（地球探测与信息技术专业论文）层状介质中的瑞利波和三维电磁模拟研究.pdf

与 实 践 意 义 论文的后半部分主要研究了积分方程法三维电磁模拟的理论与应用 采用 积分方程法进行三维电磁模拟的关键是求取相应情况下的电张量格林并矢 论 文首先讨论了电张量格林并矢的定义 从电张量格林并矢的物理意义出发 通 过求解沿不同方向放置的偶极子所产生的场 导出了均匀导电半空间中频率域 和时间域电张量格林并矢的解析表达式 文中基于f r e d h o l m 积分方程 用数值 方法实现了三维电磁模拟 通过验证算法的收敛性和与已有结果的对比 证明 了 算法的正确性 文中还给出了积分方程法三维电磁模拟在激电与大地电 磁中 的两个应用实例 对于大地电磁的情形 由改变异常体走向长度的计算结果来 看 当异常体走向长度达到其宽 高及埋深的八倍以上时 与将异常体视为二维 时的结果相差不多 而不满足上述条件时 与二维情况下的结果相差较大 此时 就须用三维的正反演软件进行数据处理 这也充分说明了开展三维电磁模拟的 必要性 关键词 瑞利波 导波 表面波 能陷波 之 字形频散曲线 张量格林并矢 积分 方 程 咋维 电 磁 模 拟 ab s t r a c t p r o p a g a t i o n o f r a y l e i g h wa v e s i n s t r a t i f i e d h a l f s p a c e a n d t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g u s i n g i n t e g r a l e q u a t i o n a r e s t u d i e d i n t h i s p a p e r d i s p e r s io n e q u a t i o n o f g u i d e d w a v e s r a y l e i g h w a v e s p r o p a g a t e d i n s t r a t i f i e d h a l f s p a c e i s i n d u c e d b a s e d o n t h e p r o p a g a t io n m a t r i x a n a l y t i c e x p r e s s i o n s o f d i s p l a c e m e n t o f g u i d e d w a v e s i n t h e f r e e s u r f a c e a r e g i v e n t h e d i s p l a c e m e n t i n a r b it r a ry d e p t h b e l o w t h e f r e e s u r f a c e c a n b e o b t a i n e d t h r o u g h t h e p r o p a g a t i o n m a t r i x i f t h e d i s p l a c e m e n t i n t h e f r e e s u r f a c e i s k n o w n l o s s o f p r e c i s i o n i n h i g h fr e q u e n c y c a n b e a v o i d e d u s e t h e p r o p a g a t i o n m a t r ix i n t h i s p a p e r w h i c h h a s a c o n c i s e a n d s y m m e t r i c a l f o r m i t i s f i r s t l y p r o v e d t h a t t h e d i s p e r s i o n e q u a t i o n i s a r e a l e q u a t i o n f o r t h e g u i d e d w a v e s w h o s e v e l o c it y i s r e a l i t p r o v i d e d t h e t h e o r e t i c a l f u n d a m e n t f o r s o lv i n g t h e d i s p e r s i o n e q u a t i o n u s i n g b i s e c t m e t h o d p r e v i o u s r e s e a r c h e s a r e a lm o s t a b o u t t h e d i s p e r s i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f g u i d e d w a v e s t h e s t u d i e s o f e x c it a t i o n m e c h a n i s m s w e r e c a r r i e d o u t o n l y o n t h e fi r s t a n d s e c o n d m o d e s i n t h i s p a p e r t h e d i s p e r s i o n a n d e x c i t a t i o n m e c h a n i s m s o f g u i d e d w a v e s in s t r a t i f i e d s p a c e a r e s t u d i e d a l l p o s s ib l e g u i d e d w a v e s e x c i t e d b y a s y m m e t r i c p o i n t s o u r c e i n t w o o r t h r e e l a y e r s a n d t h e i r r e l a t i o n t o t h e m e d i u m p a r a m e t e r s a r e a n a l y z e d i n d e t a il f i r s t l y a n d t h e p r o p a g a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f s u r f a c e w a v e s a n d t r a p p e d w a v e s a r e a ll i n v e s t i g a t e d i t i s f o u n d t h a t t h e r e e x i s t m a n y g u i d e d w a v e m o d e s i n t h e c a s e t h a t t h e s h e a r w a v e s v e l o c i t y o f l a y e r i n c r e a s e s fr o m u p fr e e s u r f a c e t o d o w n t h e f i r s t m o d e i s s u r f a c e w a v e w h o s e d i s p l a c e m e n t c o n c e n t r a t e d o n t h e s m a l l r a n g e n e a r t h e fr e e s u r f a c e a n d a tt e n u a t e d e x p o n e n t i a l l y w h e n d e p t h i n c r e a s e s t h e h i g h m o d e s a r e t r a p p e d w a v e s w h o s e d i s p l a c e m e n t c o n c e n t r a t e d o n s o m e d e p t h b e l o w t h e fr e e s u r f a c e h o w e v e r t h e r e i s l e s s t h a n o n e g u i d e d w a v e m o d e i n t h e c a s e t h a t t h e s h e a r w a v e s v e l o c i t y o f l a y e r d e c r e a s e s fr o m u p t o d o w n t h e t r a p p e d w a v e s e x i s t a n d p r o p a g a t e a l o n g t h e l o w v e l o c i t y s t r u c t u r e i n t h e s t r a t i f i e d h a l f s p a c e c o n t a i n e d a l o w v e l o c i t y l a y e r t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s u r f a c e w a v e s a n d t r a p p e d w a v e s a r e r e l a t e d t o t h e p a r a m e t e r s o f m e d i a a n d t h e fr e q u e n c y o f s o u r c e t h e p r o b le m o f z i g z a g d i s p e r s i o n c u r v e i n r a l e i g h w a v e e x p l o r a t i o n i s a l s o e x p l a i n e d t h e o r e t ic a l l y i n t h i s p a p e r t h e r e s u lt s h o w s t h a t i t i s t h e m u l t i m o d e s o f g u id e d w a v e s i n s t r a t i f i e d h a l f s p a c e c a u s e d t h e z i g z a g d i s p e r s i o n c u r v e a i m a t t h e f a c t t h a t t h e r e a r e s o m e o n e e x p l a i n t h e z i g z a g d i s p e r s i o n c u r v e o n l y b y f i r s t m o d e g u id e d w a v e it i s p r o v e d t h a t t h e z i g z a g d i s p e r s i o n c u r v e c a n n o t b e o b t a i n e d b y s i n g l e m o d e o f g u i d e d w a v e t h e m e c h a n i s m o f z i g z a g d i s p e r s i o n c u r v e s i n t h e r a y l e i g h w a v e e x p l o r a t i o n i s a n a l y z e d f u r t h e r f r o m t h e v i e w p o i n t o f p h a s e v e lo c it y a n d d i s p l a c e m e n t o f t h e g u i d e d w a v e s t h e d e f i c i e n c y t o e x p l a i n z ig z a g d i s p e r s i o n c u rv e o n ly fr o m t h e v i e w p o i n t o f p h a s e v e l o c it y i s p o i n t e d o u t t h e r e l a t i o n o f e x c i t a t i o n i n t e n s i t y o f e a c h m o d e t o t h e s t r a t u m p a r a m e t e r s i s s t u d i e d t h e z i g z a g d i s p e r s i o n c u rv e i s i n v e s t i g a t e d f i r s t l y i n d e t a i l u s e t h e t h e o ry o f c o r r e l a t i o n m e t h o d w h i c h i s a d a p t e d i n r a y l e i g h w a v e e x p l o r a t i o n t h e e ff e c t s o f t h e p o s it i o n a n d t h i c k n e s s o f l o w v e l o c it y l a y e r a n d o t h e r p a r a m e t e r s o n t h e z i g z a g d i s p e r s i o n c u rv e o f r a y l e i g h w a v e i s a l s o a n a l y z e d f i n a l l y t h e c o m p a r a t i v e a n a l y s e s b e t w e e n t h e p r a c t i c a l d a t a a n d t h e o r e t i c a l r e s u lt s a r e c a r r i e d o u t t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e c o n s i s t e n t t o t h e p r a c t i c a l d a t a r a t i o n a l i t y o f v i e w p o i n t i n t h i s p a p e r i s p r o v e d t h e w o r k s i n t h i s p a p e r h a s t h e i m p o rt a n t s i g n i f i c a n c e o f t h e o ry a n d p r a c t i c e t o a c h i e v e t h e in t e r p r e t a t i o n f o r r a y l e i g h w a v e e x p l o r a t i o n t h e t h e o ry a n d a p p l i c a t i o n o f t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g u s i n g i n t e g r a l e q u a t i o n s i s s t u d i e d i n t h e b a c k o f t h i s p a p e r t h e k e y t o t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g u s i n g i n t e g r a l e q u a t i o n i s t e n s o r g r e e n s d y a d i c d e f i n i t i o n o f t e n s o r g r e e n s d y a d i c i s d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r a c c o r d i n g t o p h y s i c a l m e a n i n g o f t h e t e n s o r g r e e n s d y a d i c t i m e d o m a i n a n d f r e q u e n c y d o m a i n t h r e e d i m e n s i o n a l t e n s o r g r e e n s d y a d i c in a h o m o g e n e o u s c o n d u c t iv e h a l f s p a c e a r e o b t a in e d b y c a l c u l a t in g t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d c a u s e d b y d i p o l e t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g i s a c c o m p l i s h e d b y n u m e r i c al m e t h o d b a s e d o n t h e f r e h o l m i n t e g r a l e q u a t i o n t h e c o r r e c t n e s s o f t h e m e t h o d i s p r o v e d b y c h e c k i n g t h e c o n v e r g e n c e o f p r o g r a m a n d c o m p a r e d t o t h e k n o w n r e s u l t s t w o e x a m p l e s a p p l i e d t h i s m e t h o d t o i p a n d mt i s g i v e n i t i s f o u n d t h a t t h e r e s u l t s i s t h e s a m e a s t h e t w o d im e n s i o n a l s it u a t io n w h e n t h e s t r ik e e x t e n t o f t h e s t r u c t u r e i s e q u a l o r b i g g e r t h e o c t u p l e o f w id t h h e i g h t a n d d e p t h o f t h e s t r u c t u r e d i ff e r e n t r e s u l t s a r e o b t a i n e d i n o t h e r w i s e a n d d a t a p r o c e s s s h o u l d b e c a r r i e d b y t h r e e d i m e n s i o n al s o ft w a r e i n t h i s c a s e t h e r e s u lt s s h o w t h a t it i s n e c e s s a ry t o d e v e l o p t h e t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g k e y w o r d s r a y l e ig h w a v e s g u id e d w a v e s s u r f a c e w a v e s t r a p p e d w a v e s z i g z a g d i s p e r s i o n c u rv e t e n s o r g r e e n s d y a d i c i n t e g r a l e q u a t i o n a p p r o a c h t o t h r e e d i m e n s i o n a l e l e c t r o m a g n e t i c m o d e l i n g 中南大学硕士学位论文 绪论 2001 年 3 月 绪论 本论文共分两部分 层状介质中瑞利波的传播与三维电磁模拟 瑞利波 研究部分为第一章到第三章 三维电磁模拟部分为第四章到第五章 1 层状介质中瑞利波的传播 波是扰动沿空间的传播 它是物质运动的一种形式 任何一种波总携 带着波源及传播介质的信息 利用这种特点 人们常把波作为传递信息和 研究介质物质特性的重要手段 地震勘探便是利用波在地球介质中的传播 来获取地球内部结构和物质状态的一种方法u 7 在无限固体介质中能够传 播的只有 p波和 s波两种体波 但如果物体有一个自由 表面或两种不同介 质的交界面 那么在介质中将出现沿界面传播的导波 g u i d e d wa v e 瑞 利波 r a y l e i g h w a v e 便是 英国 科学家r a y l e i g h 于1 8 8 7 年在均匀弹性半空间 中发现的一种导波 其能量主要集中在自由表面下的一个波长范围内 随 着离开自由界面的距离 能量成指数规律衰减 后来人们便称具有这种性 质的 波为 r a y l e ig h 瑞利 波 或 称为 面 波 1 a 1 与 纵波和横 波不同 瑞利 波是沿自由界面传播的一种导波 它是介质中纵波和横波祸合的结果 具 有传播速度低 衰减小 抗干扰强等特点 在传统的地震勘探中 多是利 用 p波与 s波的信息 而瑞利波通常被认为是干扰波 瑞利波勘探真正作 为一种浅层地震勘探方法 是在8 0 年代日 本v i c株式会社推出g r 8 1 0 地 下全自 动勘探机后 才发展起来的 由于其具有简单 方便及不受施工场地 的限制等优点 很快得到了普及应用 关于瑞利波的理论研究也成为广大 科技工作者所关注的课题 对于均匀半空间而言 只存在一个导波模式 即前述的瑞利波 其传 播速度与频率无关 约为横波速度的 0 8 7 0 9 5倍左右 然而在层状介质 中 其弹性波场变得十分复杂 这时 可能会出现多个导波模式 特别是 在层状介质中出现低速软弱夹层或地层裂缝时 这种多模现象尤为突出 在 这众多 的 模式中 究 竟哪 一个 模式 对 应着r a y l e i g h 当 初 最 先提出 的 瑞 利波 这并没有一个统一的规则 有时要寻找这种对应关系是不可能的 但人们 还是习惯于使用瑞利波这一术语 泛指在实际勘探中接收到的面波波包 而毋须追究瑞利波究竟对应着哪一个模式 中 南 大 学 硕 士 学 位 论 文 m 兰 一一一一一一一二 0 0 1 j 竺1 关于层状介质中导波的理论研究 最经典的方法是由t h o m s o n提出并 经h a s k e l l l5 修正的矩阵传递法 k n o f f i 和t h r o w 日 等人发现 利用h a s k e l l 矩阵求解频散方程时 高频区域存在有效数字的精度丢失问题 a b o z e n a i 和 m e n k e 0 改进了 传递矩阵的形式 提高了高频区域的计算精度 b ix i n g z h a n g 11 12 等 在m e n k e 的 基 础 上 进一 步简 化了 矩 阵 形 式 使 传 递 矩阵 更 为 简洁和对称 并且发现了矩阵元素之间一些新的性质 本文第一章 将总结以上前人关于层状介质中导波的传播理论 从弹 性波动方程出发 由传递矩阵得出层状介质中导波的频散方程 及其在自 由表面的激发强度 作为后面研究导波特性和瑞利波勘探中一些问题的理 论基础 另外 还证明了对于速度为实数的导波模式来说 其频散方程是 一个实方程 从而可以采用二分法求出所有导波模式的解 为数值模拟提 供方便 一般情况下 沿层状结构传播的导波 存在无限多个模式 但大体上可 分为两大类 一类是表面波 s u r f a c e wa v 助 它是因为有自由界面的存在而 产生的 其能量主要集中 在自 由 界面附 近 另 一类是能陷 波 t r a p p e d w a v e 它是由于自由界面下还存在其它的介质交界面而产生的 其能量大部分集 中在自由界面下某一深度范围内 而在自由表面的强度很弱 有时在表面上 难以测量到 在无损检测中 探测器位于自由表面上 这时探测到的导波信 息很可能是表面波 然而 当自由界面下存在低速的软弱夹层或裂缝等结 构时 在某些频段范围内 不存在沿自由界面传播的表面波 这时 接收 器接收不到任何导波信息 但实际上 在其低速层中还存在沿层面传播的能 陷波 这种能陷波携带了大量的关于低速层结构的信息 在自由 表面处的 强度几乎为零 其能量主要集中在低速层内 在地球物理探测中 跨井 c r o s s b o r e h o l e 勘探及垂直地震剖面 v s p 等技术的发展 可以使我们获得更多 的地层信息 通过井中的信息 我们可以得到沿地表下某些层面传播的能 陷模式 从而确定低速层 油气或煤层 的位置和性状等 这一发展使得研 究层状介质中的能陷波具有十分重要的意义 对于层状介质中传播的导波 己有很多的科技工作者开展了 深入的研究 但大部分工作都局限于表面波方面 关于能陷波 p a r r a 1 1研究了层状介质 中存在低速多孔介质时的前几个导波模式的频散特性 没有深入研究它们的 激发机制 没有说明能陷模式究竟沿哪些层面传播 张碧星等 1 q 1 s 7 曾 在弹 2 中南大学硕士学位论文 绪论 2 0 0 1 年3 月 性层状半空间下 研究了表面波和能陷波的频散及激发机制 但没有对所 有的能陷模式进行研究和分析 而且对于能陷波的激发与传播特性跟地层 参数的关系等问题 没有作深入的分析和说明 本文第二章研究了沿层状介质中传播的所有导波模式的频散与激发机 制 分别在含有两层和三层介质情况下 详细分析了在对称点源激发下 所 有可能存在的导波模式的传播特性以及它们与介质参数的相互关系 特别 是在含有低速层情况下 研究了所有可能的导波 表面波和能陷波 的激发 与传播机制 分析了其激发强度沿深度方向的分布规律 在层状介质中 瑞利波 导波 出现多个模式 每一模式都对应着一条 相应的频散曲 线 由 波动理论得到的这条频散曲 线 是一条光滑的曲线 而 在实际瑞利波勘探中 所测得的频散曲线是一条带有 之 字形拐点的频散 曲线 人们也正是利用该 之 字形拐点的位置来判断地层裂缝或溶洞的大 概位置的 但对 之 字形频散曲线的形成机理没有给出理论上的解释 在 以往的文献中 都认为这条频散曲线对应着基阶模式的瑞利波 对于横波速 度随深度逐渐增加的层状介质来说 由于基阶模式的能量较大 可以认为 接收到的频散曲线即是基阶模式的频散曲线 但对于不完全满足上述条件 的介质而言 高阶模式的能量就不能忽略 关小平 黄嘉正等 1 7 1 8 1 曾从多 层液体模型出发 对频散曲 线的 之 字形回折问题进行过理论探讨 张碧 星等 1 s 从层状固体介质模型出发 根据各个模式相速度大小关系 曾 对 之 字形频散曲线的形成做过正反演研究 认为 之 字形的频散曲线是层状介 质中导波的多模性造成的 对于高阶模式而言 其存在都受截止频率的限 制 在足够低的频率范围内 检波器接收到的可能只是基阶模式的瑞利波 在其余频段一般都有多个模式 每个模式的相速度和群速度各不相同 这 样 从震源传播到同一个检波器 有可能速度较高的模式先到达 速度较 低的模式后到达 在不同的频段 哪一个模式的速度最高也不是一成不变 的 检波器就有可能在某个时刻接收到的是一个模式 而在另一个时刻接 收到的是另一个模式 其频散曲线就出现了较大的跳跃 形成了许多 之 字形的拐点 这种解释存在不足之处 实际上 任何一个波包都是以群速 度大小传播至检波器的 利用群速度来解释 之 字形频散曲线的形成 似 乎更为合理 但对于各个导波模式而言 群速度大的模式 其激发强度有 可能很低 以至于不能被检波器接收到 因此 考虑颇散曲线的形成应 中南大学硕士学位论文绪论2001 年3 月 该从各个导波模式激发强度的角度来考虑 不管从哪一个角度来划分 之 字形的频散曲线 归根到底总是层状介质中导波的多模性造成的 因此 在 对实际勘探中瑞利波频散曲线进行解释时 考虑高阶模式的激发强度是必 要的 本文第三章主要讨论了瑞利波勘探中 之 字形频散曲线的形成机理 指 出单从相速度角度出发来考虑 之 字形频散曲线的不足之处 证明了由单 个导波模式是不会得到 之 字形频散曲线的 之后 从各导波模式激发强 度的角度 采用相关算法 研究了含有低速层的层状介质 瑞利波 之 字 形频散曲线与低速层介质的位置 厚度及其它参数的相互关系 并与实际 资料作了对比分析 2 三维电磁模拟 自2 0 世纪7 0 年代以 来 无论是频率域还是时间域电 磁法勘探技术 在 实际应用中都得到了较快的发展 目 前 已 广泛应用于构造填图 石油 金 属矿床 煤田 地热以及地下水和冻土带的探测 取得了比较好的地质效 果 被普遍认为是一种很有前景的物探方法在电磁法的仪器设备方面也 不断推出新产品 发展很快 然而 由于电磁法的解释技术相对落后 制约了 电磁法的发展 野外地质情况复杂 在用电磁法解决各类地质问题时 迫切 需要二维和三维正反演软件作为资料解释的重要工具 而高维电 磁响应的数 值模拟和反演成像是一项非常复杂的工作 也是当前勘探地球物理领域前沿 的研究课题 尤其是三维体电磁响应的数值模拟 更是迫切需要解决的问题 它是反演成像的基础 同时对深入理解所测量到的三维体电磁场响应的物理 性质 场的分布规律和特点 是非常重要的 是解释实际资料的理论依据 基本的电磁模拟方法有微分方程法和积分方程法两种 前者主要包括 有限元与有限差分法 它们都要求对整个考察空间进行剖分 需占用大量的 内存和时间 这使得其在野外实际应用中显得十分 昂贵 和 费时 而采用 积分方程法进行三维电磁模拟 只需要对异常体进行剖分 克服了上述的缺 点 大大提高了 计算速度 减少了计算中占 用的内存 使其走向野外实际应用 成为可能 国外学者很早就开始了三维电磁响应的积分方程法数值模拟的 研究 从频率域到时间域 从均匀导电半空间到层状介质 都取得了很大的进 展 除了采用全积分等 精确 解外 还研究了各种近似求解方法 如 b o r n近 似 扩展 b o r n近似等 在不明显影响精度的同时 进一步提高了数值模拟的 中南大学硕士学位论文绪论2 1 年3 月 计算速度 减少了占用内存 采用积分方程法进行三维电磁散射的数值模拟 是基于 f r e d h o l m方程的 该积分方程的积分核是格林函数 在频率域中 它 表示 在 处 沿i 方向 放置的 极 矩p i il 8 为复 介电 常 数 的 偶极 子在空间 处产生的沿1 方向的电 场 由于 沿每一个方向 放置的偶极子 在空间r 处产生 的电场都有三个分量 因此它是一个张量 称为电张量格林并矢 由于电张量 格林并矢的繁难 与国外相比 国内关于三维电磁响应数值模拟和反演成像 方面的成果报道较为少见 显示出与国外存在较大的差距 本文第四章 主要讨论了标量格林函数和电张量格林并矢的定义 并从 电张量格林并矢的物理意义出发 通过求解沿不同方向放置的偶极子产生的 电场 导出了 均匀导电半空间的电张量格林并矢 给出了它的解析表达式 野外实际勘探中 真正一维和二维的情况是不存在的 虽然在一定的尺 寸要求下 可以近似利用一维或二维的正反演软件来进行数据处理 但更多 的时候 需要应用三维的正反演软件模拟野外实际情况 才能得到较好的解 释 效 果 现 有 的 一 维 和 二 维 的 解 释 软 件 大 部 分 是国 外 开 发的 在 对 程 序 的 使 用 理解和改进方面都具有一定的局限性 因此开展三维电磁散射的数值模 拟显得很有必要 本文第五章讨论了积分方程法三维电磁散射数值模拟的实现 通过考察 算法的收敛性及与前人结果的对比 验证了我们的计算程序是可靠的 之后 给出了其在徽发极化和大地电磁中的两个应用实例 大地电磁情形的数值模 拟表明 当异常体的走向长度达到其宽 高及埋深的八倍以上时 异常体 走向长度的变化对结果的影响很不明显 给出的结果与二维模型的资料相 近 这说明此时的异常体可作为二维异常体来处理 利用己 有的二维软件 进行反演拟合 然而 当异常体的走向长度处于其宽 高及埋深尺度的八 倍以下时 得到的结果与二维资料的差别很大 此时的实际问题就不能当 作二维模型来处理 必须由三维电磁散射来模拟和分析 这进一步说明开展 三维电 磁散射数值模拟工作的必要性 本文第一部分关于弹性波的理论研究 其模型是针对均匀层状弹性半 空间的 没有涉及半空间中三维体对声波的散射问题 本文第二部分研究 了均匀半空间中 三维体对电磁波的散射问题 由于声波和电磁波都满足波动 方程 因此在这一点上它们具有一定的可比性在研究三维体对电磁波的 中 南 大 学 硕 士 学 位 论 文 燮匕一一一一一一一二0 0 1 鱼3二 散射问题时 我们把三维体剖分成许多小的立方块 而这些小立方块均看 成是偶极子 由于偶极子产生的场 电张量格林并矢 已知 所以散射场可 经过对所有小立方块产生的场的积分得到 考虑前述声波与电磁波的某些 相似性 在研究三维体对声波的散射时 可以设想将三维体也剖分成许多 小块 而针对每一小块 可以求出水平振子和竖直振子两种震源产生的声 场 然后进行与三维体对电磁波的散射类似的处理 从而实现均匀半空间 中含有三维体对声波的散射模拟 因此 本文两部分的研究工作是一个有 机的整体 这些工作为今后开展均匀半空间中三维体对声波的散射研究奠 定了理论基础 中南大学硕士学位论文 第一章层状半空间中的弹性波理论 2 0 0 1 年 3月 第一章层状半空间中的弹性波理论 本章将从应力应变的概念出发 利用牛顿第二定律阐述的力和加速度之 间的关系 导出各向同性固体介质中的矢量波动方程 并由此方程出发 求 解层状半空间中的弹性波场 得到导波的频散方程及其在自由表面的激发强 度表达式 1 各向同性介质中的波动方程 考虑均匀各向同性的弹性固体介质 均匀意味着物质是处处均匀的 所 研究范围内的任意体积元的平均性质都是相同的 各向同性指物体的性质与 方向无关 介质在各个测量方向上的传播特性是相同的 弹性是指物体虽然 在外力的作用下发生形变 但当外力撤去时 物体中的各点将返回原来的位 置 只要形变或体变很小 许多物体 包括岩石 都可以近似认为是完全弹 性体 1 位移与应变 设 质 点a 和b 的 初 位 置 为 x j x i d x 在 外 力 的 作 用 下 分 别 移 到 才 和 b 点 如 图1 1 所 示 a a 之 间 的 位 移 为 u x b b 之 间 的 位 移 为 u x i d x u x j 表 示a 点 即 x 处 位 移 矢 量 的 第i 个 分 量 而i i 可以 认 为 是 任 意 正 交 坐 标系中的基矢 例如 在直角坐标系中为x y z 在柱坐标系中为 0 z 图 图 1 1 介质变形前后的质点位置 中南 大学硕士学位论文第一章 层状半空间中的弹性波理论2 0 0 1 年3 月 1 1 中 给出的为直角坐标系 由于物体在外力的作用下产生了体变和形变 即应变 b点位移和a点位 移之间将有一个差值 d u x j u x d x j 一 u x j 1 1 对于小形变量则有 d u x a u 改 a x j 1 2 将 1 2 式写为矩阵形式即为 1 3 私一人帆一人机一姚 飒一粼飒 飒飒一粼 1 3 式 右端的 第一 个矩阵 称为 位移梯度 矩阵 2 0 1 其第i 行第j 列元 索可以 表 示为 a u v a x j 1 4 d u 是一个二阶张量 可以写成一个对称张量和一个反对称张量的和 d u 生 d u 而 十 生 v 一 而 2 2 即 1 5 含有 一 的项表示转置 令 一 合 u d u 1 au au 2 ax a x 一 i d u 一 o u 二 合 au oxi 一 au ax 1 一 1 7 称e为 应 变 张 量 u x 为 旋 转 张 量 这 样 可以 将 1 1 式 改 写为 d x u x i e v 么 么 1 8 式表明 任意一点位移均可以表示成平动位移 1 8 形变位移和旋转位移 之 和 旋 转 张 量 作 用于 矢 量d x 后等 于 旋 转 位 移 应 变张 量 作 用 于 矢量d x 后 中南大学硕士学位论文第一章 层状半空间中的 弹性波理论2001 年3 月 得到 形变位移 在 应变张 量中 非对角元素e ij t j 为 线元因 形变而引 起的 角 度变 化 它 表示 物体的 切 变大小 对角元 素e 表示 线元 在i 方向 的 相对伸 a u 一 l 长 而 e e e e 兰 0 u 这里相同 角标表示求和 称为单 位 a x j 体积的体变量 即胀缩量 d i l a t a t i o n 整个应变张量说明 在形变体内任一 点上 一般说来沿任一面上的形变 既有长度的变化 也有切变 单纯的拉 伸与切变只是其中的特例 旋转张量为一反对称张量 可以用三个量来表示 1质 r 加 日 二一 一一一 2 o x 2 a x a 1 a u u 二一 二 2 d x ax r1 au 1v 2 1 9 帆一飒 21 2 利用 1 9 式可以将旋转量记为 0 6 e 0 2 e 2 9 e 3 1 1 0 如果在柱坐标系中 应变张量各元素可以 表示为 2 0 1 e 朋 孺糯 十 巫 a u u l 丁 万十一 j rw r 6 口二 e 二 au az 合 a a c 1 一 1 1 与产 竺沙 耳eez肠 2 应力及应力应变关系 应力 s t r e s s 定义为单位面积上的力 当力作用于一个物体时 应力等于 作用力和它作用的面积之比 当作用力随空间发生变化时 应力也随作用力 的变化而变化 此时 应力的计算需引入一个无穷小的面元 它等于作用在 小面元上的力除以小面元的面积 如果作用力垂直于小面元 该应力称为法 向 应力 n o r m a l s t r e s s 如果作用力的方向相切于小面元 该应力称为剪切 应力 s h e a r i n g s t r e s s 在各向同性介质中 应力为二阶张量 可写为 t t y e te 共 有 九 个 分 量 根 据 力 矩 的 平 衡 因 此 该 张 量 是 对 称的 只有六个独立的分量 每个分量有两个角标 以第一个角标表示力所 中 南 大 学 硕 士 学 位 论 文第 一 童 星 生 鑫 生 室 f 丝进些竺生一一一止二0 1 兰3 a 作用平面的法向 第二个角标表示力的方向 考虑物体中的小立方体d x d y d z 六个面分别 平衡于x y 轴 则作用于该 立方体元 上的 沿x 方向的 力为 f 二 x d x 一 z x d y d z z y d y 一 z y d x d z 二 d z 一 二 z d x d y at 氏 卜 尺盆 苛 x即 a v o l p 1 招宕 a v c 1 u 二 一 二 一 一 e w 下 一二 一 e o x a c o x一o x o x i 一o x o x a o 人v凸十l l e 以 一 a x a x u 二 入 u v o 1v u 刃2 u 1 t v v u 1 一 1 7 因而 1 1 6 式可以写为 ftv 2u v v a 2up ot 1 1 8 1 1 8 式即是各向同性弹性固体中的矢量波动方程 2 1 1 vx vx u v v u 一 v 1 u 根据矢量恒等式 1 1 9 还可以将波动方程写为 v 一 v x v a l up a t 1 2 0 对 1 1 a 式分别求散度和旋度可以得到 a 2 l l v 2 v u p 日 v u a t 2 1 z 1 x 1 2 2 钾 动 l t v 2 v x u p 1 2 1 式即 是纵波 l o n g i t u d i n a l w a v e 的 波动方程 式中的v u正是物体 的体变模量 胀缩量 因此 纵波又称为膨胀波 d i l a t a t i o n a l wa v e 或压缩 中南大学硕士学位论文第一章 层状半空间中的弹性波理论 2 0 0 1 年3 月 波 c o m p r e s s i o n a l w a v e 在这种波里 只有体积的胀缩变化 包括伸长和 切变 而没有旋转 实际上 令 1 2 0 式中的位移的旋度a x 二 0 也可以得 到 1 2 1 式的纵波方程 所以纵波也称为无旋波 1 2 2 式即是横波 t r a n s v e r s e wa v e 的波动方程 从式中含有的vx 项看出 旋转张量 工 v x 也 满 足 这 个 方 程 因 此 横 波 也 叫 旋 转 波 r o t a t io n a l w a v e 若 令 2 1 2 0 式中的位移散度v u o 也可以得到横波方程 1 2 2 式 v u 0 意味 着物体的体变模量为零 只含有剪切变化 所以横波又称为不变体积波或剪 切波 s h e a r wa v e 若将位移用如下的势函数来表达 u v p v x x e vx v x w e 1 2 3 把 1 2 3 式的右端各项分别代入 1 1 8 式的波动方程并与 1 2 1 式和 1 2 2 式作比 较 可以看出 位移表达式中含有梯度项的势函数 表示纵波的位移 项 含有旋度项的势函数义 和v 则表示横波的位移项 实际上 它们分别对 应着横波中的s h 与s v 波型 将整个位移表达式代入 1 1 8 式后得到 v 2w v 2 一 p a l 1 v x ftv 2 一 p s x e 1 v x v x wv zar 一 p 0 2wt e l 0 1 2 4 则有 v z v 2 a 2 v z 义 1 2 5 v 2 w rles了j 1 一1 其中v 二 入 2 件 t pp 另 纵