福建省厦门市双十中学2024届九年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)

数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡；2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分；3．可直接用2B铅笔画图．一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.贴窗花是过春节时的一项重要活动，这项活动历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（）A. B. C. D.答案：A详解：解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．2.芯片制程指的是晶体管结构中的栅极的线宽，也就是纳米工艺中的数值，宽度越窄，功耗越低，14纳米就是米，数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：∵，故选B．3.下列运算正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误，故选：C．4.已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（）A. B.C. D.答案：A解析：详解：解：该几何体的左视图如下：故选：A．5.已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（）A.恰好是白球是不可能事件 B.恰好是黑球是随机事件C.恰好是红球是必然事件 D.恰好是红球是不可能事件答案：B解析：详解：解：A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意；C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意．故选：B．6.在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是()A1+ B.2+ C.2﹣1 D.2+1答案：D解析：详解：设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有，解得．故选D．7.某城市进行道路整改，需要重新铺设一段全长为6千米的道路，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前25天完成这一任务，设原计划每天铺设道路x米，根据题意可列方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道x米，实际施工时每天铺设管道米，根据题意得：，故选：C．8.如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与的延长线交于点E，则与的数量关系是（）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：连接，，，∵是的直径，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∴．故选：C．9.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：在中，，，，∵，∴，故选：B．10.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④答案：C解析：详解：解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∴①②正确，符合题意，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴，∴，∴﹣1＜a＜0，∴④正确，符合题意，∵a+c＝0，∴c＝﹣a，0＜c＜1，当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，∵﹣1＜a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．综上所述，结论正确的是①②④．故选：C．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.（1）__________；（2）的相反数是__________．答案：①.②.解析：详解：（1）解：，故答案为：；（2）解：由题意知，的相反数为，故答案为：．12.如图，在正五边形中，的平分线交于点，连接，则________．答案：##18度解析：详解：解：∵五边形是正五边形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：．13.为了解家庭丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班研究性学习小组的六位同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：30，27，23，15，22，33．若该班有50名学生，请你估算本周全班同学的家里共丢弃塑料袋________个．答案：1250解析：详解：解：六位同学家中平均一周丢弃塑料袋：（个），则（个）．∴全班同学家一周共丢弃塑料袋1250个．故答案为：125014.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．答案：8解析：详解：解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案为：8．15.如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________．答案：解析：详解：如图，连接，交于点F．∵四边形是正方形，∴，，∴．故答案为：．16.如图，矩形纸片，宽，长可无限长，把矩形纸片放置在平面直角坐标系中转动，顶点和原点重合，边在第一象限内，边与轴的交点为，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，再过点作轴的垂线，垂足为，交于点，则面积的最大值是________．答案：解析：详解：设，则，∵，∴，又∵∴∴∴解得：，∵，∴，即∴即面积的最大值是故答案为：．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.计算：．答案：解析：详解：解：．18.如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．答案：证明见解析解析：详解：证明：在四边形是菱形，，，，在和中，，∴．19.先化简，再求值，其中．答案：解析：详解：原式，当时，原式20.如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．（2）已知，，求的半径．答案：（1）直线与相切，理由见解析（2）的半径为解析：小问1详解：解：直线与相切，理由如下：如图，连接，，，，，，，，，，，是半径，直线与相切；小问2详解：解：如图，连接，，由（1）可得：，，设，则，，，，，，解得：，，的半径为．21.为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能公交车，计划购买A型和B型两种新能公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?答案：（1）购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元（2）三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用330万元解析：小问1详解：设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元，依题意，得：，解得：答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元．小问2详解：设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆，依题意，得：，解得：，因为m为整数，所有，所以，该公司有三种购车方案，方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车；方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车；方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车．该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则，因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330，答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元．22.如图，矩形中，，在边上取一点E，将沿折叠，使点C恰好落在边上点F处．连接与交于点G．（1）根据题目要求，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，求的长．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：解：如图所示即为所求；小问2详解：解：由折叠的性质可知：，，设，在中，，，解得：，，四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，解得：；连接交于点M，延长交的延长线于点T，如图，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，和中，（），，，，，，，．23.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．答案：（1）平均费用约为元；（2）①为事故车的概率为；②50万元解析：小问1详解：解：元，答：在第四年续保时的平均费用约为元；小问2详解：①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为；②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元．24.如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段交于点O，延长于点G，连接并延长交于点Q，连结交于点P，连结．（1）求证：O是的中点；（2）求证：平分；（3）若，求．（结果用含m的代数式表示）答案：（1）见解析（2）见解析（3）解析：小问1详解：证明：四边形是矩形，，，点E，F分别为对边的中点，，，在和中，，，，O是的中点；小问2详解：证明：如图2，延长与的延长线交于点．点E，F分别为对边的中点，，，，四边形是平行四边形，，所以，；且，．，，．又，，，则，平分；小问3详解：解：因为，由，得，，同理，．作于点，于点，又由（2），得，，．即．25.直线经过抛物线的顶点D，其中．（1）求m的值；（2）点A，B为抛物线上不同的两点，轴于点M，轴于点N，；①若直线、直线和抛物线交于同一点，求直线的解析式；②抛物线与y轴交于点C，直线AC解析式为，直线的解析式为，且，求的面积．答案：（1）（2）①直线的解析式为：或；②解析：小问1详解：解：，∴顶点，∵直线经过抛物线的顶点D，∴，解得：或（不符合题意，舍去）；小问2