第5章 时变电磁场 (全).pdf

毫米波国家重点实验室 信息科学与工程学院 东南大学 电 磁 场 与 电 磁 波 第五章 时变电磁场 位 移 电 流位 移 电 流 1 S 2 S ss i d i R C ss i d i R 1 CS ddi 蝌 HlJs 2 0 CS dd 蝌 HlJs 充电放电 对 面应用安培环路定律 充电放电 对 面应用安培环路定律 1 S 对 面应用安培环路定律对 面应用安培环路定律 2 S 安培环路定律不适于非恒定磁场安培环路定律不适于非恒定磁场 设极板面积为 若设极板面积为 若充放电充放电某一时刻极板上的电量和面 电荷密度分别为和 则 某一时刻极板上的电量和面 电荷密度分别为和 则导线内的传导电流导线内的传导电流满足满足 极板间极板间电通量电通量随时间的变化率为随时间的变化率为 电位移矢量的电位移矢量的大小大小随时间的变化率为随时间的变化率为 方向方向上 充电时 与极板间电场强度方向上 充电时 与极板间电场强度方向一致一致 放电时 放电时 相反相反 显然 具有电流密度的量纲 显然 具有电流密度的量纲 位 移 电 流位 移 电 流 s ddq iS dtdt r s d J dt r S q s r es d SD dd Si dtdtdt Yr s dddD J dtdtdt r D d dt D d dt D 麦克斯韦引入了麦克斯韦引入了位移电流位移电流的概念 他定义 穿过电场中 某一截面的 的概念 他定义 穿过电场中 某一截面的电通量电通量随时间的变化率为通过该截面的随时间的变化率为通过该截面的位移 电流强度 位移 电流强度 即 而电场中 即 而电场中某一点某一点的电位移矢量随时间的变化率为该点的电位移矢量随时间的变化率为该点位 移电流密度 位 移电流密度 即 即 通过引入位移电流 并用它们代替极板间中断的电流 则整个回路电流连续 通过引入位移电流 并用它们代替极板间中断的电流 则整个回路电流连续 位 移 电 流位 移 电 流 e d d i dt Y d t J D 位移电流位移电流不是不是电荷的运动 而是一种电荷的运动 而是一种人为定义人为定义 根据电荷守恒定律和高斯定理 得 其中 称为 根据电荷守恒定律和高斯定理 得 其中 称为全电流全电流 为传导电流 为传导电流 或或运流电 流 为位移电流 全电流在 运流电 流 为位移电流 全电流在任何情况任何情况下都是连续 的 下都是连续 的 全 电 流 连 续 性 定 理全 电 流 连 续 性 定 理 t r 炎 J 0 t t 骣 炎 炎 桫 D JJ r炎 D 0 t SS dd t 骣 桫 蝌蝌 D JsJs 乙 td JJJJ c J v J d J 麦克斯韦认为位移电流麦克斯韦认为位移电流也可也可产生磁场 安培环路定律可 推广至时变场情况 即 产生磁场 安培环路定律可 推广至时变场情况 即全电流定律全电流定律 时变磁场时变磁场由由传导传导电流 电流 运流运流电流和电流和位移位移电流电流共同共同产生 而 产生 而位移电流位移电流是由是由时变电场时变电场形成的 由此可见 形成的 由此可见 时变电场 可产生时变磁场 时变电场 可产生时变磁场 电磁感应定律表明时变磁场可产生时变电场 因此 麦 克斯韦引入位移电流后 预见到 电磁感应定律表明时变磁场可产生时变电场 因此 麦 克斯韦引入位移电流后 预见到时变电场时变电场与与时变磁场时变磁场可 以在空间中 可 以在空间中相互转化相互转化 进而形成 进而形成电磁波电磁波 全 电 流 定 律全 电 流 定 律 CS t did t 骣 蝌 D HlJs t t 汛 D HJJ 麦 克 斯 韦 方 程麦 克 斯 韦 方 程 t 汛 D HJ t 汛 B E 0炎 B r炎 D CS dd t 骣 桫 蝌 D HlJs CS t dd 蝌 B Els 0 S d 蝌 Bs S dq 蝌 Ds SV d d dt dvr 蝌蝌 Js t r 炎 J 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性定理 电荷守恒定律 高斯定理 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性定理 电荷守恒定律 高斯定理 c v i s r v J J EJ J e DEm BH本构关系本构关系 积分形式微分形式积分形式微分形式 时变时变电场电场是是有旋有散有旋有散的 时变的 时变磁场磁场是是有旋无散有旋无散的 但 时变电磁场中的电场与磁场是 的 但 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割不可分割的 因此 时变 电磁场是 的 因此 时变 电磁场是有旋有散有旋有散场 场 在无源区中 时变电磁场是在无源区中 时变电磁场是有旋无散有旋无散的 的 电场线与磁场线电场线与磁场线相互交链相互交链 自行闭合自行闭合 从而在空间形成 从而在空间形成 电磁波电磁波 静态场和恒定场是时变场的两种静态场和恒定场是时变场的两种特殊特殊形式 形式 时 变 电 磁 场时 变 电 磁 场 时 变 电 磁 场时 变 电 磁 场 E 边 界 条 件边 界 条 件 S S l h 2 1 1 E 2 E 2 l 1 l n CS t dd 蝌 B Els 112212 0 0 lim h C ludllln D 轾 D D 犏 鬃 状 ElEEEE 12tt EE 12 0 n EE 任何任何边界上电场强度的边界上电场强度的切向分量切向分量连续连续 时 变 电 磁 场时 变 电 磁 场 D 边 界 条 件边 界 条 件 S dq 蝌D S 0 12 lim h S ndSSnq D D D 鬃 蝌 DDDS 12 s nr DD S S h n 2 1 1 D 2 D 12nns DDr 除除导体外 导体外 任何任何边界上电位移矢量的边界上电位移矢量的法向分量法向分量连续连续 时 变 电 磁 场时 变 电 磁 场 H 边 界 条 件边 界 条 件 SD S lD 2 m 1 m 1 H 2 H 2 l 1 l n CS dd t 骣 桫 蝌 D HlJs 112212 0 lim h l ul I llndl l D 轾 D D 犏 臌 D 状鬃 HlHHHH 12 s n HHJ 除除理想导体外 理想导体外 任何任何边界上磁场强度的边界上磁场强度的切向分量切向分量连续连续 时 变 电 磁 场时 变 电 磁 场 B 边 界 条 件边 界 条 件 0 S d 蝌B S 0 12 0 lim h S ndSnS D D D 鬃 蝌B SBB 12 0 n BB S S h n 2 1 1 B 2 B 12nn BB 任何任何边界上磁感应强度的边界上磁感应强度的法向分量法向分量连续连续 理想理想导电体内部导电体内部不可能不可能存在存在时变电磁场时变电磁场及及时变的传导电 流 时变的传导电 流 它们只可能分布在理想导电体的 它们只可能分布在理想导电体的表面表面 理想理想导电体表面导电体表面支持支持面电流和面电荷分布 此时 磁场 强度的切向分量和电位移矢量的法向分量 面电流和面电荷分布 此时 磁场 强度的切向分量和电位移矢量的法向分量不再不再连续 连续 理 想 导 体 的 边 界 条 件理 想 导 体 的 边 界 条 件 S E D 0ttt EHJ H B 0 t E ns Dr s n HJ0 n B 0 Es JE 0 H0 E 0 J0 H 根据麦克斯韦方程 根据麦克斯韦方程 简单简单媒质中 由矢量微分恒等式 并利用 和 得 媒质中 由矢量微分恒等式 并利用 和 得 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 2 2 t me 汛汛 汛 H HJ 2 2 tt mem 抖 汛汛 EJ E 2 汛汛 蜒 AAA 2 2 2 t me 汛 H HJ 2 2 2 tt r mem e 抖 EJ E 0炎 Br炎 D 场源关系复杂 且两个方程相互耦合场源关系复杂 且两个方程相互耦合 引入引入标量位标量位与与矢量位矢量位可简化时变电磁场的求解 由 可简化时变电磁场的求解 由 B可表示为矢量场可表示为矢量场A的旋度 即 式中 的旋度 即 式中A称为矢量位 将上式代入 得 称为矢量位 将上式代入 得 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 t 汛 B E 0 tt 骣 抖 汛 汛扪 抖桫 A EAE 汛BA 0炎 B 矢量场为无旋场 因此可表示为任意标量场矢量场为无旋场 因此可表示为任意标量场 的 梯度 即 式中 的 梯度 即 式中 称为标量位 进而求得 当场量与时间无关时 故称为 称为标量位 进而求得 当场量与时间无关时 故称为电标位电标位 称为 称为磁矢位磁矢位 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 t F A E t F A E 汛BAF E t 骣 桫 A E FA 将位函数代入麦克斯韦方程 求得 利用矢量微分恒等式 两式又可表示为 将位函数代入麦克斯韦方程 求得 利用矢量微分恒等式 两式又可表示为 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 2 2 2 tt F mem 骣 抖 蜒 桫 A AAJ 2 t r F e 炎 A 2 汛汛 蜒 AAA 2 2 tt F mme 骣 抖 汛汛 桫 A AJ t r F e 骣 炎 炎 桫 A 已定义了矢场已定义了矢场 A 的旋度 必须再规定其散 度才能唯一确定 的旋度 必须再规定其散 度才能唯一确定A 为简化计算 令 则位函数的微分方程简化为 是磁矢位 为简化计算 令 则位函数的微分方程简化为 是磁矢位A和电标位和电标位 满足的满足的非齐次波动方程非齐次波动方程 达朗贝尔 方程 通过引入位函数 两个相互 达朗贝尔 方程 通过引入位函数 两个相互耦合耦合的方程变为两 个 的方程变为两 个独立独立的方程 的方程 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 t F me 炎 A 2 2 2 t mem A AJ 2 2 2 t Fr Fme e 汛 AB 洛仑兹规范 静态场情况下洛仑兹规范退化为库仑规范 洛仑兹规范 静态场情况下洛仑兹规范退化为库仑规范 不借助位函数 电磁场满足的矢量微分方程为 需要求解 不借助位函数 电磁场满足的矢量微分方程为 需要求解 6 个坐标分量 个坐标分量 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程 仅仅需求解需求解 4 个坐标分量 直角坐标系中实际上等于求解 个坐标分量 直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程 个标量方程 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 2 2 2 t me 汛 H HJ 2 2 2 tt r mem e 抖 EJ E 2 2 2 t mem A AJ 2 2 2 t Fr Fme e 根据静态场结果 采用类比方法推出其解 根据静态场结果 采用类比方法推出其解 先求解时变点电荷的位函数 再利用迭加原理导出分布 的时变体电荷的位函数 先求解时变点电荷的位函数 再利用迭加原理导出分布 的时变体电荷的位函数 当时变点电荷位于坐标原点时 其场分布与 和 无关 那么 在除坐标原点以外整个无源空间 电标位满足 的方程式为 当时变点电荷位于坐标原点时 其场分布与 和 无关 那么 在除坐标原点以外整个无源空间 电标位满足 的方程式为 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 22 222 1 0 0 rr r rvt FF抖 抖 1 v me t r z y x r q f F 2 2 22 1 0 0rr rrrt F m F e 骣 抖 抖 桫 上式为函数的一维齐次波动方程 其通解为 式中第二项不符合实际物理意义 应该舍去 因此 位 于原点的时变点电荷产生的电标位为 上式为函数的一维齐次波动方程 其通解为 式中第二项不符合实际物理意义 应该舍去 因此 位 于原点的时变点电荷产生的电标位为 已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为 可见函数 为 已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为 可见函数 为 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 12 rr rf tft vv F 骣骣 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 1 1 r tf t rv F 骣 桫 r 4 dv r r F ep r 1 1 4 rr f ttdv vvp r e 骣骣 鼢珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 rF qdvr 1 f 位于原点的时变点电荷的电标位为 式中 位于原点的时变点电荷的电标位为 式中r为体元为体元 dv 至场点的距离 至场点的距离 位于位于V 中的体电荷中的体电荷 dv 在在r处产生的电标位为处产生的电标位为 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 1 4 r dttdv rv Fr pe 骣 桫 r 1 4 V t v tdv r F pe 骣 桫 rr r r rr t r z y x r dv r R t v rr r V 将矢量位方程在直角坐标系中展开 则磁矢位将矢量位方程在直角坐标系中展开 则磁矢位A的各个 分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式 每个分量的解结构同前 磁矢位 的各个 分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式 每个分量的解结构同前 磁矢位A 的解为 式中 为电流 的解为 式中 为电流J 的分布区域 的分布区域 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 2 2 2 x xx A AJ t mem 2 2 2 y yy A AJ t mem 2 2 2 z zz A AJ t mem 4 V t v tdv m p 骣 桫 rr J r A r rr V 空间某点在时刻空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻的 源分布进行求积 产生的位必须根据时刻的 源分布进行求积 这就表明 位于处的源产生的场传到 处需要一段时 间 这段时差就是 这就表明 位于处的源产生的场传到 处需要一段时 间 这段时差就是 为源点至场点的距离 因此为源点至场点的距离 因此v代表电磁波的传播 速度 代表电磁波的传播 速度 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 1 4 V t v tdv r F pe 骣 桫 rr r r rr 4 V t v tdv m p 骣 桫 rr J r A r rr t v 骣 桫 rr r r v rr rr 由可见 电磁波的传播速度与介质特性有关 这就是光速 通常以 由可见 电磁波的传播速度与介质特性有关 这就是光速 通常以 c 表示 表示 若某一时刻源已消失 只要前一时刻源还存在 它们原 来产生的空间场仍然存在 这就表明源已将电磁能量释 放到空间 这种现象称为电磁辐射 若某一时刻源已消失 只要前一时刻源还存在 它们原 来产生的空间场仍然存在 这就表明源已将电磁能量释 放到空间 这种现象称为电磁辐射 静止电荷或恒定电流一旦消失 它们产生的场也随之失 去 因而静态场称为束缚场 没有辐射作用 静止电荷或恒定电流一旦消失 它们产生的场也随之失 去 因而静态场称为束缚场 没有辐射作用 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 8 00 1 310 m sv e m 淮 1 v me 真空中真空中 时变源的附近 时差很小 场强的变化基本上与源同 步 所以近处的时变场称为似稳场 时变源的附近 时差很小 场强的变化基本上与源同 步 所以近处的时变场称为似稳场 离开时变源的远处 由于时差很大 辐射效应显著 所 以远处的时变场称为辐射场 离开时变源的远处 由于时差很大 辐射效应显著 所 以远处的时变场称为辐射场 源变化越快 空间滞后越大 即使在源附近也有显著的 电磁辐射 所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于 空间距离 也和源的变化快慢有关 源变化越快 空间滞后越大 即使在源附近也有显著的 电磁辐射 所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于 空间距离 也和源的变化快慢有关 为了向空间辐射电磁能量 必须使用高频电流激励发射 天线 而通常 为了向空间辐射电磁能量 必须使用高频电流激励发射 天线 而通常50Hz的交流电不可能有效地辐射电磁能 量 的交流电不可能有效地辐射电磁能 量 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 由于由于 和和A 随时间的变化总是比源落后 因此 位函数随时间的变化总是比源落后 因此 位函数 及及A通常称为滞后位 通常称为滞后位 前式第二项中的因子意味着场比源导前 这就不符合先有源后有场的因果关系 前式第二项中的因子意味着场比源导前 这就不符合先有源后有场的因果关系 因子又可写为 那么 它又可理解 为向负 因子又可写为 那么 它又可理解 为向负r方向传播的波 也就是来自无限远处的反射波 方向传播的波 也就是来自无限远处的反射波 对于点电荷所在的无限大自由空间 这种反射波不可能 存在 对于点电荷所在的无限大自由空间 这种反射波不可能 存在 位 函 数 方 程 的 求 解位 函 数 方 程 的 求 解 2 r ft v 骣 桫 r t v 骣 桫 rr tt vv r t v 骣 桫 面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位分 别如下 面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位分 别如下 时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解时 变 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 1 4 S S t v tds r F pe 骣 桫 rr r r rr 4 S S Jt v tds m p 骣 桫 rr r A r rr 1 4 l L t v tdl r F pe 骣 桫 rr r r rr 4 L It v tdl m p 骣 桫 rr r A r rr 上述公式仅适用于简单媒质上述公式仅适用于简单媒质 考虑如图所示的填充以简单媒质的有源电磁场区域考虑如图所示的填充以简单媒质的有源电磁场区域V 此区域中的场满足 此区域中的场满足 根据矢量恒等式 得根据矢量恒等式 得 时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 S E H V n i J 炎 籽 籽 EHHEEH i t 汛 D HJJ t 汛 B E 0炎 B r炎 D 上式是时变电磁场瞬时坡印亭定理的微分表达式 上式是时变电磁场瞬时坡印亭定理的微分表达式 静态场的能量密度及损耗功率密度定义可推广至时变场静态场的能量密度及损耗功率密度定义可推广至时变场 时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 1 2 e w E D 磁场能量密度 电场能量密度 损耗功率密度 磁场能量密度 电场能量密度 损耗功率密度 1 2 m w HB dcv p E JE JE J i s p E J 源功率密度源功率密度 22 i t 骣 蹲 炎 桫 E DHB EHE JE J E H 的的物理意义物理意义是什么 是什么 引入如下定义 其中 引入如下定义 其中S 称为坡印亭矢量 代入上式得称为坡印亭矢量 代入上式得 任一点处 源提供的功率密度等于耗散功率密度 加上 储积的电能和磁能密度的增加率 再加上 任一点处 源提供的功率密度等于耗散功率密度 加上 储积的电能和磁能密度的增加率 再加上pf 显然 时 变电磁场瞬时坡印亭定理的微分表达式是能量守恒定律 在场中任意点处的数学描述 其中 显然 时 变电磁场瞬时坡印亭定理的微分表达式是能量守恒定律 在场中任意点处的数学描述 其中S 和和pf 分别表示功率 流密度矢量和离开该点的功率密度 分别表示功率 流密度矢量和离开该点的功率密度 时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 SEH 22 i t 骣 蹲 炎 桫 E DHB EHE JE J femds pwwpp t f p 炎 S 两端取体积分 得 是时变电磁场瞬时坡印亭定理的积分表达式 其中 针对整个区域的积分表达式可做类似的物理解释 但应用更 两端取体积分 得 是时变电磁场瞬时坡印亭定理的积分表达式 其中 针对整个区域的积分表达式可做类似的物理解释 但应用更 时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 1 2 i SVVV ddvdvdv t 醋 蝌蝌 EHsE DHBE JE J femds PWPP t W 或或 1 2 V e Wdv E D 磁场能 电场能 磁场能 电场能 1 2 V m Wdv HB i s V Pdv E J 源功率源功率 S f Pd 醋 EHs 流出的功率 损耗功率 流出的功率 损耗功率 V d Pdv E J 时变场的能量密度是空间和时间的函数 且时变电磁场 的能量会 时变场的能量密度是空间和时间的函数 且时变电磁场 的能量会 流动流动 为衡量时变场能量流动的方向及强度 引入功率流密度 矢量 为衡量时变场能量流动的方向及强度 引入功率流密度 矢量S 其方向表示能量流动的方向 大小表示垂直穿 过单位面积的功率 其方向表示能量流动的方向 大小表示垂直穿 过单位面积的功率 功率流密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量 在俄罗 斯书刊中称为乌莫夫矢量 功率流密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量 在俄罗 斯书刊中称为乌莫夫矢量 坡印亭定理是能量守恒定律在电磁学中的表达式 坡印亭定理是能量守恒定律在电磁学中的表达式 时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理时 变 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 静态场中 泊松或拉普拉斯方程有唯一解的条件是场满 足确定的边界条件 静态场中 泊松或拉普拉斯方程有唯一解的条件是场满 足确定的边界条件 时变场中 场是空间和时间的函数 因此 场方程的求 解不仅需要边界条件还需要初始条件 时变场中 场是空间和时间的函数 因此 场方程的求 解不仅需要边界条件还需要初始条件 在闭合面在闭合面 S 包围的区域包围的区域 V 中 若已知中 若已知 1 t 0 时 时 V内各点电场和磁场强度的初始值 内各点电场和磁场强度的初始值 2 t 0 时 时 S上电场或磁场强度的切向分量 上电场或磁场强度的切向分量 那么在那么在 t 0的任一时刻 区域的任一时刻 区域V 中任一点的场可由麦克 斯韦方程唯一的确定 此为时变场的唯一性定理 中任一点的场可由麦克 斯韦方程唯一的确定 此为时变场的唯一性定理 时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理 证明 设简单媒质填充的有源区域证明 设简单媒质填充的有源区域V中存在两组场方程 的解 中存在两组场方程 的解 E1 H1 和和 E2 H2 且满足相同的初始和边界条件 且满足相同的初始和边界条件 时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理 1 11 i t 汛 D HJJ 1 1 t 汛 B E 1 0炎 B 11 i rr炎 D 2 22 i t 汛 D HJJ 2 2 t 汛 B E 2 0炎 B 22 i rr炎 D 121 00 2 00 tttt ttttV ErErHrHrr与 与 1212 0000 tt tt t tt t ttttS 吵吵 ErErHrHrr或或 S 11 E H V n i J 22 EH 差场差场 E E1 E2 H H1 H2 满足的场方程和边界条件为 满足的场方程和边界条件为 时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理 t 汛 D HJ t 汛 B E 0 炎 B r 炎 D 00 0 0 tt ttV ErHrr与与 00 0 0 tt tt ttS 吵 ErHrr或或 12 JJJ 12 rrr 由坡印亭定理可知 由坡印亭定理可知 由边界条件可知上式左端为零 进而得到 上式左端表示区域 由边界条件可知上式左端为零 进而得到 上式左端表示区域V中能量的耗散 必然 中能量的耗散 必然 0 因此有 意味着电磁场能量随时间增加将不断减少或不变 由于初 始时刻场为零 唯一的可能就是不变 即 因此有 意味着电磁场能量随时间增加将不断减少或不变 由于初 始时刻场为零 唯一的可能就是不变 即 时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理时 变 电 磁 场 的 唯 一 性 定 理 1 2 SVV ddvdv t 醋 蝌 EHsEDHBEJ 1 2 VV dvdv t 蝌 EJEDHB 1 0 2 V dv t 祝 EDHB 00 0 tt ttS 吵 ErHrr 得 证 得 证 麦克斯韦方程组适用于随时间任意变化的电磁场 场量 所呈现的时间函数的具体形式取决于源函数 麦克斯韦方程组适用于随时间任意变化的电磁场 场量 所呈现的时间函数的具体形式取决于源函数 i和和J i 工程上 正弦时间函数占有独一无二的地位 工程上 正弦时间函数占有独一无二的地位 易于激励 易于激励 周期性时间函数可展开为时谐正弦分量的傅里叶级数 周期性时间函数可展开为时谐正弦分量的傅里叶级数 瞬时非周期性函数可用傅里叶积分表示 瞬时非周期性函数可用傅里叶积分表示 麦克斯韦方程为麦克斯韦方程为线性线性微分方程 稳态时 正弦变化的源 函数将产生相同频率正弦变化的场 因此 任意时间相 关的源产生的场可由傅里叶变换和迭加原理给出 微分方程 稳态时 正弦变化的源 函数将产生相同频率正弦变化的场 因此 任意时间相 关的源产生的场可由傅里叶变换和迭加原理给出 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 交流电路中 电流为一正弦标量 即 振幅 交流电路中 电流为一正弦标量 即 振幅Im 有效值 有效值I 频率 频率f 和初相 和初相 i是正弦标量的 三要素 本书采用 是正弦标量的 三要素 本书采用余弦函数余弦函数作为基准 作为基准 对对RLC电路 若激励电压为 则有 显然 为确定 电路 若激励电压为 则有 显然 为确定Im和和 i 必须进行复杂的数学运算 必须进行复杂的数学运算 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 2coscos mii i tIttIwfwf costtvVw 1di LRiidtv t dtC 1 sincossincos miii ILttttRE C wwfwfwfw w 轾 犏 犏 由欧拉公式 任一正弦标量可表示为 其中 由欧拉公式 任一正弦标量可表示为 其中A 为复标量 称为 标量 相量 本书采用为复标量 称为 标量 相量 本书采用ej t作为 时间因子 亦可采用 作为 时间因子 亦可采用e i t 两者导出的公式不同 两者导出的公式不同 j i e 算符的性质 算符的性质 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 222 Acos cosA i i tt mim j jj j jjtt i tAeee Aeee te Ae te Ae f ww f ww wf wf 轾 轾 侣 犏 犏 臌 臌 轾 轾 侣 犏 犏 臌 A ABABeee AAeeaa A A e e xx 骣堵 抖桫 AAedxedx 蝌 对任一正弦量对任一正弦量 t 对任意时间对任意时间t 采用相量符号后 前述回路方程可化为 显然 对于时谐场 引入相量可简化分析 采用相量符号后 前述回路方程可化为 显然 对于时谐场 引入相量可简化分析 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 1 IVRjL C w w 轾骣 犏 犏 桫 犏 臌 A j t d e je dt w w A A j t dtee j w w 骣 桫 A AB j tj t eeee ww AB 正弦电磁场又称为时谐电磁场 是电磁场随时间做正弦 变化的特殊情况 类似的 场量可由矢量相量表示 其中 正弦电磁场又称为时谐电磁场 是电磁场随时间做正弦 变化的特殊情况 类似的 场量可由矢量相量表示 其中E r 和和 r 分别为矢量场分量的振幅和初相 它们 仅是空间 分别为矢量场分量的振幅和初相 它们 仅是空间r的函数 的函数 E r E r ej r 是是E r t 对应的标量 相量 对应的标量 相量 E r 为为E r t 对应的矢量相量 一般为复矢量 它 仅是空间 对应的矢量相量 一般为复矢量 它 仅是空间r的函数 的函数 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 cos E x y z tt x y jj z t ee tE ee xx x ww x x x xwf 轾 轾 犏 犏 犏臌 轾 犏 臌 rrr rrE E 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 t 汛 D HJ j tj tj t eeeeee t www 汛 HJD j tj tj t eeeeje www w卵 HJD jw汛 HJD 利用相量代替瞬时量 并用利用相量代替瞬时量 并用j 代替偏微分算子代替偏微分算子 t 瞬时场方程将化为复数形式的场方程 瞬时场方程将化为复数形式的场方程 正 弦 电 磁 场正 弦 电 磁 场 jw汛 HJD jw汛 EB 0炎 B 炎 rD CS djdw 蝌 lsHJD CS djdw 蝌 lsEB 0 S d 蝌 sB q S d 蝌 sD SV ddjvw r 蝌蝌 sJ jw炎 rJ 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性定理 电荷守恒定律 高斯定理 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性定理 电荷守恒定律 高斯定理 e DEm BH本构关系本构关系 积分形式微分形式积分形式微分形式 c v i s r v J J EJ J 正 弦 电 磁 场 的 边 界 条 件正 弦 电 磁 场 的 边 界 条 件 任何任何边界上电场强度的边界上电场强度的切向分量切向分量连续连续 12 0 n EE 12 s n r DD 除除导体外 导体外 任何任何边界上电位移矢量的边界上电位移矢量的法向分量法向分量连续连续 12 s n HHJ 除除理想理想导体外 导体外 任何任何边界上磁场强度的边界上磁场强度的切向分量切向分量连续连续 12 0 n BB 任何任何边界上磁感应强度的边界上磁感应强度的法向分量法向分量连续连续 导电媒质中 令 称为导电媒质的复数介电常数 更一般的情况 所有媒 质都可用等效复数介电常数和复数磁导率表示 定义 为媒质的损耗角正切 表征媒质的损耗 导电媒质中 令 称为导电媒质的复数介电常数 更一般的情况 所有媒 质都可用等效复数介电常数和复数磁导率表示 定义 为媒质的损耗角正切 表征媒质的损耗 复 数 介 电 常 数 和 复 数 磁 导 率复 数 介 电 常 数 和 复 数 磁 导 率 jjjj s wswew e w 骣 汛 桫 HJDEE E j s e w e j s ee w 骣 e 桫 jmm m tan e e d e tan m m d m 其中 其中 对于正弦场 时间滞后因子表现的相位滞后为对于正弦场 时间滞后因子表现的相位滞后为 正 弦 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解正 弦 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 v 骣 桫 rr kw em 2 2 2 t Fr Fme e 22 k r 袴 F e 2 2 2 t mem A AJ 22 k mAAJ v w 骣 桫 rr 正 弦 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解正 弦 电 磁 场 的 位 方 程 及 其 解 4 k j V e tdv p m rr r r rr J A 1 4 k j V e tdv p r F e rr r r rr 1 4 V t v tdv r F pe 骣 桫 rr r r rr 4 V t v tdv m p 骣 桫 rr J r A r rr t me F 炎 A jw炎 Fm eA t 袴 A E 汛BA 汛BA jj j ww w 蜒 袴 m e A EAA 考虑任意两个正弦量考虑任意两个正弦量 和和 即 有 显然 但是 即 有 显然 但是 正 弦 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理正 弦 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 cosA c sBo tt mm tt m jj m j jjj tAeee tBeee te Ae te Be aww bww wa wb 轾轾 侣 犏犏 臌臌 轾轾 侣 犏犏 臌臌 A B 1 2 2 oc sc so mm A Btwabab 轾 犏 臌 AB AB j t ee w AB 0 1 2 1 AB T edt T 骣 ABAB 坡印亭矢量坡印亭矢量S E H 对任意时变场都成立 对于正弦电磁 场 若采用相量符号 则有 对任意时变场都成立 对于正弦电磁 场 若采用相量符号 则有 正 弦 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理正 弦 电 磁 场 的 坡 印 亭 定 理 2 11 22 11 22 j tj t j tj tj tj t j tj t eeee eeee eeeee ww wwww ww 麓 麓 麓孤 SEH EEHH EHEHEH 0 11 2 T edt T 骣 桫 SSEH 对于正弦电磁场 引入复数坡印亭矢量对于正弦电磁场 引入复数坡印亭矢量S S的实部代表了瞬时坡印亭矢量的时间平均值 即平均 功率流密度 的实部代表了瞬时坡印亭矢量的时间平均值 即平均 功率流密度 pf 表