高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 垂直关系学案 文 北师大版.doc

8.5垂直关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意一条直线)aam，an，m，n，mnoaab，ab性质a，baba，bab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l知识拓展重要结论(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，a，则a.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()题组二教材改编2下列命题中错误的是()a如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案d解析对于d，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的3在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的射影为点o.(1)若papbpc，则点o是abc的_心；(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接oa，ob，oc，op，在rtpoa，rtpob和rtpoc中，papcpb，所以oaoboc，即o为abc的外心(2)如图2，延长ao，bo，co分别交bc，ac，ab于h，d，g.pcpa，pbpc，papbp，pc平面pab，又ab平面pab，pcab，abpo，popcp，ab平面pgc，又cg平面pgc，abcg，即cg为abc边ab上的高同理可证bd，ah分别为abc边ac，bc上的高，即o为abc的垂心题组三易错自纠4(2017湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m的是()a且m b且mcmn且n dmn且答案c解析由线面垂直的判定定理，可知c正确5.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，点o，m，n分别是线段bd，dd1，d1c1的中点，则直线om与ac，mn的位置关系是()a与ac，mn均垂直b与ac垂直，与mn不垂直c与ac不垂直，与mn垂直d与ac，mn均不垂直答案a解析因为dd1平面abcd，所以acdd1，又因为acbd，dd1bdd，所以ac平面bdd1b1，因为om平面bdd1b1，所以omac.设正方体的棱长为2，则om，mn，on，所以om2mn2on2，所以ommn.故选a.6.如图所示，ab是半圆o的直径，va垂直于半圆o所在的平面，点c是圆周上不同于a，b的任意一点，m，n分别为va，vc的中点，则下列结论正确的是()amnabb平面vac平面vbccmn与bc所成的角为45doc平面vac答案b解析由题意得bcac，因为va平面abc，bc平面abc，所以vabc.因为acvaa，所以bc平面vac.因为bc平面vbc，所以平面vac平面vbc.故选b.题型一直线与平面垂直的判定与性质典例 如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)cdae；(2)pd平面abe.证明(1)在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，pacd.又accd，paaca，pa，ac平面pac，cd平面pac.而ae平面pac，cdae.(2)由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.由(1)知aecd，且pccdc，pc，cd平面pcd，ae平面pcd，而pd平面pcd，aepd.pa底面abcd，ab平面abcd，paab.又abad，且paada，ab平面pad，而pd平面pad，abpd.又abaea，ab，ae平面abe，pd平面abe.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想跟踪训练 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e.求证：(1)de平面aa1c1c；(2)bc1ab1.证明(1)由题意知，e为b1c的中点，又d为ab1的中点，因此deac.又因为de平面aa1c1c，ac平面aa1c1c，所以de平面aa1c1c.(2)因为棱柱abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc.因为ac平面abc，所以accc1.又因为acbc，cc1平面bcc1b1，bc平面bcc1b1，bccc1c，所以ac平面bcc1b1.又因为bc1平面bcc1b1，所以bc1ac.因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c.因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac.又因为ab1平面b1ac，所以bc1ab1.题型二平面与平面垂直的判定与性质典例 (2018开封模拟)如图，在四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点(1)求证：ce平面pad；(2)求证：平面efg平面emn.证明(1)方法一取pa的中点h，连接eh，dh.因为e为pb的中点，所以eh綊ab.又cd綊ab，所以eh綊cd.所以四边形dceh是平行四边形，所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad，所以ce平面pad.方法二连接cf.因为f为ab的中点，所以afab.又cdab，所以afcd.又afcd，所以四边形afcd为平行四边形因此cfad，又cf平面pad，ad平面pad，所以cf平面pad.因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又ef平面pad，pa平面pad，所以ef平面pad.因为cfeff，故平面cef平面pad.又ce平面cef，所以ce平面pad.(2)因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又因为abpa，所以efab，同理可证abfg.又因为effgf，ef，fg平面efg，所以ab平面efg.又因为m，n分别为pd，pc的中点，所以mncd，又abcd，所以mnab，所以mn平面efg.又因为mn平面emn，所以平面efg平面emn.引申探究1在本例条件下，证明：平面emn平面pac.证明因为abpa，abac，且paaca，pa，ac平面pac，所以ab平面pac.又mncd，cdab，所以mnab，所以mn平面pac.又mn平面emn，所以平面emn平面pac.2在本例条件下，证明：平面efg平面pac.证明因为e，f，g分别为pb，ab，bc的中点，所以efpa，fgac，又ef平面pac，pa平面pac，所以ef平面pac.同理fg平面pac.又effgf，所以平面efg平面pac.思维升华 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直跟踪训练 (2018届河南中原名校质检)在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abcd，pad是等边三角形，已知ad2，bd2，ab2cd4.(1)设m是pc上一点，求证：平面mbd平面pad；(2)求四棱锥pabcd的体积(1)证明在abd中，由勾股定理知adbd，又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，bd平面abcd，所以bd平面pad，又bd平面bdm，所以平面mbd平面pad. (2)解如图，取ad的中点o，则poad.因为平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，po平面pad，所以po平面abcd，所以po是四棱锥pabcd的高，且po2，底面abcd的面积是abd面积的，即3，所以四棱锥pabcd的体积为33.题型三垂直关系中的探索性问题典例 如图所示，平面abcd平面bce，四边形abcd为矩形，bcce，点f为ce的中点(1)证明：ae平面bdf；(2)点m为cd上任意一点，在线段ae上是否存在点p，使得pmbe？若存在，确定点p的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)证明连接ac交bd于点o，连接of.四边形abcd是矩形，o为ac的中点又f为ec的中点，ofae.又of平面bdf，ae平面bdf，ae平面bdf.(2)解当点p为ae的中点时，有pmbe，证明如下：取be的中点h，连接dp，ph，ch.p为ae的中点，h为be的中点，phab.又abcd，phcd，p，h，c，d四点共面平面abcd平面bce，且平面abcd平面bcebc，cdbc，cd平面abcd，cd平面bce.又be平面bce，cdbe，bcce，且h为be的中点，chbe.又chcdc，且ch，cd平面dphc，be平面dphc.又pm平面dphc，pmbe.思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设跟踪训练 如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，m为棱ac的中点abbc，ac2，aa1.(1)求证：b1c平面a1bm；(2)求证：ac1平面a1bm；(3)在棱bb1上是否存在点n，使得平面ac1n平面aa1c1c？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由(1)证明连接ab1与a1b，两线交于点o，连接om.在b1ac中，m，o分别为ac，ab1的中点，omb1c，又om平面a1bm，b1c平面a1bm，b1c平面a1bm.(2)证明侧棱aa1底面abc，bm平面abc，aa1bm，又m为棱ac的中点，abbc，bmac.aa1aca，aa1，ac平面acc1a1，bm平面acc1a1，bmac1.ac2，am1.又aa1，在rtacc1和rta1am中，tanac1ctana1ma，ac1ca1ma，即ac1cc1aca1mac1ac90，a1mac1.bma1mm，bm，a1m平面a1bm，ac1平面a1bm.(3)解当点n为bb1的中点，即时，平面ac1n平面aa1c1c.证明如下：设ac1的中点为d，连接dm，dn.d，m分别为ac1，ac的中点，dmcc1，且dmcc1.又n为bb1的中点，dmbn，且dmbn，四边形bndm为平行四边形，bmdn，bm平面acc1a1，dn平面aa1c1c.又dn平面ac1n，平面ac1n平面aa1c1c.立体几何证明问题中的转化思想典例 (12分)如图所示，m，n，k分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，cd，c1d1的中点求证：(1)an平面a1mk；(2)平面a1b1c平面a1mk.思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范规范解答证明(1)如图所示，连接nk.在正方体abcda1b1c1d1中，四边形aa1d1d，dd1c1c都为正方形，aa1dd1，aa1dd1，c1d1cd，c1d1cd.2分n，k分别为cd，c1d1的中点，dnd1k，dnd1k，四边形dd1kn为平行四边形，3分kndd1，kndd1，aa1kn，aa1kn，四边形aa1kn为平行四边形，ana1k.4分又a1k平面a1mk，an平面a1mk，an平面a1mk.6分(2)如图所示，连接bc1.在正方体abcda1b1c1d1中，abc1d1，abc1d1.m，k分别为ab，c1d1的中点，bmc1k，bmc1k，四边形bc1km为平行四边形，mkbc1.8分在正方体abcda1b1c1d1中，a1b1平面bb1c1c，bc1平面bb1c1c，a1b1bc1.mkbc1，a1b1mk.四边形bb1c1c为正方形，bc1b1c，10分mkb1c.a1b1平面a1b1c，b1c平面a1b1c，a1b1b1cb1，mk平面a1b1c.又mk平面a1mk，平面a1b1c平面a1mk.12分1若平面平面，平面平面直线l，则()a垂直于平面的平面一定平行于平面b垂直于直线l的直线一定垂直于平面c垂直于平面的平面一定平行于直线ld垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直答案d解析对于a，垂直于平面的平面与平面平行或相交，故a错误；对于b，垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内，故b错误；对于c，垂直于平面的平面与直线l平行或相交，故c错误d正确2(2017深圳四校联考)若平面，满足，l，p，pl，则下列命题中是假命题的为()a过点p垂直于平面的直线平行于平面b过点p垂直于直线l的直线在平面内c过点p垂直于平面的直线在平面内d过点p且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面答案b解析由于过点p垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，因此也平行于平面，因此a正确；过点p垂直于直线l的直线有可能垂直于平面，不一定在平面内，因此b不正确；根据面面垂直的性质定理，知选项c，d正确3设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()a若l，则 b若，则lmc若l，则 d若，则lm答案a解析选项a，l，l，a正确；选项b，l，m，l与m的位置关系不确定；选项c，l，l，或与相交；选项d，l，m，此时，l与m的位置关系不确定故选a.4(2017中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()a且m b且mcmn且n dmn且n答案c解析对于选项a，由且m，可得m或m与相交或m，故a不成立；对于选项b，由且m，可得m或m或m与相交，故b不成立；对于选项c，由mn且n，可得m，故c正确；对于选项d，由mn且n，可得m或m与相交或m，故d不成立故选c.5(2018届江西南昌摸底)如图，在四棱锥pabcd中，pab与pbc是正三角形，平面pab平面pbc，acbd，则下列结论不一定成立的是()apbacbpd平面abcdcacpdd平面pbd平面abcd答案b解析取bp的中点o，连接oa，oc，则bpoa，bpoc，又因为oaoco，所以bp平面oac，所以bpac，故选项a正确；又acbd，bpbdb，得ac平面bdp，又pd平面bdp，所以acpd，平面pbd平面abcd，故选项c，d正确，故选b.6.如图所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点现有结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长其中正确的是()a b c d答案b解析对于，pa平面abc，pabc，ab为o的直径，bcac，acpaa，bc平面pac，又pc平面pac，bcpc；对于，点m为线段pb的中点，ompa，pa平面pac，om平面pac，om平面pac；对于，由知bc平面pac，线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故都正确7.如图，已知pa平面abc，bcac，则图中直角三角形的个数为_答案4解析pa平面abc，ab，ac，bc平面abc，paab，paac，pabc，则pab，pac为直角三角形由bcac，且acpaa，得bc平面pac，从而bcpc，因此abc，pbc也是直角三角形8(2018洛阳模拟)如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案dmpc(或bmpc等)解析pa底面abcd，bdpa，连接ac，则bdac，且paaca，bd平面pac，bdpc.当dmpc(或bmpc)时，即有pc平面mbd，而pc平面pcd，平面mbd平面pcd.9.如图，bac90，pc平面abc，则在abc和pac的边所在的直线中，与pc垂直的直线有_；与ap垂直的直线有_答案ab，bc，acab解析pc平面abc，pc垂直于直线ab，bc，ac；abac，abpc，acpcc，ab平面pac，与ap垂直的直线是ab.10.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，侧棱长为2，acbc1，acb90，d是a1b1的中点，f是bb1上的动点，ab1，df交于点e，要使ab1平面c1df，则线段b1f的长为_答案解析设b1fx，因为ab1平面c1df，df平面c1df，所以ab1df.由已知可得a1b1，设rtaa1b1斜边ab1上的高为h，则deh.又2h，所以h，de.在rtdb1e中，b1e.由面积相等得x，得x.11.(2017长春二检)如图，在三棱锥abcd中，abc是等腰直角三角形，且acbc，bc2，ad平面bcd，ad1.(1)求证：平面abc平面acd；(2)若e为ab的中点，求点a到平面ced的距离(1)证明因为ad平面bcd，bc平面bcd，所以adbc，又acbc，acada，ac，ad平面abcd，所以bc平面acd，因为bc平面abc，所以平面abc平面acd.(2)解由已知可得cd，取cd的中点f，连接ef，因为e为ab的中点，所以edecab，所以ecd为等腰三角形，从而ef，所以secd.由(1)知bc平面acd，所以e到平面acd的距离为1，sacd1.设点a到平面ced的距离为d，则v三棱锥aecdsecddv三棱锥eacdsacd1，解得d.12.如图，在四棱锥pabcd中，pcadcdab2，abdc，adcd，pc平面abcd.(1)求证：bc平面pac；(2)若m为线段pa的中点，且过c，d，m三点的平面与线段pb交于点n，确定点n的位置，说明理由；并求三棱锥acmn的高(1)证明连接ac，在直角梯形abcd中，ac2，bc2，所以ac2bc2ab2，即acbc.又pc平面abcd，bc平面abcd，所以pcbc，又acpcc，ac，pc平面pac，故bc平面pac.(2)解n为pb的中点，连接mn，cn.因为m为pa的中点，n为pb的中点，所以mnab，且mnab2.又因为abcd，所以mncd，所以m，n，c，d四点共面，所以n为过c，d，m三点的平面与线段pb的交点因为bc平面pac，n为pb的中点，所以点n到平面pac的距离dbc.又sacmsacpacpc，所以v三棱锥nacm.由题意可知，在rtpca中，pa2，cm，在rtpcb中，pb2，cn，所以scmn2.设三棱锥acmn的高为h，v三棱锥nacmv三棱锥acmnh，解得h，故三棱锥acmn的高为.13(2018届南宁市联考)如图，在正方形abcd中，e，f分别是bc，cd的中点，g是ef的中点现在沿ae，af及ef把这个正方形折成一个空间图形，使b，c，d三点重合，重合后的点记为h.下列说法错误的是_(填序号)agefh所在平面；ahefh所在平面；hfaef所在平面；hgaef所在平面答案解析折之前agef，cgef，折之后也垂直，所以ef平面ahg，折之前b，d，c均为直角，折之后三点重合，所以折之后ah，eh，fh三条直线两两垂直，所以ahefh所在平面，对；同时可知ahhg，又hfaeh所在平面，过ae不可能做两个平面与直线hf垂直，错；如果hgaef所在平面，则有hgag，与中ahhg矛盾，错；若agefh所在平面，则有aghg，与中ahhg矛盾，所以也错14.如图，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a在pb，pc上的射影，给出下列结论：afpb；efpb；afbc；ae平面pbc.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知pa平面abc，pabc.又acbc，且paaca，pa，ac平面