第03章 动量定理及动量守恒定律 课后答案【khdaw_lxywyl】.pdf

第三章 动量定理及动量守恒定律第三章 动量定理及动量守恒定律 思考题 3 1 试表述质量的操作型定义 解答 kg v v mm 0 0 式中 标准物体质量 kg1m0 0 v 为 m 与 m0碰撞 m0的速度改变 v 为 m 与 m0碰撞 m 的速度改变 这样定义的质量 其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度 或者说 其量值反映了质量惯性的大小 这样定义的质量为操作型定义 3 2 如何从动量守恒得出牛顿第二 第三定律 何种情况下牛顿第三定律不成 立 解答 由动量守恒 pp pp pppp 22112121 pp 21 t p t p 21 取极限dt pd dt pd 21 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力 am vm dt d dt pd F 1111 1 1 am vm dt d dt pd F 2222 2 2 21 FF 对于运动电荷之间的电磁作用力 一般来说第三定律不成立 参见 P63最后一 自然段 3 3 在磅秤上称物体重量 磅秤读数给出物体的 视重 或 表现重量 现在 电梯中测视重 何时视重小于重量 称作失重 何时视重大于重量 称作超重 在电梯中 视重可能等于零吗 能否指出另一种情况使视重等于零 解答 电梯加速下降视重小于重量 电梯加速上升视重大于重量 24 当电梯下降的加速度为重力加速度 g 时 视重为零 飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行 飞机飞到最高点时 gRv 0mg R v mN Nmg R v m 22 飞行员的视重为零 3 4 一物体静止于固定斜面上 1 可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力 2 因物体静止 故下滑力 mg sin 与静摩擦力 N 0 相等 表示斜面倾角 N 为作用于斜面的正压力 为静摩擦系数 以上两段话确切否 0 解答 不确切 1 重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力 但不能说分解为沿 斜面的下滑力和作用于斜面的正压力 2 应该说 因物体静止 物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零 3 5 马拉车时 马和车的相互作用力大小相等而方向相反 为什么车能被拉动 分析马和车的受的力 分别指出为什么马和车能启动 解答 分析受力如图 地面反作用于马蹄子上的力使系统启动 3 6 分析下面例中绳内张力随假想横截面位置的改变而改变的规律 1 长为 质量为 m 的均质绳悬挂重量为 W 的重物而处于静止 2 用长为 质量为 m 的均质绳沿水平方向拉水平桌面上的物体加速前进和匀 速前进 对两种情况均可用F表示绳作用于物体的拉力 不考虑绳因自重而下垂 3 质量可以忽略不计的轻绳沿水平方向拉在水平桌面上运动的重物 绳对重 物的拉力为F 绳的另一端受水平拉力1 F 绳的正中间还受与1 F 的方向相同的 拉力F 2 4 长为 质量为 m 的均质绳平直地放在光滑水平桌面上 其一端受沿绳的水 平拉力F而加速运动 25 5 长为 质量为 m 的均质绳置于水平光滑桌面上 其一端固定 绳绕固定点 在桌面上转动 绳保持平直 其角速率为 若绳保持平直 你能否归纳出在何种情况下绳内各假想横截面处张力相 等 提示 可沿绳建立 ox 坐标系 用 x 坐标描写横截面的位置 解答 1 y mg mgW y mg WT y 是在 0 至 之间的任意位置 2 匀速前进 wF FT 加速运动 wF x xa m FT 3 2 xo FFT 21 x 2 FT 1 4 x F x m m F T 5 26 2 x 2 m xdx m xdmT dx m dm 222 x 2 x 2 若绳保持平直 绳的两端受到大小相等方向相反的外力作用时 绳静止或匀速直 线运动 这时张力处处相等 若绳保持平直 绳的两端受到大小不等方向相反的 外力作用时 绳加速直线运动 这时在忽略绳的质量时 张力处处相等 3 7 两弹簧完全相同 把它们串联起来或并联起来 劲度系数将发生怎样的变 化 解答 如图 串联时 2kkFmg 2 k k 并联时 2 kkFmg k2k 3 8 用两段同样的细线悬挂两物体 若突然向下拉下面物体 下 面绳易断 若缓慢拉 上面线易断 为什么 解答 突然向下拉下面物体时 由于上面物体要保持静止状态 惯 性 由于过程的时间极短 上面物体还没有来得及改变状态 下面的绳就断了 若缓慢拉下面物体时 上面物体能够来得及改变状态 这样上面 绳内的张力比下面绳内的张力大 所以上面绳易断 3 9 有三种说法 当质点沿圆周运动时 27 1 质点所受指向圆心的力即向心力 2 维持质点作圆周运动的力即向心力 3 即向心力 r mv 2 这三种说法是否正确 解答 以上说法都不确切 1 如图F 的n方向投影为向心力 向心力为 in F 2 维持质点作圆周运动的力可能有 in F i F 3 不是力 是外力对物体作用的瞬时效应 r mv 2 am 是动量的变化率 dt pd vm dt d dt vd mam 3 10 杂技演员表演水流星 演员持绳的一端 另端系水桶 内盛水 令桶在铅 直平面内作圆周运动 水不流出 1 桶到达最高点除受向心力外 还受一离心力 故水不流出 2 水受到重力和向心力的作用 维持水沿圆周运动 故水不流出 以上两种说法正确否 作出正确分析 解答 以上两种说法不正确 1 向心力不是独立于其它相互作用之外的力 向心 力为 离心力为 的反作用力 它不作用于桶 上 in F in F 2 在惯性系内 水沿圆周运动 所受的力为重力和 桶对水的作用力即 R v mmgN 2 在非惯性系内 水除受重力和桶对水的作用力外 还受 惯性离心力 R v mF 2 c 3 11 游戏场中的车可在铅直圆环轨道上行驶 设车匀速前进 在图中标出的几 个位置 E C A B D 上 何处乘客对坐位的压力最大 何处最小 28 解答 R v mcosmgN 2 R v mcosmgN 2 时时 0 1cos N 最小 时时 1cos N 最大 在最下面 可以得出 D E 点 N 最大 3 12 下面的动力学方程哪些线性哪些非线性 x dt xd m 2 2 2 非线性 tx2 dt xd m 2 2 2 线性 t dt dx dt xd m 3 2 2 线性 dt dx dt xd m 2 2 2 非线性 一次方程叫线性方程 n 阶线性方程具有下列形式 t qx t px t p x t px t px n1n 2n 2 1n 1 n 对于 2 阶线性方程具有下列形式 t qx t px t px 21 3 13 尾部设有游泳池的轮船匀速直线航行 一人在游泳池的高台上朝船尾方向 跳水 旁边的乘客担心他跳入海中 这种担心是否必要 若轮船加速行驶 这种 担心有无道理 29 解答 1 不必要 由伽利略下的相对性原理 2 若轮船加速行驶 这种担心有道理 在加速平动的非惯性中人除了受到物体的相互作用力外 还受到与加速度方向相 反的惯性力 此力有可能使他跳入海中 3 14 根据伽利略相对性原理 不可能借助于在惯性参照系中所作的力学实验来 确定该参照系作匀速直线运动的速度 你能否借助于相对惯性系沿直线作变速运 动的参照系中的力学实验来确定该参照系的加速度 如何作 解答 gtga g a tg cosTmg sinTma 测出 a 可求 3 15 在惯性系测得的质点的加速度是由相互作用力产生的 在非惯性系测得的 加速度是惯性力产生的 对吗 解答 不对 am am Fi 3 16 用卡车运送变压器 变压器四周用 绳索固定在车厢内 卡车紧急制动时 后面拉紧的绳索断开了 分别以地面和 汽车为参照系 解释绳索断开的原因 解答 地面为参照系 惯性系 变压 器为研究对象 其加速度向后 所以作 用在变压器上的合力向后 后面的绳索 作用在变压器的力比前面的大 由于加速度较大 静摩擦力远远小于绳索的拉 力 静摩擦力可以不考虑 汽车为参照系 非惯性系 变压器为 研究对象 相互作用力和惯性力矢量和 为零 可见 后面的绳索作用在变压器 的力比前面的大 30 3 17 是否只要质点具有相对于匀速转动 圆盘的速度 在以圆盘为参照系时 质点 必受科里奥利力 解答 科里奥利力 相相相相 vm2vm2fk 如图 质点具有相对于匀速转动圆盘的速 度 在以圆盘为参照系时 质点不一定就 受到科里奥利力 3 18 在北半球 若河水自南向北流 则东岸受到的冲刷 严重 试由科里奥利力进行解释 又问 河水在南半球 自南向北流 哪边河岸冲刷较严重 解答 科里奥利力 相相相相 vm2vm2fk 在北半球 若河水自南向北流 应用科里奥利力可判断 东岸受到的冲刷严重 河水在南半球自南向北流 时 西岸受到的冲刷严重 见图 3 19 在什么情况下 力的冲量和力的方向相同 解答 冲量是矢量 元冲量的方向总是与力的方向相同 至于在一段较长时间内 力的冲量等于这段时间内各无穷小时间间隔元冲量的矢量和 因此 力的冲量方 向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向 即 t t0 dtFI 不一定和某时刻力的方向相同 当在一段时间内 各无穷小时间 间隔元冲量方向都相同时 则这段时间内力的冲量和力的方向相同 另外冲量和 平均力的方向总是一致的 3 20 飞机沿某水平面内的圆周匀速率地飞行了整整一周 对这一运动 甲乙二 人展开讨论 甲 飞机既然作匀速圆周运动 速度没变 则动量是守恒的 乙 不对 由于飞行时 速度的方向不断变化 因此动量不守恒 根据动量定理 动量的改变来源于向心力的冲量 向心力就是 r v m 2 飞行一周所用时间为v r2 飞行一周向心力的冲量等于 mv2 v r2 r v mtF 2 m 为飞机质量 v 为速率 r 为圆周半径 分析他们说得对不对 解答 都有错误 甲的错误是说 速度没变 动量就守恒 应该说 速率不变但速度方向不断变化 动量不守恒 31 乙的错误 向心力就是 r v m 2 飞行一周向心力的冲量等于 mv2 v r2 r v mtF 2 应该说 飞行一周向心力的冲量等于零 根 据动量定理 飞行一周时 飞机动量改变为零 如图 0 vmvmI 3 21 棒球运动员在接球时为何要戴厚而软 的手套 篮球运动员接急球时往往持球缩 手 这是为什么 解答 根据t pp t dtF t I F 0 t t0 Ft 3 22 质心的定义是质点系质量集中的一点 它的运动即代表了质点系的运动 若掌握质点系质心的运动 质点系的运动状况就一目了然了 对否 解答 不对 质心运动情况不能说明质点系内各质点的运动情况 3 23 悬浮在空气中的气球下面吊有软梯 有一人站在上面 最初 均处于静止 后来 人开始向上爬 问气球是否运动 解答 运动 内力不影响质心的运动 人向上爬 气球向下运动 达到质点系的 质心位置不变 3 24 跳伞运动员临着陆时用力向下拉降落伞 这是为什么 解答 可达到减少人着陆的速度 减轻地面对人的冲力 3 25 质点系动量守恒的条件是什么 在何种情况下 即使外力不为零 也可用 动量守恒方程求近似解 解答 1 0Fi外 外 2 外力远远小于内力 外力在某一方向上的投影代数和为零 则质点系的动 量在该方向上守恒 第三章 动量定理及动量守恒定律 习题 3 5 1 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 j 1t3t3 i 1t6 r 22 t 为时间 单位为 s 长度单位为 m 求证质点受恒力而运动 并求力的方向大小 32 解 j 3t6 i t12v j 6i 12a j 12i 24amF 恒量 01 22 57 26 24 12 tg N 83 261224F 3 5 2 质量为 m 的质点在 oxy 平面内运动 质点的运动学方程为 b a j tsinbi tcosar 为正常数 证明作用于质点的合力总指向 原点 解 j tcosbi tsinav r j tsinbi tcosaa 22 rmamF 3 5 3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛 一方面由筛孔漏出谷粒 一方面逐出秸 杆 筛面微微倾斜 是为了 从较底的一边将秸杆逐出 因角度很小 可近似看作水平 筛面与谷粒发生相对 运动才可能将谷粒筛出 若谷粒与筛面静摩擦系数为 0 4 问筛沿水平方向的加 速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动 解答 以谷筛为参照系 发生相对运动的条件是 ga mgfam 0 00 33 最小值为 s m 92 38 94 0g 2 0 a a 以地面为参照系 解答 静摩擦力使谷粒产生最大加速度为 ma 0max mg 发生相对运动的条件是筛的加速度 ga 0max gaa 0max a 最小值为 s 38 94 0ga 0 m 92 2 3 5 4 桌面上叠放着两块木板 质量各为 m m 21如图所示 2 m 和桌面间的摩擦 m 系数为 和间的静摩擦系数为 2 12 m 1 问沿水平方向用多大的力才能把下 面的木板抽出来 解 对于 1 对于 2221211 1 m 1 ag mm 111 2 m 2 amg mm gmF 34 1 m 和发生相对运动的条件是 1 2 m 2 aa m gm m g mm gmF 1 11 2 21211 g mm F 2121 3 5 5 质量为的斜面可在光滑的水平面上滑动 斜面倾角为 2 m 质量为 的 运动员与斜面之间亦无摩擦 求运动员相对斜面的加速度及其对斜面的压力 1 m 解 隔离体 m m 21 对于 2 m0cosNgmR 2 12a msinN 对于 1 m sinamgmcosN 211 cosamamsinN 2111 联立求解 2 12 21 2 sinmm sing mm a 2 12 21 sinmm cosgmm N 3 5 6 在图示的装置中两物体的质量各为 物体之间及物体与桌面间的摩 擦系数都为 求在力F m m 21 的作用下两物体的加速度 及绳内张力 不计滑轮和 绳的质量及轴承摩擦 绳 不可伸长 35 解 对于 1 m amTgm 11 1 amgmT 11 对于 2 m 2 amTg mm gmF 2211 解方程得 g mm gm2F a 21 1 21 11 mm gm2F m T 3 5 7 在图示的装置中 物体 A B C 的质量各为 321 m m m 且两两不等 若物体 A B 与桌面间的摩擦系数均为 求三个物体 的加速度及绳内张力 不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦 绳不可伸长 解 1 amgmT 111 2 amgmT 222 3 amT2gm 333 4 aa 2 1 a 213 x2xx CBA 由 1 2 得 5 amgmgmam 112122 36 由 3 得 6 aa 2 m amamgmgm gm 21 3 2211213 5 代入 6 g mm4m mm 1 mm2 a 21321 32 1 g mm4m mm 1 mm2 a 21321 31 2 g mm4m mm 1 m mm a 21321 321 3 g mm4m mm 1 mmm2 T 21321 321 3 5 8 天平左端挂一定滑轮 一轻绳跨过定滑轮 绳的两端分别系上质量为 的物体 天平右端的托盘内放有砝码 问天平托盘和砝码共 重若干 才能保持天平平衡 不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦 绳不可伸长 21 m m mm 21 解 1 amTgm 22 amgmT 11 2 解方程得 g mm mm a 21 12 g mm mm2 T 21 21 37 g mm mm4 T2T 21 21 3 5 9 跳伞运动员初张伞时的速度为 阻力大小与速度平方成正比 人 伞总质量为 m 求的函数 0 v 2 av t vv 提示 积分时可利用式 v1 2 1 v1 2 1 v1 1 2 解 m dt avmg dv dt dv mavmg 2 2 m dt mg av1 mg dv 2 gdt mg av1 dv 2 设 常量 常量 mg a mg a 2 上式写成 gdt v1 dv 22 gdt v12 dv v12 dv gdt v12 v1d v12 v1d 积分 Cgt2 v1 v1 ln C v1 v1 ln 0 0 代入 v1 v1 ln gt2 v1 v1 ln 0 0 gt2 v1 v1 v1 v1 ln 0 0 1 v1 v1 e 1 v1 v1 e 1 v 0 0 gt2 0 0 gt2 38 3 5 10 一巨石与斜面因地震而分裂 脱离斜面下滑至水平石面之速度为 求 在水平面上巨石速度与时间的关系 摩擦系数为 0 v 342 2 308 3v 注 不必 求 v 作为 t 的显函数 解 mg dt dv m g dt dv g 308 3v dt dv 342 2 gdt 308 3v dv 342 2 gdt 308 3v 308 3v d 342 2 积分 Cgt 308 3v 342 3 1 342 3 C 308 3v 342 3 1 342 3 0 代入 342 3 0 342 3 308 3v gt342 3 308 3v 3 5 11 棒球的质量为 0 14kg 用棒击棒球的力随时间的变化如图所示 设棒球 被击前后速度增量大小为 70m s 求力的最大 值 打击时 不计重力 解 0 0 05s 阶段 dt dv mt 05 0 F t F max tdt m05 0 F dv max tdt m05 0 F dv 05 0 0 max v v0 05 0 m2 F v max 1 0 05 0 08s 阶段 dt dv m 05 0t 05 0 08 0 F F t F max max 39 dt 05 0t 03 0 F F m 1 dv max max dt 03 0 t 3 8 m F dv max dt 03 0 t 3 8 m F dv 08 0 05 0 max v v 03 0 m2 F v max 2 04 0 m F vvv max 21 N 245 04 0 14 070 04 0 vm Fmax 3 5 12沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间 变化如图所示 火箭质量为 2kg t 0 时处于静 止 求火箭发射后的最大速率和最大高度 注 意 推力 重力时才起作用 解 以地面为参照系 因推力 重力时才起作用 所以 mgF t 20 98 F 8 92mgt 20 98 s 4t 由动力学方程 dt dv mmgF dt g m F dv dt g m t9 4 dv 积分得 dt g m t9 4 dv t 4 v 0 4t g 16t 4 9 4 v 2 6 19t8 9t 4 9 4 v 2 速率的最大值为 t 20s 的速率 s m 6 3136 19208 920 4 9 4 v 2 max 当速度达到最大时即 t 20s 从此时开始火箭失 去推力 开始自由上抛 速率为零时达到最高点 40 20 4 2 20 m 1 1672dt 6 19t8 9t 2 45 2 y m 6 5017 8 92 6 313 g2 v h 22 max m 7 6689hyy 20max 3 5 13 抛物线形弯管的表面光滑 绕铅直轴以匀角速率转动 抛物线方程为 a 为正常数 小环套于弯管上 1 弯管角速度多大 小环可在管上任 意位置相对弯管静止 2 若为圆形光滑弯管 情况如何 axy 2 解 1 设弯管转动角速度为 时 小环可在管上任意位置相对弯管静止 小 环作匀速圆周运动时满足的关系式为 1 mxmasinN 2 n 小球在竖直方向上满足的关系式为 2 0mgcosN 由 1 2 式得 3 g x tg 2 再由抛物线方程得 axy 2 4 ax2 dx dy tg 由 3 4 得 g x ax2 2 ag2 2 同上 1 mxmasinN 2 n 2 0mgcosN 得 3 g x tg 2 由圆的方程 R yR x 222 4 yR x dx dy tg 41 由 3 4 得 yR g 3 5 14 北京设有供实验用高速列车环形铁路 回转半径为 9km 将要建设的京沪 列车时速 250km h 若在环路上作次项列车实验且欲铁路不受侧压力 外轨应比 内轨高多少 设轨距 1 435m 解 1 0mgcosN b 2 R v msinN n 2 Rg v tg 2 d h tg m 078 0 8 99000 444 69435 1 Rg dv h 22 3 5 15 汽车质量为 1 2 10kN 在半径为 100m 的水平圆形弯道上行驶 公路内外 侧倾斜 15 0 沿公路取自然坐标 汽车运动学方程为 m t20t5 0s 3 自 t 5s 开始匀速运动 问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向 外侧还是由外侧指向内侧 解 以地面为参照系 汽车受力如图 摩擦力的方向设为沿路面指向内侧 1 0mg15sinf15cosN b 00 42 2 R v m15cosf15sinN b 2 00 N 4 29 15sing15cos R v mf 00 2 f 为正 表示假设摩擦力的方向与实际的方向相同 指向内侧 3 5 16 速度选择器原理如图 在平行板电容器间有匀强电场 j EE 又有与之 垂直的匀强磁场k BB 现有带电粒子以速度i vv 进入场中 问具有何种 速度的粒子方能保持沿 x 轴运动 此装置用于选出具有特定速度的粒子 并用量 纲法则检验计算结果 解 带电粒子在磁场中受力 j qvBBvqF 带电粒子在电场中受力 j qEEqF 粒子能保持沿 x 轴运动的条件 B E v qEqvB s m C Am Am N C N v 3 5 17 带电粒子束经狭缝 s1和 s2之选择 然后进入速度选择器 习题 3 5 16 其中电场强度和磁感应强度各为E 和B 具有 合格 速度的粒子再进入与速 度垂直的磁场B中 并开始作圆周运动 经半周后打在荧光屏上 试证明粒子 质量为m r 和 q 分别表示轨道半径和粒子电荷 该装置能检查出 0 01 的质量差别 可用于分离同位素 检测杂质或污染物 0 qBB0E r 43 解 由上题 1 B E v 粒子进入与速度垂直的磁场0 B 中时 根据 n qvBBvqF 00 得 2 v rqB m qvB r v m 0 0 2 1 代入 2 E rqBB m 0 3 5 18 某公司欲开设太空旅馆 其设计为用 32m 长的绳连接质量相同的两个客 舱 问两客舱围绕两舱中点转动的角速 度多大 可使旅客感到和在地面上那样 受重力作用 而没有 失重 的感觉 解 旅客在太空旅馆不受重力作用 使 旅客感到和在地面上那样受重力作用 而没有 失重 的感觉 就是舱底版对 人的支持力和人在地面上所受的重力相 同 mgNmr 2 mNrm 2 或 g 得 s rad 78 0 16 8 9 r g 3 5 20 44 3 5 21 图表示哺乳动物的下颌骨 假如肌肉提供的力1 F 和2 F 均与水平方向成 45 0 食物作用于牙齿的力为F 假设F F1 和2 F 共点 求1 F 和2 F 的关系以及与F 系 的关 解 平衡问题 21 21 FF 0cosFcosF ox sinF2F 0FsinFsinF oy 1 21 3 5 22四根等长且不可伸长的轻线端点 悬于水平面正方形的四个顶点处 另一端固结于一处悬挂重物 重量为 W 线与 铅垂线夹角为 求各线内张力 若四根均不等长 知诸线之方向余弦 能算出 线内张力吗 解 1 WcosT4 cos4 W T 2 四线均不等长 则运用平衡方程不足以确定线内张 力 这种用静力学方程不足以解决的问题称静不定问题 3 6 1 小车以匀加速度 a 沿倾角为 的斜面向下运动 摆 锤相对于小车保持静止 求悬线与竖直方向的夹角 分别 自惯性系和非惯性系中求解 解 1 坐标系 o x y 建立在惯性系上 如图 2 sinmamgcosT 1 cosmasinT 45 解方程 sinmamg cosma tg sinag cosa tg 1 2 坐标系 yxo 建立在非惯性系上 如图 2 0mgsinmacosT 1 0cosmasinT 解方程 sinmamg cosma tg sinag cosa tg 1 3 6 2 升降机 A 内有一装置如图示 悬挂的两物体的质量各为 m1 m2且 m1 m2 若 不计绳及滑轮质量 不 计轴承处的摩擦 绳不可伸长 求当升降机以加速度 a 方向向下 运动时 两 物体的加速度各为多少 绳内的张力是多少 解 以升降机 A 为参照系 建立坐标系 y o 如 图所示 受力分析如图 包括惯性力 amgmamT amgmamT 2222 1111 aa 21 它们本身含有符号 解方程得 mm a mm g mm a 12 1221 1 1 m 相对地面的加速度 21 122 11 mm g mm am2 aaa mm a mm g mm aa 12 1221 12 2 m 相对地面的加速度 21 121 22 mm g mm am2 aaa ag mm mm2 amgm m aa gm amamgmT 21 21 111 111 1111 46 3 6 3 图示柳比莫夫摆 框架上悬挂小球 将摆移开平衡位置而后放手 小球随 即摆动起来 1 当小球摆至最高位置时 释放框架使它沿导轨自由下落 如 图 a 问框架自由下落时 摆锤相对于框架如何运动 2 当小球摆至平衡 位置时 释放框架 如图 b 小球相对于框架如何运动 小球质量比框架质 量小得多 解 1 当小球摆至最高位置时 释放框架使它沿导轨 自由下落 当小球摆至最高位置时相对框架速度为零 即 ov o v mF n 2 in oamF i 结果表明 小球开始时相对框架的速度为零 且相对框架的加速度为零 则小球 相对框架静止 2 当小球摆至平衡位置时 释放框架 此时小球相对框架的速度为 v v mT n 2 oamF i 结果表明 小球的切向加速度为零 则小球相对框 架作匀速直线运动 以上两种情况 实质上是小球在非惯性系中所受的合力 包括惯性力 为绳对小 球的拉力 T 若开始时小球具有初速度 则作匀速圆周运动 若开始静止 以后 也静止 3 6 4 摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转 筒内壁半径为 3 0m 轮 胎与壁面静摩擦系数为 0 6 求摩托车最小线速度 取非惯性系作 解 取匀速转动参照系为非惯性系 摩 托车和人相对非惯性系静止 0 R v mN n Nf omgf b 2 47 s m 7 Rg v Rg v mg R v m 2 2 3 6 5 一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动 一小圆盘在伞面上滚动但相对地面在原 地转动 即盘中心不动 1 小盘相对雨伞如何运动 2 以伞为参照系 小 球受力如何 若保持牛顿第二定律形式不变 应如何解释小球的运动 解 1 小盘相对雨伞作圆周运动 2 以伞为参照系 小球受力如图 其中 惯性离心力 rmf 2 c 科里奥利力 小盘相对伞的速度向里 相相 vm2f k 若保持牛顿第二定律形式不变 在非惯性系 中因入惯性力 小盘的动力学方程为 amfffgmN k c 3 7 1 就下面两种受力情况 j t1 i t2F 2 j 2i t2F 1 力 N 时间 s 分别求出 1 4 3 2 1 4 1 0t 时的力并用图表示 再求自 t 0 至 t 1 时间内的冲量 也用图表示 解 j 2i 2F 1t j 2i 2 3 F 4 3 t j 2i F 2 1 t j 2i 2 1 F 4 1 t j 2F 0t j 2i t2F 1 j 2i dt j 2i t2 I 1 0 2 方法同上 3 7 2 一质量为 m 的质点在 o xy 平面上运动 其位 置矢量为 j tsinbi tcosar 求质点的动量 48 解 j tcosbi tsinav j tcosmbi tsinmavmp tcosbtsinamp 2222 与 x 轴夹角 ttg a b tsina tcosb tg 3 7 3 自动步枪连发时每分钟可射出 120 发子弹 每颗子弹的质量为 7 9g 出口 速度为 735m s 求射击时所需的平均力 解 s5 0 120 s60 t m 0 0079kg v 735m s 0v0 N 6 11 5 0 7350079 0 t mv F 3 7 4 棒球的质量为 0 14kg 棒球沿水平方向以速率 50m s 投来 经棒击球后 球沿与水平成飞出 速率为 80m s 球与棒接触时间为 0 02s 求棒击球的平 均力 0 30 解 根据动量定理 150cosvvm2 mv mv I Ivmvm 0 0 22 0 2 0 N 881 150cos805028050 t m t 150cosvvm2 mv mv t IF 022 0 0 22 0 2 平均力与水平夹角 4318 150sin tFsin mv 0 0 3 7 5 质量为 M 的滑块与水平面间的静摩擦系数为 0 质量为 m 的滑块与 M 均处 于静止 绳不可伸长 绳与滑轮质量可不计 不计滑轮轴摩擦 问将 m 托起多高 49 放手后可利用绳对 M 冲力的平均力拖动 M 设当 m 下落 h 后经过极短的时间后与绳的铅直部分 相对静止 t 解 先研究滑块 m 它被托起 h 再回原静止位 置时 速度大小为 gh2 若 M 尚未被拖动 则 由绳不可伸长知 m 在极短时间t 内 速度又变 gh2mmvp 在t 为零 因此 其动量变化为内绳对 m 的平均冲力为 gh2 t m t p F 这是绳子对滑块 M 也同时作用以这样大的平均冲力 再研究滑块 M 它在水平方向仅受绳拉力和摩擦力 Mg 依题意 能利用 对 M 的平均冲力拖动 M 的条件是 绳 MgF 0 即 Mggh 0 2 t m 2 222 0 m2 t gM h y 1 1 2 0 和 3 2 质心位于 x y 1 1 求 m3的位 置 由 3 7 6 质量 m1 1kg m2 2kg m3 3kg m4 4kg m1 m2和 m4四质点形成的质心坐标顺次 为 x m xm x i ii c m ym y i ii c 解 得 1x 10 34x3 2 2 1 1 1 3 3 1y 10 2 4y30211 1 3 3 作用于驳船的平均力有多大 用牛顿定律作出结果 并以此验证你的计 算 以下三题用质心运动定理和质点系动量定理两种方法作 3 8 1 质量为 1500kg 的汽车在静止的驳船上在 5s 内自静止加速至 5m s 问缆绳 50 ci amF 解 1 质心运动定理 mM mx mM mx0M x 22 c v mM m v 2xxc t v mM m a mM m a 2x 2xxc N 1500 1 1500 t v m t v mM m mM F 2x2x 2 质点组动量定理 N 1500 1 1500 t vm t mv F 2x 3 牛顿定律 对于汽车 N 1500 1 1500 t v mmaf 2x 2x N 1500fF 0fF 3 8 2 若上题中驳船的质量为 6000kg 当汽车相对船静止时 由于船尾螺 旋桨的转动 可使船载着汽车以加速度 0 2m s 2前进 若正在前进时 汽车自静 止开始相对船以加速度 0 5m s 2与船前进相反方向行驶 船的加速度如何 51 解 1 质心运动定理 以驳船前进方向为坐标轴的正方向 系统在水平方向所受外力为 c a mM F 外外 mM 5 0a mMa mM maMa mM mxMx dt d dt xd a MMmM mM 2 2 2 c 2 c 又由于作用于系统的外力不变 所以系统质心速度不变 即 得 2 0ac 2 0 mM 5 0a mMa a MM c s m 3 0 7mM 500 15005 0 2 0 m5 0 aa 2 cM 2 质点组动量定理 dt pd F 外外 则 M dt mM F外 外 c c a m vd 在水平方向的分量式 xc xc a mM dt dv mM F外 外 又 mM mM maMa mvMv dt d dt pd F 外外 得 5 0a mMaa mM MMxc MM 5 0a mMa2 0 mM 2 0 mM 5 0a mMa MM s m 3 0 7500 15005 0 2 0 mM m5 0 aa 2 cM 结果同上 3 8 3 气球下悬软梯 总质量为 M 软梯上站一质量为 m 的人 共同在气球 所受浮力 F 作用下加速上升 人以相对于软梯的加速度 am上升 问气球加速度 如何 52 解 1 质心运动定理 系统受外力 重力 浮力 c a mM g mM F mM mxMx dt d dt xd a mM 2 2 2 c 2 c 设气球的加速度 a 则 mM ma a mM aa mMa mM mxMx dt d a m mmM 2 2 c 得 mM ma a mM g mM F m g mM maF a m 2 质点的动量定理 dt pd F 外外 因 g mMFF 外外 aa mMa mvMv dt d dt pd F m mM 外外 得 m maa mM g mM F g mM maF a m 结果同上 3 8 4 水流冲击在静止的涡轮叶片上 水流冲击叶片曲面前后的速率都等于 v 每单位时间投向叶片的水的质量保持不变且等于 u 求水作用于叶片的力 解 取质量为 的一部分水流作为隔离 体 根据质点动量定理有 i m vv mtF ii 53 对于时间内冲击叶片的整个水流应用质点组动量定理 t vv mtF ii 即 vm2tF vu2 t vm2 F 根据牛顿第三定律水作用于叶片的力为 vu2FF 3 8 5