（机械制造及其自动化专业论文）反求工程曲面重构技术研究.pdf

摘要 目前 激烈的市场竞争使产品更新换代频繁 要求企业做出快速反应 工业产品中 自由曲线曲面设计由于三视图表达不清而难以进行c a d 建模 利用反求工程技术 可以 有效缩短产品丌发时间 提高市场竞争力 解决c a d 建模中的难题 本文在全面分析国 内外反求工程领域研究现状的基础上 把反求工程c a d 建模中三维表面重构作为研究重 点 并对三维重构中交互建模进行了深入研究 本文提出网格法进行三维散乱点曲面重构 并对网格法中的网格规划问题提出统筹 规划的方法 网格线的构建采用低次 少控制点的方法 使生成的曲面简洁光顺 网格 骨架线 白j 以及骨架线与曲面间至少要施加一阶连续性约束 实现曲面间光滑过渡 对散 乱点曲面拟合分为两种基本类型 由点直接生成面以及由点一线一面的方式生成面 并 对各类型曲面拟合的特点及适用场合进行了归纳总结 对曲面重构中的曲面拼接 提出实现光顺拼接的关键因素是曲面边界的选择及曲面 变化趋势 并给出如何确定边界和怎样判断曲面变化趋势的检测手段 对曲面拟合及拼 接的数学方法进行了初步探讨 尝试如何对曲线 曲面的控制点 节点向量以及次数进 行优化 对工程中的渐消面 三边域曲面以及y 型曲面等特殊形状的曲面重构给出了解决方 案 对蒙皮法中出现的曲面畸变现象进行了具体分析 并通过边界规范化 数据延拓以 及曲面裁剪几个步骤使曲面畸变得到控制 最后 本文将所述三维重构方法应用于 佳宝 汽车外形改型设计 经过再设计实 现创新 取得工程应用的较好效果 关键词 反求工程 曲面重构 建模流程 曲线 面 拟合 曲面拼接 a b s t r a c t p r e s e n t l y t h ed r a s t i cc o m p e t i t i v e n e s si nm a r k e t w h i c h m a k et h ep r o d u c t sl i r ec y c l e s s h o r t e ra n d s h o r t e r r e q u i r e sr a p i d l yr e s p o n d i n g f o r e n t e r p r i s e i ni n d u s t r yd e s i g n t h e f r e e f o r ms h a p e sc a n n o tb ep r o p e r l yd e s c r i b e di n3 dv i e w ss ot h a tt h ec a dm o d e l sc a n n o t b ec r e a t e d b u tr e v e r s ee n g i n e e r i n g r e t e c h n o l o g yc a l ls h o r t e rt h ep r o d u c td e v e l o p m e n t t i m e i m p r o v ec o m p e t i t i v e n e s s a n do v e r c o m et h es p e c i a ld i f f i c u l t i e si ni n d u s t r yd e s i g nf o r f r e e f o r ms h a p e s b a s e do nt h ef u l la n a l y s i so f t h ef i e l d so f t h e p r e s e n tr e s e a r c h o nt h er e v e r s e e n g i n e e r i n gw i t hh o m e a n df o r e i g nd o c u m e n t st h i sp a p e rt a k e3 ds u r f a c er e c o n s t r u c t i o nf o r t h ek e ya n dc r u c i a lt e c h n o l o g yo fc a d m o d e l l i n go f r ea n da c c o r d i n g l yd os o m ei n d e p t h r e s e a r c ha b o u ti n t e r a c t i v em o d e l l i n go f3 一ds u r f a c er e c o n s t r u c t i o n i nt h i sp a p e r t h en e t w o r km e t h o do fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o n i nw h i c hh o wt op r o g r a m t h ef r a m e w o r kl i n e i sp r o p o s e d t h ef r a m e w o r kl i n es h o u l dc r e a t e di nl o w e rd e g r e ea n da s m a l ln u m b e ro fc o n t r o lp o i n t ss ot h a tt h ec r e a t e ds u r f a c e sf r o mt h e ma r es m o o t h n e s s i t s h o u l db et h r o w g c o n t i n u i t ya tl e a s tb e t w e e nf r a m e w o r kl i n e si no r d c r t or e a l i z ef a i m e s s c o n n e c t i o n f o rt h er a n d o ms c a t t e rp o i n t ss u r f a c ef i t t i n gt h i sp a p e rc l a s s i f i e di ta st w o t y p e s s u r f a c ea p p r o x i m a t e dd i r e c t l yf r o mp o i n tc l o u d sa n ds u r f a c ei n t e r p o l a t e df r o mc t l v c st h a t c r e a t e df r o ms e l e c t e dp o i n t s a n df u r t h e rm o r eh o wt op e r f o r ms u r f a c er e c o n s t r u c t i o nb ye a c h k i n do fs u r f a c ef i t t i n gm e t h o da n di nw h i c hs i t u a t i o ni ts h o u l db eu s e da r eo u t l i n e d an e wm e t h o do fs u r f a c e sc o n n e c t i o ni si n t r o d u c e d a n dt h ek e yf a c t o ra b o u ts u r f a c e c o n n e c t i o ni sh o wt os e l e c tt h es u r n c eb o u n d a r yl i n ea n dt h et e n d e n c yo ft h ec o n n e c t e d s u r f a c e a n dt h e nh o wt od i a g n o s et h eq u a l i t yo ff i n a ls u r f a c em o d e l sa n dw h a tm e t h o di s a p p l i e da r eo u t l i n e d f u r t h e r m o r et h i sp a p e rt r i e st oo p t i m i z ep a r a m e t e r c o n t r o lp o i n t k n o t s v e c t o ra n dd e g r e et h a tc o n t r o l l e dt h ef r e e f o r ms h a p e sf i t t i n go ri n t e r p o l a t i o n h o wt os o l v eg e n e r a ld i f f i c u l t i e si ne n g i n e e r s u c ha sd i s a p p e a r e ds u r f a c er e c o n s t r u c t i o n t r i a n g l es u r f a c er e c o n s t r u c t i o na n dys h a p es u r f a c er e c o n s t r u c t i o na r ea l s oo u t l i n e d a n dt h e d i s t o r t i o ni nl o f t i n gs u r f a c ei sa n a l y z e d a n dh o wt os o l v et h ep r o b l e mi sa l s oo u t l i n e d i nt h ee n da l ls t a t e di nt h i sp a p e rw a sa p p l i e dt o j i a b a o a u t o m o b i l eb o d yo u ts u r f a c e r e c o n s t r u c t i o n b yf u r t h e rf o r w a r dd e s i g n i n gr e a l i z et e c h n o l o g yi n n o v a t i o n i ti sp r o v e dt h a t t h ea p p l i c a t i o ni sp e r f o r m e d e f f i c i e n t l ya n dp r a c t i c a l i t y k e yw o r d s f e v e r s ee n g i n e e r i n g 3 dr e c o n s tr u c t i 0 1 1 m o d e ii i n g f l o wc h a r t s c u r v e a n ds u r f a c ef i t t in g s u r f a c ec o n n e c t io n 反求工程三维模型重构应用技术研究 1绪论 1 1 论文背景 科技进步使人类进入信息时代 同时也加剧了世界市场的竞争 产品生命周期越来 越短 例如手机外壳推陈出新 同一品牌轿车更新换代 琳琅满目的家电市场总能让入 耳目一新 这意味着产品的生命周期越来越短 更新换代频繁 特别是对于汽车 家电 玩具以及通信产品等的生产尤其如此 这些产品的生产过程 经常是从实物样件或产品 油泥模型出发 制造出原型零件或迸行改型设计 最终制造出定型产品 而竞争激烈的 市场要求制造者实现快速响应 那么如何从仅有的样件 油泥模型 模具等 物理世界 获取产品模型信息 快速地过渡到计算机可以随心所欲处理的 数字世界 是制造业 普遍面临的实际问题 为了迎接挑战 各种先进的设计思想和制造方式应运而生 由原来的串行方式发展 到并行工程 c e 进而发展为快速反馈设计和快速产品开发 r p d 反求工程技术 则以其独特的优势在产品开发中发挥着越来越重要的作用 成为r p d 的支撑技术之一 随着c a d c a m c a e 以及p d m 等先进技术在各个领域的广泛应用 一个关键问题就是 产品信息模型的建立 反求工程作为现代设计和制造的重要技术手段 怎样从离散数据 建立合理 完备 无二义的c a d 模型 是制造业生产中至关重要的环节 3 目前通过反 求建模方式实现三维设计主要包括两大方面的内容 1 一是样件的数字化技术 二是数 据处理和曲面造型技术 本论文主要研究后者 反求工程的需求范围很广 其主要用途 简介如下 新产品开发和产品改型设计 在汽车车身的初步设计中 通常是用木模 油泥做 成模型 这样易于设计师创作和修改 一旦定型 就可以采用反求工程的方法将其转化 为c a d 模型 进行放大 缩小等处理 进而用于制造 当零件制成后 如果需要重新修 改 可在零件修改定型后 采用反求工程技术重构其c a d 模型并更新其相应的数据库 产品仿制 在缺乏产品工程图纸和c a d 文件情况下 可利用反求工程技术重构其 c a d 文件 再利用此c a d 文件生产同类产品 反求工程意义上的仿制和传统仿制的区别 在于 采用反求工程的方法可以重构出更为复杂的模型 而传统的仿制只能限于简单外 形的处理 质量检验 反求工程方法是由产品检验技术发展而来的 现在又反过来促进了快速 质量检验技术的发展 产品的实际制造外形是否达到设计标准 其误差的大小等都需要 采用反求工程的工作流程加以检验 当今世界科技发展突飞猛进 各种新技术 新产品层出不穷 如果设计者故步自封 不对新技术 新产品进行消化 吸收 那么只能是永远落后 据统计 7 0 的技术来源 于国外 因此反求国外的先进技术产品 从而进行仿制或者改型设计 可以提高我国同 类产品的水平或填补空白 反求 i 程三维模型重构成用技术研究 作为c a d 技术的一个重要组成部分 反求工程的内涵超出了仿制的发展阶段 意在 创新 而创新需要反求构建的模型是可修改和可编辑的 目前最受关注的就是曲面重建 技术 本论文所研究的反求技术 就是面向可以再设计的三维表面重构技术应用研究 以期提高我国制造业的产品创新能力 1 2 课题意义 当前处于知识经济时代 知识在产品中的价值份额愈来愈重 在有些产品中 甚至 起到了绝对主导地位 因此挖掘发现已有成功产品中的知识组成 发挥这些知识的价值 再现附着于这一产品及其相关环境中的知识 尤其是经验知识的创造过程 是一项很有 价值的工程 反求思维在工程中的应用源远流长 提出这种术语并成为 f 3 学问去研究 出现于 6 0 年代 起源于精密测量和质量检验 目前为止 随着测量技术及计算机技术的飞速发 展 反求工程的研究热点主要集中在以建立综合测量模型为目的的三维重构技术 本课 题在实践中有着重大的理论意义和应用价值 1 反求工程c a d 建模技术是提高我国制造业产品开发能力的重要手段在资金 相对短缺 技术相对落后的情况下 赶超先进 振兴经济更加严峻 迫切需要对别国产 品进行引进 消化 吸收和挖潜 走产品开发和技术创新的捷径之路 而反求工程技术 正是实现这一需求的重要手段 反求工程对新产品的自主开发 使企业在高的起点去创 造产品 提高产品在全球市场的竞争能力具有极其重要的作用 2 与模具技术相结合 可拓宽技术手段 缩短产品的设计开发周期 降低成本 在模具制造业中采用反求工程技术 在同样条件下 可使成本和周期分别减少l 2 例 如t e x a si n s t r m e n t 公司采用该技术后 在一个零件中就平均节约了3 0 美元的开支 c h r y s l o r 汽车公司采用该技术开发发动机机体 节约了6 个月的开发时间 美国p r a t t s cw h i t n c y 公司快速制造了2 0 0 0 个铸件 按常规方法约需7 0 0 万美元 而用此技术只 用了6 0 多万美元 生产时间节约了7 0 9 0 反求工程技术正以其独特的优势在产 品丌发中发挥着越来越大的作用 3 在工业产品设计中有着不可替代的作用凡包含自由曲线曲面的产品 其设 计建模过程由于三视图表达困难而转向由实物建模的方式 这就不可避免存在反向建 模 这种由离散点数据进行三维重构的c a d 模型生成方式在实践中大量存在 企业界对 此有着很大的需求 这也正是反求技术在目前起着越来越重要的作用和快速发展的原 因 目前 随着计算机技术特别是计算机辅助几何设计理论的发展和应用 使该技术已 广泛应用于家电 汽车 玩具 轻工 医疗 航空 航天 国防等行业 并取得了巨大 的经济效益 1 3 文献综述 反求工程 r e v e r s ee n g i n e e r i n g 又称逆向工程 是一个非常广阔的概念 通常 反求工程三维模型重构应用技术研究 广义的反求工程包括影像及求 软件反求和实物反求三种 其最终产品除了实现形状反 求外 还包括功能反求 材料反求等诸多方面6 本文所述的反求工程特指实物反求 其主要技术内容如图1 1 所示 匿1 反求工程主要内窭 f i g 1 1t h ek e yq u e s t i o n so fr e 本节对目前反求工程研究与应用存在的问题及解决的对策予以讨论 1 形状表面数字化表面数字化是通过特定的测量设备和测量方法获取零件表面 离散点的几何坐标数据 开发商耪度 快速的数字化测量系统和测量软件 以及如何根 据几何外形选取不同的测量方法和测量路径 一直是数字化技术的主要内容 目前的 三维数字化方法 根据测量探头或传感器是否和实物接触 可分为接触式和非接触式两 类 接触式测量方法 三坐标测量机 c o o r d i n a t em e a s u r i n gm a c h i n e c m m 是广 泛采用的接触式测量设备 可以对具有复杂形状工件的空间尺寸进行测量 在反求工程 的初期 c m m 是数据采集的主要手段 具有测量精度高 适应性强的优点 但一般接触 式测量效率低 而且对一些软质表面无法进行测量 数据需要进行半径补偿 非接 触式测量方法 非接触式测量根据测量原理不同 有光学测量 超声波测量 电磁测量 等方式 较为成熟的是光学测量方法 有激光扫描 英尔条纹 结构光 数字图象处理 等方法 1 其优点是测量速度快 但精度低 数字化方法的发展及其应解决的问题 目前测量设备的发展趋势是向着高速 高精度 系统化 集成化 智能化的方向发展 对传统的三坐标测量机 一方面是提高测量速度 另一方面是三坐标测量机与光学系统 组合的自动测量系统 3 零件数字化存在的问题 1 主要有如测量定位 可测性 阻碍 等 对目前用于反求工程的数字化技术 最大的不足还在于 各种测量方法的测量过程 仍是一个孤立行为 测量方案并没有考虑后续的模型重建和数字化加工的要求 因此测 量技术的开发除了先进仪器设备和测量手段多样化的要求外 还应重视面向反求的测量 软件的研究与开发 软件应具备人工交互及自动编程 规划及优化测量路径 以及特殊 曲线 曲面的自动测量等功能 2 测量数据的预处理无论何种类型的测量设备 采集到的数字化点都存在误 差 因此c a d 模型重建之前应进行数据预处理 预处理 工作包括数据平滑 排除噪声 垦查 堡三堡堡型重塑壁旦垫查型堑 数据和异常数据 压缩和归并冗余数据 遗失点补齐 数据分割 多次测量数据及图象 的数据定位对齐和对称零件的对称基准重建等 数据分割是数据处理的一项非常重要的 内容 有基于边和基于面的两种基本分割方法 基于曲率半径的方法 以及s a r k a r 的特征线分割方法和t a m a sv a r a d y 的一种四叉树分割方法等 数据对齐是指由于测量 仪器及被测零件几何的限制 造型时应将多次测量数据转换到一个坐标系中 称测量数 据及图象的重定位或对齐 3 模型重建技术c a d 模型重建是反求工程的关键 目前比较成熟的方法是通 过重构外形曲面来实现实物重构 常用的曲面模型有b e z i e r b s p l i n e n u r b s 和三角 b e z i e r 曲面 从参数域的类型来看 可以分为四边域曲面造型和三边域曲面造型 四 边域 矩形 曲面造型 这种造型方法是采用以距离加权插值法为基础的b s p l i n e 法 b 样条基函数因其最终的表达式简洁 而且具有跨界曲率连续性使曲面片间的光顺性得 以简化 较有代表性的工作是w e i y i nm a 和jpk r u t h 的参数化曲线曲面拟合方法 该方法既能处理规则点也能处理随机数据点 n u r b s 曲面造型功能强 能够获得统一的 数学描述 但n u r b s 需要处理权值问题 已提出的方法中 一是根据曲面片的曲率来分 配权值 二是通过最小化数据点和逼近曲面差值平方和来确定控制点和权值 n u r b s 曲 面的另一个问题是由于有理方程的存在 给方程的求解增加了困难 三角曲面造型 三角b e z i e r 曲面拟合造型方法对数据点预处理要求比较简单 可插值于任意边界形状 的散乱点数据 构造灵活 适应性好 是处理散乱点的有效方法 在实际应用中曲面模 型是由一系列曲面片光滑拼接而成 这种方法的缺点是会产生相当多的节点和面片 数 据计算量大 较有特色的处理散乱点的曲面重建的方法还有r u p r e c h tg 和w i t k i n o 提出的变形 曲面的方法 变形通过模拟一定外力作用来定义 但物理属性和外力大小较难给定的 而且变形方法一般要事先给定物体的拓扑结构 如球形拓扑 盘形拓扑等 虽然有不少 研究 但还没有达到实用的地步 其他还有将神经网络的学习机制用于自由曲面重建的 但目前仅限于较为简单的应用 此外 还有基于几何特征及约束的模型重建等建模方法 这种建模方法认为孤立地 拟合测量点形成曲面片的原型重建方法存在两个不足 是没有准确还原几何特征 二 是拟合过程没有考虑特征间的约束关系和模型的整体信息 由于不能表达零件对象更高 层次的结构特征信息 对只要求提供零件的位置信息的下游应用 其数据模型描述事基 本合适的 但涉及到产品改型 刨新设计 c a p p c a m 集成等 就存在编辑 修改和表达 困难 基于特征的重建技术需要解决的是如何从离散的数据点识别和抽取原有的形状几 何特征信息 现有的研究多集中在应用于数据分割的表面棱线 区域边界和规则表面 平 面 柱面 等半径过渡曲面 的特征识别上 对自由曲面的重建 只是从曲面拟合的 角度研究了旋转 扫成 放样 等的曲面重建问题 目前尚无完整的特征建模方法 可 以认为 在机械领域 基于特征及约束的三维模型重建技术是反求造型追求的目标和发 展方向 目前研究尚处于起步阶段 4 集成反求工程技术重建实物的c a d 模型的目的之 就是为后续应用提供几 何支持 反向建模往往和其他先进制造技术相结合 应用于产品设计和制造 图1 2 给 出了反求工程集成系统框架 1 实物数字化后 根据需要可以不建立c a d 模型 数据直 谈转换为n c 代码和s t l 文件 目前 集成反求工程现存的问题不仅仅在于各计算机辅 4 垦垄王堡兰丝垡笙重塑坐旦垫查竺塑 助子模块和系统能较好地独立完成各项工作 很大程度上还取决于各个子模块和系统地 计算机集成度 由于测试技术 c a d 系统以及加工制造手段多样性 适应不同手段和技 术的集成反求工程系统有以下关键技术问题需要解决 集成反求工程系统框架构成 各个分系统的接口技术研究 坐标测量机和c a d 系统 快速原型系统以及数控加工系统 接口 c a d 系统和快速原型系统以及数控加工系统接口等 模型重建技术 基于特征 和约束的模型构建 基于网络异地协同设计制造技术 面向反求工程度计算机辅 助测量技术 包括测量规划 采样点选择 路径优化等 图1 2 集成反求系统工程框架 f i g 12t h ein t e g r a t e d5 r a m e w o r ko fr e 5 反求软件随着反求工程及其相关技术的发展 其成果的商业应用也受到重 视 较早的反求软件是一些商品化的c a d c a m 软件集成进专用的反求模块 如 p r o e n g i n e e r 的s c a n t o o l s 模块 u g i i 的点云处理 曲线及曲面拟合功能和s t r i m l 0 0 的点处理加工 自动生成曲面和简单的边界识别等功能 在此基础上 发展形成了专用 的反求软件 目前面市的产品类型已达数十种之多 较具代表性的有s d r c 公司的 i m a g e w a r es u r f a c e r r a i n d r o p g e o m a g i c 公司的g e o m a g i c p a r a f o r m 公司的p a r a f o r m u g s 公司的q u i c ks h a p e p t c 公司的i c e ms u r f d e l c a m 公司的c o p yc a d 软件 m d t v 公司的s u r f a c e r e c o n s t r u c t i o n 以及a 1 i a s w a v e f r o n e 公司的s u r f a c e s t u d i o 等 其中 i m a g e w a r es u r f a c e r 和p a r a f o r m 系列软件代表了反求工程技术的最新进展 6 国内研究状况与国外相比 国内研究起步较晚 创新性的研究不多 在国 际学术领域 还没形成较大的影响力 己知的较早从事反求工程研究的单位多为高等院 校 较有代表性的有西安交通大学c i m s 中心的面向c m m 的反求工程测量机的研究 上海交通大学国家工程模具中心的集成系统和自动建模技术0 8 圳 浙江大学生产工程研 究所得三角面片建模 1 南京航空航天大学c a d c 枷工程研究中心的基于海量散乱点三 角网格曲面重建和自动建模方法 华中科技大学的曲面测量与重建和西北工业大学的 数据点处理 建模 1 等 为数不多的论文散见于计算机应用 机械工程等类学位论文 会议及杂志上 在应用研究上 除一些实验室的小型软件外 自主开发的商用反求软件仅有浙江大 学生产工程研究所的反求工程c a d 软件r e s o f t 和西北工业大学的实物测量造型系统 n p u s r m s 由于缺乏自主的c a d c a m 软件支撑以及反求工程上游测试设备和下游应用 使得国严软件产晶在设备接口 数据转换和应用上一直滞后于相关产品 丌发的软件显 垦查三堡三丝竖型重塑生旦垫查里塞 得势单力薄 与国外软件竞争处于劣势 7 反求工程与知识产权任何一项新技术 新产品 都应该受到有关法律的保 护 这才能引导正常的市场竞争和贸易 反求工程绝不等于偷技术 它是在科技道德和 法律制约下 从学术 工程 技术方面来促进科技的发展 这是因为 任何产品的 设计 开发 总要借鉴 继承已有的知识和技术 市场上的产品总要被别人借鉴 关键 要划清产权的界限 青出于蓝而胜于蓝是发展规律 通过反求来发展新产品 起点 高 周期短 成效快 决非照抄照搬 科学的反求 有助于促进技术革新 但应该强 调 不能全靠反求来生存 鼓励独立的创造性永远是主旋律 图1 3 是反求工程的两个 不同应用反求工程的应用分为i 1 i 两个目标 如图1 3 所示 至垂蛩 一 1 跳鲥制 i 原理1 1 功能i i 改型1i 性能晰i 圆 1 蜥h 黼一甜h 撇广 反求 基于原型再 殳计 奄啦蚩 反求工程i j 圈1 3 反求工程目标 f ig 1 3t h et w oa p p i i c a t i o np u r p o s eo fr e 由图1 3 中我们看到 反求工程i 的目的主要是复制原型或进行与原型有关的制造 包含有 三维重构 反求制造 两个阶段 快速成型制造是反求工程i 的典型应用之 一 实例如图3 1 所示 反球工程1 i 包含有 三维重构 基于原型再设计 和 反求 制造 三个阶段 其中 三 位荩构是创新的基础 而不是最终目的 而 基于原型再设 计 是体现反求工程创新功能的关键阶段 是基于原型的再设计 从发展的角度看 具 有创新功能的反求工程i i 具有更加广阔的应用前景 1 4 本文的主要工作 反求工程的诸多环节都存在着许多问题 这些问题解决的好还直接影响着后续原型 的制造精度和质量 因此 对反求工程c a d 建模还需进行不懈的努力和探讨 为此 本 文的圭要班究卤銮未摊如下 1 提出反求工程的网格法曲面重构 并给出曲面重构的流程 嘲格法的关键技 术 反求目标的确定 曲线 曲面构建流程方法以及曲线之间 曲线与曲面之间的连续 性协调 反求工程中各种曲面构建方法的特点及其适用范围以及反求应用中应该注意的 关键问题等等 2 对复杂曲面重构过程中的曲面拟合及其拼接进行了初步的探讨 其局部算法 6 反求工程三维模型重构应用技术研 t 思想办可应用于曲线的构建 3 对工程中特殊形状的曲面重构给出了解决方案 对蒙皮法中出现的曲面畸变 现象进行了具体分析 并通过边界规范化 数据延拓以及曲面裁剪几个步骤使曲面畸变 得到控制 4 将本文所述建模方法用于反求实际 做出实例 反求工程三维模型重构应用技术研究 2 曲面造型基本理论 曲面造型 s u r f a c em o d e li n g 是计算机辅助几何设计 c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n c a g d 和计算机图形学 c o m p u t e rg r a p h i c s 的一项重要内容 它起源于汽车 飞机 船舶 叶轮等的外形放样工艺 经过三十多年的发展 曲面造型现在已形成了以 有理b 样条曲面 r a t i o n a lb s p l i n es u r f a c e 参数化特征设计和隐式代数曲面 i m p l i c i ta 1 9 e b r a i es u r f a c e 表示这两类方法为主体 以插值 i n t e r p o l a t i o n 逼 近 a p p r o x i m a t i o n 这二种手段为骨架的几何理论体系 而b 样条以其计算稳定 快速 几何直观性强以及具有保凸性 并且易于实现分割 升阶 插入和删除节点等操作得到 广泛应用 关于b 样条已经建立了一整套有效而实用的算法 因此 本文以b 样条作为 曲面造型基本理论 2 1 自由曲线曲面的b 样条数学模型 2 1 1b 样条定义及定义域 1 b 样条定义b 样条基是多项式样条空间中具有最小支承的一组基 故被称之 为基本样条 b a s i cs p l i n e 简称b 样条 b 样条有多种等价定义 这里只介绍作为标 准算法的德布尔和考克斯的递推定义 一条k 阶 k 1 次 b 样条曲线的定义为 p o 声窆函 f t 廖 2 1 l o0 一 一 其中l 浮o 1 n 为控制多边形顶点 又称德布尔点 q 0 1 h 称为k 次规范b 样条基函数 其中每一个称为规范b 样条 它是由一个称为节点矢量的非递减的参数u 的序列u 蔓 所决定的k 次分段多项式 也即是k 次多项式样条 其中b 样条基函数为 j 觏 0 尘二兰一 一 q 丛生l 二 生 甜 u i l k l 一 j l 规定旦0 o n 0 的双下标中第二个下标k 表示次数 第一个下标i 表示序号 区间l 厶 为 n 0 的支承区蚓 n 0 的第一个下标等于其支承区间的左端点下标 即表示该b 样 反求工程三维模型燕构艘用技术研究 一 条在参数u 轴上的位置 相应n 1 个控制顶点k 毒1 2 要用到n 1 个k 次b 样条 基函数占 l f ko l 它们的支承区间所含节点的并集 就是定义这一组b 样条基的 节点矢量u s 墨 s 类似地 我们可以定义b 样条曲面 其数学形式如下 p u 窆窆b u l o 口 o 2 3 其中b 样条曲面由其阶数k k 控制点为n n n k f y r i 1 2 n j 1 2 n 和两个节点向量孝 眢 l i 1 2 一 xf 管加 1 2 n 确定 2 b 样条曲线的定义域给定n 1 个控制顶点k i 0 1 n 相应要求n 1 个基 函数量 0 0 1 m 以定义一条k 次b 样条曲线 n 1 个k 次b 样条由节点矢量 u r i i i 所决定 然而 并非这节点矢量所包含的n k 1 个区间都在该曲 线的定义域内 其中两端各k 个节点区间 不能作为b 样条曲线的定义区间 这是因为 n 1 个顶点中最前的k 1 个顶点矿 i 0 1 k 定义了样条曲线的酋段曲线 其定义区间 为 k 依此类推 最后k 1 个顶点l i n 一七 n k 十1 n 定义了末端曲线 一一 一一 其定义区间为 k 一 一一 一 于是 我们得瓢k 次b 样条盐线的定义域为 k j 2 1 2 b 样条曲线的局部性质 第i 个k 次b 样条 0 具有支承区间i l l i 它的左端点毪的下标与该b 样条 的次数k 无关 但右端点l i l t 的下标与次数k 有关 也即支承区阈包含的节点区间数与 次数k 有关 k 次b 样条的支承区间包含k 1 个节点区间 于是在1 轴上任意一点 则 b 处 就至多只有k 1 个非零的k 次b 样条椎0 扣 一 i k l i 其他 7 的b 样条在该处均为零 考察b 样条曲线 2 1 在区间 k 上那一曲线段 略去基 函数取零的哪些项 则可表示为 9 反求工程三维模型重构应用技术研究 尸0 v 0 矿 ek 2 4 一t 该式表明了b 样条曲线的局部性质 即k 次b 样条曲线定义域内参数为 l i 的一 点p 0 至多与k 1 个顶点 i k i k l f 有关 与其它顶点无关 这个局部性质 也表明 在曲线定义域内 定义在非零节点区间 k 上那一k 次b 样条曲线段 由k 1 个控制点 k i 及相应的b 样条基函数决定 与其它顶点无关 从另一 个面看 如果我们移动k 次b 样条曲线的一个控制顶点 至多影响到定义在区间 上那部分曲线 对b 样条曲线的其它部分将不发生影响 这就是b 样条曲线的 局部性质 2 2 数据点的参数化 2 2 1曲线数据点的参数化 通常 欲唯一地决定一条插值于n 1 个点p i 0 3 l n 的参数插值曲线或逼近曲 线 必先给数据点且赋予相应的参数值毪 使其形成一个严格递增的序列 i 其中每个参数值称为节点 k n o t 或者断点 b r e a k p o i n t 对于插 值曲线而言 它决定了位于曲线上的这些数据点与其参数域 i 虬i 内的相应点之间 的一种对应关系 对一组有序数据点决定一个参数分割称之为对这组数据点实行参数化 p a r a m e t e r i z a t i o n 如果把插值曲线看作质点顺序通过一些空间位置 即数据点 的运动轨迹 把参数u 看作时间 那么对数据点的参数化 就等于规定了质点依次到达 这些空间位置的时间 同 组数据点 即使采用同样的插值法 若数据点的参数化不同 将可能获得不同的插值曲线 我们希望对数据点的参数化应尽可能反应被插曲线或设计 人员想要用数据点所构造的曲线的性质 在实际的应用中 通常有四种确定位置参数的 参数化方法 1 均匀参数化法使每个节点区间长度 一 正常数 i o 1 摊一l 1 0 垦墨三望兰丝竖型重塑壁旦垫查 型 即节点在参数轴上呈等距分布 这种参数化法适用于数据点多边形各边接近相等的场 合 否则 在相邻段弦长相差悬殊的情况下 生成插值曲线后弦长较长的那段曲线显得 比较扁平 弦长较短的那段则臌得厉害 甚至出现尖点或打圈自交的情况 另外 即使 数据点各弦长严格相等 也不表示插值曲线的参数化是均匀的 z 积累弦长参数化法 o1 i 25 l 毪 l 印 i i 1 2 n 其中 靠为前向差分矢量 n p p 即弦线矢量 这种参数化法如实反映了数据点 按弦长的分布情况 它克服了数据点按弦长分布不均的情况下采用均匀参数化法所出现 的问题 在较多情况下能获得满意的效果 即所插曲线能获得较好的光顺性 同样 积 累弦长参数化法并不表示插值曲线以积累弦长为参数 3 向心参数化法 f o 0 1 i k l z b j l 峨 h i p 川l i 1 2 月 这是美国波音公司李 l e e 1 9 8 9 提出的 与积累弦长参数化在计算上的差别 这里 取成了弦长平方根的积累 故又称为平方根法 该方法在所有非均匀分布数据点的拟合 中都表现出比前述两种方法较好的结果 4 福利 f o l e y 1 9 8 9 参数化法 4 o i 2 7 i 吩 七j p l i 1 2 h 其中 口l r a i n 仁一印 胁 詈 l 印 j 卸j o 这里采用了修正弦长 修正系数尼 1a 与前后邻弦长i 卸 l 及i a 既i 相比 若弦长i p l 越 小 且与前后相邻弦线夹角的外角只 鼠 不超过 时 越大 则修正系数a 就越大 因而 修 f 弦长即参数区间 i 卸 1 也就越大 这样就对因该曲线段绝对曲率偏大 与实 际弧长相比偏短的情况起到了修正作用 当印 q 罢 修正系数屯将达到最大值 反求工程三维模型重构应用技术研究 2 2 2 曲面数据点的参数化 在进行曲面拟合时 同曲线拟合一样 也要对数据点进行参数分配 张量积曲面要 求给出两个参数分割 i 与a v o v j v 在u v 参数平面上直线 f f 0 1 m 与v 0 1 分别称为v 向与u 向节点线 k n o t l i n e 这些节点线把该域分成删 n 个子矩形域 如图2 1 所示 称为矩形参数域的矩形网格 分割 两组节点线的交点即子矩形的顶点称为网格节点 两组节点线对应曲面上的两组 等参数线 称为曲面网格线 矩形参数域内的网格节点对应曲面网格线的交点 两个参 数分割完全决定了如 1 o 1 个数据点的参数值 数据点乃的一对参数值0 叶 中 的两个参数 与v 分别是两个参数分割 与 中的点 l 0 l ru i l m 图2 1 矩形域的矩形网格分割 f i g 2 1t h er e c t a n g l ed l 宣n so fr e c t a n g l ed o m a i 曲面数据点的参数化就是给每一数据点p 赋于一对参数值 使位于插值曲面上的 这些点于u v 参数平面上参数域内的点建立一一对应关系 对于使数据点成为网格线交 点的张量积插值曲面来说 数据点的参数化就是要决定两个参数分割 类似曲线数据点 的参数化那样 曲面数据点的参数化也应该反映数据点的分布情况 2 3 曲面问连续性 反求建模过程中 单一的曲线曲面不能完全满足对复杂形状的描述 一般要采用组 合曲线曲面 即对复杂形状的曲线曲面在满足一定的光滑连接条件下 分别采用分段与 分片拟合 以满足实际的需要 其中的关键问题就是怎样实现光滑连接问题 理论上有 两种不同的关于连接的光滑度 s m o o t h n e s so rf a i r n e s s 又称光顺性 的度量 参数 连续件和几何连续性 k h v 反求工程三维模型熏构应用技术研究 2 3 1 参数连续性及其问题 参数连续性 p a r a m e t r i cc o n t i n u i t y 是沿用函数曲线的可微性的定义的 若组 合参数曲线在连接处具有直到n 阶连续导矢即n 次连续可微 这类光滑度称之为c 或i i 阶参数连续 参数连续性存在的问题是 参数曲线的参数连续性与参数选取有关 在参数曲线上 出现零切矢处虽然仍是可微的 但却可能是不光滑的 反之 光滑曲线却有可能是不可 微的 如果曲线在某点是c 2 的 而曲线在该点处的曲率却不一定连续 甚至切线也可 能不连续 反之 没有达到c 1 的参数曲线有可能切线方向是连续的 没有达到c 2 的参 数曲线有可能切线方向与曲率都是连续的 直觉上 两曲线段相连接 只要在连接点有 相同的切线方向就认为是光滑的 而按照参数连续性来度量光滑度 还必须有相同的切 矢模长才是c 1 的 因此用参数连续性度量光滑度 存在与实际几何上的光滑度不相符的 问题 而形状的客观内在几何特征例如光滑度是不依赖于参数选取及具体参数化的 取 而代之的是几何连续性 几何连续性与参数选取及具体的参数化无关 我们更关心的是 曲线 曲面的几何连续性 而不是参数连续性 2 3 2 几何连续性 1 曲线的几何连续性当且仅当两曲线相应的弧长参数化在公共连接点处具有 c 连续性 则称它们在该点处具有 连续性或是g 的 在工程应用中 常用的有零阶 一阶和二阶几何连续性 它们的含义分别如下 零阶几何连续性g o 与零阶参数连续c o 是一致的 若两曲线段在公共连接点处具有 公共的单位切矢 关于弧长的 阶导矢 则称它们在该点处具有一阶几何连续性或g 1 连续性 若在该点处又具有公共的曲率矢 关于弧长的二阶导矢 则称它们在该点处 具有二阶几何连续性或g 2 连续性 2 曲面的几何连续性曲面问题远比曲线复杂 首先是拓扑结构上增加了复杂 性 在实际当中我们会遇到不同形式的曲面拼接问题 比如两张曲面沿公共边界线的拼 接 多张曲面相交于一点的拼接问题等 下面对曲面间连续性简述如下 曲面的参数连续性定义 当且仅当两曲面p s f 冯9 0 v 沿它们的公共连接线 图2 2 两盟面的c 1 连接 f i g 2 2 c c o n n e c t i o no ft w os u r f a c e s p y 口 y 处处具有直到n 阶连续偏导矢 则称它们沿该连接线具有n 阶参数连续性 即 一 一 反求工程三维横型重构应用技术研究 c 连续性 或是c 的 即 筹p 翥一o 州 l 2 一 如图2 2 所示 沿公共连接线p q r 的c 1 连续意味着必须 p y 吼 p y q v c 2 连续性意味着必须p g 与儿 g p q v p 是否具有c 8 连续性 就取决于沿公共边界所有直到n 阶的跨界导矢与混 合偏导矢是否一致 正如前文所述 参数连续性总是与参数的选取有关 使得曲面的参 数连续性总是在特定的参数下成立 若对c 连续的两曲面之一进行重新参数化就不再 是c 的了 与度量曲线光滑度一样 工程中采用与参数化无关的几何连续性来度量曲 面的光滑度 参数曲面的几何连续性定义 两曲面p s 与9 0 v 沿它们的正则公共连接线具有g 连续性或是g 4 的 当且仅当 其中之一譬如q 可被重新参数化为百g i 以至于它们沿该公共连接线是c 的 即 意p 里a u a v g 州 1 2 n 在工程应用中 常用的有零阶 一阶和二阶几何连续性 它们的含义分别如下 两参数曲面的零阶几何连续性即g o 连续性是与c o 连续性相一致的 两参数曲面的 g 1 连续性又称为切平面连续性 其定义为 两曲面沿它们的公共连接线具有g 1 连续性 或是g 1 的 当且仅当它们沿公共连接线处处具有公共的切平面或是公共的曲面法线 g 2 连续性又称曲率连续