高等数学 第八节 函数的连续性【ppt】 .ppt

一 连续函数的概念 极限形式 增量形式 1 连续性概念的增量形式 在某过程中 变量u的终值u2与它的 初值u1的差u2 u1 称为变量u在u1处的 增量 记为 u u2 u1 定义 设函数f x 在u x0 内有定义 x u x0 则称 x x x0为自变量x在x0点处的增量 f x0 x f x0 y f x f x0 x y o x0 x x y y f x 此时 x x0 x 相应地 函数在点x0点处 有增量 y 连续性概念的增量形式 则称f x 在点x0处连续 设f x 在u x0 内有定义 若 定义 设f x 在u x0 内有定义 若 则称函数f x 在点x0处是连续的 2 函数连续性的定义 极限形式 函数的连续性是一个局部性的概念 是逐点定义的 定义 是整个邻域 函数f x 在点x0处连续 应该满足以下三点 函数y x2在点x 0处是否连续 函数y x2在点x 0处连续 又 且 y x2在u 0 内有定义 解 3 函数的左 右连续性 设函数f x 在 x0 x0 内有定义 若 则称f x 在x0点处右连续 设函数f x 在 x0 x0 内有定义 若 则称f x 在x0点处左连续 其中 为任意常数 定义 定理 讨论y x x 在点x 0处 y x 在点x 0处连续 x y y x o 的连续性 解 讨论函数f x x2 x 1 在x 1处的连续性 函数f x 在点x 1处不连续 故函数f x 在点x 1处是左连续的 x 1 x 1 但由于 解 4 函数在区间上的连续性 设函数f x 在开区间 a b 内有定义 若 x0 a b f x 在点x0处连续 则称f x 在开区间 a b 内连续 记为 f x c a b 定义 若f x c a b 且f x 在x a处 右连续 在端点x b处左连续 则称函数 f x 在闭区间 a b 上连续 记为 f x c a b 对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性 定义 一般地 如果函数f x 在区间i 上连续 则记为f x c i 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 现在有了连续性的概念 可把此结论表述为 基本初等函数在其定义域内每点处均连续 即 基本初等函数在其定义域内是连续的 二 函数的间断点 函数f x 在点x0处连续 应该满足以下三点 若函数在点满足下述三个条件中的任何一个 则称函数在点处间断 点称为函数 f x 的一个间断点 定义 求函数间断点的途径 2 函数间断点的分类 函数的间断点 1 第一类间断点 若x0为函数f x 的一个间断点 且 f x 的第一类间断点 则称x0为函数 定义 在x 0处的连续性 y x o 1 y sinx y x 1 由图可知 函数在点x0处间断 故x 0是f x 的第一类间断点 将左 右极限存在但不相等的间断点 称为函数的跳跃型间断点 解 讨论 函数在x 1无定义 故x 1为函数的第一类间断点 x 1为函数的间断点 y x o 1 1 p 1 2 y x 1 进一步分析该间断点的特点 解 补充定义 则函数f x 在x 1连续 f x 2x 1 即定义 这种间断点称为可去间断点 处函数值后 可得到一个新的连续函数 故将 在且相等 即极限存在 经过补充定义间断点 这个间断点的特点是该处的左 右极限存 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等 补充定义 2 第二类间断点 凡不属于第一类的间断点 称为函数的第二类间断点 这算定义吗 定义 即左右极限至少有一个不存在的点 讨论函数 x y o 在x 0无定义 x 0为函数的间断点 故x 0为函数 的第二类间断点 解 在x 0处无定义 又 不存在 故x 0为函数的第二类间断点 看看该函数的图形 解 o 1 1 x y 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在 左右极限至少有一个为无穷 左右极限至少有一个振荡 回忆函数极限的四则运算 则 三 初等函数的连续性 1 连续函数的四则运算 设函数f x g x fi x 在点x0处连续 则 即 有限个在点x0处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数 即 2 有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数 即 3 两个在点x0处连续函数的商 当分母不为零时 仍是一个在点x0处连续函数 即 2 反函数的连续性 y f 1 x 的图形只是y f x 的图形绕直线y x翻转180 而成 故单调性 连续性仍保持 设函数y f x 在区间i上严格单调增加 区间i y y f x x i 上严格单调增加 减少 且连续 定理3 反函数连续性定理 设函数u x 在点x0处连续 且 这个条件有必要吗 定理 复合函数连续性定理 3 复合函数的连续性 如果y f u 在u0处连续 则 当 u u0 时 有 f u f u0 再假设u x 且在x0处连续 即 亦即 证明 u u0 x x0 故对上面的 当 x x0 时 有 则 当 x x0 时 u u0 x x0 且有 假设可以构成复合函数 f u f u0 f x f x0 u cosx 1是在定义域内 的定义域是一个孤立点集 d x x 2k k z 每一点均不连续 在上述定理的条件下 在上述定理的条件下 极限符号可与连续函数符号交换顺序 推论1 设函数u x 的极限存在 函数y f u 在点u a处连续 复合函数f x 当x x0时的极限存在 且 若复合函数f x 在 内有定义 则 推论2 求 解 利用复合函数的连续性推论求极限 求 y lnu在其定义域内连续 故 y lnu在u 1处连续 解 4 初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的 初等函数在其有定义的区间内连续 注意两者的区别 利用初等函数和反函数连续性求极限 求 连续性给极限运算带来很大方便 解 故f x 在内连续 例15讨论函数 的连续性 解f x 在 2 内f x 1 e1 x 2 为初等函数 在 2 内f x sin x 也为初等函数 在分段点x 2处 有 使用时 直接删除本页 精品课件 你值得拥有