连续的 定义一个算子t u u 2 9 丁z 功 1g x y f f y 力 办 u x o 1 2 1 0 j 0 引理2 6 1 算子t u k 则t 是连续的且全连续 下面我们给出不动点定理 定理2 1 6 并是一个b a n a c h 空间且k c 是一个锥 假设e 1 1 f t 2 是x 的开子集 0 q l o 1ce 1 2 且t kn q 2 e 1 1 k 是一个连续的紧算子 满足二者之一 l i t u l l i l u l l 甜 kna q l 且i i t u l i j l u l l z kna 笾 i i t u l l i l u l l 材 k n o e l l 且i i t u lj i l u l l k n o e l 2 那么丁在k n q 2 q 1 中有一个不动点 定理2 2 1 假设q 是凸集k c 的一个相对开子集且t 磊一k 是一个紧映射 0 e l 那么下列二者之一成立 倒丁在q 中有一个不动点 矽当 a q 且 l 0 是不增的 h u f u 是不减的 h 3 e i r 使得 i l w l l f c 叩 0 厅 力 八力 l 其中矿和 工 同上一节相同 定理3 1 假设俐 1 i l j 1 1 2 和 1 1 3 成立 则方程 2 3 至少存在一个解 且0 1 1 甜1 1 r 证明令n o i n o 胛o 1 j 可以找到一个n o 1 1 2 根据 飓 可得 固定门 n o 考虑方程组 l t o l l f c r r 1 力 八r p b y r 1 n o 0 对于v o l 方程 3 2 中的不动点 必须满足i l u l l 否则 假设3 o 1 使得 i l u l l r v u x 1 n 且 u x 1 n o l l u 一1 n i l 对v u x 1 n r 曲 1 n r l l u 一1 圳i 1 n 畎 一1 n 矿r 7 东北师范大学硕士学位论文 通过选择n o 使得1 i n 1 疗o 升 则 l 力 五ig x y 概 u t y d y 1 加 j 1g y g y 咖 1 刀 l fg x y 厂 y 1 i j i 0 哆 i t y d y 1 胛 o x i 厂 o r 1 办 力 厂 力 l 甩o i l w l l f t r r 1 厅 厂 l n o 从而 i l u l l i l w l f t r r 1 厅 力 i 一 l 疗o 与n o 的选择矛盾 存在性得证 当 l 1 时 在b 中 3 2 有一个不动点 功 如果方程 3 1 有一个解 0 且 o 使得曾 砷 坑则 功 j 1g x y g n y 方 1 刀 厂1g 工 y g t y 方 1 刀 厂1g z y 妒 y d y 1 胛 r 1g 工 力妒 力砂 ar 1o v d y a 对y n r t o 存在常数h 0 有i l u l l h 令 m 12 嚣躏啡m a x jg x 甜 m 2 2 训m a o 1 x i 瓯 x y l 于是 陋 lf 1g x y g y u ni m 1 m z s u p l u x ls u p u t y d y m l m 2 h 3 3 i i l l lj 敏 1 h 3 3 o g lo x s llj o 由上可知 一 n o 在 o 1 内是有界的且等度连续的 根据a r z e l a a s c o l i 定理 o 在 o 1 内有一个子列 删一致收敛于函数啦 c o 1 对v x 材 x 满足6 u n x 且 工 f o o 1 g x y g y u n j 方 1 一 当 o o 时 fg x y g y u y d y 从而 是方程 2 3 的一个正解 类似的 通过 假设i l u l l 推出矛盾 证明i l u l l 0 是不增的 h l u a u 是不减的 仞 3 r 0 使得 i i o l l o 撕僻 1 h i o r a o r r 其中矿和u x 同上一节相同 那么方程 2 3 存在另一个正解费且 i i 西l l r 证明令u 0 1 且k 是 2 9 定义在u 中的锥 q u l l u l i r l q r u r i l u l l r i 定义算子t kn 蠡 q 一k 丁 功 rg 墨y g y 砂 由k 的定义可知 v 甜 k n f i r q 都满足0 刃 功 r 如果u kn0 q 那么i l u l l r 类似定理3 1 的证明可得i l y u l l 只从而 对y u kn 0 q 有 i i t u l l o 卢 0 参数p 0 根据定理3 1 来验证边值问题 3 4 存在正解 令九 x 满足旧1 八 u t h u p 护满足 飓 对某一个 由 1 1 3 可得 从而存在p 使得 口以尸 一id o a l l o p 8 u p 面万厂 成立 则边值问题 3 4 存在一个正解 且0 i l u l l 1 的情况 令a u u h l u p 护 满足 由 飓 可得 r口 一o ii l l i 1 1 1 1 p 而萨雨颂面 3 5 当r 一 o o 时 式子 3 5 中p 趋近于0 对于0 注如果口 1 那么 1 o o 如果卢 1 那么 m 踟 似2 矿 m 旷 0 使得0 p 当0 x 1 时 有g x 0 使得o p z p 当0 x 1 时 有g x 材 n u 令u l u 一r l u 叫 r i i l u l l s u pl u x l 则 ui i i i 是一个b a n a c h 空间 x e l 定义 9 k z f u x 0 u x o l l u l l 由此可知k 是c 中的锥 矿与 2 9 中相同 假设甜是方程 2 3 的一个解 则 定义算子a k u 功 j 1g 工 力如 甜 方 j 引理4 1 假设满足条件 那么a k ck 证明通过 4 3 可知 对于边值问题 2 3 的每个正解u x 都有 4 1 4 2 4 3 咖 的 c 帕 艿 对垤 0 了珊 j 1 g y 俐训 r i l u l l 设g k i l u l l 时 阻 i i l u l l y u kn 讹 当踟 时 v s 0 3 h 使得u 日时 m i n 丝型 n s 鲤型 r x 艇 o 1 u 对u k 满足矿l l u l i z 功 jj u l l 令r r o r o m a x p i i 矿 i l u l l r 则z 曲 矿l l u l l 日且 力 f 6 x y g y u c y a y l 0 1 之 jg x y s 力方 j 1 g 仁y 蚓 i r l l u l l 令 ki l u l l n 时 m 甜i i l u l l y u kn a k 1 2 4 4 4 5 艇 o 1 u 令r o t o 若甜 k i l u l l 贝0 功 j 1 咖凇 u y d y j 1 g 五y m d 咖 设q r k i l u l l i j 当g o m 时 i m si l u l l y u kn 讹 当旷 0 埘 0 使得u 日时 m a x 艇 0 1 g x m b 鲤型 舭 对 丘i l u l l r 有 曲 1 1 g 阮姗 u v d y 三1 1 g x y 砂 r i l u l l 当g x 无界时 存在r 使得 舵m a x 烈圳 反五r o 舶 1 3 4 7 一一 东北师范大学硕士学位论文 对 k i l u l l r 有 f 1 y 卸m a 问x 如甜 砂 f 1g y 龇脚 1 1 g y 皿 m s 方 m 1 g 工 力础 r 令 f ki l u l l 脚 当g o o j 1g 删甜 咖 删 令 z 墨i l u l l i l u l l y uea q 户 4 9 从而有 口2 和似4 成立 方程 2 3 至少存在两个正解 定理4 2 得证 定理4 3 假设 g o n 和g 肘成立 则方程 2 3 至少存在一个正解 由 4 4 和 4 8 再根据定理2 1 定理4 3 得证 定理4 4 假设 矿 n 成立 则方程 2 3 至少存在一个正解 由 4 5 和 4 7 再根据定理2 1 定理4 4 得证 例4 1 考察边值问题 黧 东 拟 艇l 4 1 0 i 0 7 1 0 其中g 曲是连续的且0 g 功 季 0 矿 矿 i l 根据定理4 1 来验证边值问题 4 1 0 至少有两个正解h l 2 且0 i l u l i i 1 i l u 2 令g x 功 矿矿 贝 l i m 型 1 i m 剑 o甜 i o o 甜 1 4 1 5 上e b 从而存在p i 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 d g u o j s u n z l i u n o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf u n c t i o n a lt e c h n o l o g i e s m s h a hd o n g s c i e n c et e c h n o l o g y 19 9 5 2 d j i a n g h l i u e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n do r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j m a t h r e s e x p o s 2 0 0 0 2 0 3 6 0 3 6 4 3 x l i d j i a n g o p t i m a le x i s t e n c et h e o r yf o rs i n g l ea n dm u l 卸l ep o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n do r d e rn e u m a n n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j a p p lm a t h 2 0 0 4 3 5 5 7 3 5 8 6 4 j s u n w l i m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n do r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j a p p l m a t h c o m p u t 2 0 0 3 1 4 6 1 8 7 1 9 4 5 n a j l ay a z i d i m o n o t o n em e t h o df o rs i n g u l a rn e u m a n np r o b l e m 明 n o n l i n e a r a n a l 2 0 0 2 4 9 5 8 9 6 0 2 6 k d e i m l i n g n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s m s p r i n g e r v e r l a g n e wy o r k 1 9 8 5 7 j c h u d j i a n g m u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r y c o n d i t i o n s j a p p l m a t h 2 0 0 5 3 2 2 0 3 3 0 3 8 a c a b a d a eh a b e t s l o i s m o n o t o n em e t h o df o rt h en e u m a n np r o b l e mw i t hl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n si nt h e r e v e r s eo r d e r j a p p l m a t h c o m p u t 2 0 0 1 1 1 7 1 1 4 9 a c a b a d a p h a b e t s o p t i m a le x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o r 驴一l a p l a c i a ne q u a t i o n sw i t hu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i nt h er e v e r s e do r d e r j d i f f e r e q u 2 0 0 0 1 6 6 3 8 5 4 0 1 1o a c a b a d a l u i ss a n c h e z ap o s i t i v eo p e r a t o ra p p r o a c ht ot h en e u m a n np r o b l e mf o ras e c o n do r d e ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n j m a t h a n a l a p p l 1 9 9 6 2 0 4 7 7 4 7 8 5 11 y j d o n g an e u m a n np r o b l e ma tr e s o n a n c ew i t ht h en o n l i n e a r i t yr e s t r i c t e di no n ed i r e c t i o n j n o n l i n e a r a n a l 2 0 0 2 5 1 7 3 9 7 4 7 1 2 钟承奎 范先令 陈文源 非线性泛函分析引论 m 兰州大学出版社 1 9 9 8 1 3 葛渭高 非线性常微分方程边值问题 m 科学出版社 2 0 0 7 1 4 m c h e r p i o n c d ec o s t e r p h a b e t s ac o n s t r u c t i v em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o df o rs e c o n do r d e rb v pi nt h e p r e s e n c eo f l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s j a p p lm a t h c o m p u l 2 0 0 1 1 2 3 7 5 9 1 15 y h l e e x l i u s t u d yo fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 一m a t h a n a la p p l i np r e s s l6 d d e l b o s c o l r o d i n o e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o ran o n l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n j m a t h a n a l a p p l 1 9 9 6 2 0 4 6 0 9 6 2 5 17 l h e r b e s c h u m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o no f s o m eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j zm a t h a n a l a p p l 19 9 4 1 8 4 6 4 0 6 4 8 l8 l l i u ey l i m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o no fn o n l i n e a rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j zm a t h a n a l a p p l 1 9 9 6 2 0 3 6 1 0 6 2 5 19 w d i n g m h a n p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r t h es e c o n do r d e ri m p l u s i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s j a p p l m a t h c o m p u t 2 0 0 4 1 5 5 7 0 9 7 2 6 2 0 r ea g a r w a l d o r e g a n m u l t i p l en o n n e g a t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j a p p l m a t h c o m p u l 2 0 0 0 1 1 4 5i 一5 9 p f d 一 一 f 21 q l i ec o n g d j i a n g m u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n st os e c o n do r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hi m p u l s ea c t o n s j a p p lm a t h c o m p u t 2 0 0 8 2 0 6 8 1 0 8 1 7 2 2 e k