（基础数学专业论文）p反演半群上的强p同余及其格.pdf

p 一反演半群上的强p 一同余及其格 基础数学专业 研究生高增辉指导教师喻秉钧( 博士教授) 论文摘要：本文研究p 一反演半群上的强p - 同余及其格在第一章f i ，给出了p 一反演 半群和强p 一同余的定义以及强p 一同余格的最小元，举例说明了p 一反演半群是e 一反 演的一个特殊子类，并包含p 一正则半群和e 反演e 一半群；进而，揭示了p 一反演半 群和众所周知的正则- 半群之间的密切联系，给出了p 一反演半群上的任一同余为 强p 一同余的一个充要条件在第二章叫1 ，研究了强p - 同余格的子格，给出了特征 集p 上的强正规划分( 强正规等价关系) 的概念，证明了特征迹为强正规等价关系 的强p 一同余格是一个完备子格并且给出了特征核、特征迹的概念，证明了特征 核相等和特征迹相等的强p 一同余之集均为强p 一同余格的完备子格，进而讨论了 它们的性质在第三章中，刻画了p 一反演半群的强口核正规系，证明了p 一反演半 群s ( p ) 上的强弘同余之集与s ( 尸) 上的强p 一核正规系之集之间存在一个双射；进 而刻画了具有良关系的两个强_ p 一同余的联和交的强p - 核正规系，证明了p 一反演 半群上的强p 一同余格和强p 一核正规系格是完备格同构在第四章中、讨论了p 反 演半群的强p 一半格上的强p 一同余利用p 一反演半群上的强p 一同余对的结构研究 了p 一反演半群的强p 一半格上的强p 一同余对，并证明p 一反演半群强p 一半格上的 强p 一同余可以由构成该强p 一半格的p 一反演半群族的强p 一同余诱导而得到从而刻 画了其上的强p 一同余 关键词：p 一反演半群；强p 同余；正n * - 半群；强正规划分；特征迹关 系8 ；特征核关系k ；强p 一核正规系；完备格同构；强p 一半格；强p 一同余对 中图分类号：0 1 5 2 7 第i 页，共5 0 页 s t r o n gp c o n g r u e n c e so np i n v e r s i v e s e m i g r o u p sa n dt h el a t t i c e b a s i cm a t h e m a t i c s w r i t e r ：g a o z e n g h u is u p e r v i s o r ：y ub i n g j u n r e g u l a r * - s e m i g r o u p ； c h a r a c t e r i s t i ck e r n e l l a t t i c e i s o m o r p h i s m ； 戮 一一一一 引言 正则半群在整个半群代数理论中占有举足轻重的地位，也是受到广泛关 注和系统研究的半群类，因此半群理论中的一个基本的问题是如何利用非正 则元和正则元之间的联系来研究非正则半群的性质1 9 5 5 年，g t h i e r r i n 引入 了e 一反演半群的概念，该类半群是一个包含所有( 拟) 正则半群的很大的半群 类，1 9 6 7 年，m p e t n c h 初步研究了该类半群的一些性质1 9 8 5 年以来，e 反演 半群受到了半群界的广泛关注，t e h a l l $ i w d m u n n ，h m i t s c h 及多篇后续论 文系统研究了该类半群的诸多性质，如，自然偏序，群同余，次直积等近年来， b 反演半群又受到许多其他作者的注意和研究2 0 0 2 年，b w e i p o l t s h a m m e r 引 入了e 反演e 一半群的概念，即幂等元集构成一个子半群e 一反演半群称为e 一反 演e - 半群，并刻画了该类半群的最小群同余，半格同余，正则同余等2 0 0 4 年， 范兴奎等给出了e 反演半群的一个特殊子类一p 一反演半群的概念，并用 “核迹”方法刻画了p 一反演半群上的所谓强弘同余，证明了皿反演半群上的 强p 同余由其上的强p 一同余对惟一决定2 0 0 3 年，朱浸华在 4 0 1 中研究了纯正 半群上的强同余f 商半群为逆半群的同余) 及其格受文1 4 0 j 的启发，本文研究 了弘反演半群的强p 一同余及其格 我们知道，皿正则半群是在2 0 世纪8 0 年代末和9 0 年代受到广泛关注和系统 研究的一类半群，p 。反演半群作为e 反演半群的一个特殊子类，是p 一正则半 群的推广，而且是包含p 正则半群和b 反演b 半群的非正则半群类该类半群 中的任意元未必正则，但其弱p 一逆是正则元，而且任意元夹着其弱p 一逆相乘所 得元素也是正则元因此本文的关键就是通过建立p 反演半群中任意元和其 弱弘逆之问的联系来刻画_ p 一反演半群的强_ p 一同余及其格的性质在研究p 一反 演半群的强p 一同余的过程中，我们发现p 反演半群类和众所周知的正则- 半 群之间有着天然的联系，即口反演半群的商半群就是一个正则“半群，丽且以 该p 一反演半群的特征集所在的强p 同余类为投射元集，任意元素的弱p 一逆所在 的强p 一同余类包含于该元素所在强尹一同余类在此正贝l j - 半群中的逆元集之中 这为我们进一步研究p 一反演半群的性质提供了一个很有用的信息，也说明我们 第1 页，共5 3 页 s f 言 研究的强p 一同余是非常有意义的 对于p 一反演半群的研究，本文巧妙的运用了非正则元和正则元之间的联 系，从不同方面来具体研究p 一反演半群的强p 一同余及其格本文中给出了p 反 演半群的强尹一同余的另些刻画，即借鉴f 3 5 】_ 3 9 ) 的一些方法，分别利用特征 核和特征迹决定的等价关系以及特征集的强正规划分来刻画p 反演半群的 强p 一同余格的子格同时，我们也借鉴了正则半群的一些研究成果，特别地，把 研究正则一半群和p 一正则半群的些方法和结果推广到p 一反演半群上，即分别 用“强p 一核正规系”和“强p 一同余对”来研究_ p 一反演半群的强p 一同余及其格 和p 一反演半群的强口半格上的强p 一同余 第2 页，共5 3 页毕业论文 第一章预备知识 1 1 p 一反演半群及强p 同余的定义 1 9 5 5 年，g t h i e r r i n 1 弓j f l e - 反演半群( e - i n v e r s i v es e m i g r o u p s ) 的概念： 定义1 1 1 1 】半群s 称为e 一反演的，若( v a s ) ( j d s ) a a e ( s ) = z s l z 2 = z ) 不难证明，对e 反演半群s 中任意元o ，集合w ( a ) = s1d a a = a t ) d ，称为a 的弱逆元集易知，d 反演半群是一个包含所有( 拟) 正则半群的很大的 半群类1 9 6 7 年，m p e t r i c h 2 初步研究了该类半群的性质1 9 8 5 年以来，b 反演 半群受到了半群专家的广泛关注，t e h a j l 和w d m u n n 3 ，h m i t s c hf 4 1 及 多篇后续论文系统研究了该类半群的诸多性质，如，自然偏序，群同余，次直积 等( 见【5 卜 1 1 1 ) 近年来，e 一反演半群又受到许多其他作者的注意和研究2 0 0 2 年， b w e i p o l t s h a m m e rf 1 2 弓1 x 了e 一反演b 半群的概念，即幂等元集构成一个予 半群b 反演半群称为e 一反演b 半群，并在文献f 1 2 中刻画了该类半群的最小群 同余，半格同余，正则同余等，2 0 0 4 年，范兴奎等在 1 3 】中给出了b 反演半群的 一个特殊子类一p 一反演半群( p - i n v e r s i v es e m i g r o u p s ) ，其定义如下： 定义1 1 2 【1 3 称e 一反演半群s 是p 一反演的，若存在非空集p e ) 满足： ( 1 ) p 2 e ( s ) ；( 2 ) ( v p p ) p p p p ； ( 3 ) ( v a s ) w e ( a ) = 血+ w ( a ) f 尸1 a + u a - t - p 1 a j p ，0 ( p 1 = p u 1 ) ) 本定义中的尸称为_ p 反演半群s 的特征集；通常，我们用s ( p ) 表示s 是以p 为特 征集的p 反演半群定义1 1 2 ( 3 ) 0 0 的n + 称为a 5 的弱口逆，、庀口的所有弱p 逆 元之集) 9 w v ( a ) 易知，对任意p 一反演半群s ( p ) 和p p ，有p 肝( p ) 从定义可知，p 一正则半群类和弘反演b 半群类均是p 反演半群类的子类 下面的一个例子说明存在既不是弘正则半群又不是b 反演b 半群的p 反演半 群， 第3 页，共5 3 页 第一章预备知识 例1 1 1 设s = a ，b ，c ，d ，e ) ，在下面定义的乘法之下是一个半群 obcde o凸盘0dn 6obbbb cabbcb 矗8bbdb e0bcce 则s 是一个e 一反演半群，且f ( s ) = 吼b ，d ，e ) 取p = 。，6 ，毋，则 有w p ( a ) = n ) ，w p ( b ) = w p ( c ) = w p ( e ) = 口，6 ) ，w p ( d ) = a ，b ，d 且p 满 足定义1 1 ，2 之( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，故s ( p ) 是一个p 反演半群因为c 不是s 中的正则元， 且e d = c 隹e ( s ) ，所以s ( p ) 既不是p 一正则半群，又不是e ，反演e 一半群 下面的三个例子说明p 一反演半群的确是p 一正则半群的真推广 例1 ，1 2 设s = 口，b ，c ，d ，e ，9 ) ，在下面定义的乘法之下是一个半群 abcd eg e g aee g e bcdede e ， ce|ceee dededeee eeeeeeee | ceeee e ， g aeeeee g 则s 是一个e 一反演半群， t e ( s ) = ( c ，d ，e ，g ) i r p = c ，d ，e ，9 ) ，则 有w p ( a ) = e ，) ，w p ( b ) = 。，d ，e ) ，w p ( c ) = c ，e ) ，w e ( d ) = ( d ，e ) ，w p ( e ) = e ) ，w p ( f ) = 。，e ) ，w e ( g ) = e ，目) ，且p 满足定义1 1 2 之( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ， 故s ( p ) 是一个p 反演半群因为6 s 在s 中不是正则元，因而s ( p ) 不是p 正则半群 例1 1 3 设s = o ，b ，c ，d ，e ，g ， ) ，在下面定义的乘法之下是一个半群 a n h u i y h 1 6 3 c o r n 第4 页1 盐骝页毕业论文 第一章预备知识 abcde fg h 凸banaa口aa babbbbbbb c癌bbbbbbb dabbbbbbb ea66b6b66 s ab 6bbbbb g nbb6bbbb g abcde fg h 贝f j s 是一个e 反演半群，且e ( s ) = b ， ) 取p = b ， ) ，有w p ( a ) = n ) 1 肌( b ) = ( c ) = w p ( d ) = w p ( e ) = w 尸( ，) = w e ( g ) = 6 ) ，w p ( h ) = 6 ，危) ，且p 满足定义1 1 ，2 之( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 故s ( 尸) 是一个p 一反演半群 因 为 c ，d ，e ，g ) 在s 中不正则，所以s ( p ) 不是p 一正则半群 例1 1 4 设s = 弘，b ，c ，d ，e ，g ，砖，在下面定义的乘法之下是一个半群 abcd e ，g h onaanaaa ba6cee ，bh cacccccch dadeeeedh eaeeeeeeh l a slilf|h g a g ce e ，g h g ohaaaohn 则s 是一个e 反演半群，a e ( s ) = a ，b ，c ，e ， g ) 取p = a ，b ，c ，e ) ， 有w p ( a ) = w p ( f ) = w e ( h ) = f 。) ，w 名( 6 ) = ( 口，6 ，c ，e ) ，w p ( c ) = w p ( d ) = w p ( e ) = w p ( g ) = 血，c ，e ) 易知，p 满足定义1 1 2 之( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 因此s ( p ) 是 一个p 一反演半群注意到 d ， 不是s 中的t f 则元，a s ( p ) 不是p - 正则半群 a n h u i y h 1 6 3 c o r n 第5 页，共5 3 页 毕业论文 第一章预备知识 p 一反演半群s ( p ) 上的所有同余( 亦称为p 一同余) 之集记为c ( s ) 显然c ( s ) 在 包含关系之下是一个完备格文献【1 3 】用“核一迹同余对”：刻画了所谓强p 一同 余( s t r o n gp c o n g r u e n c e s ) ，其定义如下： 定义1 1 3 1 3 】s ( p ) 上的同余p 称为强p 同余，若它满足： ( 1 ) ( va ，b s ) apb = = = ( v a 十w p ( 凸) ) ( vb + w v ( 6 ) ) a + p 6 + ， ( 2 ) ( va s ) ( vo + w v ( n ) ) a p a a + a r s ( p ) 的所有强p 同余之集为c p ( s ) 不难验证，s ( p ) 上的泛同余u s = sxs c p ( s ) 2 0 0 4 年，范兴奎等【1 3 证明了p 反演半群s ( p ) 的强p 一同余之集与s f p ) 上 强p 同余对集之间存在双射为了刻画s ( 尸) 上强p - 同余的构造，f 1 3 1 6 1 迸了正 规等价关系，正规子集和强口同余对的概念如下： 定义1 1 4 1 3 1 p 上的等价关系p 称为p 的一个正规等价关系，若满足： ( 1 ) ( v q p ) ( v q 十w p ( q ) ) ( q ，q q + ) p ，( q ，q + q ) 户； ( 2 ) ( ，g 竹0 ，p = 亭( v a s ) ( 奇缸+ 蕾，p ( 口) ) ( 口+ p a ，a + q a ) p ，( c 妒o + ，a q a + ) p 2 。设k 是s ( p ) 的一个子集，k 称为正规子集，若满足： ( 1 ) p 。k ；( 2 ) ( v a s ) ( v a + w p ( o ) ) n + k a u a k a + ； ( 3 ) ( a k 辛阶( 。) ) 3 设p 是p 上的正规等价关系，k 是s ( p ) 的正规子集，对子( p tk ) 称为s ( p ) 的 强p 一同余对，若满足： ( s 1 ) ( v a ，b s ( p ) ) ( j qp , q +w k q ) ，a + u ，j ( o ) ，a q + q b ，( 旷口。a + a ) p 辛0 6 k ) ； ( s 2 ) ( v a ，b k ) ( 3 p ，q p ：a + w p ( a ) ，b + w ，p ( 6 ) ，q p p 1 ( a + a ，q ) p ，( b + b ，p ) p 辛0 6 ) ； ( 岛) ( v p l ，p 2 p ) ( ( p l ，p 2 ) p ，a p l k ，p l a k ，辛a p 2 k ，p 2 aek ) ； ( & ) ( v a s ( 尸) ) ( 3 a + w p ( a ) ，p p j p a k ，( p ，a a + ) p 兮aek ) ； ( ) a k = 争( a a + ，a + a ) p ，v a + 阱( n ) 下面给出s ( p ) 的强p 一同余之集与s ( p ) 上强口同余对集之间存在双射： a n h u i y h 1 6 3 c o r n 第6 页，共5 3 页毕业论文 第一章预备知识 定理1 1 1 1 3 】记s ( j p ) 上的所有强p 一同余对之集为r d ( s ) ，则p 一 ( 矗r 卢，c k e r p ) 是c p ( s ) 到兄尸( s ) 上的双射，且其逆映射为( lk ) - 一p ( 。k ) ，其 中p ( ，k ) 定义如下： 即，矿m ，啦：u 。十霪焉羔譬琶震二j 裂k 卜 在此基础上我们进一步证明上述映射实为格同构 推论1 11 在r p ( s ) 上定义关系为：( n ，k i ) ( 7 - 2 ，k 2 ) t 1 恐，l k 2 ，则( 兄p ( s ) ，) 构成一个格，且c p ( s ) 和r p ( s ) 是格同构 证明易知，冗p ( s ) 在关系之下为格由引理3 2 3 知，只须证：映射p 一 ( c t r p ，c k e r p ) $ 1 ( t ，k ) - 一p ( ，) 分别是从c p ( s ) 到r 尸( s ) 上和反过来的保序映 射 设p 1 ，p 2 c p ( s ) ，p l p 2 对任意p ，q p ，我们有( p ，口) c t r p l = p 1n ( p p ) p 2n ( p _ p ) = c t r p 2 ，故c t r p l c t r p 2 设a c k e r p l ，则3 p p ， 使得a ，p ) p l p 2 ，故a c k e r p 2 ，即c k e r p l c k e r p 2 设( n ，硒) ，鲍) 为s ( p ) 上的强p 一同余对，且( 丁1 ，k 1 )茎( 他，鲍) 设( n ，b ) p ( n ，| f 。) ，由p ( 丁1 k 。) 的定义知，9 a + w p ( 。) ，b + ( 6 ) ，使 得( n + a ，b + b ) n ，( a a + ，b b + ) t 1 且。6 + ，a + b k i ，由( 丁1 ，k 1 ) s ( n ，恐) 铮 7 1 曼砘，k l k j 知，如+ o ，b + b ) 见，( a a + ，b b + ) 琵，曲+ ，a + b 矗j ，因 而( o ，b ) 户( q ，耳：) ，故得户( q ，。) 卢( n 耳：) 这就完成了证明 我们在本节以下部分列出本文需用的一些基本概念及相关结论，其中 的s ( p ) 表示s 是p 一反演半群，以p 为其特征集，a ，6 等是s ( p ) 的元素不再赘述 引理1 1 1 【1 4 】一个偏序集具有最大元且每个非空子集都有最大下界，则 该偏序集构成一个完备格 命题1 1 1 对任一p 一反演半群s ( p ) ，o ( s ) 是c ( s ) 的个完备子格 证明显然，u s 是c p ( s ) 的最大元，故只须证明昂( s ) 中任意非空子集 在c ( s y p 的下确界仍在c p ( s ) 中事实上，设0 胁i i j ) c p ( s ) ， a n h u i y h 1 6 3 c o i n 第7 页，共5 3 页 毕业论文 第一章预备知识 我们知道，该集在c ( s ) 中的下确界为a 坨1 p i = n 埏i p 。对任意。，b s ，( a ，b ) n , - p c ，则( ，b ) p l ，v i ，由于n 是强p 一同余，对所有o + 1 ( n ) ，b + i ，p ( 6 ) ，有( o + ，矿) p f i i ( a ，a a + a ) 胁，v i ，；从而( o + ，b + ) n 。i p i l i ( a ，o n + a ) n 1 p i 由定义，此即n j m 是强p - 同余 命题1 1 2 设s ( p ) 是p 一反演半群，我们有以下结论： 1 【1 3 】( i ) 对任意p c ( s ) ，下述二命题等价： ( 1 1 ) ( va ，b s ( 尸) ) 。pb = = ：争( v a 十w p ( o ) ) ( vb + w p ( 6 ) ) 口+ p6 + ； ( 1 2 ) ( va s ( p ) ) ( v p p ) pp 口 ( va + w p ( 凸) ) pp a + ( i i ) 对任意a ，6 s ( p ) ，a + w p ( n ) ，b + w p ( 6 ) ，有b + a + w p ( 口b ) ( i i i ) 对任意o s ( p ) ，a + w p ( o ) ，有 z a + o w p ( 矿) 2 ，对任意a s ( p ) ，a 十w p ( n ) ，。w ( o ) ，有a a a + n 彤p ( 0 7 0 ) ，a a + a a 7 w pa a ，) 证明( 1 ) 详见 1 3 】，略 ( 2 ) 设a + w p ( o ) ，a i ( o ) ，由n a a + a = a a - a + a e ( s ) 失，8 a a 十a a 7 a a 7 a a + a = a c t a + a a a a 7 a a + o = ( a t a a + o ) ( o a a + a ) = 口a a + a ，此甚p a a a + a w ( a l a ) 又由0 7 a o , + o p l a n = a 7 n n + p 1 a ) a a 7 n 口( n + p a ) a 7 a a i ( a p a ) a o p 口p ，同理凸7 p 1 a a a + a cp 故盘7 a c t + 。p 1 。ua j a p l a 7 a c t + a p ，从 而a a a + a ( 7 0 ) ，同理可得，a a + a a 7 w p ( 口o ，) 下面我们给出完备格d r ( s ) 上的最小元： 命题1 1 3 在s ( p ) 上定义二元关系兄如下 r = ( 。，a ( t 。) ，( a 7 ，8 + ) a s ，a 7 l 作( 8 ) ，j q + w p ( 8 ) 则兄生成的同余剐是s ( p ) 上最小的强p 一同余， 证明我们首先i i n r t 是s ( j d ) 上的强p 一同余 设( 。，y ) 尉，则或者。= ，或者存在礼n ，使得 z = 徇 z l 叫z 2 一叫z n = y a n h u i y h 1 6 3 c o m 第8 页，共5 3 页毕业论文 第一章预备知识 其中，_ 表示初等r - 迁移，蕾一l = u s v ，= u t v ( u ， s 1 ，i = 1 ，2 ，n ) ， g ( s ，t ) 冗u 兄 设( s ，t ) r ，“+ w p ( u ) ，口+ w v ( 甜) 若( s ，t ) = ( a ，a a 7 口) ，即s = a ，t = a a 7 a 则我彳 有a 7 w p ( a ) = w p ( s ) 且a 7 w p ( a a 7 a ) = w ，p ( 由 命题1 1 2 知，v + a 7 u + w v ( u s 廿) = 1 4 ，p ( 一1 ) ， + a 札十w p ( u t v ) = w p ( 盏) 取莅：= 才= v + a 包+ ，显然有( 莅。，才) 剜若( s ，t ) = ( a ，口+ ) ，即s = a 7 ，t = o 十贝o o a w p ( n ) = = w p ( s ) ，a a + a e w p ( o + ) ：= w p ( t ) ， 注意 n ( a 7 ，a + ) 兄n ，因而( a a a ，a c t + d ) r 口令二i = 口+ a a a u + w p ( 施一1 ) ，对= v + a a + a u + w p ( z i ) 从而( 砬1 ，2 ，) 剧同理可得，( s ，t ) r 一1 也有上面的结 果对任意z ：一l w p ( z i 一1 ) ，w p ( a ) ，存在礞一1 w p ( 盈一1 ) ，芍w p 慨) ，使 得爿一。剜z 。剜砬1 ，2 副茁剜。产即有( z 三。，z ；一，) 剜，( z ，z ：) r u 故 有( 。，) er d 从而，任意z 阱( 。) ，y ( ) ，有( z 7 ，y ) 剐显然，任 意z 7 昨( z ) ，有( z ，z o z ) 剜故尉是s ( j d ) 上的强p 一同余 设p 是s ( p ) 上的任一强p 一同余则任意。s ( p ) ，a 7 w p ( g ) ，有( o ，a a a ) p 如果a 十( 。) ，显然有a + ，a 7 ) n 于是冠p 从而兄4 至p 故剖是s ( p ) 上 的最小强p 一同余 1 2 强p 一同余和正则一半群 本节，揭示了弘反演半群和众所周知的正则- 半群之间的天然联系，给出 了p 一反演半群上的任一同余为强p 一同余的一个充要条件 定义l ，2 1l ，f 1 5 1 称半群s 为正则青- 半群，若在s 上有一元运算，满足： v z ，y s ， ( 1 ) ( z + ) + = z ；( 2 ) ( z 3 ，) + = f x + ； 和 ( 3 ) z x 。= z 2 1 6 l 正则* 一半群s 的幂等元p 称为投射元，若矿= p s 的所有投射元之集 记为p 旧) 3 1 7 】正则一半群s 上同余p 称为- 同余，若( o ，b ) p 蕴含( 。，b 。) p 引理1 ，2 1 1 f 15 】对正n * - 半群s 的任意二元a ，b ，则有 ( a ，b ) “错a a + = b b * ，a * a = b * b a n h u i y h 1 6 3 c o m 第9 页，共弱页 毕业论文 第一章预备知识 2 【1 7 】设s 正则一半群，定义 肛s = ( o ，b ) s xs i ( v e 尸( s ) ) o + e a = b * e b ，a e a + = b e b * 则p s 是s 上最大的投射元分离如同余 定义1 2 2 设s ( 尸) 是一个正则- 半群( p 一反演半群) ，p 是s ( p ) 上的同余： 若口s ，e 只( a ，e ) p 蕴涵o p ，则称p 是s ( p ) 上的投射元( p 一幂等元) 纯同 余 下面我们给出p 一反演半群上的任一同余为强p 一同余的一个充要条件 定理1 2 1 1 2 一反演半群s ( p ) 的同余p 为强p 同余的充要条件是s i p 是一个 正则_ 半群，以p 卢= ( c k e r p ) p 为其投射元集且对任意a s ，w p ( 沁v ( a p ) 证明必要性设p 是s 上强p ，同余在s p 上定义为：v a s ，( n p ) t = a + p ，a + w p ( a ) 若有b s 使得a p = b p ，由p 是s ( 尸) 的强弘同余知， v a + w p ( o ) ，b 十，( b ) 有( 血+ ，b + ) ep ，( a ，a a 十a ) ep ，故n + p = b + p ，a p = ( a a + a ) p = a p a + p a p ，这不但证明了是s 上一元运算，且得到满足定义1 2 i 条 件( 3 ) ；对任意a ，b s ，由命题1 1 t 0 ，我们有( 0 6 ) 矿= ( a b ) + p = ( b + a + ) p = ( 6 + p ) + p ) = ( 桫) ( 口矿) ，故定义1 2 i 的条件( 2 ) 成立i 由命题1 1 。1 0 知，a a + a w pa + ) ，故( ( o p ) + ) + = ( 矿p ) = ( a a + a ) p = a p 故条件( 1 ) 也成立这证明 了s i p 在运算下是一个正则- 半群 进而，对任意a p p p ，有p p ) a p = p p 由 w p ( p ) 知( n p ) + = 0 巾) + = p p = a p ，故p p 中每个元都是投射元；反之，设a p 是投射元，任取a + w j ( o ) ， 目, u a p = ( n p ) + = a + p ，由此及o p 是幂等元得a p = ( a p ) 2 = ( a p ) ( a + p ) = ( a a + ) 户 p p 最后易验w p ( o ) p y ( o p ) 充分性设s p 是满足命题条件的正贝忙半群，我们先证：v a s ( a p ) 。= 矿p ，v a + w p ( a ) 事实上，由o + p ，( a p ) + v ( a p ) ，有 ( a p ) + ca p ( a p ) + 冗o p 冗a p a + p ，a + p c a p a + p 冗a p 冗a p ( a p ) + 故由m i l l e r - c l i f f o r d 定理和p p 是投射元集，有 ( a p ) = ( a p a + p a p ) + = ( 口p ) ( c 妒。+ p ) = ( a p ) ( a p a + p ) a p a + pca + p ； ( a p ) 。= ( a p a + p a p ) + = ( n + p a p ) ( o p ) + = o + p ( a p ( a p ) + ) 7 己o + p ； 第1 0 页，共5 3 页毕业论文 第一章预备知识 于是o + p7 - 1 ( n j 。) + 但同一个州一类不能有o p 的两个不同的逆，故( 叩) + = a + p 现在，若a p = b p ，则对任意a + w p ( a ) ，b + w p ( b ) ，由上述证明有a + p = ( a p ) = ( b p ) + = b + p ，这证明了( a + ，b + ) p ，v a + ，p ( o ) ，b + w p ( b ) 由( 盘) p y ( o p ) 显然有( o ，a a + a ) p ，v a + w p ( a ) 这就证明了p 是s 上 的强弘同佘 注1 2 1 对s ( p ) 上给定的同余p ，仅有商s p 为丁f 则一半群不足以保证p 是 强p 一同余例如，设a = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，s 丁( a ) 是由 n = ( 2 1 3 4 ) ，6 = ( 2 1 3 3 ) ，c 一 ( 2 1 1 1 ) ) 生成的子半群( 我们用( u u z 可) 表示变换。：f 1234 1 ) ：易知，s ： 让削。可 e ，g ，h ，a ，b ，c ，d ) 是有p = e ( s ) = e ，g ， 的_ p - 正则半群( 纯正半群) ，其中， e = ( 1 2 3 4 ) ，= ( 1 2 3 3 ) ，g = ( 1 2 2 2 ) ，h = ( 1 2 1 1 ) ，d = ( 2 1 2 2 ) 记p = l s u ( a ，6 ) ，( e ，) ) ，易验p 是s 上同余，彤p 同构于t = e ，9 7 ，h 7 ，a 7 ，c ，d ，) 7 - ( i ，2 ，3 ) ) ，其中，e = ( 1 2 3 ) ，g = ( 1 2 2 ) ，h = ( 1 2 1 ) ，a 7 = ( 2 1 3 ) ，c 7 = ( 2 1 1 ) ，d i = ( 2 1 2 ) t 可以视为有下述运算的正则- 半群： e 一e 。h “= g | 、g | ”一h l 。a ：= a 1 c ”一d d “= c ， 不难验证：c ，d i ( n ) 而( c ，d ) gp ，故p 不是强p 一同余 a n h u i y h 1 6 3 c o r n 第1 1 页，共5 3 页毕业论文 第二章p 一反演半群上的强p 一同余格的子格 本章研究s ( p ) 上的强p 一同余格的子格，给出特征集p h 的强正规划分( 强 正规等价关系) 的概念，证明了特征迹为强正规等价关系的强p 一同余格是一个 完备子格，并且证明了特征核相等和特征迹相等的强p 一同余之集均为强p 同余 格的完备子格，进而，讨论了它们的一些性质 2 1 强弘同余和p 的强正规划分 1 9 7 8 年，p g t r o t t e r 18 研究了正则半群的幂等元集的正规划分1 9 9 5 年， 郑恒武 1 9 1 研究了p 一正则半群特征集p 的正规划分本节用强正规划分( 强正 规等价关系) 来刻画s ( p ) 上强p _ 同余的构造，给出特征迹为强证规等价关系的 强弘同余之集的最大元的结构，并证明该类强p - 同余构成一个完备格 定义2 1 1p 的一个划分n = f r ：口) 称为一个强正规划分，若满足 ( n 1 ) ( 地i ) ( v q p ) q 尸q 辛w p ( q ) qu q w p ( q ) cp 0 ； ( n 2 ) ( 饱联忱s ) ( 筇，7 i ) w p ( b ) r o u w p ( a ) p a a w p ( a ) a 垦场a p a w p ( a ) ua w p ( 。) n 只w p ( a ) b ( 3 ) c a l ，0 2 ，o t ，i ，若尸n 只，r 。昂，0 ，则3 卢i ，使得pn 只，r ，昂 强正规划分诱导的尸上的等价关系”称为p 的一个强正规等价关系， 记p 的所有强正规等价关系之集为s a i e q ( p ) ，且z7 r y = 辛j q ，。，y r 命题2 1 1 设s ( 尸) 是p 一反演半群，我们有 ( 1 ) 尸上任一等价关系r t s 胞口( p ) 的充要条件是 ( 1 ) p p = ( p ，p 矿) ，咖+ ，p ) f ，v p + w p ( p ) ； ( i i ) ( p ，q ) 丁= ( 。+ p o ，a - i - 叮o ) ，( 。+ p a a + a ，血+ q a a + a ) _ r 且( 口p o + ，a q a + ) ， ( a a + a p a ，a a + a q a ) _ r ，v a s ，a + w ，p ( o ) ； ( 1 i i ) 若有肼p ，i = 1 ，r 满2 = p l p 2 肼= p p ，贝u v q p ( p i ，q i ) r 第1 2 页、共5 3 页 第二章p 一反演半群上的强p 垌余格的子格 只要口= g l q 2 靠p ，就有( p ，q ) 7 _ ( 2 ) s n g q ( p ) 在包含关系下是一个完备格 ( 3 ) v p c p ( s ) ，c t r p 8 a f c q ( p ) ， 证明( 1 ) 必要性若7 _ s n g q ( p ) ，记m = p 0 f a ，= 尸7 _ ， 则丁是尸的一个强正规划分由强正规等价关系的定义知，( p ，q ) r 甘 j d f ，p ，q 昂又由定义2 1 1 ，易知( i ) ，( i i ) 年l l ( i i i ) 成立， 充分性设7 - 是p 上的一个等价关系，且满足( i ) ，( i i ) 和( i i i ) ，则r 诱导一个p 上 的划分，记m = 只f qi f _ i = p r ) 对任意的p p ，则 o i ，p r 由( i ) 知， 对任意旷w p ( p ) ，p p + 和p 十p 都与p 在同一个子块中，即w p ( q ) q u q w e ( q ) r 故定义2 1 1 之( 1 ) 成立；对任意p p ，则了口i ，p r 设( p ，q ) 7 _ ， 贝0 q f ：对任j 蘸a + w p ( o ) ，由o + p a ，a p a + 尸知，j 卢，7 1 ，使得a + p a 昂，a p a + 只p a ( i i ) j 1 1 ，a - i - q a 和a + p a 在同一个子块中，0 + q a a + a l f n a + p a 也在同 一个子块中，故得( n ) p 口nu - ( o ) p o 口w p ( 口) n p z 同理可得，a p , ，w p ( a ) u a w p ( d ) n r w p ( a ) 至b ，故定义2 1 1 之( 2 ) 成立；若有p p ) i = 1 ，2 ，r 满 足p l p 2 p ，= p p ，n 3 a i ，p 只对任意q 尸1 慨，7 _ ，即孤和啦在 同一个子块中由( i i i ) 知，只要q = q l q 2 靠p ，就有p 和g 在同一个子块中，即 有q 只故条件( 3 ) 也成立这就证明了7 - 是p 的一个强正规等价关系 ( 2 ) 显然，p 上的泛关系u p = p p 是8 a g q ( p ) q 6 的最大元由引理1 1 1 可 知，我们只须证明趴偌g ( p ) 的任一非空子集的下确界仍在。趴偿q ( p ) 中 事实上，设0 n 陌n s a g q ( p ) ，对任意q 只q + w p ( q ) ， 由n s a g q ( p ) 知，( 口，q q + ) n ，( q ，q + q ) t ，v i ，从而( q ，q q + ) n i e l n ，( q ，q + q ) n 倒兀，故n j 满足条件( i ) ；设p ，q 只( p ，q ) ，v i ， 由t s a f g q ( p ) 知，v a s ，a + u ，p ( o ) ，( o + p 盘，口+ q a ) n ，( a p a + ，a q a + ) t ，且( o + p n ，。+ q a a 十a ) n ，( a p a + ，a a + a q a + ) n 因止匕， ( a + p 。，口+ q a ) n l t q ，( a p a + ，a q a + ) n i ，n ，且( 。+ p n ，o + q a a 十a ) n e ，兀，( a p a + ，a a + a q a + ) n 洲t ，故n 拒n 满足条件( i i ) ；由t 8 a f g q ( p ) ，v i ，知，若p i p i = 1 ，r 满足p l p 2 肼= p p ，则均 p 1 ( p 。，吼) n ；，n ，只要口= q 1 啦q r p ，就有( p ，口) n i e l n ，故n ，n 满足条件( i i i ) 因此n i e i l s a f s q ( p ) a n h u i y h 1 6 3 c o i l l 第1 3 页，共驺页毕业论文 第二章p 反演半群上的强p 垌余格的子格 ( 3 ) 对，d c 1 s ) ，记他帅= rj o ，) ，则有v p ，g 只。口，g ) p 甘| 口i ，p ，q r 对任意q p ，显然( q ，q ) p 由p c 尸( s ) ，q w p ( g ) 知，v q + w ( q ) ，有( g ，q + ) p 于是( g ，q q + ) p ，从而g ，p ( g ) r 同理( 口) g p o ，故有w p ( q ) quq w p ( q ) p q ；设p p q ，任意的a s ，a + w p ( n ) ，则| 卢i ，o + p a 昂对任意q p 0 ，则有。，q ) p 于 是( o + p 。，n + q a ) p ，即有a + q a 昂，从而i ( b ) p o a 昂又由p c p ( s ) ， 则有( o ，a a + a ) p 于