自动控制原理第七章习题答案.pdf

701 第七章 线性离散系统的分析与校正 7 1 试根据定义 0 n nTs enTesE 确定下列函数的 sE 和闭合形式的 zE tte sin 1 csbsas sE ba ca cb 解 Ts ez sin 0 zEenTsE n nTs 1 cos 2 sin 2 1 2 1 2 0 zTz zT ez z ez z j eee j zE TjTj n nTsjwnTjwnT 1 1 1 cscbcabsbcbaasacab sE 000 1 1 1 n nTscnT n nTsbnT n nTsanT ee cbca ee bcba ee acab sE cTbTaT ezcbca z ezbcba z ezacab z zE 记 cbcaba ba k1 ca k2 cb k3 3 2 1 2 321 cTbTaT TcbTcaTbaaTbTcT ezezez zekekekzekekek zE 7 2 采样周期为T 试求下列函数的Z变换 n anTe t ette 32 3 3 1 tte 2 1 s s sE 1 1 2 ss e sE sT 解 求解 和 小题可应用Z变换的偏微分定理或乘以时间变量的函数的Z变换 偏微分定理 已知函数 atf的Z变换为 azF a是与t及Z无关的变量或常数 则 azF a atf a Z 证明 由Z变换的定义及等值变换进行证明得 00 azF a zanTf a zanTf a atf a Z n n n n 702 乘以时间变量的函数的Z变换 已知函数 tf的Z变换为 zF 则 zF zd d zTtftZ 证明 由Z变换的定义及等值变换进行证明得 000 zF zd d zTznTf zd d zTznTf zd d zTznTfnTtftZ n n n n n n az z zE 解 1 因 tata e a et 2 2 2 及 T t ez z eZ 3 3 得到 33 3 32 T T T ez ezz eTzE 解 2 33 3 32 23 3 3 T T T T T T ez ezz eT ez z Te zd d zT ez z zd d zT zd d zTzE 解 1 因 ta e a t 3 3 3 0 a 即 4 23 3 3 1 14 3 3 1 z zzzT ez z a zE aT 解 2 4 23 1 14 3 1 3 z zzzT z z zd d zT zd d zT zd dzT zE 2 0 2 2 1 1 1 z Tzz ez z s s s s zE s Ts 或 22 1 1 1 1 z zT z z s Z s ZzE 1 1 1 1 1 1 0 1 2 z ez z ezs z s z ss ZzE T s Ts 1 1 1 1 T TT ezz eTzeT 7 3 试用部分分式法 幂级数 长除 法和反演积分 留数计算 法 求下列函数的Z反变换 2 1 10 zz z zE 21 1 21 3 zz z zE 解 部分分式法 12 10 z z z z zE 12 10 n nTe 0 n 1 1 2 2 2 z z zT zT zE 32 nnTe 0 n 幂级数 长除 法 12 830 10 31 10 321 21 1 nn zzzz zz z zE 12 10 n nTe 0 n n znzzz zz z zE 32 9753 21 3 321 21 1 32 nnTe 0 n 反演积分 留数计算 法 703 12 10 2 10 1 10 12 n z n z n z z z z nTe 32 1 3 3 1 1 1 12 nznznzzz zd d nTe z nn z n 7 4 试求下列函数的脉冲序列 te 13 1 2 zz z zE 2 5 0 1 zz z zE 解 采用留数计算法 采样周期为T jz n jz n z n jzz z jzz z z z te 33 1 2 3 1 3 1 13 33 33 1 35 0 1 25 0 2 12 12 jjjnTe nnnn 以下0 k为整数 931 25 0 4 k kTe 193 25 0 4 k TkTe 3 91 25 0 24 k TkTe 3 91 25 0 34 k TkTe 5 0 1 5 01 2 25 2 1 25 2 1 1 5 0 z nn z n z n zzzn z z zd d z z nTe 0 5 0 13 1 9 4 5 0 5 0 1 1 9 4 1 nnnn nnn 7 5 试确定下列函数的终值 21 1 1 z zT zE 1 0 8 0 2 zz z zE 解 nTnte limnTe n 0 1 0 8 0 1 lim lim 21 1 zz zz te zt 7 6 采样周期为T 已知 teZzE 试证明下列关系成立 a z EnTeaZ n zE zd d TztteZ 证明 00 a z E a z nTeznTeanTeaZ n n n nnn 00 tteZznTenTznTe zd d TzzE zd d Tz n n n n 7 7 已知差分方程为 0 2 1 4 kckckc 初始条件 0 0 c 1 1 c 试用迭代法求输出序列 kc 4 3 2 1 0 k 704 解 2 1 4 kckckc 2 k 输出序列 kc 0 1 4 12 36 7 8 试用Z变换法求解下列差分方程 8 6 2 trtcTtcTtc 1 ttr 0 0 ttc 2 2 trtcTtcTtc 0 0 Tcc 2 1 0 nnnTr 0 6 1 11 2 6 3 kckckckc 1 1 0 cc 0 2 c 2 cos 6 1 5 2 k kckckc 0 1 0 cc 解 8 1 6 2 krkckckc 0 1 0 cc 4 6 2 2 1 31 4 2 1 z z z z z z z z zz zC 4232 6 1 nn ntc 0 n 1 2 2 krkckckc 0 1 0 cc 22 1 1 1 z zT z zC 1 2 1 2 1 1 z n z n z zT zd d z zT zd d nTc 4 1 1 1 n nT nTc 0 2 kTc TkTkTc 1 2 2 1 0 k 3 2 5 2 7 1 2 11 3 2 1 177 23 z z z z z z zzz zzz zC nn nTc35 2275 5 1 2 cos 2 2 z z kT T Z 1 2 sin 2 z z kT T Z 1 1 0 1 1 0 3 3 0 2 4 0 1 3 2 1 22 2 2 2 z z z z z z z z z z zz zC 2 sin 2 cos1 024 033 0 nn nTc nn 2 1 0 k 1 024 033 0 4 44 kk kTc 1 028 039 0 4 44 kk TkTc 1 026 137 2 24 44 kk TkTc 1 022 331 8 34 44 kk TkTc 7 9 设开环离散系统如图所示 试求开环脉冲传递函数 zG 解 a TT ez z ez z s Z s ZzG 52 52 5 5 2 2 TTT ezeez z zG 10522 2 10 b 5 1 2 1 3 10 5 2 10 ss Z ss ZzG 2 2 s 5 5 s R s C s 2 2 s 5 5 s R s C s a b 705 TTT TT ezeez zee zG 10522 52 3 10 7 10 试求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数 z 或输出Z变换 zC 解 解题要点 画出采样信号到采样信号的等效框图 a 1 3121 1 zGzGzGG zG z b 1 43 42143 zGGG zGRGzRGzGGG zC h h c 1 211 2112 zGGGzD zGGGzDzD z h h 1 211 2 zGGGzD zG z h n 7 11 已知脉冲传递函数及输入信号的 Z 变换 试求 nTc 1 1 37 01 1 053 0 z z zR zC zG 1 z z zR 解 37 0 1 1887 0 53 0 zz zz zRzGzC n z n z n z zz z zz nTc37 047 01 1 1887 0 53 0 37 0 1887 0 53 0 37 01 7 12 已知开环离散系统如图所示 其中 1 ttr 采样周期sT2 试比较 tc 和 tc 解 无论输入信号波形如何 tc 是离散信号 tc是连续信号 tc 和 tc仅在采样时刻上相等 1 z z zR 2 ez z zG 1 2 2 ezz z zC 2 22 1 1 e e nTc n 记t时刻对k时刻的脉冲响应为 2 kt k etc 于是有 G1 s G2 s G3 s G1 s G2 s G3 s G4 s Gh s a b R s R s C s C s T T T T D2 z D1 z G1 s G2 s Gh s c R s T C s N s T T T RG2G4 z ChG3G4 z RG1 z C z b R z G1G2 z G1 z G3 z C z a D2 z G2 z D1 z GhG1G2 z c R z C z N z 1 1 s r t r t c t c t 706 1 1 2 2 1 2 2 2 0 2 nTce e e eeeetc nt n nnt n k kt 1 22 ntn 7 13 设有单位反馈误差采样的离散系统 连续部分传递函数为 5 1 ss sG 输入 1 ttr 采样周期sT1 试求 输出Z变换 zC 采样瞬时的输出响应 输出响应的终值 c 解 注 修改了原题的连续部分传递函数 原题给出连续系统是不稳定的 且计算过于烦琐 0067379 0 1 19865 0 5 50 zz z ezs z ezs z zG s s s s 1 z z zR 00843 0 79966 0 19865 0 0067379 080809 0 19865 0 2 zz z zz z z 1 1 00843 0 79966 0 19865 0 2 zzz z zC 2 nn nTc00843 000214 079966 000214 11 3 1 c 7 14 设开环离散系统如图所示 其中 1 0 T秒 1 tte 且 100 100 2 ss sG 要求 用Z变换法计算TTT6 2 0 时的输出响应 用修正Z变换法计算TTTTTT2 3 5 3 4 3 2 3 0时的输出响应 解 10806 1 1 1 4597 0 1 10cos 2 10cos 1100 1 222 zzz zz zTz Tzz z z s s s ZzG 1 z z zE 10806 1 1 1 4597 0 1 10cos 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 zzz zz zTz zz z z z z zC 应用长除法 4321 21 0806 31612 40806 31 4597 0 zzzz zz zC 654321 2757 62357 65193 58657 38758 14597 00 zzzzzzzC 应用部分分式法 0 0 c sin 1 sin 5942 05 0 sin 1 sin 1sin2 5 01 1 nnnnnnnTc 1 n 00000 0 45969 0 87584 1 86584 3 51948 5 23582 6 27565 6 最方便的解法 10cos 1 1 ttsGLtg n i inTc 0 cos 1 sG e t c t T 707 最方便的解法 10cos 1 1 ttsGLtg n i k iTknc 0 3 cos 1 3 2 1 0 k 00000 0 05504 0 21411 0 45970 0 81980 0 30983 1 87585 1 修正Z变换法 4 3 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 88991 377983 588991 31 05504 005504 0 zzzz zz zC 7 80 88991 288991 21 05504 0 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 zzz zz zG 3 3 1 1 z zE 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 3 88991 288991 2288991 288991 21 05504 005504 0 zzzzzz zz zC 7 82 7 80 和 7 82 所给出的 3 zC不一致 至少有一个是错误的 或两个都是错误的 最方便的解法所给 出的答案是正确解 7 15 试判断下列系统的稳定性 已知闭环离散系统的特征方程为 0 2 5 0 1 zzzzD 已知闭环离散系统的特征方程为 注 要求用朱利判据 08 036 02 0 234 zzzzzD 已知误差采样的单位反馈离散系统 采样周期sT1 开环传递函数为 1 57 22 2 ss sG 解 有闭环极点在Z平面的单位圆外和单位圆周上 系统不稳定 朱利判据的阵列 5104 036 05104 036 06 036 0 2 18 012 0136 08 0 1 036 3 1 D 096 2 1 1 4 D 18 0 不满足5104 036 0 系统不稳定 朱利检验法计算表 参见 吕淑萍等 数字控制系统 哈尔滨工程大学出版社 2002 11 0000 00000 00000 0 000 12489 01991 02489 0 2489 01991 02489 0 556 036 0088 02 02 0 2 02 0088 036 0 8 012 0136 08 0 8 036 012 01 1 2 3 4 z z z z 计算表中出现全零行 系统不稳定 因57 22 23 sssD 连续系统是不稳定的 它的采样系统也是不稳定的 708 改为 1 5 2 ss sG 计算得 368 0 1 6245 1 zz z zG 0368 02575 0 2 zzzD 5927 01288 0 2 1 j 闭环系统稳定 7 16 设离散系统如图所示 采样周期sT1 sGh为零阶保持器 12 0 ss K sG 要求 当5 K时 分别在Z域和W域中分析系统的稳定性 确定使系统稳定的K值范围 解 00674 000674 1 19191 080135 0 1 5 2 02 01 1 5 5 2 1 2 1 2 zz zK z sss ZKz ss K ZzG 00674 019191 0 00674 180135 0 19191 080135 0 2 KzKz zK z 096629 03 2 zzzD 003371 1 1 1 2 D 不满足稳定条件 系统不稳定 003371 106742 096629 4 2 wwwD 系数不同号 系统不稳定 060944 001348 2 19191 099326 0 299326 0 2 KwKKwwD 由二阶系统系数均大于零 得到使系统稳定的K值范围 3038 30 K 7 17 设离散系统如图 7 59 所示 采样周期sT2 0 10 K 2 1 2 tttr 试用终值定理 法计算系统的稳态误差 e 解 等效离散系统框图为 其中 2 1 3 1 1 2 0 1 10 z z z s ZzG 1 1 1 5 1 2 z z s ZzH 2 08 0 1 2 zz zz z e 3 2 1 82 078 1 z zzz zR 2 08 0 1 82 078 1 22 22 zzz zzz zE 得到 1 lim 1 zEze z 注 因 1 zEz 有极点在单位圆周上 严格要求时 不能使用终值定理 仔细计算有 46365 0sin 05 1 46365 0cos 65 0 1 035 0 2 0 8047 0 nnennenTe n 1 0 lim lim nnTee nn 即 nnTess1 035 0 7 18 设离散系统如图所示 其中sT1 0 1 K ttr 试求静态误差系数 p K v K a K 并计算系统稳态误差 e r t e t e t c t Gh s G s G z H z R z E z C z s e Ts 1 2 1 s K 0 5s r t x t e t c t x t 709 解 9048 0 1 9673 0 004837 01 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 zz z ez z z z ss ZzG lim 1 zGK z p 1 0 1 lim 1 zGzK z v 0 1 lim 2 1 zGzK z a 10 1 v Ke 7 19 设离散系统如图所示 其中ZOH为零阶保持器 sT25 0 当 ttr 2 时 欲使稳态误 差小于1 0 试求K值 解 1 25 0 1 1 1 2 12 2 1 2 2 zz K zzK s Zz s Ke ZzG s KKv25 0 1025 0 K 40 K 7 20 试分别求出题 7 17 和题 7 18 系统的单位阶跃响应 nTc 解 题 7 17 系统的闭环脉冲传递函数及输出Z变换为 2 08 0 1 2 0 1 2 zz z zz e 2 08 011 2 2 zz z z z z z zzC 46365 0sin 2 46365 0cos 1 8047 0 nnenTc n 题 7 18 系统的闭环脉冲传递函数及输出Z变换为 9095 09 1 00