（机械电子工程专业论文）迟滞非线性弹性元件的实验建模与参数辨识.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 结构的非线性特性对振动、冲击的动力响应会产生较大的影响，系统 辨识是上述问题的逆问题。本文基于导弹头部这种复杂结构，致力于一种 具有滞后非线性特性的弹性元件的实验建模与参数辨识的方法研究。 吖实验表明，在周期激励下，弹性元件的滞后回线不仅与振幅有关，而 且与振动的频率有关。所以，建立一个能真实反缺滞后特性的数学模型十 分困难。但是这类弹性元件的恢复力可以分解成两部分：部分是“非线 性无滞后力”，可以视作非线性弹性力：另一部分是“纯滞后力”，可以 视作阻尼力。本文用新的参数描述一种同时具有干摩擦和粘性阻尼特性的 混合性阻尼。参数辨识的结果表明，这个模型能够有效的反映滞后特性。歹 本文研究力图以实验为基础。结合计算方法的优点，在隔振材料振动 实验的基础上，提出了恢复力的的数学模型，进行了模型参数辨识，找到 了恢复力的数学表达式。从而为隔振优化和隔振动力学设计提供基础保 证。 、丫本文的研究方法对其它非线性迟滞系统的分析有借鉴作用。 关键词：非线性，迟滞特性，参数辨识，弹性元件，建模 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t t h en o n 1 i n e a rc h a r a c t e r i s t i co fs t r u c t u r eh a sag r e a te f f e c to nt h ed y n a m i c r e s l 9 0 n s eo f v i b r a t i o na n di m p a c t ，w h i c hi sc o n v e r s et ot h ep r o b l e mo f s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n i nt h i sp a p e r ，b a s e do nac o m p l e xs t r u c t u r e ，t h eh e a do fm i s s i l e ， m a t h e m a t i c a lm o d e la n dp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o nf o ran o n - l i n e a re l a s t i c e l e m e n tw i t l lh y s t e r e t i cb e h a v i o ra r ec a r r i e do u t e x p e r i m e n ts h o w sm a t u n d e rs t e a d yp e r i o d i ce x c i t a t i o n , t h ed y n a m i c h y s t e r e t i cl o o p so f t h e e l e m e n t d e p e n d o i ln o t o n l yt h e v i b r a t i o nl e v e l ，b u ta l s o t h ev i b r a t i o nf r e q u e n c y i ti sd i f f i c u l tt op u tf o r w a r dam a t h e m a t i c a lm o d e l w h i c hf a i t h f u l l yr e f l e c t st h eh y s t e r e t i c c h a r a c t e r f o r t u n a t e l y , t h er e s t o r i n g f o r c eo f t h ee l e m e n tc a nb ed e c o m p o s e di r i t et w o p a r t s ：o n ei s ”n o n - l i n e a rn o n - h y s t e r e t i cf o r c e ”，w h i c hc a n b er e g a r d e da sn o n - l i n e a re l a s t i cf o r c e ；a n dt h e o t h e ri s “p u r eh y s t e r e t i cf o r c e ”，w h i c hc a nb er e g a r d e da sd a m p i n gf o r c e a n e wp a r a m e t e ri su s e dt od e s c r i b et h e ”p u r eh y s t e r e t i cf o r c e ”r e s e to ft h e p a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n s h o w st h a tt h i sm o d e lc 髓e x p r e s st h e b y s t e r e t i c c h a r a c t e r e f f e c t i v e l y t h e s t u d y w h i c hi sb a s e do nv i b r a t i o ne x p e r i m e n ta n dc o m b i n e dw i t ht h e a d v a n t a g e so fn u m e r i c a la n a l y s i s ，a i m s a tt h e d e v e l o p i n go fm a t h e m a t i c a l m o d e lo ft h er e s t o r i n gf o r c e f o rt h es a k eo f p r o v i d i n gb a s i ct h e o r yt od y n a m i c d e s i g no fi s o l a t i n gv i b r a t i o n ，an e wm a t h e m a t i c a lm o d e li sa d v a n c e d ，t h e p a r a m e t e r so f t h em o d e l a r ei d e n t i f i e d t h er e s e a r c hp r o c e s si nt h i sp a p e ra l s ob e n e f i t st oa n a l y s i so fo t h e rn o n l i n e a rh y s t e r e t i cs y s t e m k e y w o r d s ：n o n l i n e a r ，h y s t e r e s i s ，p a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n ，e l a s t i c e l e m e n t ，m e d e l l i 重庆大学硕士学位论文符号表 a k 2 ，k 3 希腊字母 振幅 阻尼系数 频率 恢复力 非线性阻尼力 非线性弹性力 耗能比例系数 非线性弹性力剐度系数 附加刚度系数 弹性元件滞后回线面积 符号函数 时间 弹性元件振动位移 弹性元件振动速度 弹性元件振动加速度 弹性元件每周期耗能 激振力 圆频率 阻尼敏感系数 v m m 哪 s 啪 姗 n n n 。眦毗 n o ，f r i k k & 孵 v t x j j w q 重庆大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 j d - j m 的提出 第一章绪论 随着国民经济的发展，各种高、精、尖技术的应用，对于隔振、减 振技术的研究提出了更高的要求。传统的线性减振、隔振技术具有应用 上成熟，机理上清楚等特点 1 】，但同时也存在着各种各样的不尽人意之 处，有些方法已不能满足现代技术发展、应用的需要。因此寻求更新、 更好、应用广泛的隔振、吸振方法是当前振动控制技术研究的重要方向， 为此，必须对原系统的动态特性有一个比较透彻的了解。 弹性元件在工程领域有着广泛的应用。为了兼顾缓冲及宽带隔振性 能的需要，近代的隔振弹性元件常常是非线性的。本文研究的玻璃短纤 维增强型聚氨酯泡沫塑料弹性元件，它是一种人造多胞材料。相对密度 低，比模量、比强度高是这种材料的重要特性，因此，成为理想的轻质 结构材料口“。同时，这种材料具有良好的减振和能量吸收能力，在航空、 航天等隔振与减振控制中具有独特的应用价值。 本文所研究的弹性元件，由于对其性能不十分了解，所以借助实验 建立元件动力学模型，从而为今后的结构动力学优化设计和隔振动力学 优化设计提供基础保证。然而，由于这种弹性元件的恢复力与它的变形 历史有关，具有非线性迟滞特性，这无疑大大增加了实验建模的难度。 近期，这方面的文献不多。 1 2 课题来源及意义 本论文是在承担中国工程物理研究院课题的基础上提出的，具有明显 的理论意义和实用价值。 弹道式导弹具有速度快、射程远、命中率高、威力大等特点，已成为 当今各主要大国研制和装备军队的重要武器，而弹道导弹的战斗部作为 一种威慑力量，杀伤力大，两者的结合增强了武器的突防能力，便威慑 作用进一步增强，对保卫国家安全、增强民族自信心具有重要意义。 导弹是按反作用原理推进、可以控制并有战斗部的无人驾驶飞行器， 重庆大学硕士学位论文第一章绪论 而火箭是利用火箭发动机推进的无人驾驶飞行器简单地讲，可以将导 弹看作是安装有战斗部的运载火箭两者无论在技术上还是外形上都很 相似i ”。但导弹火箭在飞行过程中，由于受发动机开机和关机时推力的急 剧变化、发动机推力脉冲、大气扰动、阵风、级间分离，以及运输过程 中的颠簸与冲击等因素的影响，振动问题较为突出f 4 】。导弹火箭等飞行器 的振动对整个系统的可靠性影响较大，严重时会使有效载荷与战斗部失 效，特别严重时，甚至会造成整个系统破坏。这方面中国航天工业在9 0 年代有着惨痛的教训：9 5 年1 月2 6 号中国长城工业公司在西昌卫星发 射中心用长征二号e 型运载火箭发射亚太二号卫星，火箭正常飞行到约5 0 秒时发生爆炸，造成星箭全部损失的悲惨事故。最终确认的两个可能故 障是：“1 在冬季高空切变风条件下，卫星和上面级与运载火箭的特殊 联接方式出现谐振，造成卫星局部结构破坏。2 在冬季高空切变风条件 下，运载火箭整流罩的局部结构破坏”i s 。弹道导弹内有效载荷，由于结 构的小型化、轻型化等因素的影响，其部分仪器设备对振动相当敏感， 过大的振动会使有效载荷失效，必须进行导弹内有效载荷的隔振技术的 研究。 然而，传统的联接固定方式已难以满足弹道导弹战斗部的支撑和隔振 需要，必须寻求新型的隔振支撑方式，特别是复合材料的大量使用，系 统的固有频率降低，系统的动力特性已难以介定f 6 】。这就导致了非线性系 统的系统辨识问题。 目前，在动力学系统辨识方面，人们仅对简单的板、梁、杆状等系统 做过一些研究，而对于象导弹火箭头部这样复杂的结构的研究，目前所 见报道甚少。 综上所述，该课题不仅有其特殊的国防重大意义和迫切的现实需求， 也有一定的学术意义，是一项研究难度极大的国防工程实际问题，也是 一项富有挑战性的工作。 鄯3 研究对象简介鼬 对于导弹弹道内的有效载荷，隔振支撑系统的基本联接方式可表示成 图1l 所示，将其抽象为弹性薄壳的内含质量体。弹道导弹在飞行过程中， 受到空气扰动和阵风等因素的影响或受到附近其它武器冲击波的影响， 以及级间分离或运输过程中的颠簸与冲击等因素的作用时，其物理模型 可表示为图1 2 所示，图中c 为弹头薄壳的质心，c 2 为有效载荷的质心， l 与f 分别为空气动力、级间分离或运输过程中的冲击，以及弹头薄壳 2 重庆大学硕士学位论文 第一章绪论 与有效载荷质心不重合等因素所引起的力矩与力。显然这些因素都首先 作用在导弹弹体薄壳上，并由此影响弹头内有效载荷的运动和受力情况， 在这些因素的作用下，弹头薄壳将产生两种形式的运动( 空间飞行已证 实了这一点) ：一为弹头薄壳的轴对称振动，二为弹头随弹体发生整体 弯曲振动。很明显由于弹头结构的轴对称特性，弹头薄壳的轴对称振动 是不影响中间内含体的运动的，只有弹壳的弯曲振动将通过弹性阻尼支 撑层传入中间内含体。同时，由于导弹在飞行过程中，战斗部的惯性力 或加速度是由其特殊联接结构承担的，因此，中间内含体处的主要振动 形式为绕特殊联接点的摆动，在小摆角情况下，可近似将其简化为横向 振动。 爱因斯坦说过：模型应当尽可能简单，而不是比较简单，建立模型的 实质就是简化，但必须不失本质要素。根据以上分析，本文的研究对象 可以简化为薄壳内含体的横向振动。同时由于有效载荷与导弹外壳间的 联接部分锥度很小，且薄壳内有加强筋，实际结构形式较为复杂，本文 作为初步研究，从实验与加工方便角度考虑，将导弹战斗部外免简化为 短形圆柱薄壳，因此，本文的研究对象可以进一步简化为图1 3 所示。 u 战斗部 e 弹性隔振层 图11导弹内有效载荷安装简图图1 2 导弹弹头振动系统物理模型 图13 模型简图 3 弹性元件 重庆大学硕士学位论文第一章绪论 1 4 综述 实验建模和参数辨识是利用系统的实验或运行数据，构造数学模型 和估计参数的理论和方法。通常，利用实验数据来构造模型，称为“识 别”，而利用实验数据来确定模型中的某些参数，称为“参数估计”， 也称为“参数识别”订 。 本文所研究的弹性元件结构，见图1 3 所示，其典型恢复力位移曲线 如图1 4 所示。 f o i c 既- i 1 眵 d i s p l a c e m e n t f 口r c j i 钿l 2 | | 4 - z e , 3 圈1 5 双折线恢墓力骥型 实验表明，这种弹性元件的刚度是随位移变化的；恢复力对于位移 是多值的；滞后回线的形状不仅与振幅有关，还与频率有关。这是一个 复杂的非线性滞后系统，可以算是一个灰箱系统，建模十分困难。 一般文献中此类具有滞后特性的非线性系统模型有参数模型和非参 数模型两类。非参数模型中不含结构参数，建模和辨识相对较为简单。如 文献c 8 - ”采用正交多项式逼近非线性恢复力。因其不含结构参数，所以物 理意义不清晰，从指导优化设计，预测系统性能角度来看，实用意义不大。 比较简单的的参数模型是一些通过等效、平均原则变换得到的滞后 系统模型n ”，用与振幅有关的参数来描述具有滞后特性的恢复力。文 献 1 ”讨论了一种双折线模型，如图1 5 所示，恢复力一位移曲线，它的滞 后特性非线性恢复力物理过程为：恢复力首先线形上升，达到结构的滑移 极限后，恢复力不再改变，系统进入整体滑移阶段；当位移恢复到零点后， 恢复力也不再为零。因而整个恢复力曲线成为两条折线，所以叫双折线模 型。文献中在大变形条件下构造了其单值支的解析展开，使非线性参数辨 识变为对展开式系数及无记忆恢复力模型参数的线性估计。此模型的优点 是表达式简单，物理意义清晰；缺点是过于简化，所以与实际结构相比误 4 重庆大学硕士学位论文第一章绪论 差大。模型数学表达式如下： d z ( t ) = k 。2 【1 + s g n ( z 。一l z ( f m ) 】d x ( o ( 1 - 1 ) 其中： k 。一等效刚度系数，七。= z ，x 。 工一滑移极限 z 。一记忆恢复力 z 一恢复力 还有一些用微分方程表达滞后系统的恢复力，如b o u c “3 3 提出并由 w e n ，y k 1 发展的微分形式模型，表达式为： d f d x = 彳位卢) f ”( 1 2 ) 它定义了滞后恢复力f 与位移x 之间的微分关系，整个滞后回线的 形态状可由a 、口、口三个系数控制，系数n 控制曲线的光滑程度。只要 a 、口、卢、n 取不同的值，就可以构造出硬刚度与软刚度、宽面和窄面 等各种组合的滞后回线，如图1 6 所示： 图1 6 微分形盛宕q 恢夏力滞后回线 d i 单! a c l l - 图1 7 滞后回缝奇解图 此模型具有使用范围大，精度较高的优点，常用来分析具有滞后特性的随 机振动【l ”。其缺点是各参数物理意义仍不明确，且微分形式表达式也 不利于系统辨识。 文献 1 8 认为，非线性滞后恢复力可以分解为两部分：一是弹性力 部分( 可能是线性力也可能是非线性力) ，作为滞后回线的基架线，它一 般不随频率变化，并且在每个循环周期内不耗散能量：二是阻尼力部分， 作为滞后回线的纯滞后环，它可以取不同种类的阻尼，如摩擦阻尼，粘性 阻尼等。图1 7 是将一个滞后回线分解为两部分的示意图，实线为分解的 基架线和纯滞后环，虚线为合成后的效果。 5 重庆大学硕士学位论文第一章绪论 文献 1 9 利用文献 1 8 ，在其基础上完成了类似弹性元件的建模， 将弹性力用非线性高次弹簧表示，阻尼则视为粘性阻尼。下面是分解模型 的数学表达式： f = f s + r ( 1 3 ) ) 其中：只为弹性力，c = y ：k ，工“1 。 百 r 为阻尼力，r = c v 此模型各个参数意义明确，表述简洁，较真实地反映了物理过程，因 此精度较高。但是由于实际结构很复杂，可能同时作用着多种阻尼，因此 阻尼力的描述比较困难。单一种类的阻尼往往反映不了实际情况。 总之，从已有的文献看，尚没有一种十全十美的模型能准确描述非 线性滞后系统的动力特性，没有一种通用的方法能指导我们如何去选择适 宜的模型。虽然已提出一些一般类型的模型形式，但由于考虑过于全面， 条件太弱，使得许多优美的数学理论无法施展，从而对模型的数学特性很 难进行具体的分析。针对我们所研究的弹性元件，文献 1 9 的模型相对来 说是比较合理的。 建立参数模型之后是参数辨识问题。也即按照一定的估计准则，确 定模型中的参数，使它尽可能准确地反映系统特性【厕。一般的辨识方法 可以分为频域法和时域法。值得一提的是 2 1 中介绍的能量分析法，出 发点是将复杂系统中的力分成保守力与非保守力两类。在每周期内，保 守力不耗能，仅非保守力耗能。因此，可以通过按耗能与否将系统恢复力 分成两部份分别辨识。这大大减小了辨识工作的难度与工作量。对于本文 的弹性元件这一灰箱问题而言，已知其中包含不耗能的弹性力与耗能的阻 尼力，可以考虑从能量分析的角度将一个大系统化为两个小系统，对其中 的弹性力和阻尼力分别进行辨识。使问题得到简化。 1 5 本文研究工作简介 本文在吸收了前人研究成果的基础上，从理论分析、数值计算和实验 研究等角度多方位地对泡沫塑料隔振支撑这一弹性元件进行了初步研 究，旨在建立一套实用的、有效的非线性迟滞系统参数识别理论和建模 方法，并编制相应的数据处理软件，主要工作有以下几个方面： 1 模型简化：对研究对象从实体对象到初步物理模型，再到简化模 型，最后得到研究对象的力学模型。 2 实验研究：制定研究方案和技术路线，对实验装置进行加工、安 装、调试和测试。并对弹性元件进行不同频率、不同振幅和不同 6 重庆大学硕士学位论文第一章绪论 力幅组合下的实验研究，采集相关数据。从宏观上了解隔振支撑 的非线性迟滞特性。 3 模型建立：在实验的基础上，比较合理地建立了一个描述弹性元 件动力学特性的参数模型。 4 采用最小二乘与逼近搜索的算法，得到描述弹性元件动力学特性 的一般方程。得到隔振支撑力( 恢复力) 的一般表达式。 5 在以上分析的基础上，对所研究的系统提出了改进方案和今后的 研究方向。 7 重庆大学硕士学位论文第二章非线性动力学系统辨识理论研究 第二章非线性动力学系统辨识理论研究 2 1 概述 通过测量系统在外作用( 输入) 下的系统动态响应数据，按照一定 的准则，从这些实验数据建立反映系统本质特性的数学模型，并确定模 型中的未知参数，这就是系统辨识，其示意框图见图2 1 所示。目前国内 的系统辨识专著都是从系统控制、过程控制、自适应控制的角度出发的， 论述重点常常是线性系统的辨识理论和方法。本章从动力学研究的角度， 图2 1 系统辨识框图 以建立动力学系统的模型为目的，阐述系统辨识的理论方法和应用。 动力学系统辨识是系统辨识理论在动力学系统中的应用，它建立数 学模型的基础和出发点是力学基本定律。建模的基本方法是现代控制论 中的滤波、预测和估计理论。由于动力学系统遵循牛顿力学定律、质量 守恒和能量守恒定律等基本力学定律，所以系统的基本数学模型( 动力 学方程组) 是己知的需要辨识的只是动力学方程组中的某些待定因素， 8 重庆大学硕士学位论文第二章非线性动力学系统辨识理论研究 诸如外作用力、系统固有频率、刚度、阻尼等，是典型的“灰箱问题”。 动力学系统建模通常分为两步进行：理论建模和辨识建模。对于大多数 动力学系统。系统辨识只是建立系统中外作用的数学模型和辨识模型中 的待定参数。由于动力学系统的方程组多数是微分- 积分方程组、非线性 常微分方程组和超越代数方程组，在这么复杂的约束条件下进行系统辨 识是极为困难的。图2 2 是动力学系统辨识的基本过程： 图2 2 动力学系统辨识基本过程 对于我们研究的弹性元件( 结构见图1 3 ) ，其力学模型如图2 3 所示 图2 3 振动系统力学模型 9 x 重庆大学硕士学位论文第二章非线性动力学系统辨识理论研究 质量块m 通过一泡沫塑料( 已简化为非线性弹簧和非线性阻尼器) 安装 在固定基础上，其上作用有激振力q ，产生位移x 。振动系统的运动方 程为： 埘+ c i + 熙= q ( 2 1 ) 我们关心的是加在隔振支撑( 即弹性元件) 上的合力f ( 后面称为恢复力 或隔振力) ，显然，恢复力由弹性力和阻尼力构成： f ( x ，主，爿，彩) = q 一心其中，圆频率= 2 厅f 。力的辨识是动力学系统辨 识的中心内容之一。 2 2 动力学系统恢复力的数学模型嘲 对动力学系统的恢复力的研究已有很长历史，本节根据牛顿第二定 律、质量守恒和能量守恒定律，给出了几种恢复力的典型数学模型，着 重阐述非线性恢复力的模型 2 2 。1 线性数学模型 恢复力的线性数学模型将作用力参数表为动力学系统状态参数的线 性方程。设恢复力为只，系统状态参数x = o ，屯，工。) 7 ，则线性模 型是： h e = i , l x j + ( 2 2 ) j - i 通常，线性数学模型已经给出恢复力的良好近似。 2 2 2 多项式模型 多项式模型是最简单、最方便的非线性模型构式，它可以看作是线 性模型的直接推广。将恢复力系数展开为动力学系统状态参数的高阶多 项式，设系统状态参数z = o 。，屯，矗) 7 ，恢复力系数为f ，则f 的 多项式模型为： 1 0 重庆大学硕士学位论文第二章非线性动力学系统辨识理论研究 e 3 争缸。( 酬 s ， 式中f 。i 是f 对n 的偏导数( k = l ，2 ，n ： 印，l ，2 ，m ) ， “”j i ：i 是待估计常数。式中m 不能太大( m 可以等于零) ，否则会出现待估计 参数过多的现象。因此，采用多项式作为非线性数学模型时，必须根据 物理意义选择状态参数，以及各状态参数的阶数。先确定一组候选的模 型变量，再用模型优选准则从候选模型中确定最优模型。通常只取3 4 个状态变量，坼也只取2 3 阶，最高取7 8 阶，而且不是将所有组合都 放入候选模型，否则工作量就太大了。 多项式是初等解析函数，有很高的光滑性和均匀变化特性，只适合 于拟合光滑、均匀变化的函数。如果恢复力有很强的非线性，采用此模 型可能不会很好地描述力的本质。而且此法选取候选模型项本身含有人 为因素，选取得不合适会导致系统的估计协方差较大，辨识准度较差。 但是，此模型具有简单、方便的优点，在工程实践中常被采用。 2 2 3 样条函数模型 样条函数也是简单、方便的非线性模型构式，其优点是可以用低阶 项很好地逼近各种非线性，而且在给定区域不出现零点。下面给出单变 量的样条函数模型和双变量的样条函数模型。设自变量( 状态参数) 取c t 、届 则单变量的m 阶样条函数s m ( 口) 可以定义为： s 。( 口) = c l a + q ( a q ) ? ( 2 4 ) 式中 c a 一口，? = 孑一口f ”：；： q 是节点，a l t ) d ( c o t ) 丌j o 一一 即 r s l 1 ( 耐) d ( 甜) = 堡2 ( 41 6 ) 3 1 重庆大学硕一】j 学位论文 第四章数学建模 ，的意义是混合型阻尼与线性( 粘性) 阻尼的耗能比例，定义为能耗比例 系数。 ，可以这样确定：首先用数值积分计算a 在区间( o ，1 ) 范围内变化 时( 4 1 6 ) 式积分式的值，得到不同口下j 的离散点序列( z 。，口，) ；然后 用a 的函数拟合，计算得到的函数为： ，。面面硒瓦1 石面 41 7 ) 我们得到，以后，可以将低频时不同振幅下的滞后回线面积计算出 来，确定其与振幅的变化关系。然后，只要选定最优的系数a ，就可以直 接得到阻尼系数的表达式。 将( 4 1 6 ) 式代入( 4 1 4 ) 式可得： c c 舢，= 希耘 将c ( a ，) 代入( 4 1 1 ) 并化简，可得简谐振动时恢复力的表达式： f = k l ( 一) 工+ k 2 ( a ) 工+ k 3 ( 一) - 工3 + 辱芒恤“i a 哪i 。耐) - 1 9 z z 石 在( 4 1 9 ) 式中，置控制基架线的形状；s 。控制纯滞后环的面积；口 控制纯滞后环的形状。与【1 9 】中模型相比，本模型通过引入参数a ，可以 有效地反映真实系统的阻尼力特性。 4 2 2 考虑频率影响的数学模型 分解模型的恢复力可以分成弹性力和阻尼力两部分。从图38 中可以 看出，当频率较高时，恢复力的平均刚度和滞后回线的面积均发生变化， 而且与频率的关系复杂，不易寻求规律。因此，高频时( 41 9 ) 式中的全 部参数都同时是频率、振幅的函数，数学表达式将极其复杂。 为了简化数学表达式，可以认为低频时弹性力的刚度系数足，是主刚 度系数，它们不随频率变化，而仅有一个附加的刚度系数咒是同时随频 率变化的。图4 2 ( a ) 所示的是用3 0 h z 滞后回线的中线为基架线分解得到 的3 0 h z 、1 3 5 h z 、1 8 5 h z 的“纯滞后环”。明显可以看出，当频率升高 到一定程度时，“纯滞后环”开始倾斜，并且面积减小。“纯滞后环” 3 2 重庆大学硕士学位论文第四章数学建模 倾斜的斜率就是附加刚度系数疋，由于它是弹性力部分随频率变化造成 的，因此疋同时是频率和振幅的函数。 d i s m a e e m e n f f l 0 a i f 曲 d i s o l a e e m n a f f l 伊m 、 f b l 图4 2 不同频率下的纯滞后环 加入亿以后，( 4 1 9 ) 式可以写成： f = k 1 ( 爿) 工+ k 2 ( 4 ) 工+ 妫( 0 ) j - 1 - k 。( 4 ，国) 工 + 挚掣 s i n a x * s g n ( s 妇) h 。2 。耳 ( 4 2 0 ) 式中瓦和足二个参数是频率、振幅的函数；而妫仍然仅与 振幅有关。这大大降低了模型的复杂性。 至于1 8 5 h z 以上的情况，用3 0 h z 滞后回线的中线为基架线分解 3 0 ，2 5 0 ，3 0 0 h z 的滞后回线，得到的纯滞后环如图4 2 ( b ) 所示。可以看出， 1 8 5 h z 以上的“纯滞后环”与低频时已有很大的区别，不仅面积、斜率 相差较大，而且阻尼力的最大值也相距甚远。但是从理论上说，只要能 找到女。( 一，) 和s 。( 爿，) ，就能有效描述恢复力的这种变化。不过实际问题 中瓦和变化往往复杂，很难找到合适的函数表达式描述这二个参数的 变化规律。 ( 42 0 ) 式与( 4 1 9 ) 式比较而言，适用范围更大。不过，由于k 。 和s 。参数同时是频率和振幅的函数，因此数学表达式复杂，参数辨识的 难度也大为增加。如果频率对恢复力的影响较小，为了简化计算用( 4 1 9 3 重庆大学硕士学位论文第四章数学建模 式为宜。 4 3 参数对误差敏感性分析 在上一节里，我们已经建立了弹性元件的数学模型。弹性元件的恢复 力可以用参数k 、c 、k 。、s 。、a 来表示。但这些参数与频率、振幅有关。 我们只能先辨识出不同频率、振幅组合下的参数值，才能找出它们与频 率、振幅的函数关系。 但是，这个用函数表达式拟合离散参数点的过程，势必会存在误差。 因此，有必要分析一下各参数对于这种误差的敏感性。这样在辨识参数 的时候，才能有的放矢。那些对于误差敏感的参数，我们要首先进行辨 识，并且要力保其精度：那些对误差不敏感的参数，不必过高要求精度， 以求数学表达式的简单；对于可能是病态的参数，需要辨识时想办法弥 补。反之，提高辨识的精度也要从对误差敏感的参数入手，这样才能事 半功倍。 按照数值分析的理论，设有多元函数 a = f ( x j ，x 2 ，- x n ) 若x ：为准确数x ：的近似数( k = l ，2 ，n ) ，试用= 一x o 来估计 8 = a o a + 。 设f 对所有有连续偏导数，由一阶t a y l o r 公式： e 。= a o 一一= 厂( 砰，工；- 工：) 厂( j - j ：工：) z 喜c 静0 = 喜c 酗 “2 ” 其中( 善) = 善( z ：，z ：) c x k u j k 当蚓很小时上式的近似程度较好。 可以看出( 可b x ：) 表示原始误差经计算后得出结果的跌差放缩倍 数，把它们称为a 的绝对条件数。当条件数绝对值很大时即使气很小， e 。也可能很大，这时称求a 的问题是坏条件的。 以下根据这一理论，分析( 4 2 0 ) 数学模型中的各个参数对误差的敏 重庆大学硕士学位论文 第四章数学建模 感性。 4 3 1 弹性力部分 弹性力部分的表达式 = k l x + k 2 j 3 + 也x 5w 。x 弹性力的绝对意义的条件数为 o f , ：j 融 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) o f , ：工( 4 ，2 5 ) 础。 由上面3 式可以看出，f 8 绝对意义下的条件数是位移的函数。k l 和k 条件数相同，从k 3 到k 2 的条件数依次高2 阶。可见，相对k 、k i 而言， k ，对于误差要敏感多了。所以，参数辨识的时候，首先考虑的就是要保 证k ，的精度。其次才考虑k 2 、k 。同时，这也提醒我们，作为弹性力部 分的非线性高次弹簧模型，次数已不宜再高，否则在大位移条件下是坏 条件的。可能根本无法拟合。 4 3 2 阻尼力部分 由( 4 2 0 ) 知道，如果是简谐振动，阻