（光学工程专业论文）小波分析与dsp在摆式列车倾摆控制监视系统中的应用研究.pdf

西 南 交 通 大 学 博 士 研 究 生 学 位 途 立 第i i 页 试验和研究结果表明 研制的摆式列车倾摆控制监视系统有很大的工 程实用价值 采用小波分析理论检测和诊断摆式列车倾摆控制系统故障为 我国的机车车辆尤其是高速列车的故障检测和诊断指出 了新的研究方向 本论文研究结果将应用于我国研制的第一代摆式列车 关键词 摆式列车 小波分析 d s p 控制监视系统 信号处理 故障 检测诊断 堕型丝 望丝 旦丝 登望 这一 一 一 一 a b s t r a c t t h e s u p e r v i s o r y c o n t r o l s y s t e m a n d s i g n a l p r o c e s s i n g w h i c h c o n t r o l s a n d m o n i t o r s t h e c a r b o d y t o i n c l i n e i s t h e c r i t i c a l t e c h n i q u e o f t h e t i l t i n g t r a i n i t i s r e s e a r c h e d a n d d e v e l o p e d i n t h i s t h e s i s wa v e l e t a n a l y s i s i s c u r r e n t l y o f u n i v e r s a l i n t e r e s t a l l o v e r t h e w o r l d w h i c h i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e a p p l i c a t i o n s t o m i s c e l l a n e o u s d o m a i n s o f s c i e n c e f u rt h e r m o r e d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s o r d s p i s t h e h o s t p r o c e s s o r t o t h e d o m a i n s o f t h e s i g n a l p r o c e s s i n g b u t t h e c o m b i n e d a p p l i c a t i o n o f w a v e l e t a n a l y s i s a n d d s p i s r a r e l y r e p o r t e d i n l i t e r a t u r e s t h i s t h e s i s h a s p a i d a l o t o f a t t e n t i o n o n e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n o f b o t h d s p a n d wa v e l e t a n a l y s i s t o r e a l i z e t h e s u p e r v i s o r y c o n t r o l s y s t e m o f t h e t i l t i n g t r a i n t h e ma i n c o n t r i b u t i o n s s e r v i c e d t o p i c a l a r e a s f o l l o w s 1 t h e s i g n a l g a t h e r i n g s u b s y s t e m o f t h e t i l t i n g c o n t r o l s y s t e m i s d e s i g n e d 2 t h e s u p e r v i s o r y c o n t r o l s y s t e m o f t h e t i l t i n g t r a i n i s d e v e l o p e d o n t h e b a s i s o f t h e d s p a t t h e s a m e t i m e t h e c o n t r o l l i n g m o n i t o r i n g f a u l t d e t e c t i n g a n d d i a g n o s i n g o f t h e c a r b o d y i n c l i n e d a n d t h e s i g n a l p r o c e s s i n g a r e a c h i e v e d 3 d e s i g n i n g o f t h e d i g i t a l f i l t e r e l i m i n a t i n g o f t h e n o i s e c o m p r e s s i n g o f t h e d a t a c o m p e n s a t i n g o f t h e t i m e d e l a y a n d e x t r a c t i n g o f t h e f a u l t s i g n a l a r e g i v e n t h e s i g n a l s p r o c e s s i n g a r e i n v e s t i g a t e d 4 a t h o r o u g h s t u d y o f wa v e l e t a n a l y s i s a n d d s p i s c o n d u c t e d a s v i e w e d f r o m e n g i n e e r i n g 5 t h e f a u l t e x p e r i m e n t s o f t h e t i l t i n g m e c h a n i s m t h e s e n s o r a n d t h e a c t u a t o r o n t h e m o d e l i n g r i g o f t h e t i l t i n g t r a i n a r e m a d e me a n w h i l e t h e c o m p u t e r s i mu l a t i o n o f p a r t s f a u l t d i a g n o s i s d u r i n g t h e i n i t i a l s t a g e w a s c a r r i e d o u t t h e a d a p t i v e k a l m a n f i l t e r i s a c t a s f a u l t s t r a t e g i e s o f t h e a c t u a t o r s i m u l t a n e o u s l y i t s f a u l t t o l e r a n t i s u s e d 6 a n e w w a y i s p r o p o s e d f o r d e c i d i n g t h e f a u l t t h r e s h o l d v a l u e 7 t h e r e l i a b i l i t y a n a l y s i s o f t h e s i g n a l g a t h e r i n g s u b s y s t e m t h e c o n t r o l l e r a n d c o m m u n i c a t e s u b s y s t e m i s f u l f i l l e d t h e m e t h o d i m p r o v i n g t h e 西 南 交 通 大 学 博 士 研 究 生 学 位 途 立 第i v 页 r e l i a b i l i t y o f t h e s y s t e m i s d e s i g n e d 8 t h e r e d u n d a n t t e c h n o l o g y o f t h e s u p e r v i s o r y c o n t r o l s y s t e m o f t h e t i l t i n g t r a i n i s p r o v i d e d t h e a u t o m a t i c c h a n g e o v e r s w i t c h i s a c h i e v e d b y m e a n s o f l o n wo r k s w h i c hi s ne w m e a ns t r i a l a n d t e s t s h o w s t h a t t h e s u p e r v i s o r y c o n t r o l s y s t e m h a s g r e a t e n g i n e e r i n g v a l u e a d i r e c t i o n t o s e t u p t h e f a u l t d e t e c t i o n a n d d i a g n o s i s o f t h e l o c o m o t i v e a n d r o l l i n g s t o c k e s p e c i a l l y h i g h s p e e d t r a i n b y w a y o f wa v e l e t a n a l y s i s i s p o i n t e d o u t t h e r e s e a r c h e d r e s u l t s i n t h i s t h e s i s w i l l b e u s e d o n t h e f i r s t t i l t i n g t r a i n o f o u r c o u n t r y k e y w o r d s t i l t i n g t r a i n wa v e l e t a n a l y s i s d s p s u p e r v i s o r y c o n t r o l s y s t e m s i g n a l p r o c e s s i n g f a u l t d e t e c t i o n a n d d i a g n o s i s 编号 2 0 0 1 1 4 科 技 项 目 查 新 报 告 项目名称 咭 委托单位戴 小 文 西 南 交 通 大 学 机 车 车 辆 所 查新单位 高等学校科技项目咨询 认证单位 2 0 0 1年 3月 2 日认证时间 查新类别 课题特点 开题口 成果口 专利口 新产品口 博士论文d 论文结合摆式列车倾摆控制监视子系统和头车上的控制信号检侧子系统 从工程应用的角度深入研 究了小波分析理论和 d s p技术并很好地应用到 摆式列车倾摆控制监视系统及其信号处理当中 提出了 倾摆控制监视系统故障检测和诊断的方法 对倾摆控制监视系统的信号处理 故障检侧和诊断进行了 实验和分析 论文研究内容包括 研制了以d s p为处理册的倾摆控制信号检测子系统 研制了 摆式列 车头车上的倾摆控制监视子系统 实现了倾摇控制监视系统 信号处理和故降检侧 对摆式列车倾摆 控制监视系统的各信号进行分析处理 从工程应用的角度深入研究了小波分析理论和 d s p技术以 及在 摆式列车倾摆控制监视系统中的应用 对倾摆控制系统的故障信号检侧作了 深入的研究 并在倾摆车 体模拟实脸台上作了倾摆机构故障 传感器故障 作动器电机故障实验 对各种故障信号进行了小波 分析 对元部件出现初期故障的诊断作了计算机仿真 对倾摆控制系统信号的检测 控制信号的产生 和传输中的可靠性作了 分析并提出了提高其可郑性的设计方法 对摆式列车倾摆控制系统中的冗余技 术进行了深入的研究 查新范围 省内口 检索手段 手 检91 检索时间范围 1 9 9 0 国 内 9 国 外 创 机 检b 光 盘 d 年至2 0 0 1 年 检索主题词 或关键词 摆式列车小波分析d s p t i lt i n g t r a i n w a v e l e t a n a ly s i s 分类号 信号处理故障检测 d s p s ig n a l p r o c e s s i n g f a u l t 诊断 d e t e c t i o n a n d d i a g n o s i s 中图法分类号 u 2 2 7 u 2 2 9 检索范围 美国工程索引 e d 光盘 i ns p e c 中国 学术期刊全文数据库 中文科技期刊篇名数据库 光盘 全国 报刊 索引 自 然科学技术版 铁道文摘j 中 文科技资 料目 录一铁路 c a l i s学位论文库 国外铁道车辆 中国铁路 铁道学报 r a i l w a y g a z e tt e i n t e rna t i o n a l v e h i c l e s y s t e m d y n a m i c s 1 9 9 0 2 0 0 0 1 2 1 9 9 02 0 0 0 8 1 9 9 6 2 0 0 0 1 2 1 9 8 9 2 0 0 0 1 2 1 9 9 0 2 0 0 0 1 0 1 9 9 0 2 0 0 0 1 0 1 9 9 0 2 0 0 0 8 1 9 9 0 2 0 0 0 1 2 1 9 9 0 2 0 0 0 1 2 1 9 9 0 2 0 0 0 1 2 1 9 9 0 1 9 9 9 1 2 1 9 9 0 一0 0 0 6 1 9 9 0 2 0 0 0 6 1 1 一 j4lo 61口j n丹0了 1 0 ll12 1 3 检索结果 才 目 关 文 献 或 参 考 文 条 裴 纂 藻 氛 磊 熟 裂 篡 黔 瓷 笋 罐 者 去 赢再 学报 2 0 0 0 3 5 1 6 9 7 1 2 瑞士i c n列车的 车体倾摆 c h r is t o p h m u l le 代 德 国 外铁道车 辆 2 0 0 0 3 7 4 2 1 2 4 3 摆式车体倾摆试验装置控制模型的辨识研究 杨名利张汉全 西南交通大 学学报 2 0 0 0 3 5 4 4 0 4 4 0 8 4 摆式客车机电式倾摆系统研究 倪文波刘荣 铁道学报 1 9 9 9 2 1 5 2 0 2 3 5 摆式车体控制技术控制 刘茵 内燃机车 1 9 9 9 8 3 1 3 5 6 摆式客车自 适应控制设计与仿真研究 舒兴高 贺启庸 铁道学报 1 9 9 7 1 9 3 2 5 3 1 7 摆式列车倾摆机构的故障检测和容错控制研究 戴小文 何正友 铁道学报 2 0 0 0 2 2 6 3 2 3 5 8 m e t h o d s o f c o n t r o l l i n g t h e l e a n a n g l e o f t i l t i n g v e h i c l e s h i b b a r d r o b i n k a m o p p p r o c e e d i n g o f t h e 1 9 9 3 a s me wi n t e r a n n u a l m e e t i n g 1 9 9 3 p 3 l 1 3 2 0 9 n e u e s z u g b e e i n fl u s s u n g s s y s t e m f u e r d i e z w e i t e g e n e r a t i o n d e r n e i g e t e c h n i k f a h r z e u g e d e r d e u t s c h e n b a h n a g m u e l l e r b e m d z e i t s c h r i ft f u e r e i s e n b a h n w e s e n a n d v e r k e h r s t e c h n i k 2 0 0 0 1 2 4 7 4 0 1 4 0 7 1 0 i c n t i l t i n g t r a i n s w i l l d e l i v e r f a s t e r a n d m o r e f r e q u e n t s e r v i c e w e i s s t h e o r a i l w a y g a z e tt e i n t e rn a t i o n a l 1 9 9 8 1 5 4 1 2 3 1 1 h a r d w a r e i n l o o p s i m u l a t i o n o f r a i l w a y v e h i c l e s w i t h t i lt i n g a n d a c t i v e s u s p e n s i o n s y s t e m s k e n t s t e p h e n e v a n s v e h ic l e s y s t e m d y n a m i c s 2 0 0 0 3 3 s u p p l 4 5 3 4 6 3 1 2 u s e o f i n v e r s e d y n a m i c s i n t h e d e v e l o p m e n t o f t i l t c o n t r o l s t r a t e g i e s f o r r a i l v e h i c l e s 献 1 3 1 4 1 5 s u e s c u n a v e h ic le s y s t e m d y n a m ic s 1 9 9 6 2 5 s u p p l 6 5 5 6 7 t i l t i n g t r a i n s t o s l a s h c a p r i c o m i a n t i m i n g s o r o u r k e v i n c e r a i l w a y g a z e tt e i n t e rna t i o n a l 1 9 9 5 1 5 1 1 4 1 4 2 u p g r a d i n g l i n e s f o r t h e u s e o f t i l t i n g t r a i n s b i tt e r b e r g u l r i c h j o u rn a l f o r r a i l w a y a n d t r a n s p o rt 1 9 9 8 1 2 2 5 1 9 5 2 0 4 t i l t i n g t r a i n s a n d b e y o n d t h e f u t u r e f o r a c t i v e r a i l w a y s u s p e n s i o n s p a r t i i m p r o v i n g p a s s e n g e r c o m f o rt g o o d a l l r o g e r c o m p u t i n g a n d c o n t r o l e n g e e r i n g j o u rn a l 1 9 9 9 1 0 4 1 5 3 1 6 0 t 盆 丫 涪r 月 1 l 查新结论 包 含 相 关 文 献 对 m 折 2 根据本论文的特点 选择确定了上述检索范围和检索词 共查出相关文献 巧篇 与 本论文特点分析对比 归纳如下 文献 1 提出了摆式列车的倾摆控制系统的可靠性问 题 对实现控制系统可靠性设 计进行了探讨 文献 2 只简要介绍了瑞士 i c n列车车体倾摆的工作原理 以及车体 的倾摆驱动系统 文献 3 采用统一的输入输出 模型结构 对倾摆车体试验模型的低 频动态特性进行了离线辨识 文献 4 对摆式客车采用机电 式倾摆系统进行了研究 研制了机电式倾摆机构 文献 5 对摆式系统的控制方式作了 分类阐述并作比较 文 献 6 以x 2 0 0 0 摆式列车为例 建立曲线通过的动力学方程 提出了p d 反恢控制器和 自 适应控制器设计方法 文献 7 提出了摆式列车机电 式倾摆机构的故障检测系统的 构成和检测方法 文献 8 提出了控制摆式车体倾摆角的 方法 文献 9 简要介绍了 德国第二代摆式列车的z u b 2 6 2 列车控制系统 文献 1 0 阐 述了i c n 摆式列车在瑞士 投入使用及其优点 文献 1 1 研制了三车厢的摆式列车模型 并研究了 摆式列车的系 统参数 文献 1 2 提出了 采用反向动力学方法作为摆式列车的 控制策略 文献 1 3 阐述了摆式列车的优点 能提速和节省时间 文献 1 4 指出了为了使用摆式列车要对 现有线路进行改造 文献 1 5 主要探讨了 摆式列车可以 提高 通过曲线的速度和改善旅 客的舒适度 综上所述 国内外对摆式列车技术进行了大量的研究 本论文针对摆式列车倾摆控 制系统研制了倾摆控制信号检测子系统和头车上倾摆控制监视子系统 深入研究了小波 分析理论和d s p 技术并很好地应用到摆式列车倾摆控制系统的 研制当中 用小波分析对 倾摆控制系统作信号处理 提出了 信号检测和控制中的可靠性 提出了 摆式列车的倾摆 控制系统的故障检测和诊断策略 并在倾摆车体实验台上作了 故障试验和计算机仿真 等 通过比较 得出 下面的结论 有关检测子系统和头车上的 倾摆控制监视子系统的研 制 摆式列车的倾摆控制监视系统中采用小波分析来作信号处理和故障检测诊断 采用 d s p技术来工程实现摆式列车的倾摆控制监视子系统 摆式列车倾摆控制信号的检测 控制信号的产生 传输中 研究 可靠性问题 摆式列车的 故障实验和分析方法等 在上述检索范围及检索到的 文献中 未见到与本论文相同的文献报道 卜 1口1一 了 砚 j 1 么 觅 洲瓷 fe yeo l 3 a b p 乙 纂瑟宕 忿 二 翻 于 碧矍瞥一 可 乳 0是尺度因子 反映平移 其 值 可 正 可 负 上 标 代 表 共 e 二 表 示 内 积 w o r t 一 书w t t 是 基 行 j 一 1 1 一 一j a 丫 二 一 石丫 a 令 本小波 p r o t o t y p e 的平移与尺度伸缩 式中t 是连续变量 a 和 也是连续变 量 所以 称式 2 1 为连续小波变换 c o n t i n u o u s w a v e l e t t r a n s f o r m 简记为 西南交通大学博士研究生学位论文 第1 4 页 c w t 加 因 子 ia l是 使 不 同 的 尺 度 值 下 基 本 小 波 w e 的 相 等 小波变换的定义不是唯一的 比如还有用卷积来定义的小波变换为 w t a r 1 x t v t d t x yi p t 2 2 a a 用 表示卷积 式中各符号的意义同上式 2 1 2 短时傅里叶变换 s t f t 加窗信号x og t t 的傅里叶变换就是信号x t 的短时傅里叶变换 即 s t f t t f 二 工 x g t 一 t 一 d l 2 3 对短时傅里叶变换有两种解释 一种观点把 s t f t看作是加了滑动窗的 傅里叶变换 给定在时间 t附近的 加窗信号 类型 计算x t 在 所有频 率 的傅里叶变换 另一种是将 s t f t解释为作用于信号的带通滤波器组 在某个频率f 用一带通滤波器在 所有时间 对 信号x t 进行滤波 此带 通滤 波器具有被调制到频率f 的窗函 数 因 此可以 看出s t f t能反映 信号的 时频特性 但s t f t的缺点是 由于对所有的频率都使用单一的窗 所以s t f t 分析的分辨率在时间一频率平面的所有局域都相同 2 1 3 小波变换与短时傅里叶变换的比较 以mo r l e t 小波函数为例来说明小波变换与短时傅里叶变换的不同 当尺 度 为 1 时 m orlet 小 波 yr t e 私 的 频 谱 备 cd一 是 幅 频 特 性 比 较集中的带通函数 即它是中 心频率在w 的高 斯型函数 m o r l e t 小 波函 数 的分 析特 点如 图 2 1所 示 而 短时傅里叶变 换 式 2 3 中取 g t g t t e 窗 函 数 取 号 频 率 取 固 定 频 率 得 到 g t 一 礼 一相 应 的 频 域 特 性 g w 搔 一孙 一 西南 交 通 大 学 博 士 研 究 生 学 位 i t 立 第1 5 页 它也是 m o r l e t 小波 特点图如图2 2 所示 因此短时傅里叶变换在时域 频域和基本单元的分析 a 1v 八 a 2 i cooa 2 m oa l 召4它 瓶 o ft 2 预城 t 农 a 尺度变化的影响 b 基本分析单元的 图2 1 小波函数的分析特点 从图 2 1中可以看到 在时域上若尺度a 增大 小波函数的包络扩展 同时 频域上频率f 减小 如图 2 1 b 中 丫减小 而e f i f 保持为常数 这也就 是等q特性 圆 的叭 a 2 w 叫 二 2 w0 倾城 t i c 2 a 频率变化的影响 b 基本分析单元的特点 图2 2短时傅里叶变换的分析特点 西南 交 通 大 学 博 士 研 究 生 学 位 趁 立 第1 8 页 一 e 窗 2 2 盲 i eh 万eh瓜 p v a aj 9 t 中 的 复 指 数 因 子 因 此 从 时 域 上 看 当w 取不同值时g t 的包络不变 只是包络下的正弦频率改变 图 2 2 a 的 变成2 c 的情况 从频域上看 当m 变成2 m 时 g a 的中心频 率由 w 变成2 co o 但带宽 仍 保持不 变 s t f t基本 分析 单 元的 分析 特点如图 2 2 b 所示 在时间 频率平面的不同 位置分析单元的 形状保持不变 既不具 有分析频率降低时视野自动放宽的特点 也不具有频率特性品质因数恒定的 特点 时间分辨率和频率分辨率是相互矛盾的 即为取得好的时间分辨率 使 用短的时间窗 而牺牲频率分辨率 反之亦然 由于窄的波形有宽的频谱而宽的波形有窄的频谱 所以 波形和频谱的宽 度两者不可能同时任意小 要满足不确定性原理 2 1 4 离散小波及二进小波 在使用小波变换重构信号的应用中 常采用离散化处理 要强调的是这 里的离散化是针对连续尺度参数和平移参数的 即式 2 1中的a 和t 的 而 不是针对时间变量t 的 这一点与习惯上的时间离散化不同 通常 离散化时尺度参数a 和平移参数 分别取作a 可和 二 肋jo z 0 其中j k s z 这样选取可以 保证离散小波在 尺度 j 时 也一样遍历整个时 间轴 考 虑 小 波 函 数 族 v t 二 1 v口 叭 上三 其 中 卜 a z e z 相 应 的 离 散小波变为 v t a o i z y r a o i t 一 k z o 2 4 特别 地 取a o 2 z o 1 就得 到二 进小 波 w i k 2 l 2 y 2 i t 一 k 式中j k e z 2 5 西南 交 通 大 学 博 士 研 究 生 学 位 i t 立 第1 7 页 2 2 对基本小波的要求及小波反变换 2 2 1 对基本小波的要求 小波变换与傅里叶变换不同 它没有固定的核函数 但也并不是任何函 数都可以 用作小波变换的基本小 波 的 对小 波变换而言 所采用的小波 必须满足 容许条件 a d m i s s i b l e c o n d i t i o n 只有这样 小波变换才会有 反变换 小波函数w t 的傅里叶变换t w 满足下式 c 2 6 刁 式2 6 就是小波函数的 容许条件 4 5 5 1 5 2 5 3 1 在实际问 题中 对w t 往往要加上比 式 2 6更为严格的衰减条件 如正 规性条件 r e g u l a r i t y c o n d i t i o n 等等 所以在实际 a 题中式 2 6相当于要求 介 t d t 一 表 明 w t 一 定 是 振 荡 型 的 函 数 且 直 流 分 量 为 零 在 时 域 上 基本小波是以t 0 为中心的带通函数 也即为随时间正负交替的振荡的波 动 这便是称为 小波 的原因 2 2 2 小波反变换 小 波 变 换 的 反 变 换 就 是 对 信 号 二 t 以 w a t 一 书w 匕 为 基 函 数 的 v口a 加权线性组合 且系数为连续小波变换c w t a 灼 即 x 1 青 j f c w t 一 w t d a d r 2 7 由于a r0 上式就为 x 1 苛 罗 矛 w t a w 上 z d r 2 8 相应地 离散化小波变换系数则可表示为 西南交通大学博士研究生学位论文 第1 8 页 c i 一 卜 t v t d t 2 9 把式2 9 和式2 4 代到式2 7 得到实际数值计算时使用的重构公式 x t 艺l c j k w j k t 2 1 0 j 的k 2 3多 分 辨 分 析 f o u r i e r 分析的基函 数e 1 是一个正交 基 并 且它是唯 一的 然 而 在 小波分析里 小波变换的函 数族v t 一般是不唯一的 在许多情况下 希 望 小波w k t 是 线性独立的 即 希望它 是 一 个r i e s z 基 最希 望的 是小 波 族 函 数w l k t 能 够是一个正交基 多 分辨分析理论 4 2 4 3 4 7 5 1 5 6 提 供了 解决 这 一问题的最有效方法 2 3 1 多分辨分析定义 多分辨分析的定义为 的 一 个 子 空 间 列 v j z 空间l 2 r 内的多分辨分析是指构造l 2 r 空间内 使它具备以下性质 单调 性 包 容性 代c 代 1 v j e z 近 性 clo se ju v l o 二 2 r 伸缩性 x t e v j g x 2 t e v j 1 j f 1 v 一 0 1户 尹 人2 2理 平 移 不 变 性 x t e 代q x t k e 代 d k e z 护 声 气j4 了 了 5 r ie s z 基 存 在 性 存 在 x t e v 使 卜 t k lk e z 构 成 称 的r ie s z 基 西南交通大学博士研究生学位论文 第1 9 页 即 对 任 何 e v 存 在 唯 一 序 列恤 j i 使 得 u x 艺 a k x 一 k 2 1 1 成 立 反 之 任 意 序 列仲 厂 确 定 一 函 数 科 且 存 在 正 数a和b 其 中a b 使得 a 11u 112 y la k b jlu ll 2 1 2 对所 有 e v j 成立 由 多 分 辨 分 析 的 定 义 可 以 得 出 若 仇 j e z 是 l 2 r 的 多 分 辨 分 析 则 存 在0 v 使 得枷 t k lk e z构 成v n 的 标 准 正 交 基 0 称 为 尺 度 函 数 s c a l i n g f u n c t i o n 由多分辨分析定义中的 3 的伸缩性可知 多分辨分析中实际就含有 频域二进制划分的思想 即 0 t v 0 2 t v 0 2 2 t v 2 2 1 3 可以看出 在 v 中 任 取 一 个 v 都 可 以 唯 一 地 确 定 v v 2 即 v i 2 咖 t e v o v i z 2 1 4 若 枷 t k k e z 是 气 的 标 准 正 交 基 那 么 协 一 2 12 0 2 j t k ik e z 构成v 的 标准正 交基 2 3 2正交小波基的构造 建立子空间v 的 正交基的目 的 是为了 构 造正 交小波基 引 入小 波子 空 西南交通大学博士研究生学位论文 第2 0 页 间 巩 c lo s e ly k e z j e z 由 称 子 空 间 的 包 容 关 系 岭 岭 知 在 正 交小波基的构造中至少要保证 气 称 巩十 v i z 2 1 5 对所有 w i 1 v i j e z恒成立 2 1 6 式2 1 5 中 符 号 代 表 两 个空 间 的 正 交 和 称代 和巩 两 者 是k 的 互 补 子 空 间 称孔 十 是k 在岭 上 的 正 交 补 特 别 地 若j 0 则 式2 巧 给出了 尺度函 数0 t 与小波基函数v t 之间的正交性 反复使用式2 1 5 和2 1 6 可以 得到 分辨率为2 0 1 的多分辨分析子空 间v o 可以 用有限个子空间来逼近 即 v u v w二 v 2 0 w 2 9 w i 二 一 v w w w w 2 1 7 相应地可以 得到w i 的性质 如 存在w e w o 使得它的平移函数系 秘 t k lk e z 张 成 w o 而 其 伸 缩 平 移 函 数 系 秘 二 2 i yr 2 t k ik e z 张 成 代 也 可 以 证 明 从 k t 2 i w 2 i t k i k e 2 就 是 l z r 的 标 准 正 交 基 这 里的 1 l 就 是小 波函 数 这 样 就 可以 通 过 构 造多 分 辨 分 析 的 尺 度函 数 来构造小波函数 由 于 扭 一 1k e z 是 v u 的 标 准 正 交 基 以 及 a 书抓 粤 1 e v c v o 的 包 容 v 2 2 关系 0 1 必然可以 表示为0 r 的线性组合 即 书0 粤 二 vz乙 艺h k 0 t 一 k 2 1 8 整理为更一般的表达式 f j h k 0 2 t k 2 1 9 云 份 一 一 目 臼目 西南交通大学博士研究生学 位论文 第2 1 页 这就是尺度函数的双尺度方程 类似分析可以用在斌和v o 之间 得到 yi t 二 f 戈 g k 0 2 t k 2 2 0 这就是小波函数的双尺度方程 双 尺 度方 程 式 2 1 9 和 式 2 2 0 表明 小 波v i k t 可由 尺 度函 数0 r 的 平 移和伸缩的线性组合获得 其具体构造要归结于滤波器h 叻和g 动的设 计 h w 和g w 是h k 和g k 的 傅里叶 变换或 传递函 数 2 3 3 ma l l a t 算法 非平稳信号的频率是随时间变化的 这种变化可分为慢变和快变两部 分 慢变部分对应为非平稳信号的低频部分 代表信号的主体轮廓 而快变 部分对应为信号的高频部分 表示信号的细节 m a l l a t 在将多分辨分析引入 小波分析的基础上 提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法 这就是ma l l a t 算法 m a l l a t 算法的 基本思想是 假定已 经计算出一函 数或信号x t e l z r 在 分 辨 率2 i 下 的 离 散 逼 近月 x t 则x t 在 分 辨 率2 i 的 离 散 逼 近月 i x t 可 通 过 用 离 散 低 通 滤 波 器 对p i x t 滤 波 得 到 设0 t 和y r t 分别是 信号x t 在分辨率2 i 下的 尺度函数和小波函数 则 其 离 散 逼 近只 x t 和 细 节 部 分乌x t 可 分 别 表 示 为 p x t 艺c i k 0 k t 和 q x t 艺d i k y i i k t 2 2 1 式中 c i 和几 分 别 为 信 号x t 在 分 辨 率2 下 的 平 滑 概 貌系 数 和细 节 系 数 m a l l a t 的 分 解 算 法 是 弓 x t 分 解为 平 滑 概 貌弓 x t 与 细节乌 x t 之 和 a pn 竺 ig k 丝 主 iff s t 生 2 丝 it p j x t p l x t q x t 第2 2 页 2 2 2 式中 p l x t q j x t z c m o m t 艺d 十 m w v m t 2 2 3 2 2 4 由 于 尺度函 数斑 0 是标准正 交基 叭0 是标准正交小 波 由 双尺度方程 2 1 9 和式 2 2 0 可以获得下面的重要公式 c i i m 艺h k 一 2 m c j k 2 2 5 d 艺g k 一 2 m c j k 2 2 6 c j k yh k 一 2 m c 艺g k 一 2 m d i 2 2 7 引入无穷矩阵h和g 上面三式可以简写为 c 二 h c 和几 g c s j 二 0 1 j 2 2 8 以及 c i h c l g d j j 二 1 0 2 2 9 式中h 和g 分别是h和g的对偶算子 也可理解为共扼转置矩阵 式 2 2 8 就是著名的 m a l l a t 塔式分解算法 而式 2 2 9 为m a l l a t 塔式重 构算法 离散小波ma l l a t 分解算法如图2 3 所示 图中 各x k 代表信号在分辨率a 2 下的离散概貌信号 也就是该分辨 率 下 对信号x t 的 平滑逼近 各d k i 代表源 信号 在分 辨率 2 i 下的 离散 细 节 信 号 也 就 是 信号 在 该 分 辨 率 下小 波 变 换 所 得 系 数 第 级 输入xk o x k采 用 信号的原始采样系列 这不是很严格的 g k h k 是信号处理时所用滤 波器组的冲激响应 g k 是低通的 相当于连续小波变换中的尺度函数 h k 是高通的 相当于连续小波变换中的小波a数 西南交通大学博士研究生学位论文第2 3 页 图2 3 离散信号小波分析塔型算法 2 4工程常见的几种基本小波 2 4 1 常见几种特殊基本小波 h a a r小波的特点是时域集中 频域不集中 即在时域完全紧支而频域 完全丧失局部化能力的小波 它具有正交 紧支 对称性 但不具有消失矩 l i t t l e w o o d p a l e y小波 s h a n n o n小波 是时频特性与 h a a r 小波形成互 补的正交规范基 l i t t l e w o o d和 p a l e y给出在频域中紧支的正交小波 该小 波具有一阶消失矩 它连续具有任意阶导数 生成的小波具有正交性 但不 紧支 在时域中分辨率最差 其时频波形如图2 4 所示 m e y e r小波是第一个具有任意阶光滑性的规范正交小波 它没有解析表 达式 m e y e 小波属于任意次连续可微的函数 它对称 具有指数衰减特 性 其时频波形如图2 5 所示 m o r l e t 小波是高斯包络下的单频复正弦函数 它在频域为一高斯函数 因为它具有简单解析表达式 且时域和频域局部化性能都比较好 虽然不是 严格地紧支 这是一个相当常用的小波 其时频波形如图2 6所示 另外 m o r l e t 小 波不满足小 波容许条件 不过实际工作中 只要取m o 5 便可近似满 足要求 5 2 1 5 8 1 西南交通大学博士研究生学位论文第2 4 页 10 05 00 司 5 1 0 牛 一 一 咧卜 一 目 伽冲 l 价气 如 介 一 七 o 1 e o e 0 1 0 1 2 o o 口e e 00 侣 0 0 0 劝2 0 00丁 0 00 弓 73 1 4 7 启 空 7 es 召 刁 a 时域波形 b 频域波形 图2 4 l i t t l e w o o d p a l e y 小波 一乃 一 me y e r 乃 一 习以 一 0r me v e r 0 3 0 7 0 0 0 1 公 1 e 1 1 0 w t a 时域波形 i v 6 i b 频域波形 图2 5 me y e r 小波 m orlet mo r l e t o 32231 01 2 v r a 时域波形 萝 0 i b 频域波形 图 2 6 mo r l e t 小波 西南交通大学博士研究生学位论文 第2 5 页 2 4 2 d a u b e c h i e s 系列小波 有限紧支正交小波在信号的小波分解和数据压缩中有着重要作用 在 实施中不需要对小波进行人为截断 具有计算速度快 精度高等特点 前面 讨论的小波中除了 h a a r小波基外 所有的对称正交小波基都不紧支 只具 有指数或更快的衰减 法国学者d a u b c h i e s 对尺度函数取2 的整数幕条件下 的小波变换进行了深入的研究 构造了第一类 d a u b c h i e s小波 通常称为 d a u b c h i e s小波 通过约束尺度函数的正交性和光滑性也可构造第二类 d a u b c h i e s小波 称为 s y m l e t小波 它具有最小对称性 要求尺度函数同 小波函数一样 具有消失矩 可构造第三类d a u b c h i e s 小 波 称为c o i f l e t s 小波 d a u b c h i e s 系列小波具有正交性 紧支集和 n 1 阶消失矩 但一般不 具有对称性 d a u b e c h i e s系列小波的缺点是不具备严格的对称性 三类 d a u b c h i e s 小波时频波形如图2 7 一 图2 9 所示 w r a 时域波形 w co i b 频域波形 图2 7 第一类d a u b e c h i e s小波 wm i v co a 时域波形 b 频域波形 图2 8 第二类d a u b e c h i e s 小波 西南交通大学博士研究生学位论文第2 0 页 i c o yf m o n 一 00 n s o s 1 0 v t 1 w w i a 时域波形 b 频域波形 图2 9 第三类d a u b e c h i e s 小波 3 g a u s s 系3 41 小波 0 司j月峙 由g a u s s函数及其导数 可以生成 g a u s s系列小波 设 g a u s s函数为 8 二 11 o 其 阶 导 数 归 一 化 得 s t 二 1 一 r n 2 2 s o t h t it 刀 1 2 3 0 其中 h t 为t 的n 阶 埃尔 米 特 h e r m i t e 多 项 式 故 又称s f 为g a u s s h e r m i t e 系列小波 1 n 为卡方分布函数 其频域表达式为 2 r w r n 2 宫 岁子二二 份泞 乙 云 2 3 1 2 i n 一 当 2 时 得到常用的b u b b l e 小波 时频波形如图2 1 0 所示 qr t 二 2 石 二 一 一 lz 1 t z q 2 e v 2 3 2 g a u s s系列小波是检测信号中包含的信息最多 也是使用最广泛的小 波 若采用紧框架 也能得到稳定 精确的重构 但这类小波由于基函数较 固定 因而其小波时频图也