2018年高考全国2卷理科数学(含答案).pdf

理科数学试题 第 1 页 共 11 页 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题 共 150 分 共 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码准确粘贴在 条形码区域内 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂 非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签字 笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 4 作图可先使用铅笔画出 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修正带 刮 纸刀 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 1 2i 12i A 43 i 55 B 43i 55 C 34 i 55 D 34 i 55 2 已知集合 22 3 Ax yxyxy ZZ 则A中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 3 函数 2 ee xx f x x 的图象大致为 4 已知向量a b满足 1 a 1 a b 则 2 aab A 4 B 3 C 2 D 0 5 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为3 则其渐近线方程为 A 2yx B 3yx C 2 2 yx D 3 2 yx 6 在ABC 中 5 cos 25 C 1BC 5AC 则AB A 4 2 B 30 C 29 D 2 5 理科数学试题 第 2 页 共 11 页 7 为计算 11111 1 23499100 S 设计了右侧的程 序框图 则在空白框中应填入 A 1ii B 2ii C 3ii D 4ii 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是 每 个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 如30 7 23 在不超过 30 的素数中 随机 选取两个不同的数 其和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 9 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1ABBC 1 3AA 则异面直线 1 AD与 1 DB所成角 的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 10 若 cossinf xxx 在 a a 是减函数 则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 11 已知 f x是定义域为 的奇函数 满足 1 1 fxfx 若 1 2f 则 1 2 3 50 ffff A 50 B 0 C 2 D 50 12 已知 1 F 2 F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点 A是C的左顶点 点P在 过A且斜率为 3 6 的直线上 12 PFF 为等腰三角形 12 120FF P 则C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线2ln 1 yx 在点 0 0 处的切线方程为 14 若 x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x 则zxy 的最大值为 15 已知sincos1 cossin0 则sin 开始 0 0NT SNT S输出 1i 100i 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 理科数学试题 第 3 页 共 11 页 16 已知圆锥的顶点为S 母线SA SB所成角的余弦值为 7 8 SA与圆锥底面所成角为 45 若SAB 的面积为5 15 则该圆锥的侧面积为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 记 n S为等差数列 n a的前n项和 已知 1 7a 3 15S 1 求 n a的通项公式 2 求 n S 并求 n S的最小值 18 12 分 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y 单位 亿元 的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额 建立了y与时间变量t的两个线性回归 模型 根据 2000 年至 2016 年的数据 时间变量t的值依次为1 2 17 建立模型 30 4 13 5yt 根据 2010 年至 2016 年的数据 时间变量t的值依次为1 2 7 建立模 型 99 17 5yt 1 分别利用这两个模型 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值 2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由 19 12 分 设抛物线 2 4C yx 的焦点为F 过F且斜率为 0 k k 的直线l与C交于A B两点 8AB 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 理科数学试题 第 4 页 共 11 页 20 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 2 2ABBC 4PAPBPCAC O为AC的中点 1 证明 PO 平面ABC 2 若点M在棱BC上 且二面角MPAC 为30 求PC与平面PAM所成角的正弦值 21 12 分 已知函数 2 exf xax 1 若1a 证明 当0 x 时 1f x 2 若 f x在 0 只有一个零点 求a 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 2cos 4sin x y 为参数 直线l的参数方 程为 1cos 2sin xt yt t为参数 1 求C和l的直角坐标方程 2 若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 1 2 求l的斜率 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 5 2 f xxax 1 当1a 时 求不等式 0f x 的解集 2 若 1f x 求a的取值范围 P A O C B M 理科数学试题 第 5 页 共 11 页 绝密绝密 启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 二 填空题 13 2yx 14 9 15 1 2 16 40 2 三 解答题 17 解 1 设 n a的公差为 d 由题意得 1 3315ad 由 1 7a 得 d 2 所以 n a的通项公式为29 n an 2 由 1 得 22 8 4 16 n Snnn 所以当 n 4 时 n S取得最小值 最小值为 16 18 解 1 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30 4 13 5 19226 1y 亿元 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 99 17 5 9256 5y 亿元 2 利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下 从折线图可以看出 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 30 4 13 5yt 上下 这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 不能很好地 描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增 加 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近 这说明从 2010 年开始环境基 理科数学试题 第 6 页 共 11 页 础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 99 17 5yt 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 因此利用模 型 得到的预测值更可靠 从计算结果看 相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元 由模型 得到 的预测值 226 1 亿元的增幅明显偏低 而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理 说明 利用模型 得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19 解 1 由题意得 1 0 F l 的方程为 1 0 yk xk 设 1221 AyxyxB 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24 0k xkxk 2 16160k 故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 1 1 x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k 解得1k 舍去 1k 因此 l 的方程为1yx 2 由 1 得 AB 的中点坐标为 3 2 所以 AB 的垂直平分线方程为2 3 yx 即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 xy 则 00 2 2 00 0 5 1 1 16 2 yx yx x 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y 因此所求圆的方程为 22 3 2 16xy 或 22 11 6 144xy 20 解 理科数学试题 第 7 页 共 11 页 1 因为4APCPAC O为AC的中点 所以OPAC 且2 3OP 连结OB 因为 2 2 ABBCAC 所以ABC 为等腰直角三角形 且OBAC 1 2 2 OBAC 由 222 OPOBPB 知POOB 由 OPOB OPAC 知PO 平面ABC 2 如图 以O为坐标原点 OB的方向为x轴正方向 建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 3 0 2 2 3 OBACPAP 取 平面PAC的法向量 2 0 0 OB 设 2 0 02 M aaa 则 4 0 AMaa 设平面PAM的法向量为 x y z n 由0 0APAM nn得 22 30 4 0 yz axa y 可取 3 4 3 aaa n 所以 222 2 3 4 cos 2 3 4 3 a OB aaa n 由已知得 3 cos 2 OB n 所以 222 2 3 4 3 2 2 3 4 3 a aaa 解得4a 舍去 4 3 a 所以 8 3 4 34 333 n 又 0 2 2 3 PC 所以 3 cos 4 PC n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 理科数学试题 第 8 页 共 11 页 21 解 1 当1a 时 1f x 等价于 2 1 e10 x x 设函数 2 1 e1 x g xx 则 22 21 e 1 e xx g xxxx 当1x 时 0g x 所以 g x在 0 单调递减 而 0 0g 故当0 x 时 0g x 即 1f x 2 设函数 2 1e x h xax f x在 0 只有一个零点当且仅当 h x在 0 只有一个零点 i 当0a 时 0h x h x没有零点 ii 当0a 时 2 e x h xax x 当 0 2 x 时 0h x 当 2 x 时 0h x 所以 h x在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 故 2 4 2 1 e a h 是 h x在 0 的最小值 理科数学试题 第 9 页 共 11 页 若 2 0h 即 2 e 4 a h x在 0 没有零点 若 2 0h 即 2 e 4 a h x在 0 只有一个零点 若 2 0h 即 2 e 4 a 由于 0 1h 所以 h x在 0 2 有一个零点 由 1 知 当0 x 时 2 exx 所以 333 4224 1616161 4 11110 e e 2 aa aaa ha aa 故 h x在 2 4 a有一个零点 因此 h x在 0 有两个零点 综上 f x在 0 只有一个零点时 2 e 4 a 22 解 1 曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0 时 l的直角坐标方程为tan2tanyx 当cos0 时 l的直角坐标方程为1x 2 将l的参数方程代入C的直角坐标方程 整理得关于t的方程 22 1 3cos 4 2cossin 80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点 1 2 在C内 所以 有两个解 设为 1 t 2 t 则 12 0tt 又由 得 12 2 4 2cossin 1 3cos tt 故2cossin0 于是直线l的斜率 tan2k 23 解 1 当1a 时 24 1 2 12 26 2 xx f xx xx 理科数学试题 第 10 页 共 11 页 可得 0f x 的解集为 23 xx 2 1f x 等价于 2 4xax 而 2 2 xaxa 且当2x 时等号成立 故 1f x 等价于 2 4a 由 2 4a 可得6a 或2a 所以a的取值范围是 6 2 21 12 分 已知函数 2 exf xax 1 若1a 证明 当0 x 时 1f x 2 若 f x在 0 只有一个零点 求a 解 1 e2 x fxx e2 x fx 当ln2x 时 0fx 当ln2x 时 0fx 所以 fx 在 ln2 单调递 减 在 ln2 单调递增 故 ln2 22ln20fxf f x在 单调递增 因为0 x 所以 0 1f xf 2 当0 x 时 设 2 e x g xa x 则 2 f xx g x f x在 0 只有一个零点 等价于 g x在 0 只