（计算数学专业论文）小波理论与应用.pdf

小波理论与应用 摘要 小波分析这个上世纪末新兴的数学分支 目前在全世界很多科学 领域都是个热门的研究方向 它是当今国际上公认的最新时间一频率 分析工具 它有 自适应性 和 数学显微镜性 两大重要特性 得 到很多学科的共同关注 因而是许多科技工作者非常偏爱的分析工 具 以小波变换作为j p e g 2 0 0 0 的核心技术为标志 小波在图像处理 方面的应用取得了巨大的成功 大量的研究已表明 小波理论对信号 处理起着越来越重要的作用 本文较详细地介绍了小波的理论及其应用方面的一些知识 主要 工作如下 一 讨论了f o u r i e r 变换的不足之处 阐述了多分辨分析的基本思 想 二 介绍了一些常见的小波及其构造方法 详细分析了连续小波 变换 离散超小波变换的基本原理 三 介绍了小波研究的一个中心问题一一滤波器的设计问题 文 中给出了一些著名的传统的小波滤波器 多小波滤波器 多进小波滤 波器的构造方法 不但得到了相关的一些良好性质 而且给出了一些 相应的很好的实例 四 实现了连续小波的离散变换 离散超小波变换 分析了小波 方法在应用中的一些基本的原理 并且还给出了应用的例子及自己的 结果 五 对某些类型的多小波滤波器 多进小波滤波器之间存在的关 系作了初步研究 关键词 多分辨分析 双正交小波 离散超小波变换 图像 压缩 多小波 多进小波 滤波器 i i 硬士学位论文 a b s t r a c t a san e wo f f s e to fm a t h e m a t i c s w a v e l e ta n a l y s i si sb e c o m i n gaf o c u so n s o m ed o m a i no fs c i e n c e i ti si n t e r n a t i o n a l yr e c o g n i z e du pt ot h em i n u t et o o l s f o ra n a l y s i n gt i m e f r e q u e n c y b e c a u s eo fi t s a d a p t i v ef e a t u r e a n d m a t h e m a t i c a lm i c r o t e l e s e o p ef e a t u r e i ti sf o n d l yd e l i g h t e da st o o l sf o rs om a n y s c i e n t i f i cw o r k e r s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es i g n a la n di m f o r m a t i o np r o c e s s i n g w a v e l e tt r a n s f o r mi st h ec o r et e c h n o l o g yi nj p e g 2 0 0 0 t h i sp a p e ra i m sa tp r o v i d i n gt h ek o w n l e d g eo fw a v e l e tt h e o r ya n di t sp r a c t i e a la p p l i c a t i o n t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s f i r s t l y t h ed e f e c t so ff o u r i e rt r a n s f o r ma r ed i s c u s s e da n dt h ef u n d a m e n t a l c o n c e p to fm u l t i r e s o l u t i o na r ei l l u s t r a t e d s e c o n d l ns e v e r a lc o m m o n l y u s e dw a v e l e t sa n dt h e i rc o n s t r u c t i o nm e t h o d s i si n v e s t i g a t e d t h eb a s i cp r i c i p l eo fc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ma n dd i s c r e t e h y p e r w a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e di nd e t a i l s t h i r d l y i n t r o d u c e dak e ys t e pi nw a v e l e t sa p p l i c a t i o n w h i c hi sh o wt o c o n s t r u c tt h ew a v e l e t l sf i l t e r s i nt h i sp a p e r s o m ef a m o u su s u a lw a v e l e t s m u l t i w a v e l e t sa n dm u l t i b a n kw a v e l e t s f i l t e r sa r ec o n s t r u c t e d a n ds o m eg o o dp r o p e r t i e sa r eo b t m n e d i na d d i t i o n s o m ea p p l i c a t i o ne x a m p l e si nm a n yr e s p e c t s a r ed e m o n s t r a t e d f o u r t h l y i m p l e m e n t i o no fc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ma n dd i s c r e t eh y p e r w a v e l e tt r a n s f o r mi si n v e s t i g a t e d a n dp r i n c i p l eo fw a v e l e ta p p l i c a t i o ni sa n l y z e d l o t so fi m p l e m e n t i o nm o d e l si nm a n yr e s p e c t s8 x eb e e ng i v e no u t t o o f i f t h l y s o n l er e l a t i o n s h i p so fm u l t i w a v e l e ta n dm u l t i b a n kw a v e l e t sf i l t e r s r es t t l j e d k e yw o r d s m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s b i o r t h o g o n a lw a v e l e t d i s c r e t e h y p e r w a v e l e tt r a n s f o r m i m a g ec o m p r e s s i o n m u l t i w a v e l e t m u l t i b a n kw a v e l e t f i l t e r 小波理论与应用 第一章绪论 小波是上世纪8 0 年代数学的一个分支 它的出现主要来自两方 面的动力 数学上的进展和工程问题的提出及解决 小波分析 要讲它的背景 需追溯到1 9 世纪初 1 8 0 7 年 f o u r i e r 傅立叶 发表的一个隐人的命题 他说 所有的周期函数都是三角 级数的和 由于当时的数学权威们不相信这一命题 因此他的论文拖 了十来年才得以发表 越来越多的实例证明f o u r i e r 的观点是正确的 于是f o u r i e r 的名声大增 f o u r i e r 分析也成为一门很热的学科 其中 尤其引入注目的是f o u r i e r 变换在信号处理方面的成功应用 1 9 2 7 年 物理学家w e r n e rh e i s e n b e r g 提出了测不准原理 这使得 f o u r i e r 变换不得不面对频率与时间不能被准确测量的问题 2 0 世纪 各个领域的科学家们为了突破f o u r i e r 变换的一些障碍 得到了一些 思想办法 通过将一个信号分割成并非纯正弦波的元素 就可以同时 在时间和频率两方面对信息进行浓缩 这种思想就是后来的小波技 术 1 9 0 9 年 匈牙利数学家a l f r e dh a a r 哈尔 引入了 哈尔小波 它实际上只不过是由一个短的正脉冲和一个短负脉冲交替出现组 成的 随后 小波理论的雏形不断地涌现 1 9 3 6 年 英国数学家j o h n l i t t l e w o o d 和r e a c p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组 理论 对频率按2 7 进行划分 开发出一种利用八度音阶将频率分组 的方法 从而创造出了可以在频率上进行较精准定位 并且在时间上 也可以进行相对精准定位的信号 这是多尺度分析思想的最初来源 1 9 4 6 年 匈牙利裔的英国物理学家一d e n n mg a b o r 加博 又提出 了加博公式 2 1 这个公式和傅立叶转换有着相似之处 也称为加窗 f o u r i e r 变换 短时f o u r i e r 变换 这样 在时间和频率上进行同时定 位的可能性就大大增加了 石油地质勘探人员为了给地下的油田进行定位 遇到了如何将地 理方面的信息计算转换成声波这一棘手的数学问题 这个问题工程 2 硕士学位论文 师们在传统上是利用傅立叶变换来解决的 但是 震波信号在从一个 岩层传递到另一个岩层时通常有很多短暂而突然的变化 傅立叶变换 无法达到要求 1 9 8 2 工程师j e a nm o r l e t 开发出了他自己的分析震 波信号的方法 可以创造出在空间上被定位的元素 这被他称为 恒 定形状小波 a 后来 就被称为 m o r l e t 小波 利用这种技术 另一个微波家族可以通过变形 称为一个母小波 放大 压缩或在 时间上进行位移而制造出来 奠莱特的方法在书上并没有记载 但看 上去确实是行之有效 他试图去寻找这个技术的理论基础 这就导致 了他与物理学家a l e xg r o s s m a n n 的合作 他们的论文在1 9 8 4 年发表了 4 在这篇论文中第一次用到了 小波 这个词 y v e sm e y e r 梅尔 在同一年的秋天听说了他们的成果 他第一个 认识到了在早先的一些数学小波 例如在l i t t l e w o o d 和p m e y 的研究 中的小波与m o r l e t 的小波之间的联系 1 9 8 5 年 梅尔又发现了一种 新的小波 这种小波带有一种被称为正交性的数学特性 这种特性使 得小波转换可以象傅立叶转换一样相互协作和巧妙处理 他构造的 这个光滑正交小波基被称为m e y e r 基f 5 1 9 8 6 年 m e y e r 与他原来的 学生一m a l l a t 马拉特 将小波理论同当时的低段编码方面的文献联系 了起来 提出了多分辨分析的思想 6 7 1 有了多分辨分析的坚实数学基础 小波的发展更加迅猛 i n g r i d d a u b e c h i e s 道贝切斯 在1 9 8 7 年访问纽约大学库兰特学院期间 发现 了一系列全新的波i s 9 1 而并非只有直角的小波 象m e y e r 的发现那 样 这些小波还可以使用简单的数字过滤概念来实施 事实上是使 用短数字过滤器 新的小波几乎同编程和使用哈尔函数一样简单 但 它们更加顺滑 并且不会带有哈尔小波那样的跳动 将道贝切斯和马 拉特的理论结合起来后 就出现了一种简单的正交变换 可以迅速地 在现代数字计算机上进行计算 道贝切斯小波将理论变成了一种实用 的工具 可以利用它来进行简易的编程并被那些并非数学专业的科学 家们来使用 在研究小波理论的发展过程中 发现它与工程技术上一些已经发 小波理论与应用 展起来的问题密切相关 它们可以用小波变换作为理论基础 看成是 从不同角度应用小波的特例 但是他们解决问题的同时促进了小波 的发展 对小波的构造有很大的启发 特别是对紧支撑正交小波的构 造 在很大程度上可以归结于工程技术的发展 1 9 4 6 提出的g a b o r 变 换l b u r t 和a d e l s o n 在1 9 8 3 年提出的金字塔图像编码算法 1 0 通信 处理中的子带编码 u 1 2 数字信号处理中的多采样率滤波器 1 3 1 6 计算机视觉中的多分辨分析 1 z 1 9 等 这些大大丰富了小波的实用意 义 小波的理论已经从一维发展到高维 二维小波在图像压缩方面的 成就有目共睹 小波在上世纪9 0 年代初的第一个应用阶段中获得了 巨大的成功 因此也促进人们继续探索其新理论 其中比较引人注意 的是多小波 多进小波 提升方法和离散超小波变换 多小波首先是由g o o d m a n 等人 2 q 提出的 用多哥尺度函数和 多哥小波函数表示信号 并且用h e r m i t 样条构造出第一个多小波 g e r o n i m o 等人首先构造出第一个非样条多小波 通常称为g h m 多小 波 2 它具有以下性质 紧支撑 正交性和对称性 除了h a r r 小波 外 实值的单小波是不可能同时具有这些优良性质的 这些性质在 应用中非常重要 也正因为多小波具有如此性质 所以近几年来多小 波在理论和应用上发展迅速 x i a v e t t e r l i 5 j s t r e l a 2 3 1 p l a n k o j i a n g 2 9 3 0 和s e l e s n i c k 2 等人作出了很大的贡献 多进小波研究没有多小波那么活跃 但是也是一个热门 不同 于多小波的是 它只有一个尺度函数 却有多个小波函数 首先由 v a i d y a n a t h a n 提出了多线性分解 1 3 1 4 1 c h u i 研究了一些3 一进正交小 波的例子 3 3 1 3 4 p e n g 也研究了 些3 一进正交小波的例子 3 5 h a n 研究了一个具有线性相位的4 进正交小波的例子f 3 m 在他的例子中 小波与尺度函数都具有对称性或反对称性 但滤波器组却不具有对称 性或反对称性 这是美中不足的 w a n g 研究了一个4 进小波的例子 该4 进小波的滤波器组亦具有对称性或反对称性 这样他得到 一个性质很好的4 进小波家族 4 硕士学位论文 提升方法是s w e l d e n s 和d a u b e c h i e s 等学者上世纪九十年代中期提 出的一种关于小波构造的更便捷的实现方法 3 s 4 0 影响很大 j p e g 2 0 0 0 采用的小波变换就是基于提升方法实现的1 4 1 离散超小波变换由w a n g 提出1 4 2 并成功用于视频编解码芯片设 计 研究出中国第一片自主产权视频编解码芯片 本文在阅读了大量国内外相关文献后 对理论和应用两方面都作 了深入的研究 具体分为五章 内容如下安排 第一章简要介绍小波理论及应用的背景知识以及国内外目前 的一些研究现状及意义 第二章从传统小波理论入手分析传统小波的构造 并且还迸一 步具体给出了紧支小波及其滤波器的构造方法 第三章给出了一系列滤波器的构造 介绍了小波变换的理论知 识及在一些学科中的实际应用情况 做了连续小波的离散变换 离散 超小波变换 并给出了对图像实行小波变换后自己的一些测试结果 对小波在降水 粮食方面的应用上 作出了关键的小波变换系数等值 线图 第四章简要介绍了多小波 多进小波理论知识 讨论了他们的 滤波器构造及其存在的某些关系 第五章对全文工作作了总结性的描述 并根据小波的很多研究 方向对未来的小波发表了大概的看法 小波理论与应用 第二章传统小波与滤波器构造研究 小波的理论还是要从数学里面去深入探讨 6 9 7 小波完整盼数 学理论体系到目前也已经基本建立 本章从数学基础出发讨论传统 小波的构造 并根据应用的需求引出滤波器的概念及构造方法 2 1 从f o u r i e r 分析到小波分析 前文中f o u r i e r 发表的那个命题也说明 任何一个周期为2 的函 数 z 都有下面形式的展开式 等 量 a n c o s 6 2 1 1 n 1 人们称上 2 1 1 式为f o u r i e r 级数 后来 d i r e c h l e t 证明 任意分段单调连续函数的f o u r i e r 级数都处 处收敛 人们这才完全相信f o u r i e r 的命题 但是因为当时人们所知 道的连续函数都是分段单调的 所以人们又错误的认为连续函数的 f o u r i e r 级数是处处收敛的 这样直至1 8 7 6 年d ub o i s r e y m o n d 证明存 在连续函数 它的f o u r i e r 级数在原点是发散的 上述看法才被否定 当l e b e s g u e 的测度与积分理沦被建立后 人们考虑f o u r i e r 级数的 几乎处处收敛性 1 9 2 3 年 k o l m o g o r o v 构造反例指出 可积函数的 f o u r i e r 级数可能是几乎处处发散的 那么对于1 p p 次可积 函数的f o u r i e r 级数收敛性怎么样呢 早在1 9 1 2 年俄罗斯数学家l u z i n 提出猜想 平方可积函数的f o u r i e r 级数是几乎处处收敛的 这个猜 测吸引了许多著名的数学家 经过半个世纪的努力 终于在1 9 6 6 年 被c a r l e s o n 所解决 至此f o u r i e r 级数的收敛陛问题研究基本上告一段 落 在此以前连续函数的f o u r i e r 级数是否几乎处处收敛都是不清楚 的 由此可见f o u r i e r 级数的收敛性讨论是非常难的问题 f o u r i e r 级 6 硕士学位论文 数 2 1 1 是函数 关于三角函数系 1 c o s x s 概 z c o s 2 z s m 2 z 2 1 2 的展开式 展开式的系数 称为函数的谱 数学家希望用一组 好的基来展开函数 所谓 好的基 是希望这组基能把函数的性质完 全地反映到它的谱上去 也就是说希望能用系数 b 完全地刻画函 数的性质 但是上述三角函数系不具备这样的特性 除了在l 2 0 2 7 r 1 中的函数可用系数来刻画外 其它所有常见的函数类都办不到 设f 护 o 2 假如p 2 我们有这样的刻画定理 函数f 驴 o 2 7 r 当且仅当其f o u r i e r 系数 b 满足 1 1 2 号l 川2 旧 1 2 2 f 扩 o 2 那么只要适当的改变 f o u r i e r 展开式中系数a k 的位置就可以使得新的和 属于l 2 o 2 7 可见要用f o u r i e r 系数模的大小来刻画空间l 2 o 2 1 r 是 不可能的 再来看l i p s h i z 空间c 嘉 0 口 1 它由g 中满足 jsc i x 一 j z y r 2l5 的函数全体构成的空间 根据逼近论中的结果 我们知道 若f c 鼻 那么i n i 1 b l o n 1 n 反过来 若i o i d n 一1 n o 则 焉 正反两方面的估计都是最佳估计 差距很大 人们无法建立一个由f o u r i e r 系数的大小来刻画类g 器的定理 对于非周期函数f l 2 r 对应的f o u r i e r 变换与反变换便分别 是 r u e z 出 2 1 6 小波理论与应用 7 z 圭 e f w d a j 2 1 7 lj o 这里 u 便是 的谱 类似于f o u r i e r 级数的情形 函数 的性质 不能用 的性质很好的刻画 很长时间以来人们致力于寻找一种好的分解 使得函数的性质能 很好的反映到谱上去 例如l u z i n 面积积分 c u l d e r o n 积分 p 俨 空间的原子分解等都是为了这一目的 但是这些表示都不是基的形式 表示 直至仿射小波的出现人们才对函数有了比较理想的表示 所谓 仿射小波是指下述形式的规范正交基 如 z 2 妒 2 z 一 j z 2 18 用这组基来表示f l 2 r 我们有以下的表示式子 z a j k c j z 2 1 9 k e z 其中a m j k z 该组基由一个函数妒产生 只要 妒满足一定的条件 的许多性质都可用它的谱a i t 的大小完全地刻 画出来 下面再看看工程实践如何从另一角度提出构造 2 1 8 形式的 规范正交基 傅立叶变换一直是成功的 在1 9 世纪 傅立叶变换解 决了很多物理和工程学方面的问题 这个突破使得科学家们和工程 师们开始考虑将傅立叶变换作为分析各种各样的现象的最佳手段 这种普遍性迫使人们开始进一步挖掘这种方法 结果在直到2 0 世纪 即将结束时 数学家 物理学家和工程师们才开始认识到傅立叶变换 的缺点 它们在重现短暂的信号或有突然改变的信号时一例如一个 词汇或一个小鼓的敲击声时 效果并不理想 而音乐合成器也与以往 一样 还是没能匹配出音乐会上小提琴家所演奏出来的声音 因为小 提琴家所演奏的声音包含有一些瞬间的特征 例如在琴弓轻触琴弦的 那一瞬间所发出的声音 这是基于正弦波的表现法所无法模仿的 以 信号处理为例 设 是一信号 它的谱 可以算出 通常 在信 硕士学位论文 号处理中要对 作些变换处理 然后再返回信号 这个过程用f o u r i e r 变换来处理有以下几个不理想之处 1 用周期函数b 来处理非周期函数 2 要计算谱 u 需知道全部 3 f o u r i e r 变换无论在时域或频域都缺乏局部性 针对这些不足 g a r b o r 提出以下的g a r b o r 变换 g 6 u e t t g t 一6 出 2 1 1 0 其中9 啦 j 击 e 印脚 这种变换又称为带窗的f o u r i e r 变换 它突出了函数在扣b 处附近的值对谱的作用 它的逆变换为 巾 磊1 仁仁e 瓯 g t b d w d b 2 1 1 1 后来人们提出了所谓的小波变换 吼 6 n 孵1 仁巾 矿 t b d 2 11 2 其中妒满足币 l 2 n l 中出 0 c v 雌非灿 o 它的逆变 换为 m 去仁仁 咖 d a 6 j 2 1 1 3 妒 是妒的共轭 其中咄 z l l 2 币 譬 由 2 1 1 1 2 1 1 3 离散化 人们提出了构造形如 g j 女 e 2 9 t j 工k z 2 1 1 4 和 2 1 8 的规范正交基 这两种形式的的规范正交基分别称为h e i s e n b u r g 群上的小波和仿射小波 小波理论的主要内容是仿射小波 2 2 小波构造研究 小波理论与应用 9 小波的构造我们先介绍最初始时科学家们的方法 再接下来引出 近年来的一些新式的构造思想方法 2 2 1 多尺度分析 空间工2 r 中的多尺度分析是指工2 中满足下列条件的空间序列 嵋 托z 1 单调性 u k l 2 交与并满足 n e z k o 和巧 巧 l 2 r 3 相邻两空间满足 f x b 甘 2 z k l v j z 4 存在 使得 乒如一 r z 构成k 的r i e s z 基 显然 庐 2 z 一女 k z 是 中的r i e s z 基 因为设 z u 那么 y o 故有级数展开 靠 扛一 k z 2 2 1 z c k 口 2 z 一 k z 2 2 2 依此类推 可见 面 2 j z 一 z 构成k 的r i e s z 基 并称 为多尺度 分析的生成元 有 y o s p a n z a z 2 2 3 由上可知 对任意的c t f 2 存在加细方程 c k 毋 2 x 一 ke z 2 2 4 k e z 根据多尺度分析 m a l l a t 提出了类似的多分辨分析 2 2 2 仿射正交小波 以下是四个非常有用的定理 具体证明分别见秦前清 杨宗凯等 主编的 实用小波分析 h 定理2 2 1 毋 满足a k z 川2 i l zc k 庐如一圳1 b 妊z 1 1 2 的充要条件是asl 妊g 2 k 1 2 b 1 0 硕士学位论文 定理2 2 2 设9 l 2 v 0 s p a n g x k 拒z 那么下面三命题 等价 1 g x 一 t z 构成 的规范正交基 2 e k 2 i 2 k 1 2 1 a e 3 磊1 f 1 2 e d w d 叶 当 0 时如 女 1 当k 0 时如 b 0 定理2 2 3 设 z 一 z 构成k 的规范正交基 那么由加细方 程 2 2 4 的系数 所定义的函数 h u c k e m 2 2 5 k e z 满足 l h f 2 h 1 2 1 2 2 6 例21 设 f l 2 u 0 u 一 一 u 防 o o 厂 l 2 u 0 u 一o 一2 j t r u 2 生成元为妒 t 韭挚 可证 一 t z 构成 的规范正交基 加细方程为 t k e zc k 妒 2 t 一 z 咖 2 t 一女 e 女 z 立 2 t 一 b p 靼 可 可算得 c o l 0 2 0k 0 2 2 7 c 2 k l 黠 定理2 2 设 是l 2 中的多尺度分析 码b e z 的生成元 且 毋扛一 t e z 构成 的规范正交基 假设加细方程为 z h k c 2 z 一 k z 那么由函数 妒 e 一1 瓦t 一 2 z 一女 k 三 所产生的仿射函数族 奶 k x 2 2 3 x 一 j z 2 2 8 2 2 9 2 2 1 0 小渡理论与应用 构成l 中的规范正交基 2 2 3 生成元的计算 构造小波常常离不开生成元的计算 下面我们给出生成元的计算 方法 首先第一步构造生成元 即就是求加细方程 庐 z h n 2 z n 2 2 1 1 n z 的解 下面我们给出求妒的三种途径 先介绍f o u r i e r 分析法 将上式 2 2 1 1 作f o u r i e r 变换得 乒 u y o j o 2 2 1 2 其中日 i 1 z h e 反复应用上式 2 2 1 2 作f o u r i e r 变换得 亟日 参 杀 2 1 3 21 3 壬 u 日 嵩 羔 2 倘若兀凳 日 参 是收敛的 那么 声 u 1 1 日 告 占 o 2 2 1 4 j l 通常6 o l 于是有 声 u 日 豢 2 2 1 5 j l 再对上式作f o u r i e r 逆变换就是我们所得 第二种途径就是通过定义算子码法 我们如下定义 t h f x f 2 x n 2 2 1 6 n z 然后取一初始函数 例如g o z 1 或卯 x 吐z z 1 一i x l 通常 2 1 码把有界函数影射到有界函数 有如下详细的形式 9 lx g o x 2 2 1 7 硕士学位论文 9 2 z 7 g l z 2 2 1 8 研 z 7 k 卯一l z 2 2 1 9 9 0 0 t m g 2 2 2 0 如果上面的过程是收敛的 踟 z 存在 则所得 z 就是 2 2 1 1 的解 定义假如函数 满足i u l 1 十川 1 山 o 0 则说函数 有光滑度a 且记f h 定理2 2 5 设在 2 2 1 2 中对应的日有形式 h u 半 m l 2 2 2 1 这里m u e m e m o 1 假如存在o 0 使得对于某 个k n 成立b k s u p w e rj 兀名l m 劳 l 2 那么方程 2 2 1 1 的迭代解g 存在且有光滑度a 此定理用在判别上述迭代过程是否 收敛 以上三个定理证明详见 在介绍第三种途径前我们先看看紧支撑 这个在后续章节还会详 细谈到 设加细方程为 i i z 2 一n 2 2 2 2 n o 设迭代法的初始函数曲o z 满足s u p p o r t 咖 z c o s 经过第一次迭代 z n 如 2 z n 紧支撑满足 s u p p l o 了s nj 2 2 2 3 以后第2 次迭代 紧支撑为 s 2 一1 s u p p c z 0 一 2 2 2 4 小波理论与应用 所以最后一次的紧支撑为 s u p p 0 n 最后介绍二进有理数定值法 设s u p p 乒 0 n 首先利用 2 2 1 2 2 2 2 2 可得到下面方 程组 h o 2 h i 一1 1 0 h 3 1 h 2 一1 2 h i 3 o 4 0 h n n 一4 一1 一3 h n 一2 1 曲 一2 十 一3 曲 一1 0 h g n 一2 h n 一1 1 一1 0 2 2 2 6 再联立方程 笛1 j 1 可求得唯一解 到此我们就已经构造好生成元 接下来求出更细的点 以便在m a t 1 a b 中将图形一个点一个点打出来 这个步骤比较简单 其实就是将 点加密 接着上一步 按需要代入方程 2 2 2 6 求不同的值 得到 h 昙 妒 一n 22 2 7 p 刍 n 登 0 嘉叫 2 2 2 8 按此方法加密到满足需求为此 2 2 4 小波滤波器 小波的构造到了一些应用当中时 变得需要更简单的计算和构造 过程 这时d a u b e c h i e s 在m a l l a t 多分辨分析的基础上提出了一种更简 单实用的构造方法 只要构造相应的滤波器就行了 小波函数和尺度 函数是隐式的 只能根据滤波器打出图像来 下面我们来详细讨论 1 4 硕士学位论文 定理2 2 6 设毋 z 为尺度函数 h 是冲击响应为 n 的离散滤波器 令l l u 兽 n e 则h u 满足以下性 质 1 1 日 o l 1 且在无限处h n o n 2 i h u 1 2 1 日 u 7 r 1 2 1 定理2 2 7 设 场k z 为一多分辨 多尺度 逼近 z 为尺度 函数 h 为相应的共轭滤波器 设函数妒的f o u r i e r 变换为 西 u g u 2 毒 u 2 其中g u e j 取而y 则 2 j 2 惦扛一2 一 n 为 在 的正交补w 0 的规范正交基 其中惦一2 j 妒 2 j x 以上两定理证明详见李建平主编的 小波分析与信号处理 理 论 应用及软件实现 4 4 只要滤波器序列 是可求和的 用他作卷积运算就可以看作是用 的有界连续f o u r i e r 变换作乘积 w e i e r s t r a s s 逼近定理保证可用一个 三角多项式 即具有有限支撑集的序列 的f o u r i e r 变换来一致地逼 近任意单周期连续函数 这样 我们就可以设计一算子f 对每个输 出值只涉及有限次运算 即将f o u r i e r 变换与一函数相乘 该函数削弱 某些值 乘以零或一较小的数 而保留或放大其他值 乘以1 或一较 大的数 既然输入的f o u r i e r 变换是输入在单色波e 2 上的分解 则算子f 修改了输入的频谱以产生输出 若该滤波器序列为有限支撑的 则为有限冲击响应或f i r 滤波 器 反之则为i i r 或无限冲击响应滤波器 单个的滤波器是不可逆的 因为它在均分步骤里丢失了信息 然 而 有可能找到两个互相补充对方丢失信息的互补滤波器 于是这一 对滤波器就组合为一可逆算子 这两个互补算子的每一个都有其伴随 算子 滤波器对把函数和序列分解为许多子部分 而伴随算子则将这 些自片断合为一个整体 在具有所谓精确重建滤波器的情况下该运算 可恢复原始信号 如滤波器为正交的 则分解的片断就为正交的 这 点将在后面说明 这些滤波器对必须满足特定的代数条件 保证精确重建的一个方法是使每个滤波器的f o u r i e r 变换在 i 1 小渡理论与应用 点具有镜像对称性 这种滤波器被称为积分镜像滤波器或q m f s 遗 憾的是 没有能精确重建的正交f i rq m f s 另外一种对称假设使得能精确重建的正交f i r 滤波器成为可能 这些滤波器被称为共轭积分滤波器或c q f s 通过放松正交性条件 我们还可获得叫做双正交精确重建滤波器 的大家族 这种滤波器由两对组成 分析滤波器对将信号分解为两 段 合成滤波器对将信号重组 所有这些滤波器都可为f i r s 这种 额外的自由对滤波器设计是非常有用的 下面我们将给出关于滤波器的基本概念和性质 一个卷积一均分 算子至少有三种形式 我们将给出对应于一维实变量函数 双无穷序 列以及2 q 周期序列这三种公式 首先介绍非周期与周期滤波器 令u n n n z 非周期情况 令 n n z qz 0 1 q 一1 周期情况 非周期滤波器 设 n n 目为一绝对可求和序列 下面两式定义了作用 于双无穷序列的卷积一均分算子f 和其伴随p o f u i f 2 i j u j f j u 2 i j i z 2 2 2 9 o1 e 7 z i k i4 e v e n 2 d m yk l z uj z p 吣卜 曼7 卜力 一 墨 胁十1 鼻学 d d 磊e z p 厶k 一 j o t l l t i 一 j 2 2 3 0 周期滤波器 若 2 为一2 口一周期序列 即具有偶数周期 下面两式定义了算 子马 和其伴随吃 前者将2 9 一周期序列变为g 一周期序列 后者正 好相反 表示如下 2 q 1 2 q 1 f 2 i 如口 2 i j 沁0 2 q j u 2 i j 0 i q 2 2 3 1 硕士学位论文 瞄u c 薹kc z t 一咖 t 至姜q l 譬 三i 掣 e v 削e n j 0 二 2 2 3 2 双正交滤波器 滤波器h 日7 g g 7 如果满足下列条件则称为双正交滤波 器 b q f s 1 对偶性 h 7 g g h c g 2 独立性 g h h 7 g 0 g h h g 3 精确重建 g g 7 h g g 4 规范性 h 1 7 1 百1 且g 1 g 7 1 o 这里1 o 分别是卜 1 1 o 0 前两个条件可以用定义 g g 的滤波器序列h h g g 来表示 如下 船 无 2 n 6 n g 歹 女 2 n 2 23 3 g 女 元 2 n 0 m 芽 k 2 n 2 2 3 4 规范性条件使得我们可以称圩和何7 为低通滤波器 g 和g 为高通 滤波器 该条件也可重写为 以 g 2 k 一 9 2 k 1 2 2 3 5 h 以 g 2 一 g 2 4 1 2 2 3 6 这四个算子给设计有特殊性质的滤波器提供了极大的自由 但仍有一 种规范的犯方法由h 日 来构造g g 如我们有满足式 2 2 3 5 和 2 2 3 6 的两序列 和 则可以由下式来求两个共轭 积分滤波器序列妇 和 9 9 一1 2 n 4 1 一k 2 23 7 小波理论与应用 1 7 9 一1 h 2 m 1 一女 2 2 3 8 这里m 为任意整数 我们有以下引理 具体证明见 4 引理2 21b q f s 条件表明h 1 h 1 击1 这里1 为 卜 1 1 将h h 7 g 9 7 用h 2 毛 9 2 9 知代替后 该引理仍为真 正交滤波器 如果在一组b q f s 中 h7 g 则h g 对被称为正交 滤波器 o q f s 此时 下列条件成立 1 自对偶性 日7 h g g 2 独立性 g 7 h h 7 g o 3 精确重建 驴日 g g j 4 规范性 h 1 瓶1 这里1 为卜 1 1 前两个条件可以重写为 五 十2 n d n 9 虿 女 2 n 2 2 3 9 k 9 元 女 2 n 0 一 f 2 n 2 2 4 0 kk 规范性条件使得我们可以称h 为低通滤波器 g 为高通滤波器 对于o q f s 我们有以下引理 具体证明见 4 4 引理2 2 2 o q f s 条件表明g 1 o h 1 击l 且l g l l 击1 这里1 为f 1 l 易知将h g 用h 9 z 代替后 该引理仍为真 自对偶性使得h h h h h h 和g g g g g g 由于日 h 和 g g 是自相伴随的 所以 者为正交投影 引理2 2 3 若h h 9 9 7 为一组满足式 2 2 3 7 和 2 2 3 8 的双正交共轭q f s 且h h g g 为工2 兄 上的算子 则 h 7 h g 7 g 2 j 日7 g g 7 h 0 日 日7 g g 2 日 g g h 0 2 2 4 1 2 2 4 2 1 8 硕士学位论文 图2 1 h a r r 和m e x i c a nh a t 小波图 以下是几个常见小波的例子 例2 2h a r t 小波 取 f t f t c k t 1 v z l c k l 2 0 0 嵋 f t f t c 自 参 t k r l v 七 z 1 2 生成元为 t 刚 1 oj 1 uo t h e r t 对应的加细方程是 t 毋 2 t 毋 2 t 一1 求得妒 t 咖 2 t 毋 2 t 1 即h a r r 小波 对应的图象如 图2 1 a k 奶 m 如 j o o k z 是工2 的规范正交基 如 m 为h a r t 小波基 例2 3m e x i c a nh a t 小波 妒 去 一1 4 1 一t 2 e 廿 2 对应的图 象如 图2 1 b 例2 4m o r l e t 小波 廿 c e 却 2 c o s s t 对应的图象如 图2 2 以上的小波都有函数表达式 事实上我们知道的大部分小波是没 有显式表示的 像d a u b e c h i e s 小波 很多b i o r t h o g o n m 双正交 小波 族等都是没有解析的表达式的 都是隐函数 他们的图形我们也只能 在作图软件中离散的打出来 下面我们将陆续给出一些例子 一 八刊 小波理论与应用 12 图2 2 m o r l e t 小波图 2 3紧支撑小波基构造研究 上节利用多分辨分析方法得到了三种小波 h a a r 小波 m e x i c a n h a t 小波和m o r l e t 小波 h a a r 小波具有紧支撑性 但它不连续 在实 际应用中不能很好地表示和分析连续函数 m o r l e t 等几种小波具有 较好的光滑性 但他们的支撑是无限的 在实际数值计算时 需要截 断后进行计算 因此有计算误差 难以实现精确重构 这说明 构造 具有更好性质的小波是必要的 本节主要将介绍支撑正交小波和双 正交小波的构造方法 它们不仅具有紧支撑性 而且具有较好的光滑 性 在实际中具有重要的应用 这里我们假定所涉及的滤波器都是实 系数滤波器 硕士学位论文 2 3 1 紧支撑正交小波 用多分辨分析构造小波的基本思想是 首先从 个尺度函数妒构 造一个正交尺度函数 然后计算咖的两尺度方程对应的滤波器h 最后由 与h 构造正交小波 这个基本过程是 妒一曲一 一 一妒 但在实际中 直接构造尺度函数妒或正交尺度函数 通常是不容易 的 因此 我们将稍微改变一下解决问题的思路 即直接从滤波器h 出发 考虑h 9 在满足一定条件时 它能够惟一地确定一个正交尺 度函数曲 使得 正好为 的两尺度方程对应的滤波器 进而构造 出正交小波 这个基本过程是h 一 一妒 本节讨论的问题是 一个滤波器序列h 在满足什么条件 时 它能够使两尺度方程中的正交尺度函数存在 进而根据多分辨分析 构造小波的方法构造正交小波 我们这里不对一艘隋况进行讨论 而 重点讨论h 是有限滤波器的情况 即对于离散滤波器h h h 滤波器系数h o h h 在满足什么条件下 两尺度方程 一 2 k 2 t k 2 3 1 k o 存在解 t l 2 r 并且它是l 2 r 中的正交尺度函数 由于 蟊半缨 z3z 函 u 兰 掣 22 j l v 因此 上述问题可进一步表述为 离散滤波器系数h h 在满 足什么条件下 无穷积 暑 锉斧收敛 并且收敛于三2 r 中某个正 交尺度函数的傅里叶变换 从正交多分辨分析可知 若 为正交尺度函数 h 是对应咖的两 尺度函数的滤波器 则h 满足以下条件 1 h k h k 砌 如 2 2 3 3 2 3 4 小波理论与应用 2 1 3 矗坐磐 2 3 5 1 v z 下面我们说明 式 2 3 3 和式 2 3 4 仅是构造正交小波的必要条 件 而非充分条件 即满足这种条件的滤波器h 不能保证由两尺度方 程构造出正交尺度函数 例2 6 设 h o h 1 h 2 h 3 满足式 2 33 和式 2 3 4 则 解该方程组得 碥4 曙4 h 4 h 2 l h o 2 h z k 0 2 3 6 h o4 h 14 h 24 h 3 以 击一 如 圭 竺2 型 2 删 h o 击一 2 答易验证 该方程组中的两个符解为 1 铹 喾 糟 增 2 h 击 o 0 击 下面我们将说明 h 老 0 0 南 不能保证由两尺度方程构造出 正交的尺度函数 对应于h 击 0 0 击 的两尺度方程为 咖 t i 2 t 4 2 t 一3 2 3 8 经过计算可知 或 e t 3 饥 塑 2 舢 可 曲 3 0 o t 0 3 充分条件3 l a w t o n 1 9 9 0 t 4 5 j 1 k k h 5 0 2 饥 钮 3 矩阵a a i j 2 n i 2 j v 1 1 的特征值1 是非退化的 其中 0 4 k 嵋 女一2 一n 1 i j n l 2 3 1 1 4 充分条件4 d a u b e c h i e s 1 9 8 s 8 小波理论与应用 1 e 2 5 0 2 e h 女 以 3 p 阶消失矩条件 以 生 一f o 一 2 矗1 2 其中 当u f 0 e 0 且当u 0 2 7 r f o e i 2 p 这就是说 如果有限滤波器h h o h vt h 满足所给定的每组 充分条件中的 1 2 3 则两尺度方程 式 2 3 1 在l 2 尺 中 存在且仅存在一个解 t 并且 t 是具有紧支撑性的正交尺度函 数 它的支撑区间为 0 n 这些充分条件的证明都可在有关文献中 找到 8 此处省略 进一步 若令g 一1 h 则 妒 t 2 e 9 n 西 赳一n 2e 1 h l 一 2 t n 2e n o 一1 k 庐 2 n 一1 为具有紧支撑性的正交小波 它的支撑区间为 n 一 i o 笋 在各种充分条件的 1 2 3 中 3 不是必要条件 对重要 的小波滤波器 3 经常是满足的 但去掉条件 3 有可能使结论不 成立 因而不能轻易去掉 另外 两尺度方程 式 2 3 1 有正交尺度 函数作为解