中考数学经典习题(50题).docx

中考数学经典大题1. 已知在ABC中，ABC=90，AB=6，BC=8.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.（1）当点P在线段AB上时，求证：APQACB；（2）当PQB是等腰三角形时，求AP的长.2. 如图，对称轴为x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.若点P是抛物线上第三象限内的点，是否存在点P，使得SPOC=4SBOC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.若M是x轴上方抛物线上的点，过点M作MNx轴于点N，若MNO与OBC相似，求M点的坐标.3. 如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PAC=PBA，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是O的切线；（2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半径.4. 如图，已知函数y=-x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C.（1）求BAD的面积；（2）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使SABP=12SABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在轴上是否存在一点Q，使得DOQ与ABC相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形，点A、B在x轴上，MBC是边长为2的等边三角形。过点M作直线与x轴垂直，交M于点E，垂足为点M，且点D平分AC.（1）求过A、B、E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6. 如图1，直角ABC中，ABC=90，AB是O的直径，O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P.（1）求证：PD是O的切线；（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tanC=2，求AFFE的值.7. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，2），B（0，1）和点C（-1，-23）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若SPFN=4SPFM，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点G，使BMA与MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由.8. 如图，PB切O于B点，直线PO交O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO交O于点C，连结BC，AF.（1）直线PA是否为O的切线，并证明你的结论；（2）若BC=16，O的半径的长为17，求tanAFD的值；（3）若OD：DP=1：3，且OA=3，则图中阴影部分的面积为？9. 将抛物线C1：y=x2平移后的抛物线C2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（-1，0），tanCAB=3.（1）求抛物线C2的解析式；（2）若点P是抛物线C2上的一点，连接PB，PC.求SBPC=34SCAB时点P的坐标；（3）D为抛物线C2的顶点，Q是线段BD上一动点，连接CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d 1，d2，试求出d1+d2的最大值，并求出此时Q点坐标.10. 如图1，AB为O的直径，TA为O的切线，BT交O于点D，TO交O于点C、E.（1）若BD=TD，求证：AB=AT；（2）在（1）的条件下，求tanBDE的值；（3）如图2，若BDTD=43，且O的半径r=7，则图中阴影部分的面积为？11. 如图，过A（1，0），B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为抛物线上的一点，连接PD，PC. 求SPCD=13SCDB时点P的坐标.（4）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值.12. 如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O于点E.（1）求证：AC平分DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cosCAD=45，求AFFC的值.13. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长交CD于F点.（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AEP是等边三角形，连结BP，求证：APBEPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求CPF的面积.14. 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（aEC），且BD=23.求过点D作DF/BC，交AB的延长线于点F.（1）求证：DF为O的切线；（2）若BAC=60，DE=7，求图中阴影部分的面积；（3）若ABAC=43，DF+BF=8，如图2，求BF的长.33. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A、B、C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上.（1）求b，c的值,B的坐标；（直接写出结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线.垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标. 34. 如图，经过 ABCD的三个顶点A、C、D作O，交BC边于点H，AB切O于点A，延长半径AO交CD于E，交O于F，P是射线AF上一点，且PCD=2DAF（1）求证：AB=AH；（2）求证：PC是O的切线；（3）若AB=2，AD=17，求O的半径.35. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D为抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，连接BC，BE，求tanCBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一动点，若DMB与BCE相似，求点M的坐标. 36. 如图，在O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作DAF=DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8.（1）求证：DF是O的切线；（2）求证：OC2=OEOP；（3）求线段EG的长.37. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由. 38. 在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M，N.（1）观察图1，直接写出AEM与BNE的关系为： ；（不用证明）（2）如图1，当M、N都分别在AB、BC上时，可探究出BN与AM的关系为： ；（不用证明）（3）如图2，当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由.39. 如图，直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+12x+c经过B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，当SBEC=32，请求出点E和点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当E点的横坐标为1时，在EM上是否存在点N，使得CMN和CBE相似？如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由. 40. 如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB交O于点C，过点C作CEDF，垂足为点E.（1）求证：CE是O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求O的半径.41. 在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为： BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.已知AB=22，CD=14BC，请求出CF的长. 42. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A、D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）.（1）求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）探究抛物线上是否存在点F使得FOEFCE？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究，当M为何值时，OPQ为等腰三角形. 43. 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点G，过点D作EFAC于点E，交AB的延长线于点F.（1）求证：EF是O的切线；（2）当AB=5，BC=6时，求tanBAC的值.44. 已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）.以AD为边做正方形ADEF，连接CF.（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC.求OC的长度.45. 如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 46. 如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BEDC交DC的延长线于点E.（1）求证：1=BAD；（2）求证：BE是O的切线.47. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： ；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，DAB=ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在RtABC与RtABD中，C=D=90，BC=BD=3，AB=5，将RtABD绕着点A顺时针旋转（00）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在ABC内，求n的取值范围；（3）设点P在y轴上，且满足OPA+OCA=CBA，求CP的长. 49. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE.（1）判断PCE的形状；（不必说明理由）（2）如图2，若点P是BD延长线上一点，其他条件不变，则（1）的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）如图3，把“正方形ABCD”改成“菱形ABCD”，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.50. 如图，在ABC中，ABC=ACB，以AC为直径的O分别