FreeKaoYan数分竞赛训练(13)科大2009年2010年.doc

1 求证：在上不存在可导函数，使其满足。证明 如果这样的存在，我们来求的不动点，即满足的，由假设，由此得，这表明有唯一的不动点。 令设，那么，因而，这说明也是的不动点，因而，即，在等式两边求导得，令，即得，这是不可能的，命题得证。2 求证：在上不存在可导函数，使其满足。证明 如果这样的函数存在，我们来求的不动点，即满足的，由假设，或，这表明仅有两个不动点或，今设，那么，因而，这说明也是的不动点，因而或，同理或，若，这是不可能的，若， 让， 让，这也是不可能的，故这样的函数是不存在的。4 设，定义函数，（假设对任何，上述极限均存在），若，求证：，其中，为常数。证明 令，只要证明，定义，直接验算可知， （1）现在证明在中不能取最大值，如果它在某点取到最大，那么 因而，这与（1）矛盾，这说明的最大值只能在的两个断点处达到，而，故，令，即得，于是，结论得证。例3.1.5 设函数在闭区间上连续，且在开区间内有连续的右导数，求证：存在一点，使得。证明 若常数，则，问题自明。现设不恒等于常数，为了证明存在，使得，只要证明存在，分别有，那么的连续性，便知存在，使得。 事实上，找这样的，只要找最大、最小值点即可。因，所以最大、最小值至少有一个在内部达到，设是的最大值点，（内部达最小值类似讨论）于是 ，任取一点：，因在上连续，在上必有一点达到最小值，于是 ，如此，我们即达到了目的，结论得证。3.2.35 设在上连续，又设对一切，存在，用表示这一极限值，试证：存在 ，使得。吉米多维奇1286 若于某邻域内，函数增量的符号与自变量增量的符号相同，函数为在点增大。证明：若函数于无穷或有穷区间内的每一点增大，则它在此区间内是增函数。证明 要证对任意两点，都有，对中每一点，由假定存在开区间，使当时， 于是，诸区间（取遍）形成的一个开覆盖，由有限覆盖定理，从中可以选出有限个，设为，它们已经覆盖了，不妨设，而且可设诸区间互不包含（因若，则可将舍去）。于是，必有（因若不属于，而属于某，则显然有，此与互不包含相矛盾）。另外，易知与必有公共点（因若与没有公共点，则必属于某，若，则矛盾，若，则，也矛盾）显然可取公共点，满足，于是，同理可知，于是，我们有 ，证完。设，求极限。解 利用， ，由此便知，再由Stolz定理立得 。2009年中国科大数学分析考研试题一 、1 、判断是否绝对收敛。 2 、设为有限区间，在上有定义，试证：在上一致收敛充要条件是把Cauchy序列映射为Cauchy序列，（即当为Cauchy序列时，亦为Cauchy序列）。二、 .1、在展开的幂级数，问其收敛集是什么？2、求的根的个数。3 、求的和。三 设，单调递增，且是闭集，证明在上连续。四 、设在上连续，且，证明。 五 是否存在原函数，使得满足如下等式： 。六 设，且对每一，是有限集，存在，证明：存在。七 设， 1 证明在中确定一张隐式的曲面，并求出一个在点附近的参数方程；2 是否连通，是否紧致？3 点，是到原点的距离，当满足，求组成的集合。八 证明恒等式：。九 记，试用表示第一类曲面积分，其中。2009年中国科大数学分析考研试题的解答一 、1 解 因为，收敛，所以绝对收敛。2 证明 必要性 设在上一致连续，对，当时，有，设是Cauchy序列，则对此，当时，有，从而有，所以有是Cauchy序列；充分性 用反证法，假若在上非一致连续，则，虽然，但，注意到为有限区间， ，因此中存在收敛的子列，因，故亦收敛，且，从而穿插之后，序列亦收敛，为Cauchy序列，但其像序列 恒有，不是Cauchy序列，与一致条件矛盾，所以假设不成立，故有在上一致连续，命题得证。注：当为无限区间时，充分性不再成立，例如把上的任一Cauchy序列，映成Cauchy序，但在上不一致连续。二、 1、解 当时，级数收敛,收敛域为 。2、解 显然是方程的一个解，当时，显然在和上方程无解，当时，故方程在上只有唯一的根。3 、解 计算级数的和， ，令，则即为所有，求导得到，及，积分得到 ，所以所求级数的和为。三、 证明 注意到单调函数的间断点是第一类的，假设函数不连续，设为其一个间断点，记，则，在两侧分别取单调递增和单调递减数列，满足，由函数的单调递增性及是闭集，知道存在满足，因是闭集，所以，存在，使得， ，由此，矛盾，当或时，亦可得到矛盾，所以在上连续。四、 设是上的连续函数，如果，那么在上恒等于0。证明 由条件，得对任何多项式，成立；因为是上的连续函数，根据魏尔斯特拉斯逼近定理，存在多项式序列，使得在上一致收敛于。于是在上一致收敛于；从而有，再由，得，由是上的连续函数，所以。五、 假设存在这样的二元函数，使得： ，则对于任意的简单闭曲线，应有，特别的，我们取为单位圆周，则 ，所以这样的二元函数是不存在的。六 证明 首先是无界数列，否则是有限集合，由已知关于每个自然数，都是有限集合，推出“定义域”是有限集合，矛盾。 其次，由存在，即对，当时，显然对满足的那些，也有，固定，记，则是有限集合，取，则当，若不然，存在，必有，则依集合的定义有，这与矛盾，于是存在，故命题得证。七 证明：1 因为是曲面方程，的图像，所以在中确定了一张隐式的曲面；就是它的一个参数方程。2 显然平面的上面和下面均有曲面的一部分，而与平面无交点，从而是不连通的，显然为无界的闭集， ，无界，从而非紧致。3 直接求出就行了，我们尝试求出曲面到原点的最短距离，下面提供两种方法：方法1 由已知得由几何平均-算术平均不等式，得 ，故最短距离为，点的集合为，为一球面；方法2 求条件极值的套路方法-拉格朗日乘数法，即令，然后再求偏导数，求驻点，解方程组。八、证明恒等式 .证法一 由 ,得 .证法二 取 ,则有 由Poisson公式 ，,得 .或取,则有,由Poisson公式 ，,即得 .九、 解 我们取球面的参数形式，则，注意到被积函数和积分区域的对称性，故 （其中为球面在第一卦限的部分） , 再由及可知 。中国科大2010年数学分析考研试题一 设函数一致连续，求证：函数在上一致连续。二 设在上可微，在处连续，且，求证：在处可微。三 设，求证：收敛，并求其极限。四 设在上有连续的导函数，且曲线积分与路径无关，求。五 设，求证：以下含参量的无穷积分定义了上的一个可微函数且满足。六 设都是正数，计算曲面积分，其中是上半椭球面，方向朝上。七 设是定义在实轴上以为周期的奇函数，又有连续的导函数，且满足，试求。八 设是一个收敛的正向级数，求证：（1）也收敛；（2）也收敛。九 设函数在上二阶可导，且满足，求证：。十 设都是正数列，满足，及，求证：（1）；（2）级数收敛。中国科大2010年数学分析考研试题的解答一 证明 利用不等式，得 ，再由是一致连续的，即可得到在上是一致连续的。二 证明 令，由题设条件，可导， ，由此，再由条件，即得 ，故在处可微。三 证明 由题设条件，显然 由此推得 ，收敛，收敛，令，在中令，取极限，则得，故。四 解 ，由，得， 。五 证明 因，收敛，对每一，关于单调有界，且是一致有界，由阿贝尔判别法，于是关于一致收敛，或由，即得关于一致收敛，又， ，关于是一致收敛的，（任意）所以在上有定义，连续可微，且，故有，。六 解 设，利用高斯公式，得 。七 解 由，再由为奇函数，可知，（为常数）。八 证明 （1）由正项级数收敛，可知，存在，当时，（），所以收敛；（2）设，由收敛，知收敛，存在正整数，当时， ，从而，（充分大），（