（基础数学专业论文）fourier积分算子和marcinkiewicz积分算子的交换子的有界性.pdf

硕士学位沦文 摘要 本文主要研究了f o u r i e r 积分算子以及m a r c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换子在h a r d y 型空间e 的有界性问题 本文分四章 第一章简要介绍了f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的历史背景 及有界性问题的研究现状 第二章主要讨论了f o u r i e r 积分算子在h a r d y 型空间上的有界性 本章我 们证明了f o u r i e r 积分算子是日p 到l p 和 9 到上 的有界算子 第三章研究了m a r c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换 子的有界性 我们在本章得到了该多线性交换子是妒到口和上p 到l q 有界 的 第四章我们在第三章的基础上讨论了m a r c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换子在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 证明了它是从 h 积 一到职 有界的多线性算子 关键词 f o u r i e r 积分算子 m a r c i n k i e w i c z 积分算子 h a r d y 型空 间 h e r z 型h a r d y 空间 l i p s c h i t z 函数 多线性交换子 原子 i i f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算了的变换r 的有界胜 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so ff o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o r a n dm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o rw i t hs m o o t h f u n c t i o n i ti sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r sa st h ef o l l o w i n g i nc h a p t e rl w es i m p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo ff o u r i e r i n t e g r a lo p e r a t o ra n dm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r t h ec u r r e n ts i t u a t i o n si n t h ef i e l da r eg e n e r a l i z e dt o o i nc h a p t e r2 w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ff o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o ri nt h i s c h a p t e r w ep r o v et h a tt h eo p e r a t o ri sb o u n d e df r o mh pt opa n df r o mh t o l 口 i nc h a p t e r3 w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so f m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o rr e l a t e dt ol i p s c h i t zf u n c t i o n sw eo b t a i nt h e p r o p e r t i e so ft h ec o m m u t a t o r so nh a r d ys p a c e s i nc h a p t e r4 w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so ft h ec o m m u t a t o r sf u r t h e r m o r e w es h o wt h a tt h ec o m m u t a t o r si sb o u n d e df r o mh k 等t ok 翟 k e yw o r d s f o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o r m a r c i n k i e w i e zi n t e g r a lo p e r a t o r h a r d y s p a c e s h e r z h a r d ys p a c e s l i p s c h i t zf u n c t i o n s m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s a t o m i l i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 此处所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的成果 除了文中特别加以标注引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均 己在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名 莎 基 日期 枷6 年r 月f f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借 阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在 年解密后试用本授权书 2 不保密剐 f 请在以上相应方框内打 作者签名 旁君娥日期 乃话年 月 f 日 导师签名 乌 蚪 日期 2 6 年 月 2 日 硕士学位沦文 第1 章绪论 关于奇异积分的研究始于2 0 世纪5 0 年代 c a l d e r d n 与z y g m u n d 1 研究了 一类卷积型奇异积分算子并在一定条件下证明了其驴 黔 1 p 0 0 有界性 我们知道 f o u r i e r 变换在常系数线性偏微分方程理论中起着重要的作用 考察 波动方程的c a u c h y 问题 貉一c 2 0 扛 t r 0 o o u z 0 0 赛 t 0 x e 以及一般的高阶常系数双曲型方程的c a u e h y 问题 lp d 鼠 乱 l x t z e p 0 o o 鬻 z o 仍 z ze 础 j 0 1 m 一1 这类问题的解都能用某种形如 r a z e i s o z d j 的算子表出 我们把其定义为f o u r i e r 积分算子 即第三代奇异积分算子 此后 继奇异积分算子 拟微分算子和f o u r i e r 积分算子的理论得以迅速发展 它为研 究线性偏微分方程中许多经典问题 以及为研究一般线性微分算子理论提供了强 有力的工具 并且 这一理论经进一步发展 逐渐的被应用到非线性偏微分方程 以及其他学科 1 9 7 0 年 g i e s k i n 2 l 讨论了f o u r i e r 积分算子对于振幅函数为o z e 雹o 且a x 关于z 是紧支时的三2 的有界性 进而把0 阶f o u r i e r 积分算子 的有界性问题推广到p 阶 并证明了其l 舢到l 一 的有界性 其中珑如 表示局部理阶口一s o b e l o v 空间 后来 又验证了当p 2 时 0 阶f o u r i e r 积 分算子在扩上并不是有界的 1 9 7 3 年 w l i t t m a n 3 1 使用稳定位相法 证明 了位相函数为 在r n 中 时 阶f o u r i e r 积分算子的p 有 界 其中 5 一 几一1 l i p 一1 2 1 1 p 0 0 其后 许多学者开展了关于 f o u r i e r 积分算子的研究工作 主要有 p e r a 1 4 1 m b e e d s n 和m i y a c h i l 6 j 9 0 年 代初 a n d r e a s s e e g e r c h u r i s t o p h e rd s o g g e 和e m s t e i n 7 研究了与局部 典则图像相关的一般的f o u r i e r 积分算子的p 估计 主要应用了h s r m a n d e r 的 l 2 理论 8 f 和f e f f e r m a n 与s t e i n 的插值理论 9 1 e m s t e i n 1 0 1 对上述工作做 了进一步的整理 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界 生 近几年来 f o u r i e r 积分算子的研究更是活跃于数学领域 1 9 9 8 年 h a r t fs m i t h 定义了一类与f o u r i e r 积分算子相应的h a r d y 空间 在其上建 立了原子和分子分解 使得对算子的研究不仅仅局限于经典的距离空间 并解 决了当振幅函数是0 阶时的护估计 2 0 0 0 年mv r u z h a n s k y 1 2 还讨论了 f o u r i e r 积分算子在各种空间上特别是l p 空间上的正则性以及在仿射纤维丛上 的奇异性问题 2 0 0 1 年 m r u z h a n s k y u 1 又研究了当相函数为复数值时的护性 质 a n d r e a s s e e g e r 和s t e p h e nw a i n g e r 1 4 研究了分数次积分和相关的f o u r i e r 积分算子的有界性问题 t e r e n c e t a o 1 5 证明了当m 一 n 一1 2 时的弱l 1 有 界性 后来 mr u z h a n s k y 和m s u g i m o t o 8 l 1 7 又在e s k i n 和h 6 r m a n d e r 的 局部l 2 性质的基础上研究了一类f o u r i e r 积分算子在b e s o v 空间和全空间上的 全局l 2 有界性的性质 而对于f o u r i e r 积分算子在h a r d y 空间三p 0 p 1 上的有界性问题还没有研究 本文将在第二部分利用关于核的点态估计的方法 来研究此问题 m a r c i n k i e w i c z 积分最初是m a r c i n k i e w i c z f l s j 提出的 定义高阶的m a r c i n k i e w i c z 积分如下 州 垆 z 刚 刮2 铲2 1 1 其中 垆上 y l 等秽m 胁 1 2 j b l 山一日l 1 9 5 8 年 s t e i n 1 9 引进了i 1 维m a r c i n l d e w i c z 积分的定义 并研究了其基本性 质 证明了当q 是连续函数且在单位球面上满足l i p 0 o i 条件时算子是 p p 1 ps2 和弱 1 1 有界的 b e n e d e k c a l d e r 6 n 和p a n z o n e 2 0 1 证明了当 qec 1 铲 铲 为单位球面 时其 p p 有界性对1 p 都成立 2 0 0 0 年 丁勇等人 2 1 改进了上述结果并证明了qeh 1 铲 1 单位球面上的h a r d y 空间 2 2 时算子仍然是扩 黔 1 p 上的有界算子 陈等人 2 3 用不同 的方法证明了与b e n e d e k 2 0 l 相同的结论 c h e n f a n 和p a n 2 4 1 与丁勇 2 5 l 等人 在1 9 9 9 年得到了一类粗糙m a r c i n k i e w i c z 积分的加权驴有界 1 9 9 0 年 t o r c h i n s k y 等人 2 6 考虑了由该算子与b m o 函数所生成的交换 子 设b b m o 定义交换子 nb 如下 腿灯 厅 1 2 秒2 1 3 其中 晶 灯 五吲 罟专器亘 a 州 枷 硕士学位论文 t o r c h i n s k y 等人 2 6 1 证明了当q l i p s n 1 0 n 曼1 时 1 3 是 口 0 p a p 有界的算子 其后 丁勇 陆善镇等人f 2 7 j 把 上述结论推广到粗糙核的情形 2 0 0 4 年 丁勇 陆善镇 张璞等人 2 8 l 研究了 m a r c i n k i e w i c z 积分交换子的双权弱型估计 陆善镇等人1 2 9 j 证明了该算子与 l i p 口 r n 函数生成的交换子的1 2 有界 张璞 胡晓敏俐介绍了m a r c i n k i e w i c z 积分交换子的发展研究状况 2 0 0 2 年 p e r e z 和t r u j i l l o g o n z a l e e 3 1 l 引入了一类 多线性奇异积分交换子并证明了其护有界性 对于由该算子所生成的多线性交 换子 f l g 定义如下 刚删班 z 烈列2 2 1 4 其中 酬 班l 掣鲫旷删m 胁 是否有界还没有涉足 本文将在第三章和第四章来讨论m a r c i n k i e w i c z 积分算子 和l i p s c h t z 函数所生成的多线性交换子在h a r d y 空间和h e r z h a r d y 空间上是 有界的算子 3 一 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界胜 第2 章f o u r i e r 积分算子在h a r d y 空间上的 有界性 2 1 引言 随着偏微分方程的发展 出现了拟微分算子和f o u r i e r 积分算子理论 在近 5 0 年内 f o u r i e r 积分算子已经成为某些分析领域的重要7 具 特别是在偏微分 方程的研究中 定义f o u r i e r 积分算子如下 t z 上 e 2 州e 甜 z 氕 世 2 1 其中尹表示 的f o u r i e r 变换 a x 是标准的振幅函数 8 p 2 且关于z 具 有紧支集 位相函数中 c o z 是关于 的正齐一次实值函数 且圣 c o s u p p a 凰 o 设西满足严格的非退化条件 即 当 0 时 在u 的支 集上 d e d z o i 2 d i i 2 2 1 9 9 1 年 s e e g e r s o g g ea n ds t e i n 7 1 对e s k i n 和h 6 r m a n d e r 的工作做了总结 证 明了f o u r i e r 积分算子r 有如下的有界性 当a s o l 0 时 t 是l 2 有界 的 当p 2 n p 字 m 茎0 且i 一 l 而 m 时 算子t 是从l v 到 l v 有界的 本文研究算子t 在h a r d y 空间h 9 上的有界性当寻 m 字且 0 口 1 2 2 主要结论 定理2 1 设t 是f o u r i e r 积分算子 如 2 1 其中振幅函数n 是m 阶 的 且警 m i 1 互i 1 p 里一型 qp n 2 4 硕士学位论文 2 3定理的证明 定理2 1 的证明我们将利用h a r d y 空间 p 辩 的原子分解理论 3 圳来 证明之 首先我们给出原子的定义及函数在h a r d y 空间的分解的性质 设0 1 我们有 f 舻i t b v g i i t b t l 胪 c t l b l lz c 矿 一鄯 第一个不等式成立是由于r 6 具有紧支集 并注意到几 一 0 显然在这 种情况下f 2 3 成立 当d 1 时 我们首先定义与球日相关的集合b 如下 首先对于任意的正 整数j 选取单位向量 g v 1 x j 使其满足 i l i 一 f 2 j 2 如果 i i 若 伊一 则存在g 使得l f g f 2 j 1 2 显然 n j 1 e 2 j 加一1 2 5 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算f 的交换子的有界性 令 芎 妇 l g 一引 亏2 吲2 l 碍 一雪 l 0 2 一 其中硝是在g 方向上的正交投影且e 是不依赖于j 的任意大常数由于映射 z 一y 币 z 有非退化的j a c o b i a n 矩阵对任意的f 有 我们取碍是碍在嚷 g 下的逆 则 彤 z i 口一西f z g l 0 2 一 2 哼 雪一圣 z g l 0 2 一 令b uu 蟛 则 2 j 6 例 l 碍l 2 j 6 c 嘲 2 f 6 c r2 n 1 2 2 j n 1 2 2 i 6 cr 2 i 2 i 蔓d e 6 现在我们估计 2 3 当6 茎1 时 而 上 j t 6 删9 出至上 j 丁6 刮 如 厶 i t b 刮9 如 岬 刀 对 我们有 因为 加 胪d z v 9 曼 小 妒 崧酬 咕 c l i b l l c a l b l q 一鄞 j 互1 署 sc l s l 一 1 抄r 0 6 硕士学位论文 所以 曼c f 2 4 为了估计j 2 我们现作如下的工作 设弓表示在 空间中的相应的锥 其 中心方向是g 也即 哆2 川青一g l 2 2 2 卜 固定光滑非负定的函数妒 妒 z 1 当h 1 以及妒 z 0 当h 2 令 形 2 妒 2 垆 青一锄 并定义 蟛 硝 蟛 则函数蟛对于 是0 次齐次且支在哼 并满足 f l 0 2 5 上式对于所有的j 成立 显然 i 曙蟛 i c 2 i a l j 2 巾1 2 6 由此 我们做二次l i t t l e w o o d p a l e y 分解 l 如 f 也 j 1 这样 定义巧为 丐m 上 e 2 m 勤 硪 瓜 必 其中 z 蟛 如 n z 并定义与之对应的算子乃 其相应的振幅函数 为a j x 也 o z 显然有 弓 弓 2 7 令玛 z 可 蟛 z 可 分别表示算子乃和弓的核 则巧 z 与蟛 z g 相差 一个因子2 一 碍 z 可以写成 蟛 z e 2 邮 1 弛 溅 7 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界 生 下面我们给出核蟛 z y 的点态估计 设f g 在f 空间选择方向使得 表 示成f 7 2 矗 是与f 垂直的方向 则 记 有 西 z 一y 西e z 0 一y 西 z 一西 z 危 圣 z 一西f z 自 杀 昧 p z j v e h i c2 1 j 2 以及 j 砉 删蚓旷 我们改写蟛如下面的形式 蟛 z e 2 陬 h k 啄 z 必 j i n 其中 哆 置 e 2 蟛 妨 z f 定义算子l 如下 l 一2 2 哥c 9 2 2 7 v f v f 因为 2 6 2 8 2 9 2 1 0 及事实a s 詈 m n 得到 i l 蟛 z l c r 1 l 1 c 2 i 又有 l v e 2 峥 8 一讣 1 4 7 r 2 2 2 l 西f z f 一y 1 1 2 4 7 r 2 2 j i 圣 园一可 7 1 2 e 2 r i 垂e 忙 o 一引 2 8 2 9 对蟛x y 利用分部积分得到 f 蟛 z y i c2 j f n 1 2 2 j l 2 j i 币f z g 一可 l l 2 j 2 i 西d z g 一 一2 8 一 埘 m 州 州 捌 l l p 1 2 l 硕士学位论文 又由于 s u p p z c f 2 j 吲 2 我们可以看到对其利用微分中值定理 其差值与之只相差因子 而其被2 所 控制 所以 所以 蟛 z 一k f x 引茎c 2 3 7 2 2 j f 一y l 1 2 j i 圣 z g 一y 1 0 2 1 2 2 j 7 2 i 垂 z g 一v 7 i 一2 2 1 3 厶 i t b 刮 g 莩厶 i 乃 胪如 e 萎 厶 j 驴 刮 厶 j 劲 蚓 如 以 j 4 对 i t j b z d x 2 悉j o s 作变量代换 当y b 雪 5 时 2 厶 l 碘 胁卜 2 量厶j f k a 刎卜 顾肭卜 剑 厶 f b 2 j n l m 旷鲋 2 j 啪铲咖 2 7 7 2 i 圣 z g 一 7 1 一2 b y d v l d x l p 剑 萎 渺1 m 酽 厶 协删毗铲办l 柑一 叫蝎 刊 2 6 州 卜 y 一可 6 n 则我们有 泌c z 2 j p n t m a p 厶 眇删一珈l 2 一j 6 缈 一 旷z 6 洲 卜 e 2 j 咖 酽 b 1 一 如1 日 1 掣f z 一口 2 3 6 7 2 i x 一雪 7 i 2 p d z c 蔓二2 j p 6 9 1 一 1 2 一 1 2 l i z l 一2 n p d z 一 皇 j c b 一 2 j 6 s c 俨 1 一i 1 2 j t i 1 9 号圳 c 最后一个不等式成立是因为 等 m 一 一 百n 1 t n 1 一 对以 我们首先有下面的估计 令b d 2 则存在单位向量钱使得 以 b c 磁 又对z 联 b 于 6 且2 一 6 设整数k 满足2 2 g 一 ls2 肛 由于b 4 uu 群 所 2 一l 6 2 七1 7 中f z 一雪 i i 2 k 2 l 圣fx 一雪i2e 21 4 如果目 b 则有l y 一雪l j 2 一 且因为e 是充分大的 所以 2 j 由f z g 一雪 1l 2 j 2 l 圣 z g 一口 7 i26 2 j 一 当j 七时因此 蟛 z y 一蟛 雪 c l y 一雪1 2 2 扣 1 7 2 2 j m 1 2 j 壬 z g 一可 l f 2 j 7 2 l 圣 z g 一 7 i 1 2 c j y 一雪i j 一1 1 7 2 2 j 1 2 j i 垂d z g 一y 1 2 j 7 2 l 西f z g 一g 7 l 1 2 硕士学位论文 则对于以 我们有相似的估计 厶 i 乃 胪出2 要 厶 l 玛c 砌姒 匆1 9 出 丘 旧碘 吲姗m 匆f 9 如 cf5 p s v 2 j v 1 1 2 j p 2 j v m j 一 厶 协俐吣铲趴i 2 们i 哦 z g 一可 1 2 n b y d y ld x c1 r 掣p n 一1 2 2 2 趔芋生2 j p m i b l 9 1 一 2 一j 2 n i 2 一一 1 2 脚如 j o 口 s c 6 哪一 2 j v 1 i i 1 2 学制却 2 6 结合 2 4 我们就有t 是f p 到 有界的 当p 满足i 2 i n j 2 p 1 注 我们不能断言f o u r i e r 积分算子的有界性当p 1 z t b 陋 v e b i c i b 一一 g 6 一 q 1 应用算于明l 剑l 伺昴任 我制伺 上 i t b u 4 z t b z l 警如 者1 日 r 一暑 c l l b l l l i b i 1 一a q a c i b i 一i 1f i c 1 一杀 c n 一 十 一 一嚣 因为5 1 且i 1 一 导一堡尹 所以 i u 对于毛的估计 我们应用二次l i t t l e w o o d p e l a y 分解记f o u r i e r 积分算子 的核为k x y 即 z y e 2 蛳刖1 o z 2 1 6 j r n 作分解如上 将k x 可 写成k z o o z 玛 z f 而坞 z y 蟛 z 口 其中 巧 z e 2 吣 z 武 j r 则有 t t j 2 1 7 j l 对于坞 z 9 我们有如f 性质 i 巧 z 一玛 z 引 c 2 2 7 2 2 i i s 一 7 i 1 2 j i 垂 z g 一y if l 2 j 1 2 j 圣 z g 一 l 一2 1 2 硕士学位论文 下面估算厶 而对也 如 厶 俐阳z v c 莩 厶 阱小 枷 g 萎 c 厶 即c 圳4 出 l 笔c 厶 如 i t j b z i 如r i t j b z p d x 1 7 1 毛 厶 k j x y b y d y v 4 乏 厶 协 沪啪m d v v 4 c z 厶 沪咖耶血 驯曲 纠 萎 z2 j m j n 2 2 旷雪l 厶 1 吣 g 1 向 2 j 2 l 哦 z g 一 7 i 2 n q d x n y l d y c 2 j m 6 邮 1 俐2 刊时1 胞 c r 扩 1 1 p 2 j n 1 1 p 2 j m n p 一 1 2 q 1 g 估计 时 我们用到下面的核的估计 j 0 z y 一j 弓 茁 雪 l 茎 g l 可一口1 2 2 2 m 1 7 2 2 14 2 j l 圣 z g 一y l t 2 7 2 i 圣f z g 一9 j 1 2 c l u 一雪i d 一1 2 十1 7 2 2 j l 掣l 西e z g 一 l 2 脂j 圣f z g 一 7 1 2 厂k 一 彤 因此有 j 证毕 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换f 的有界性 加 d z v 9 邑 厶 1 k y x y b y d y 叫9 邑 厶 i 胁砌m 鳓啪m v g 上 厶 吲剐卜碘厕i 6 可 i d y e e 2 j m j n 2 卜峁 计 庙 厶 1 州叫喵 2 6 2 j 2 l 嚷 石 c 2 j 2 j d c g 一可 一 n 扩 1 一l p 2 y i q zd g 珈 划 一 出 圳 觚 2 一 颤士学位沦文 第3 章m a r c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数所生成的多线性交换子在 h a r d y 空间上的有界性 3 1引言 对于由一类奇异积分算子与光滑函数所生成的交换子的研究已有很长的历 史对于高维m a r c i n k i e w i c z 积分算子所生成的交换子已有很多学者作了很深入 的研究 设酽 1 表示即m 2 单位球面 日d 口表示l e b e s g u e 测度 令n l 1 伊 是零次齐次且满足 n z 7 d z 7 0 其中z 7 对任意的z 0 成立 定义高维的m a r c i n k i e w i c z 积分 如式 11 算子 由s t e i n 1 9 1 所引入 并证明了当q 是连续函数且在单位球面上 满足l t p o 0 d 1 条件时 算子 是扫 p 1 p 兰2 和弱 1 1 有界的 b e n e d e k 等人 证明了当n c 铲 时 算子脚是 p p 1 p 0 0 有 界的 最近 丁勇等证明了当n 日1 p 1 时 算子 是 p p 1 p 0 l i p s c h i t z 空间 3 s l a 口是由满足下列条件的函数 组成的 i l f l l 旷s 蚍馏 嗡掣 1 上的有界性 定理3 2 1 设p n i 是由 1 4 所定义的多线性交换子 i b h 一 b b a 凰 r 1 墨ism 0 胰 三鼠 p 1 若1 p 且i 1 1 一i 则 1 一 b b l k 是从驴到工a 有界的 推论3 2 1 设弘n i 是由 1 4 所定义的交换子 i b 一 6 晚 r 1 i m 0 口 1 若l p 号且 1 i 1 一 则i 6 1 一 k 是从口到弘有界的 定理3 2 1 的证明 为了定理的证明 首先来看一个引理 引理3 2 1 4 0 设f 胪 黔 0 凡 l p 凡 q 1 g l p 一 加 则 其中 l f l l sc l i s i z 厶f 杀m 匈 1 6 硕士学位论文 接下来 看定理证明的过程 恤 忙l al 器鲫圹均 骈可d t p 墨上 仁 l 窘 斜鲫圹姒驯i m v c 上 南警裂觚旷蚓i m c l l a l l 上 南 亟溉舴趴确笔兰铲卜卯i 尥 c 加儿 考络咖 由分数次积分妇的 p q 有界 即引理3 2 1 p n i 删i 墨c 虬 l i b f 忆 c l l 6 1 1 s l l f l l 证毕 推论3 2 1 的证明 当b i a o 豫 l m 0 口 l 由包含关系0 鼠 o i l 2 m 使得 屈 卢 再由定理3 2 1 即得 3 3 h a r d y 空间h v o p 1 1 上的有界性 定理3 3 1 设肛n i 是由 1 3 所定义的交换子 6 b l b 机 a 岛 r 1 i m 0 屈 屈 卢 l 如果者万 p n 且 i 1 一 则 b b 6 m 是从霹到即有界的 推论3 3 1 设 n i 是由 1 3 所定义的交换子 i b 玩 a n l i m 如果而n p n 且 i 一 则6 b l b 是从 哪到l 4 有界的 为了证明定理的结论 我们先给出一些预各知识 1 7 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界 生 定义3 3 1 3 6 3 8 对0 p 茎1 i b 1 6 非负整数s n 一1 b a n 豫 l 冬i 曼m 称函数 为 p 2 两原子若 i s u p pacb x o r z i l l a l l l b x o 蚓i 一 乱i f a x x 8 d x a x x 4 兀b l x d x 0 对任意盯 弩 0 芦 s f o i m 定义3 3 2 3 6 3 8 1 对0 p 1 碍 坩 o 其中o j 为 p 2 6 原子 而且 忖 m 一i n f 躔 0 其中下确界取遍所有的表示 引理3 3 1 1 4 0 m i n k o w s k i 不等式 设 x p 扩 是两个测度空间 f x y 在xxy 上是关于芦x 的可测函数 若对几乎处处的y y 函数 y l x w 1 p 曼o 且 l y i i l x p 咖 a 3 0 则 峨 州山 却 yi l l 龇怖炒 定理3 3 1 的证明 由上面的定义3 3 2 知 我们只要证明对任意的 p 2 b 原子n i l p ng a l l g 曼c 且常数c 与n 无关设s u p p acb b x o r ng a l l q 记b b z o 2 r 并假设1 p 1 m 讥 2 n 伊 且g l 满足t q 1 1 p l 一 卢加由h s l d e r 不等式 肛ni 的 p g 有界性及原子的尺度条件我们有以下的估 1 8 向 zd q z 一 肛 r 独如 一厄 向 zd 口 z 严 p ro o q 如丘 h 型兰墼一 计 g z 州蚓 孚如 祷俐伊蜘 硎司u f b f 1 a 对于 2 我们做如下的估计 恻j 2j b j 1 p r m q q i b l l 2 1 i s 1 1 p 1 1 2 1 一 舯 o 忙1 2 记 罟需洳引 l b 掣黔z i i t 1 1 2 对 b 我们有 i z y l i 一 r o l 1 9 2 一z o l 2 r 因此 e 卜 舻罟号裂瞰训由 6 m z 一k 上 1 一m 西 q i z 扩警裂1 1 咄 t 3 z 一 l n 一 3 7 1 9 b a y n y d y 2 b 洲掣 d y l 2 2 名 j 2 7 窘 1 7 2 j i i 犁j c y i d j 口 口 a a 叫 叫 酬 g g g 一 一 一 mn触m 问 型 型 刮一一刮一炉 p 二 二 阶一川舻一例 如一垆 出一庐 打 卧 却 i 知 一 叫 扣 叫c 儿p气厶厶 叼 触 一 一 h f 孙 陌 曲 卜 协 圹 篙苌m妻 由于q l i p v 伊一1 c s o 1 且b l i p j 艘n 所以有 c 耍s 印訾裂卜蚓 z 豢 驯勘 c i lj 屯jj a i z x o l 一 n 一口 1 j r l 2 厂 n 口 i d f s e 嗍如r 1 7 2j z 一 p 廿1 1 2 1 1 刮2 i b l l 2 c l l 6 1 i f z z o f 一 一斛i 2 r n 1 1 1 p 1 1 2 同理 对于以 我们有 坯e 薹篆陬 j a 腑小x i j b 舌y 蔫 瞰训由j 1 口 o j z j 圳 e 三娶s印16 dz 蚓 秒lj ii 咱j 岛口 o f 山 山u gs 叼紫裂z 虹i z y 进b l 2 f 训由 如三三 胪 ii 11玩11鸭ix zoi小喝州2 t1j胁巳 从州匆i e 2 1 一 叩g b 一 c l l i l l b 妻 卜蚓七一品 1 2 7 1 2 州h p j ld c 尹 所以 z f j i f 9 i b 1 7 4 sg i j 司j 一 r 1 一l i 2 丘一 j j x x 0 1 n b 1 2 q d 2 9 1 c l i 云 i a 且 l 啪 出 淝 妻 嘞州一俐 1 口 g l 脚 j t x o i 小甜m s c l i b l i a 心 艮脂一 肪 卜 胆m 叼 州 一 驯 g 一 下面我们给出 屯的估计 蜴1 上掣垂i b j x b j y l l a y l 卜蚓 打扩由 一上f i q z g o f t l1 倒hl 幻c z 一 c z l l k 一互 窘 v 2 幻 上 瞥掣扑 划训 上面第一个等式成立是应用了原子的消失矩条件 根据对以和如的估计我们可以估计k 1 和k 1 2 咖 鲍绷闯k 上掣怖 出 l 己物扩却 茎嘲 正南南 匆茎刚k 厶丽厣 圳旧y sc 1 1 酬如 l z x o l 一 l b l l 1 加 c i i i 1 1 7 曲 z z o l 一 在上述的估计中我们仍然用到了z b 时 z y l i x z o 1 z z i 2 r 的 等价关系 因为q l i p 酽 1 所以有 罱y l 一焉卜c 磷 2 1 一 羚 卅 0 p 咖 m 触掣掣 厶 2 r 硎圳 c i i b l l t r 1 1 7 9 1 f l z z l j i x x o l 2 r s c l l b l l a 而 所以 2 r 揖 揖 嘣 咖 厂几厂止 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换f 的有界性 第4 章m a r c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数所生成的多线性交换子在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 4 1引言 上一章中我们讨论了m a x c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的交换 子在俨上的有界性 本章我们将接着上章的工作 研究该交换子在h e r z h a r d y 空间上的有界性 近年来 有关m a r c i n k i e w i c z 积分及其相应问题的研究已经受 到了广泛的重视 取得了丰富的成果 关于该算子在h e r z 型h a r d y 空间上的 讨论也己经比较成熟 2 0 0 4 年 陈香东和张璞 4 2 证明了m a r c i n k i e w i c z 积分在 h e r z 型h a r d y 空间上的有界性 陆善镇 2 9 也证明了下面的结论 引理4 1 1 设q l i 巩 酽 1 o 7 兰1 b l i p 口 r 0 臼冬7 2 若 0 p 1 q l q 2 且l q 2 1 q l p n n i l 9 1 茎 n 1 一q 1 p 则交换子p n t 6 是从日j 嗡 r 到j 咯9 r 有界的 本章我们将研究由m a r c i n k i e w i c z 积分算子与l i p s c h i t z 函数所生成的多线 性交换子是否也有类似的结论 我们先给出一些关于h e r z h a r d y 空间的预备知识 设玩 z l x l 冬2 k g 玩 b k 1 1 七 z x k x c k 其中抛是集合e 的特征函数 定义4 1 1 a 6 3 8 设凸 r 且0 p q o 齐次h e r z 空间蝣 研 定 义为 j 譬 l k r o f 船 一 其中 o o t l f l l g 2 触9 慨e 忆 定义4 1 2 3 昏3 8 设0 q o 0 p o oa n d1 q o 齐次h e r z 型h a t d y 空间日叼 9 定义为 日k 苫 9 琏 s 7 r g k q 9 r 并且有 1 日簖 一 r n 2l l g 川膂唧r n 定义4 1 3 3 6 3 8 设0 q 1 q o 硕士学位论文 i r 上的函数a x 称为一中心 q q 一u n i t 如果 1 s u p pacb o r 2 l i b i i i 渺上的函数 z 称为一限制性中心 o t q 原子 如果 1 s u p pacb o r r 1 2 恻l 吲 其中s o r z 辩 x i r 引理4 1 1 3 6 3 8 设0 o t 0 3 0 p o 1 q o 则 k 孑1 9 渺 当 且仅当 可被表示为 m n z z 其中a t 是一支集在b l 上的 g 一原子 且 芒 i a 1 9 o 并且有 j 簖一i n c o 坩 珈 其中下确界是关于 的一切分解 e a e a k 而取的 定义4 1 4 驺 3 8 设n 1 1 q o t 1 q 非负数s 满足 s o t n 1 q 一1 j i r 上的函数口 z 称为一中心 q q 一原子 如果 1 s u p pacb 0 r 2 i l a l l g l b l 一 其中b 0 r z r i x r 3 厂口 z z p d x 0 l p i s i i 黔上的函数o z 称为一限制型中一1 1 a q 一原子 如果满足上述 2 3 和 1 s u p pacb o r r 1 引理4 1 2 3 6 3 8 1 设亿 1 1 q 0 p o o l q 0 0 则 日砑 p 当且仅当 可表示为 z 凡n z z 其中o f 是一支集在b k 上的中心 o t q 一原子 且 墨 o 1 9 o 并且有 i l f l l 啦 确 萎h 矿9 其中下确界是关于f 的一切分解f ka k 而取的 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界性 4 2主要结论及其证明 定理4 2 1 设p n i 是由 14 所定义的交换子 b h b m 反 a 风 r n 1 i 曼m 0 屈 e 胱 p r n i n 1 2 p 如果0 p 0 0 1 q 1 q 2 o 且击 击一 且n 1 1 q 1 茎o n 1 一吼 口则 i 6 l 一 6 m 是从日如 一 旷 到k 蠹9 r 有界的 定理的证明 分解 z 登 q z 其中a j 是限制型中心 n 9 1 原子 其支集为 s u p p a c 易 b 0 2 则有 枷嵫 2 恢g f z t 悒 c 妻2 t 董 恼 咖圳 9 1 厂2 f l a i 川卢 i o x k l i 一z 一 z 一 o k 一o j 一o o c 妻z 脚 妻 州咖圳 9 j 一2 墨c z 应用p n i 的 l 工4 2 有界性即有 j 墨g 俩如 2 脚 k 一 j 一2 其中1 q 2 1 q t 一 i n 当0 i c l t g l l 2 触9 1 1 2 一 k 一o o j 一2 e 慨 2 a 9 k c o j k 一2 e 附2 m 2 p 加 咖 自2 一 j t 一2 j k 2 7 g 如 吲9 2 陋加 一 一 c l l g l l l i x j l 其中p 7 是指标p 的共扼 所以 对于 的估计 我们先来估计 i i isc l l a l l t 厶c 门l 掣觚旷坳 响 d y l 2 窘 v 厶 记险群垂 b i x b 白f 2 岩 州2 如 v 啦 2 l 刊9 群酚圹坳 咖 姘窘 州2 d z v e 厶砰如 v 啦 e 上 谬如 v 堂于q i m 铲一1 cl o s 一1 且魂 工i 阮 黔 l i m z 倪 可 马 jsk 3 所以f z i 一 z g f 一2 所以 f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界眭 上 伫 上 仨 f i 0 口 口 如 o 晚 o 也 i i q f d y 上面式子中的记号仍沿用前面的 只是这里令z 0 对于 u l a j y 一i x y t f d 可 j u j d y 陬 j 一厶l 弛 黔 l 妇 驴掣 砧娶s 卸学厶器z 们 i 由 6 l a 几l i 一竹一肪 1 7 2 2 j 1 2 巳 i y l d y 口a 1 2 2 1 2 一a 巳 n i i 9 1 2 8 一 一 一 o z 驯 挑 阮 一p 等 甜 训石 驯i 札剖一 型 砜 扛f 陋f 旬徘一卜阶一卜晒 胆 心 弋 j v m 出一p出一p u 一 一 f 型 黝t 鼍 枉勋 厶厶脚 一 百 k 耽 姒 荆 m 翌计 一 一一一 a k 加 捌筘 氍皑 e g 一 一 a g 一 一 h 锄 z 唧 唧 凹 篡 嘲 试矾 g g e q 也 f v l v l 三 l l i t2 j 4 一 1 1 删i z i f o u r i e r 积分算子和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子的有界性 耶厶 帮一器 器 j a r x l 觚i 1 圹 i 警j 匆 厶 剐一器 鼽圹 川掣f 匆 厶 龆一裂 黔旷蜮驯箐i 幻 k 1 鲍 凼为c k5 甘k b k 一1 z 饭 9 马 js 七一3 我们有 i 茁i i z y i 一2 2 j q z 刊叫z t i 两x y 一甜 一业i x l 所以有 酮b 上 群粤黔臀句 c i i g l b i z p 一4 掣 1 1 砂 同样地 运用i 南一晶 t 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