（应用数学专业论文）非线性微分方程边值问题的正解及其应用.pdf

曲阜师范大学博士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的博士论文非线性微分方程边值问题的 正解及其应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经 发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：前署f f 多 日期：伽厂口石。， 曲阜师范大学博士学位论文使用授权书 非线性微分方程边值问题的正解及其应用系本人在曲阜师范大学 攻读博士学位期间在导师指导下完成的博士学位论文本论文的研究成果 归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本 人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本 人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开 发表论文的全部或部分内容 作者签名： 导师签名： 前新宝日期：仞t 厂 之a 日期：勿舌t - 曲阜师范大学博士学位论文 非线性微分方程边值问题的正解及其应用 摘要 非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义，又有广泛应用价值的研究 方向，它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景，建立处理许多非线 性问题的若干一般性理论和方法它的研究成果可以广泛地应用于各种非线性微分方 程、积分方程和其他各种类型的方程以及计算数学、控制理论、最优化理论、动力系 统、经济数学等许多领域目前非线性泛函分析主要内容包括拓扑度理论、临界点理 论、半序方法、解析方法和单调型映射理论等由于非线性问题已经引起国内外数学 界和自然科学界的高度重视，对非线性泛函分析及其应用的研究，无疑具有重要的理 论意义和应用价值 非线性微分方程边值问题是微分方程理论中的一个重要课题，由于其重要的理论 价值和物理背景，一直被许多研究者所关注，并取得了丰富的研究成果在泛函分析 理论和实际问题的推动下，非线性微分方程边值问题的研究发展非常迅速特别是近 年来随着非线性泛函分析理论的发展和新的非线性问题的出现，非线性微分方程边值 问题形成了许多新的研究方向，取得了一系列研究成果，成为一个研究热点 本文主要利用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、不动点指数理论、k r a s - n o s e l s k i i 不动点定理、全局连续定理、单调迭代方法和上下解方法等研究了几类非线 性微分方程( 奇异) 边值问题( 方程组) 正解的存在性、多解性、解对参数的依赖性和 解的单调性等情况，这中间包括一些周期边值问题，高阶高奇性问题、非局部问题、 半正问题、脉冲边值问题和含p - l a p l a c i a n 算子的微分系统等通过深入的研究，我们 得到了一些新的深刻而有趣的成果 全文分为六章第一章，我们对非线性泛函分析的历史发展和一些基本概念和定理 作简要的介绍第二章我们得到了两类含有参数的二阶周期边值问题正解的存在性、 非存在性和多解性，并对解的唯一性和解对参数的依赖性做了研究第三章我们讨论 了三类奇异高阶非局部边值问题正解的存在性和多解性3 2 我们建立了一类n 一阶 m 点奇异边值问题正解的存在性结果，其中非线性项含有未知函数的导数且允许奇 异；3 3 我们利用线性算子的第一特征值研究了带有积分边界条件的仃阶奇异边 值问题，其中积分边界条件由带有广义测度的r i e m a n n s t i e l t j e s 积分给出；3 4 在 b a n a c h 空间中得到了奇异m 阶非局部边值问题的多个正解第四章，我们把注意力 放在两类高阶微分方程边值问题单调正解的研究上4 1 我们得到了半正右聚焦边 值问题的单调正解，其非线性项可以下无界；4 2 我们建立了高阶积分边值问题多个 单调正解的存在性定理第五章讨论了一类含有积分边界条件的非线性脉冲微分方程 曲阜师范大学博士学位论文 s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的正解第六章，综合利用锥上的不动点指数理论和上下解 方法，研究了一类含两个参数的p - l a p l a c i a n 算子系统奇异边值问题正解的存在性、 非存在性和多解性，得到了一条由参数决定的连续曲线，它决定了解的分布情况 关键词：非线性微分方程；边值问题；( 单调) 正解；不动点指数；高阶非局部问题； 奇异；脉冲；p - l a p l a c i a n 算子系统 曲阜师范大学博士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sar e s e a r c hf i e l do fm a t h e m a t i c sw h i c hh a sp r o - f o u n dt h e o r i e sa n de x t e n s i v ea p p l i c a t i o n s i tt a k e st h en o n l i n e a rp r o b l e m sa p p e a r i n g i nm a t h e m a t i c sa n dt h en a t u r a ls c i e n c e sa sb a c k g r o u n dt oe s t a b l i s hs o m eg e n e r a lt h e - o r i e sa n dm e t h o d st oh a n d l en o n l i n e a rp r o b l e m s i t sr i c ht h e o r ya n da d v a n c e dm e t h o d h a v ep r o v i d e dt h ee f f e c t i v et h e o r yt o o lf o rs o l v i n gm a n yk i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n sa n ds o m eo t h e rt y p e so fe q u a t i o n s ，a n dh a n - d l i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，c y b e r n e t i c s ，o p t i m i z e d t h e o r y , d y n a m i cs y s t e m ，e c o n o m i c a lm a t h e m a t i c sa n ds oo n a tp r e s e n t ，t h ec o n t e n t s o fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sm a i n l yh a v et o p o l o g yd e g r e et h e o r y ，c r i t i c a lp o i n tt h e - o r y , p a r t i a lo r d e rm e t h o d ，a n a l y s i sm e t h o d ，m o n o t o n em a p p i n gt h e o r ya n ds oo n i n r e c e n ty e a r sn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e c e i v e dh i g h l ya t t e n t i o no ft h ed o m e s t i ca n d f o r e i g nm a t h e m a t i c sa n dn a t u r a ls c i e n c ef i e l d ，s ot h er e s e a r c ho nn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n si sv e r yi m p o r t a n ti nb o t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o n s t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ei m p o r t a n t s u b j e c t si nt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o w i n gt ot h ei m p o r t a n ti nb o t ht h e o r y a n di na p p l i c a t i o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f r e n t i a le q u a t i o n sh a v e b e e na t t r a c t e dm a n yr e s e a r c h e r s ，a n dal a r g en u m b e ro fr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d u n d e rt h ei m p e t u so ff u n c t i o n a la n a l y s i sa n dp r a c t i c a lp r o b l e m s ，t h ed e v e l o p m e n to f t h er e s e a r c ho nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sr a p i d t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i st h e o r ya n dm e t h o d ， s u c ha sc o n et h e o r y , f i x e dp o i n tt h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y , k r a s n o s e l s k i i 缸e d p o i n tt h e o r e m ，g l o b a lc o n t i n u a t i o nt h e o r e m ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ea n dt h e m e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t y , d e p e n - d e n c e o nap a r a m e t e ra n dm o n o t o n yf o rp o s i t i v es o l u t i o n st os e v e r a lk i n d so f ( s i n g u l a r ) b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s y s t e m ) ，i n c l u d i n gs o m e p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，h i g hs i n g u l a r i t yo fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，n o n l o c a lp r o b l e m s ，s e m i p o s i t o n ep r o b l e m s ，i m p u l s i v eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a n ds i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a no p e r a t o rs y s t e m s b yd e e p s t u d y , w eo b t a i ns o m en e w i n t e r e s t i n gr e s u l t s t h et h e s i si sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e ri ，w em a i n l yi n t r o d u c et h e b a c k g r o u n do f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n ds o m eb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r e m s i n c h a p t e ri i ，t h ee x i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t ya n dn o n e x i s t e n c er e s u l t sf o rp o s i t i v es o l u t i o n s a r ed e r i v e dt os e c o n do r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n dt h eu n i q u e n e s so f 1 1 1 曲阜师范大学博士学位论文 s o l u t i o n sa n dt h ed e p e n d e n c eo fs o l u t i o n so nt h ep a r a m e t e ra l ：ea l s os t u d i e d i nc h a p t e r i i i ，w ed i s c u s st h r e ek i n d so fs i n g u l a rh i g h e ro r d e rn o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i n | ；3 2 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n si se s t a b l i s h e df o rn t h - o r d e rm - p o i n ts i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e md e p e n d so nh i g h e rd e r i v a t i v e so fu n k n o w nf u n c t i o n i n 3 3 ， u s i n gt h ef i r s te i g e n v a l u ec o r r e s p o n d i n gt ot h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r ，w es t u d yt h e n o n l i n e a rn t h - o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hn o n l o c a lc o n d i t i o nw h i c hi s g i v e nb yr i e m a n n s t i e l t j e si n t e g r a lw i t has i g n e dm e a s u r e 3 4d e a l sw i t hm u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n st on t h o r d e rs i n g u l a rn o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c h s p a c e c h a p t e ri vf o c u s e so nt h es t u d yo fm o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o nf o rh i g h e ro r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 4 1e s t a b l i s h e st h ee x i s t e n c e o fm o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n f o rs e m i p o s i t o n er i g h tf o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t has i g n - c h a n g i n gn o n l i n e a r t e r mw h i c hm a yb eu n b o u n d e df r o mb e l o w i n 4 2 ，t h ee x i s t e n c eo fm u h i p l em o n o t o n e d o s i t i v es o l u t i o n sf o rh i g h e ro r d e ri n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si se s t a b l i s h e d c h a p t e rv d e a l sw i t ht h ep o s i t i v es o l u t i o n st oac l a s so fn o n l i n e a ri m p u l s i v es t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e mw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e rv i ，t h ee x i s t e n c e ， n o n e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hp - l a p l a c i a no p e r a t o rs y s t e m si n v o l v i n gt w op a r a m e t e r sa r ei n v e s t i g a t e d b yt h e f e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n dt h eu p p e r - l o w e rs o l u t i o n sm e t h o d ，ac o n t i n u o u sc u r v e w h i c hr e s o l v e st h ed i s t r i b u t i o no fp o s i t i v es o l u t i o n si sd e r i v e d k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；( m o n o t o n e ) p o s i t i v es o l u t i o n s ；f i x e dp o i n ti n d e x ；h i g h e ro r d e rn o n l o c a lp r o b l e m s ；s i n g u l a r ；i m - p u l s i v e ；p - l a p l a c i a no p e r a t o rs y s t e m s 1 v 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第一章绪论1 第二章非线性周期边值问题的正解5 2 1 正解的存在性和多解性5 2 2 正解的存在唯一性及解对参数的依赖性1 5 第三章高阶奇异非局部边值问题的正解2 0 3 1 引言2 0 3 2 一类m 阶仇点奇异边值问题的正解2 1 3 3 带有积分边界条件的n 一阶奇异边值问题的正解3 0 3 4b a n a c h 空间中奇异扎一阶非局部边值问题的多个正解4 0 第四章高阶微分方程边值问题的单调正解5 4 4 1 含有导数项的半正右聚焦边值问题的单调正解5 4 4 2 高阶微分方程积分边值问题多个单调正解的存在性6 5 第五章非线性脉冲s t u r m - l i o u v i l l e 积分边值问题的正解7 5 5 5 1 引言7 5 5 2 预备知识和引理7 6 5 3 主要结果及其证明8 1 第六章p - l a p l a c i a n 算子系统奇异边值问题的正解9 l 6 1 。引言9 1 6 2 预备知识及引理9 2 6 3 主要结果及证明9 6 参考文献9 9 攻读博士期间发表和完成的论文1 0 8 致谢1 1 0 c o n t e n t s a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) i a b s t r a c t i i i c h a p t e r c h a p t e r c h a p t e r ii n t r o d u c t i o n i ip o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 2 1 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t so fp o s i t i v es o l u t i o n s 2 2u n i q u e n e s sa n dd e p e n d e n c eo nap a r a m e t e ro fp o s i t i v es o l u t i o n i i ip o s i t i v es o l u t i o n st oh i g h e ro r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 5 5 1 5 w i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n s 2 0 3 1 i n t r o d u c t i o n 2 0 3 2 p o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fn t h - o r d e rm p o i n ts i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m 2 1 3 3p o s i t i v es o l u t i o n sf o rn t h - o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h n o n l o c a lc o n d i t i o n s 3 0 3 4m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rn t h - o r d e rn o n l o c a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m si nb a n a c hs p a c e s 4 0 c h a p t e ri vm o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rh i g h e ro r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 5 4 4 1 m o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e m i p o s i t o n er i g h tf o c a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t hd e p e n d e n c eo nt h ed e r i v a t i v e s 5 4 4 2m u l t i p l em o n o t o n ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s 6 5 c h a p t e rvp o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rs t u r m - l i o u v i l l ei m p u l s i v ep r o b l e mw i t h i n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s 7 5 5 1 i n t r o d u c t i o n 7 5 5 2 p r e l i m i n a r i e sa n dl e m m a s 7 6 5 3 m a i nr e s u l t sa n dp r o o f s 8 1 c h a p t e rv ip o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a n o p e r a t o rs y s t e m s 9 1 6 1i n t r o d u c t i o n 9 1 6 2 p r e l i m i n a r i e sa n dl e m m a u s 9 2 6 3 m a i nr e s u l t s 9 6 r e f e r e n c e s 9 9 p a p e r sp u b l i s h e da n df i n i s h e di nt h ep e r i o do fp h de d u c a t i o n 1 0 8 a c k n o w l e d g e m e n t 1 1 0 曲卓师范大学博士学位论文 = 篁= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 毫= = = = = = = = = = = = = = 第一章绪论 非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义，又有广泛应用价值的研究 方向，它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景，建立处理许多非线 性问题的若干一般性理论和方法它的研究成果可以广泛地应用于各种非线性微分方 程、积分方程和其他各种类型的方程以及计算数学、控制理论、最优化理论、动力系 统、经济数学等许多领域目前非线性泛函分析主要内容包括拓扑度理论临界点理 论、半序方法，解析方法和单调型映射理论等 2 0 世纪3 0 年代，著名数学家j l e r a y 与j s c h a u d e r 合作，建立了无穷维空间上 的的拓扑度理论，奠定了非线性泛函分析的基础随后，经过许多工作者几十年的努 力，非线性泛函分析的几个基本理论和方法逐步建立起来，并广泛的应用于数学和自 然科学各个领域中出现的各种非线性问题目前，非线性泛函分析已经成为研究许多 非线性问题的基本工具之一由于非线性问题已经引起国内外数学界和自然科学界的 高度重视。对非线性泛函分析及其应用的研究，无疑具有重要的理论意义和应用价值 非线性泛函分析研究的主要问题包括非线性算子方程解的存在性，解的唯一性、 多重解、正解、解集的结构、近似解求法、分歧理论，构造收敛于解的迭代算法，以及 对于( 偏) 微分方程、积分方程和积分一微分方程( 包括抽象空间中这些类方程和具有 奇性或脉冲的这些类方程) 等的应用( 见【1 2 2 等) ，这些问题都是目前分析数学中研究 最为活跃的领域之一非线性泛函分析和在( 偏) 微分方程中的应用这一领域，国内许 多著名的数学家，例如张恭庆教授、陈文啄教授，郭大钧教授、李树杰教授、孙经先 教授、范先令教授、钟承奎教授、剃兆理教授等在这一领域都做出了很深刻的工作 国外一些著名的数学家，如r p a g a r w a l 、h a m a n ，h b r e z i s 、f e b r o w d e r 、 e n d a n c e r 、k d e i m l i m g 、s h e i k k i l a 、m a k r a s n o s e l s k i i 、v l a k s h m i k a n t h a m 、 j n i e t o 、d 0 r e g a n 、p h r a b i n o w i t z 、n s t r u d i n g e r 、j r l w e b b 等教授在这 一领域也做出了许多很好的结果 非线性微分方程边值问题是微分方程理论中的一个重要课题，由于其重要的理论 价值和物理背景，一直被许多研究者所关注。非线性微分方程边值问题已被深入而广 泛的研究，并取得了系统而深刻的结果在( 非线性) 泛函分析理论和实际问题的推动 下。非线性微分方程边值问题的研究发展非常迅速除了传统的二阶常微分方程两点 边值问题( 如d i r i c h l e t 边值问题、r o b i n 边值问题、n e u m a n n 边值问题、周期边值问 题、s t u r m - l i o u v i u e 边值问题等) 之外，开始研究高阶微分方程的边值问题，并且随 着新问题的出现，形成了许多新的研究方向，如：奇异边值问题，无穷区间上的边值问 题，带p - l a p l a c i a n 算子的微分方程边值问题，非局部边值问题，脉冲边值问题等近 三十年来，大量的非线性问题以及具有奇性或脉冲的非线性常微分方程、积分方程、 微分积分方程和偏微分方程，出现在各种应用学科( 例如：边界层理论、核物理、气 1 体动力学、流体力学、非线性场论、非线性光学等) 中。这些问题解的性质( 如解的存 在性、唯性、多解、解的迭代逼近) 都是国内外许多学者近几年共同关心的课题 本文的目的是充分利用非线性泛函分析的理论和方法( 拓扑度理论、非紧性测度 理论、不动点指数理论、锥与半序方法等) 结合方程论的常用方法( 如上下解方法、单 调迭代方法等) 研究非线性( 脉冲) 微分方程( 方程组) 边值问题正解的存在性以及正解 的性质( 其中包括正解的唯一性、多重解、解的个数及解的单调逼近等性质问题) 把 各种奇异常微分方程化简归类，结合非线性分析的其他已知结果和方法，研究二阶和 高阶奇异常微分方程边值问题正解的存在性、多解性、解的个数、解的迭代逼近及这 类问题有解的充分条件以及解的更进步的性质然后把所得到的结果用到应用中出 现的更广泛的非线性奇异边值问题，不但把奇异非线性微分方程理论的研究推向新高 度，而且解决了现代科技中出现的一批具体的( 奇异) 非线性微分方程边值问题 我们列出本文用到的一些相关概念和定理； 定义1 1 设e 是实b a n a c h 空间，如果尸是e 中某非空凸闭集，并且满足下面两 个条件t ( a ) z p 入0 净妇p ； ( b ) z 只一z p 兮z = 口，护表示e 中的零元；则称p 是e 中的一个锥 定义1 2 称锥尸是正规的，是指存在常数n 0 ，使得对任意的z ，y e ，有p z y 兮i i z l l n i i v l l 注1 1 给定e 中的一个锥后，则可对e 中的元素间引入半序tz y ( z ，箩e ) ，如 果y z p 易知，此序关系满足一 ( a )z y ，y z 号z z ； ( b )z 写，比e ； ( c )z y ，y z 号z = y 定义1 3 设历，易是两个b a n a c h 空间，dce 1 设算子a ：d 一易着a 将d 中任何有界集s 映成易中的列紧集a ( s ) ( 即a ( s ) 是相对紧集，亦即它的闭包a ( s ) 是易中的紧集) ，则称a 是映d 入f _ a 中的紧算子 定义1 4 若算子a ：d _ e 2 是连续的而且又是紧的，则称a 是映d 人马中的全 连续算子 ? 定义1 5 设s 是e 中的有界集，令 口c 彳，= 甜 跏：s = q 一酬郫6 ， 我们把口( s ) 叫做s 的k u r a t o w s k i 非紧性测度，简称非紧性测度 引理1 1 ( s c h a u d e r 不动点定理)若e 是实b a n a c h 空间， sce 是有界非空凸闭 集，a ：s s 全连续，则a 在s 中至少有一个不动点 引理1 2 ( l e b e s g u e 控制收敛定理) 设( ) 是可测集e 上的可积函数列，且有 1 i m 厶( z ) = s ( x ) a e 于e ， n + + o 。 若存在e 上的可积函数f ) ，使得 则 厶( z ) l f ( x ) a e 于e ，死= 1 ，2 ， n l i mf ef ( z ) 妇= z ，( z ) 如 引理1 3 ( a r z e l a - a s c o l i 定理) fcc ( m ) 是一个列紧集当且仅当f 是一致有界且 等度连续的函数族 引理1 4 ( k r a s n o s e l s k i i g u o 不动点定理)若e 是实b a n a c h 空间，设q 1 ，是e 中的有界开集， 口q 1 ，丽1cq 2 ，a ：pn ( - 2 q 1 ) _ 尸全连续，若满足条件 或者 ( i ) i i a x l i i i x l l ，比p n 0 9 2 i ；i i a x l i i x l l ，比p n a q 2 ( i i ) f i a x l f i i x l l ，v z 尸n o s 2 2 ；i i a x l l f i z l i ，v 2 尸n a q l 那么，a 在pn ( _ 2 q 1 ) 中至少有一个不动点 引理1 5 设x 是实b a n a c h 空间，q 是x 中的有界开集，口q ，a ：孬n 尸一p 是全连续映射，p 是x 中的正锥，俐若对vu a qnp ，入1 ，有a 乱a 让，则 i ( a ，1 2 np ，尸) = 1 j 一砂若对vu a q np ，a 0 ，存在u o p 【伊】，使u a 乱a u 0 ， 则i ( a ，qn 只p ) = 0 引理1 6 ( k r o n e c k e r 存在定理)若i ( 月，q ，x ) 0 ，则a 在q 中至少有一个不动点 另外本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定： 1 r 表示实数集合，r + 表示非负实数集合 2 a q 表示q 的边界，豆表示q 的闭包 3 t ( ，) 表示不动点指数 4 p 表示抽象空间的零元素 3 曲阜师范大学博士学位论文 5 ccd 表示集合c 包含于集合d 6 i n f 表示下确界，s u p 表示取上确界 7 表示属于，v 表示任意，| 表示存在 8 表示不等于，：= 表示定义， 一表示趋于 9 ”i l 表示b a n a c h 空间中的范数，一般为上确界范数 1 0 c 0 ，1 表示【0 ，1 】上的全体连续的函数族 1 1 m a x a ，6 】- ，m i n a ，6 ) 分别表示取a ，b 二者的最大值和最小值 1 2 口表示定理或引理的证明结束 4 曲阜师范大学博士学位论文 第二章非线性周期边值问题的正解 本章考虑下列二阶周期边值问题 二，2 裂嵩矧亿 c 磺， lu ( o ) = u ( 2 7 r ) ， u 7 ( o ) = u 7 ( 2 7 r ) ， 、1a7 和 j 珏+ o ( t ) u = a f ( t ，缸) ，0 t 2 r ，懈、 iu ( o ) = 乱( 2 7 r ) ，u ( o ) = u 7 ( 2 7 r ) v 刈 的正解，其中a c o ，2 7 r 】，f ：( 0 ，2 n 】xr + _ r + 连续，入 0 是一个参数 第一节，在一定的超线性和次线性条件下，我们得到t - 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