三角形共轭中线的性质及应用.pdf

1 f 1等 数 学 三 角 形 共 轭中 线 的 性 质 及 应 用 沈文选 湖南师范大学数学奥林匹克研究所 4 1 0 0 8 1 中图分 类号 O 1 2 3 1 文献标识码 A 文章 编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 2 0 0 0 2 0 8 本讲适合 高 中 1 知 识介绍 定义 1 三角形的一个顶点与对边 中点 的连线称为三角形的中线 这条中线关于这 个顶角的平分线对称的直线称为三角形的共 轭中线 或陪位中线 显然 直角三角形斜边上的高线就是斜 边上的共轭中线 为了讨论 问题的方便 将三角形边的中 点视为边的内中点 则三角形的中线可称为 三角形的内中线 其共轭 中线称为 内共轭中 线 三角形的三条内共轭 中线 的交点称为内 共轭重心 或共轭重心 这可由性质 1 1 及 塞瓦定理的逆定理推证 无穷远点可看作线段的外中点 定义2 过三角形的一个顶点且平行于 对边的直线称为三角形的外 中线 任两条外 中线的交点称为三角形的旁重心 显然 三角形的一个顶点处的外中线 内 中线 两条边组成调和线束 且过此顶点的圆 截这四条射线的交点组成调和四边形的四个 顶点 定义3 三角形的外 中线在这个顶点处 关于顶角平分线对称的直线称为三角形的外 共轭中线 任两条外共轭中线 的交点称为旁 共轭重心 收稿 日期 2 0 1 5 1 1 0 4 显然 三角形的外共轭中线就是在三角 形顶点处的外接圆的切线 如图 1 设 M为 A B C的边 B C的中点 A T为 B A C的平分线 记 A B C的外接 圆 为圆 图 1 若 A D关于 A T与 A M 对称 则 A D为 内 共轭中线 若 A N B C 与圆 交于点 N 则 4 为 A B C的外中线 若 A E关于 A T 与 A N对称 则A E为外共 轭 中线 注意到 B A M C A D 则 B A N C A E C AE ABC A E为 圆 的切线 反之 若 A E为圆 厂 的切线 则 A E关于 B A C的平分线 A T对称的直线为外中线 4 图 1中的 A N A M A B A C为调和线束 若 A M 与圆 厂交于点 L 则四边形 N B L C为调 和四边形 图 1中的点 G c K 分别为 A B C 的一个旁重心 旁共轭重心 2 0 1 6年第 2期 3 三角形 内 外共轭中线有如下性质 性质 1 在 A B C中 点 D在边 B C上 点 E在边 B C的延长线上 则 1 A D为 A B C的内共轭中线的充分 必 要 条 件 为 筹 B D 2 A E为 A B C的外共轭 中线的充分 必 要 条 件 为 筹 BE 证明 1 如图2 设 M 为边 C的中点 R I 图 2 则 B M MC 过 A M D三点的圆与 A B交于点 B 与 A C交于点 C 故 A D为A A B C的内共轭中线 铮 BAM C AD 铮B1 M DC1 B 1 C 1 B C铮 AB BB AB BM BD BD 甘 A C2 CC 1 AC C M CD 2 如图3 作 A B C的外中线 A 与圆 交于点 r 图 3 则 N A B A B C 故 A E为 A B C的外共轭中线 铮 NAT T AE 甘 NAB C AE 甘 C B A C A E甘 B A E A C E B A AE BE AB2 AE BE BE 铮 一 一甘 A C2 CE AEC C E AE CE AE 一EC A 推论 1 三角形的一个顶点处的内共轭 中线 外共轭中线 两条边组成调和线束 且 过此顶点的圆截这四条射线的交点组成调和 四边形的四个顶点 事 实 上 女 口 图 3 由 筹 知 B C E为调和点列 即 A D A E A B A C为 调和线束 若过顶点 A的圆与A D A E A C 分别交于点 D E C 则 四边形 B D C E 为调和四边形 显然 在图 3中 E为边 B C延长线上一 点 A E为 A B C的外共轭 中线 的充分必要 条件为 A E E B E C 性质 2 在锐角 A B C中 点 D在边 B C 内 为顶点 A所对应的旁共轭重心 即点 B c处切线的交点 则 A D为 A B C的内共 轭中线的充分必要条件为 A 三点共线 证 明充分 性 如图4 当 A D 三点共线时 设直线 A D与圆 厂交于点 联结 B X X C 幽 4 由 C X K a A C BX B C C X AB KA A K A AC A B C X A C B X 设 为 B C的中点 联结A 4 中 等 数 学 在四边形 A B X C中 应用托勒密定理有 AB C C BX BC A X 2 AB C X 2BM A X AB A X 一 BM xC 注意到 A B M A B C A X C 故 A B M A X C XAC 从而 A D为锐角 A B C的内共轭中线 必要 性 如图4 当A D为锐角 A B C的内共轭中 线 即 为边 B C的中点时 B A M C A D 设 A D与圆 交于点 联结 B X X C 由 A B M A X C A B X A MC AB XC AX BM AC B X AX MC 注意到 B M MC 则 A B 设过点 JE 的圆 厂 的切线 与 交于点 E 过点 C的圆 的切线与 交于点 由性质 1 2 有 B A AE1 C A AE2 BXz E X C X2一 X 此时注意到式 有 AE1 AE2 AX A X E x E X E1 X E X 从而 与 重合于点 故 A D 三点共线 注 当A D 三点共线时 由式 及 性质 1 1 知 D X也为钝角 B X C的内共轭 中线 由式 即知四边形 A B X C为调和四边形 因而 可推证出如下结论 推论 2 圆内接四边形为调和四边形的 充分必要条件是其一条对角线为另一条对角 线分该 四边形所成三角形的内共轭中线 由性质 2 即有如下结论 推论 3 三角形的任意两条外共轭中线 与第三条 内共轭 中线交 于一点 旁 共轭 重 心 特别地 直角三角形 的直角顶点对应 的 旁共轭重心为无穷远点 性质 3 在 A B C中 点 E在边 B C的延 长线上 过点 E作 A B C外接圆的切线 切点 为 与 B C交于点 则 为 A B C的 外共轭中线的充分必要条件是 A D为其 内共 轭中线 事实上 由推论 1及调和线束的特性 即 可得上述结论 这里再给出一种证法 证 明 如 图 5 图 5 充 分 性 当A D为 A B C的内共轭中线 时 由性 质 2的必要性证明中的式 有 A B B X 又由性质 1 1 对 B c有 由性质 l 2 对 B X C 南 X E为其 外 共轭中线 i B c X2 B E 故 A 2 BX2 BE 再运用性质 1 2 对 A B C 知A E为其 外共轭 中线 必要性 当A E为 A B C的外共轭中线时 A B2 一丝 AC 一EC 注意到 X E为 B X C的外共轭中线 则 B X 2 B E 故A B B X 2 0 1 6年第 2期 5 l I BD 鲋AB BX AB 从 m A C C X 因此 A D为 A B C的内共轭中线 注 在图5中 为 A B C的内共轭 中线 的充分必要条件是点 A 处 的切线 的 交点 E与 B c三点共线 由性质 2 知 B C为 A B X的内共轭 中线的充分必要条件也是 B C E三点共线 由此 又推证了推论 2 性质 4 在 A B C中 点 D在边 B C上 D E f f B A 与 A C E 悻 D F f C A 与 A B交于点 F 则 A D为 A B C的内共轭中线 的充分必要条件是 B C E F四点共圆 证 明 如 图 6 由D E B A D F C A DE AB C D 怛 F D AC BD 由件 质 1 f 1 知 图6 A D为 A B C的内共 轭中线 甘 筹 甘 B 2 A C 2 B D m A B 2 丽C D A C 2 A C 2 甘 AB AC AC AB AF AC AE B C E F四点共圆 推论 4 在直角三角形 中 斜边上高线 垂足在两直角边上的射影 斜边两端点这 四 点共圆 性质5 在锐角 A B C中 点 D在边 B C 上 过 B两点且与 A C切于点 的o 0 与 过 C两点且与A B切于点 的630 的公共 弦为 A Q 则 A D为 A B C的内共轭中线的充 分必要条件是 A D与 A Q重合 或 A Q D三 点共线 证明如图 7 作 A B C的外接圆 图 7 充分性 当直线 A D与 A Q重合时 设此重合的直 线与 A B C的外接圆交于点 S 联结 B S C S B Q c q 则由题设知 A B Q C A Q C B S B C S B A Q A C Q j A B Q C A Q C B S 一 一 一 CS一 BS CB CS AC 一 肋 一 s 一 堂 A B 2 一 DC 一 s c s AC C S AC 由性质 1 2 知 A D为 A B C的内共轭 中线 必要性 当 A D为 A B C的内共轭 中线时 由性 质 2 知在 A B C的外接 圆中 C两点处的 切线的交点 在直线 A D上 设直线 B与oD 交于点 直线 A D与 O0 交于另一点 Q 联结 B Q Q C A 则 B Q K A B T A B A C B C K A 即知 B C Q 四点共圆 注意到 B C 则 B Q K A c O B Q A A Q c 又由 A B Q c a q 知 B A Q A C Q 于是 由弦切角定理 的逆定理 知过点 A Q C的圆与 A B切于点 A 此圆即为OD 从而 点 Q 与 Q重合 故oD 与oD 的公共弦 A Q与直线 A D 6 中 等 数 学 重合 对性质 5 钝角三角形也有上述结论 证 明留给读者 又由性质 5 可得 推论 5 在 k A B C中 点 D在边 B C上 点 Q在线段 A D上 则 A D为 A B C的内共 轭中线的充分必要条件是 8 Q A A Q C 且 A B Q C A Q 性质 6 在 A B C中 点 D在边 B C上 在A B A C上分别取点 E F 使 B C 令 B F与 C E交于点 P 记完全 四边形 A E B P C F 的密克点为 M 则 A D为 A B C的内共轭中 线的充分必要条件是 D 三点共线 或 直线 A D与 A M重合 证明注意到 完全四边形密克点的性 质 密克点与完全 四边形中每类 四边形的一 组对边组成相似三角形 如 图 8 知 图 8 则 ME A k MB E MF C 由 B 四点共圆知 B AM BFM EA M PF M 由 E c四点共圆知 AEM 1 8 0 一 MCF FPM 故 ME A MP F 类似地 由 EBM C FM BEM FC M MB E MF C 于是 由这两对相似三角形有 A E 一 丝 一 FP MP FC MC A E F P 船 由 E F B C 知四边形 B C F E为梯形 故直线 P分别过 E F B C的中点 从而 直线 A P为 A B C的边 B C上的内 中线所在直线 此时 还有 将结论 代人上式得 MC FP AF C M AF 一 一 MP FC FC MP FP 由 P M C F四点共圆知 C MP A 则 C MP j C Jp P A D为 kA B C的内共轭中线 甘 B AP CAD MCP MAE 甘 A D与A M重合 或4 D 三点共线 注 性质6给出的完全四边形 A E B P C F 有条件两条对角线平行 即 F B C 其实 对于一般的完全 四边形 A E B P C F 若设 M 为 其密克点 则 事实上 B AM C AP 注 意到 C MP A F P C MP A F P 岱 磐 A F 甘 A 葡 F甘 E F 胞 如图8 若直线 A P与 A B F的外接圆交 2 0 1 6年第 2期 7 于点 与 A E C的外接圆交于点 则 N M B F B F M与A F M N互补 或相等 A B A M F A N E F f B C L M E C E C M与A C ML 互补 或相等 A E A M A C A P E F B C 推论 6 在 A B C中 点 E F分别在边 A B A C上 B F与 C E交于点P 设完全四边形 A E B P C F的密克点 为 直线 A P与 A B F 的外接 圆 A E C的外接圆分别交于点 则A M所在直线为 A B C的内共轭中线所 在直线的充分必要条件是下述三条件之一 1 E F B C 2 N M B F 3 L M E C 2 例题选讲 例 1 已知A A P B内有一内切圆与边切 于点 A B P C D为任一割线 与圆交于 C D两 点 点 Q在 C D上 且 Q A D P B C 证明 A P A C Q B D 2 0 0 3 全国高中数学联合竞赛 证明如图 9 联结 A B P 图 9 D 由性质 3 知 A B为 A C D的内共轭中线 由A Q A D P B C A C A B 知 Q为 C D 的中点 于是 对 B C D有 A Q B D C B A P A C 其中 注意到 A B也为 B C D的内共轭中线 例 2 已知 P Q分别 为圆内接 四边形 A B C D的对角线 A C B D的中点 若A B P A D P A 证 明 A Q B C Q B 2 0 1 1 全国高中数学联合竞赛 证明如图 1 O 延长 与圆交于点 图 l 0 则A C P F D P A A B P A 注意到 P为 A C的中点 由圆的对称性知A B F C B F A C 联结 A F F C 则 F B F D分别为 A F C的外 内中线 从而 F B F D F A F C为调和线束 因此 四边形 A B C D为调和 四边形 由推论 2 知 A C为 B C D 或 A B D 的内共轭 中线 此时 又 由性质 3 知点 A c 处的圆的切线交点 E在直线 D B上 设 四边形 A B C D的外接圆圆心为 0 注意到 Q为 B D的中点 则 4 E C Q 0五点共圆 厂 在圆 中 由E A E C 知 A A Q B C Q B 例 3 如图 1 l 4 B为o 0上的两个定 点 c为优弧A B 的中点 D为劣弧A B 上任意 一 点 过 D作oD的切线 与oD在点 处 的切线分别交于点 E F C E C F与弦A B分别 交于点 G H 证明 线段 G H的长为定值 第 九届 北 方数 学奥林匹克邀请赛 证明如图1 1 联 结 A C A D C D 记 C D 与A B交于点 K 过点 c作o0的切线 T S 由 C为优弧A B 的 中点 知 T S l A B C S 图 1 1 8 中 等 数 学 由性质 2 知 C E C T分别 为 C D A的 内 外共轭中线 又由推论 l 知 C T C E C A C D组成调和 线束 注意到 A K C T 则由调和线束 的性质 调和线束中的一 射线的任一平行线被其他三条射线截出相等 的线段 知 G为 A K的中点 类似地 为 K B的中点 1 故G H 定值 二 例 4在 A B C中 D E分别为边 A B A C的中点 B E与 C D交于点 G A B E的外 接圆与 A C D的外接圆交于点 P P与点 不重合 A G的延长线与 A C D的外接圆交 于点 与点 不重合 证明 c D 第一届陈省身杯全 国高中数学奥林匹 克 证 明如 图 1 2 联结 D E L 图 l 2 由已知得 D E B C 则 P为完全四边形 A D B G C E的密克点 由性质 6 知 A P为 A B C的内共轭中线 由推论 6 3 得P C D 例 5 在锐角 A B C中 A B A C M为边 B C的中点 P为 A B C内一点 使得 M A B P A C 设 A B C A B P A C P的外心 分别为 0 0 0 2 证明 直线A O平分线段 0 0 2 2 0 1 0 中国国家集训队选拔考试 证 明 如 图 1 3 图 1 3 由条件 知 A P为 A B C的内共轭中线 由性质 5 知存在过点 A 且与 A C切于 点 A的o0 和过点 4 c且 A B切 于点 的 0 这两圆的公共弦 A Q与直线 P重合 此时 0 0 0及 0 0 0分别三点共 线 且 0 0 上 A P 0 0 A Q 从而 0 0 2 0 D 注意到 O I A上 A C O 0 上 A C 于是 O A 0 0 类似地 A O 0 0 故四边形 O 0 A O 为平行 四边形 有 A O 平分 0 0 即A O为 O 0 0 的中线 因此 A O也为 O 0 0 的中线 从而 A O平分线段 0 0 例 6 如 图 1 4 设 凸四边形 A B C D的两组 对边的延长线分别交于点 F B E C的外 接圆与 C F D的外接圆交于点 C P 证 明 B A P C A D的充分必要条件为B D E F 2 0 1 0 中国国家集训队测试题 证 明 如 图 1 4 注 意 到 P为 完全 四边 形 A B E C F D的密克点 设过点 E D的圆为o0 过点 A 的圆为o0 由完全四边形密克定理 知o0 与o0 交 于点 A P 即 P为其公共弦 且 0 1 0 2 上 A P 设 0为 A B C的外心 记过点 4 且 与 A F切于点 的圆为o0 过点 F且与 A B 切于点 的圆为o0 2 0 1 6年第2期 9 图 1 4 由性质 5 知这 两圆的公共弦 A Q为 A E F 的内共轭中线 且 D 3 上 A Q 此时 0 0 1 0 及 0 0 2 0 分别三点共 线 均分别在 A E A F的中垂线上 注意到 1 O 0 1 2 F A D A F D 01 03 二 O 0 2 2 E