自动控制原理课设___P和PI控制器.doc

武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 1 目录 摘要 I 1 P 和 PI 控制原理 2 1 1 比例 P 控制 2 1 2 比例 微分控制 2 2 P 和 PI 控制参数设计 3 2 1 初始条件 3 2 2 1 比例系数 k 的设定 3 2 2 2 加入 P 控制器后系统动态性能指标计算 5 2 2 3 加入 P 控制器后系统动态性能分析 8 2 3 1 原系统性能分析 9 2 3 2 加入 PI 控制器后系统性能指标 10 2 3 3 k 和取不同值对系统系能的影响 11 1 k 2 3 4 加入 PI 控制器后系统动态性能分析 16 3 P 和 PI 控制器特点比较 18 3 1 比例 P 控制器 18 3 2 比例 积分 PI 控制器 18 5 参考文献 20 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 2 1 P 和 PI 控制原理 1 1 比例 P 控制 比例控制是一种最简单的控制方式 其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器 在信号变换过程中 P 控制器值改变信号的增益而不影响其相位 在串联校正中 加大了 控制器增益 可以提高系统的开环增益 减小的系统稳态误差 从而提高系统的控制精 k 度 控制器结构如图1 图1 1 2 比例 微分控制 具有比例 微分控制规律的控制器称 PI 控制器 其输出信号 m t 同时成比例的反应 出输入信号 e t 及其积分 即 t i dtte T k tketm 0 1 式 1 中 k 为可调比例系数 为可调积分时间常数 PI 控制器如图2所示 i T 图2 在串联校正时 PI 控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点 同时也 增加了一个位于 s 左半平面的开环零点 位于原点的极点可以提高系统的型别 以消除 或减小系统的稳态误差 改善系统的稳态性能 而增加的负实零点则用来减小系统的阻 尼程度 缓和 PI 控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响 只要积分时间常 数足够大 PI 控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱 在控制工程中 PI 控制器 i T k r t c s e t m t 1 1 sT k i R s C s E s M s 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 3 主要用来改善控制系统的稳态性能 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 4 2 2 P P 和和 PIPI 控制参数设计控制参数设计 2 12 1 初始条件 初始条件 反馈系统方框图如图 3 所示 比例 P 控制律 K s D 1 比例积分 PI 控制律 s K K s D I 2 6s 1s 1s G1 s s 2s 1s 1 G2 s 2 2 P 控制器设计 2 2 1 比例系数 k 的设定 由题目给出的初始条件知 当 G s 未加入 D s 校正环节时 系统开环传递 s 1 G 函数为 6 1 s s s 1s s H s G sss65 1s 23 2 又系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为 6 1 1 1 6 1 1 sss s sss s s 3 155 1 23 sss s 则系统的闭环特征方程为 D s 0 按劳斯判据可列出劳斯表如表 1 155 23 sss s DG s RY e 图 3 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 5 3 s1 5 2 s51 1 s 5 24 0 0 s10 表 1 由于劳斯表第一列符号不相同 所以系统不稳定 需要校正 由任务要求得 当 D s D1 s G s G1 s 时 即加入 P 控制器后 系统开环传递函数 为 6 1 s s s 1 k s s H s G 4 其闭环传递函数为 kskss kks s 6 5 23 5 则系统的闭环特征方程为 D s 按劳斯判据可列出劳斯表如表 0 6 5 23 kskss 2 3 s 1K 6 2 s 5k 1 s5 304 k 0 0 s k0 表 2 要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正 即 0304 0 k k 6 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 6 所以系统稳定的条件为 k 7 5 当单位阶跃信号输入时 系统稳态误差系数 lim 0 p sHsGK s 7 由式 4 得系统为 1 型系统 所以 P K 所以稳态误差 8 0 1 1 1 P ss K R e 2 2 2 加入 P 控制器后系统动态性能指标计算 1 k 取不同值时的特征根 由式 5 得系统稳定的条件为 k 7 5 下面对 k 分别取 7 5 15 30 来讨论分析系统 的动态性能指标 当 k 7 5 时系统的闭环特征方程为 05 75 15 23 ssssD 9 通过 MATLAB 求得系统特征根 其程序如下 den 1 5 1 5 7 5 roots den 求系统特征根 其运行结果如下 ans 5 0000 0 0000 1 2247i 0 0000 1 2247i 即求得其特征根分别为 5 j1 2247 j1 2247 其中有两个极点在虚轴上 1 s 2 s 31 s 系统临界稳定 同理通过调用 MATLAB 中的 roots 函数即可分别求得 k 15 k 20 时的特征根 K 15 时 特征根为 3 6608 0 6696 j1 9103 0 6696 j1 9103 1 s 2 s 31 s K 30 时 特征根为 1 6194 1 6903 j 3 9583 1 6903 j 3 9583 1 s 2 s 31 s 2 k 取不同值时的单位阶跃响应 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 7 由式 7 得当 k 7 5 时其闭环传递函数为 10 5 75 15 5 75 7 23 1 sss s s 当 k 15 时闭环传递函数为 11 1595 1515 23 2 sss s s 当 k 30 时闭环传递函数为 12 30245 3030 23 3 sss s s 用 MATLAB 求系统的单位阶跃响应 绘制出不同 k 值时的单位阶跃响应曲线图 其程序 如下 num1 7 5 7 5 den1 1 5 1 5 7 5 t1 0 0 1 15 y1 step num1 den1 t1 num2 15 15 den2 1 5 9 15 y2 step num2 den2 t1 num3 30 30 den3 1 5 24 30 y3 step num3 den3 t1 plot t1 y1 r t1 y2 g t1 y3 b grid 程序运行后输出曲线图如图 4 3 分别讨论不同 k 值时的系统动态性能指标 如图 2 知当 k 7 5 时系统单位阶跃响应为无阻尼振荡 当 k 15 时系统传递函数为式 11 下面借助 LTIViewer 计算本控制系统单位阶跃响应 时的性能指标 MATLAB 程序如下 num 15 15 图 4 051015 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 k 7 5 k 15 k 30 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 8 den 1 5 9 15 step num den sys tf num den ltiview 程序运行后在弹出的 LTIViewer 框中导入 sys 函数 然后对绘制的曲线进行相应的设置后 可以得到阶跃响应的各项指标点 效果图如图 5 所示 当光标移到对应点后 在浮出的文本框中可读出数据 列出如下 上升时间 str373 0 峰值时间 stp24 1 超调量 7 89 p 调节时间 st65 6 s 0 05 当 k 30 时系统传递函数为式 12 同理 通过 MATLAB 绘出单位阶跃响应曲线图如 图 6 所示 上升时间 str24 0 峰值时间 stp72 0 超调量 2 68 p 图 5 Step Response Time sec Amplitude 0123456789 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 System sys Peak amplitude 1 9 Overshoot 89 7 At time sec 1 24 System sys Rise Time sec 0 373 System sys Settling Time sec 6 65 System sys Final Value 1 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 9 调节时间 st69 2 s 0 05 2 2 3 加入 P 控制器后系统动态性能分析 由式 2 得系统为含一个积分环节的三阶系统 在未加入 P 控制器之前通过劳斯判 据得系统处于不稳定状态 当加入适当的 P 控制器即比例环节后即可改善系统的稳定性 同时根据图 4 以及不同 k 值时的暂态系能指标可知通过增大控制器的开环增益可提高系 统对阶跃信号的响应速度 降低系统的超调量 缩短系统的调节时间 从而提高了系统 的跟踪性能和稳定性 Step Response Time sec Amplitude 00 511 522 533 54 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 System sys Peak amplitude 1 68 Overshoot 68 2 At time sec 0 72 System sys Rise Time sec 0 24 System sys Settling Time sec 2 69 图 6 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 10 2 3 PI 控制器设计 2 3 1 原系统性能分析 当未加入 PI 控制器时系统为二阶系统 其开环传递函数为 13 2 1 1 ss sHsG 系统闭环传递函数为 14 33 1 2 ss s 借助 MATLAB 可绘制出系统单位阶跃响应曲线 具体程序如下 num 1 den 1 3 3 step num den sys tf num den ltiview 程序运行后可得如下响应曲线图 6 图 6 Step Response Time sec Amplitude 00 511 522 533 54 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 System sys Rise Time sec 1 58 System sys Settling Time sec 2 51 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 11 由图 6 可看出该二阶系统处于过阻尼状态 其稳态态误差系数 15 lim 0 p sHsGK s 0 5 16 2 1 1 lim 0 ss s 所以其稳态误差为 0 667 17 p ss k e 1 1 2 3 2 加入 PI 控制器后系统性能指标 初始条件条件 D s 18 1 1 1 1 2 skk k s k ksD 由式 18 知系统中串入了 PI 控制器 比例系数为 k 积分时间常数 1 kkTi 当 D s D2 s G s G2 s 时 系统开环传递函数 19 2 1 1 1 sss k ksHsG 20 2 1 1 sss kks k 21 sss kks 23 23 1 其闭环传递函数为 1 23 1 2 3 kskss kks s 22 则闭环特征方程为 D s 根据劳斯判据可列出劳斯表如表 3 0 2 3 1 23 kskss 3 s1K 2 2 s3 1 k 1 s 3 2 1 kk 0 0 s 1 k0 表 3 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 12 劳斯判据中要满足系统稳定则劳斯表第一列必需满足符号相同 即 23 0 02 1 1 k kk 所以系统稳定的条件为 20 1 kk 稳定时的允许区域如图 7 当单位阶跃信号输入时 系统稳态误差系数 lim 0 p sHsGK s 24 2 1 lim 1 0 sss kks k s 25 所以稳态误差 0 1 1 1 P ss K R e 26 2 3 3 k 和取不同值对系统系能的影响 1 k 下面在保持系统稳定且保证积分时间常数大于原系统的时间常数的情况即的1 1 kk 范围内分别取三组参数求取系统的闭环传递函数的特征根 1 当 k 6 5 时 将参数带入式 22 得系统传递函数为 1 k 583 56 23 sss s s 27 0 2 2 k 1 k 图 7 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 13 通过 MATLAB 求特征方程 具体程序如下 den 1 3 8 5 roots den 求系统特征根 程序运行后输出结果如下 ans 1 0992 2 2427i 1 0992 2 2427i 0 8016 所以特征根为 0 8016 1 0992 j2 2427 1 0992 j2 2427 1 s 2 s 31 s 通过调用 MATLAB 中 step 函数绘制单位阶跃响应曲线 程序如下 num 6 5 den 1 3 8 5 sys tf num den t 0 0 1 10 step sys t 求单位阶跃响应曲线 运行后输出响应曲线如图8 如图 8 所示 通过对绘制的曲线进行相应的设置后可以在 Figure 上得到阶跃响应的各项 指标点 当光标移到对应点后 在浮出的文本框中可读出数据 列出如下 上升时间 str635 0 峰值时间 stp4 1 超调量 9 18 p 调节时间 st39 3 s 0 05 2 当 k 20 5 时 将参数带入式 22 得系统传递函数为 1 k 28 5223 520 23 sss s s 运用 MATLAB 即可算出特征根为 0 2342 1 3829 j4 4091 1 3829 1 s 2 s 31 s j4 4091 同时可求出系统单位阶跃响应曲线如图 9 图 8 Step Response Time sec Amplitude 012345678910 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 System sys Settling Time sec 3 39 System sys Peak amplitude 1 19 Overshoot 18 9 At time sec 1 4 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 14 上升时间 str876 0 峰值时间 stp7 0 超调量 3 29 p 调节时间 st88 4 s 0 05 3 当 k 20 10 时 将参数带入式 22 得系统闭环传递函数为 1 k 29 10223 1020 23 sss s s 运用 MATLAB 即可算出特征根为 0 4810 1 2595 j4 3820 1 2595 1 s 2 s 31 s j4 3820 系统单位阶跃响应曲线如图 10 图 9 Step Response Time sec Amplitude 012345678910 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 System sys Peak amplitude 1 29 Overshoot 29 3 At time sec 0 7 System sys Settling Time sec 4 88 System sys Time sec 0 4 Amplitude 0 876 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 15 Step Response Time sec Amplitude 012345678910 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 System sys Peak amplitude 1 36 Overshoot 36 At time sec 0 7 System sys Rise Time sec 0 294 System sys Settling Time sec 3 15 图 10 上升时间 str294 0 峰值时间 stp7 0 超调量 36 p 调节时间 st15 3 s 0 05 将 k 20 10 带入式 22 得系统开环传递函数为 1 k G s H s 30 sss s 23 1020 23 G s H s 31 21 1 5 01 5 sss s 所以系统的开环频率特性为 G j H j 32 21 1 5 01 5 jjs j 通过 MATLAB 绘制系统波特图 其程序如下 num 20 10 描述闭环系统传递函数的分子 分母多项式 den 1 3 2 0 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 16 bode num den 调用bode图绘制函数 grid 添加栅格 程序运行后Figure上显示bode图如图11 根据bode图可轻易得出系统相位裕度 32 2 3 4 加入 PI 控制器后系统动态性能分析 由式 18 知本系统中 PI 控制器的积分时间常数 比例系数由 k 决定 通过改 1 kkTi 变积分时间常数的大小即可调节加入积分器后对系统稳定性及动态过程的影响 为便于分析 k 和取不同参数时对系统性能的影响 在此借助 MATLAB 分别求取出在 5 1 k 组不同 PI 控制器参数下以及未加 PI 控制器校正时系统的单位阶跃响应曲线并绘制在一张 图上以便于对比分析控制器取不同参数时对系统暂态性能的影响 以及加 PI 控制器后对 Bode Diagram Frequency rad sec 60 40 20 0 20 40 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 45 System sys Phase Margin deg 32 Delay Margin sec 0 133 At frequency rad sec 4 21 Closed Loop Stable Yes Phase deg 图 11 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 17 稳态性能的影响 具体 MATLAB 程序如下 t1 0 0 1 5 num0 4 5 den0 1 3 6 5 y0 step num0 den0 t1 k 4 k1 5时的阶跃响应曲线 num1 6 5 den1 1 3 8 5 y1 step num1 den1 t1 k 6 k1 5时的阶跃响应曲线 num2 20 5 den2 1 3 22 5 y2 step num2 den2 t1 k 20 k1 5时的阶跃响应曲线 num3 20 10 den3 1 3 22 10 y3 step num3 den3 t1 k 20 k1 10时的阶跃响应曲线 num4 200 50 den4 1 3 202 50 y4 step num4 den4 t1 k 200 k1 50时的阶跃响应曲线 num5 1 den5 1 3 3 y5 step num5 den5 t1 未加校正时的阶跃响应曲线 plot t1 y0 t1 y1 r t1 y2 g t1 y3 b t1 y4 t1 y5 o grid 响应曲线图如图 12 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 18 00 511 522 533 544 55 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 制 制 PI制 制 制 k 20 k1 10 k 6 k1 5 k 20 k1 5 k 4 k1 5 k 200 k1 50 图 12 根据图 12 以及前面计算出的加入不同参数的 PI 控制器后的系统暂态性能和稳态性能 指标可知 加入 PI 控制器后系统的稳态误差为 0 从而改善了系统的稳态性能 同时不 同的参数对系统的动态性能影响不同 如图 12 所示 当系统比例系数 k 过大时会使系统 超调量加大 不利于系统的稳定 当积分时间常数较小会降低系统响应速度 增大 1 kk 积分时间常数可提高系统的响应速度 增大积分时间常数可提高系统的响应速度 从而 改善积分环节对系统的暂态性能的不利影响 武汉理工大学 自动控制原理课程 设计任务书 19 3 P 和 PI 控制器特点比较 3 1 比例 P 控制器 在串联校正中 加大比例系数可以提高系统的开环增益 减小系统的稳态误差 从 而提高系统的控制精度 但也会降低系统的相对稳定性 3 2 比例 积分 PI 控制器 在串联校正时 PI 控制器相当于在系统中加入了一个位于原点的开环