泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第二册.pdf

赋范线性空间赋范线性空间 E E 是有限维是有限维E E 局部紧局部紧 证 证 不妨设不妨设 E E 为实为实 n n 维赋范线性空间 则维赋范线性空间 则 E E 与与 R R n n拓扑同构 拓扑同构 而而 R R n n 中任意有界闭集是紧的 由紧集上的连续函数定理知中任意有界闭集是紧的 由紧集上的连续函数定理知 E E 的任意有界闭子的任意有界闭子 集是紧的 即集是紧的 即 E E 局部紧局部紧 设设 E E 无限维但任意有界闭子集是紧的无限维但任意有界闭子集是紧的 S S 是是 E E 中的单位球面 中的单位球面 S x x 1 S x x 1 则则 S S 是是 E E 中的紧集中的紧集 由里斯定理 由里斯定理 x1x1 S S x2x2 S ST x2 x1 S ST x2 x1 1 2 1 2 x3x3 S ST x3 xi S ST x3 xi 1 2 i 1 2 1 2 i 1 2 类推 由类推 由 E E 无限维 故可取无限维 故可取 S S 中的一个系列元素中的一个系列元素 x1 x2x1 x2 xkxk STST xk xl xk xl 1 2 1 2 显然 显然 xkxk 无收敛子列 矛盾 无收敛子列 矛盾 X X 是完备的距离空间 是完备的距离空间 T XT X X X x yx y X X Tx Ty Tx Ty x y 0 x y 0 1 0 0 N N m n m n N N 时时 x x m m x x n n 故故 a b a b 中的中的 LebesgueLebesgue集集 Emn ST x Emn ST x m m x x n n SUP x SUP x m m x x n n x x a b Emn a b Emn SetSet E E EmnEmn a b a b 则则 x x a b E a b E m nm n N N 时时 x x m m x x n n SUP xSUP x m m x x n n x x a b E a b E x x m m x x n n 故故 x x a b E a b E时 时 xn xn 是实基本列 必收敛于某实数是实基本列 必收敛于某实数 x x 显然显然 x x 可测 令可测 令 m m 则则 n n N N 时时 x x x x n n 0 ST k 0 ST x x 1 1 2 2 n n A A 1 p n k0 0 N 0 ST m NN 0 ST m N 时 时 x x A A 1 p n 0 ST k 0 ST x x 1 1 2 2 n n A A 1 p n k 0 0 N N m n m n N N 时时 x x m m x x n n 0 t 0 因为因为 xnxn 右连续 有界变差的条件之一 且右连续 有界变差的条件之一 且 x t x t x t x t t t x t xn t xn t xn t x t xn t xn t xn t t x t t x t t xn t t xn t t t 故故 x x 右连续 右连续 xn x xn x 0 n0 n 因为因为 xn t xn t 是基本列 所以是基本列 所以 0 0 N N m n m n N N 时时 xm a xn a xm a xn a k 1 xm t xm ti i xn t xn ti i xm t xm ti 1 i 1 xn t xn ti 1 i 1 xm xn xm xn 对一切分割成立 令对一切分割成立 令 m m 得 得 x a xn a x a xn a k 1 x t x ti i xn t xn ti i x t x ti 1 i 1 xn t xn ti 1 i 1 对分割取上确界 得对分割取上确界 得 x xn x xn 即即 xnxn按按 V a b V a b 的距离收敛于的距离收敛于 x x 所以所以 x x V a b V a b 即即 V a b V a b 是完备的是完备的 设设 x x t t b a t1 t0 令令 K xK x t t a b a b 显然显然 K K 是不可数的是不可数的 以以 K K 为中心为中心 2 32 3为半径作开球 这种开球组成的类不可数为半径作开球 这种开球组成的类不可数 若若 V a b V a b 可分 则可分 则 可数子集可数子集 yk yk 在在 V a b V a b 稠密稠密 故上述每个球必含故上述每个球必含 ykyk 中的点 而球类不可数 故一定有中的点 而球类不可数 故一定有 ykyk 属于两不同的球 属于两不同的球 不妨设为 不妨设为 S xS x 2 3 S x 2 3 S x 2 3 2 3 x x x x K K 则 则 2 2 x x x x x x yk yk yk xyk x 2 3 2 3 2 3 2 3 矛盾 故矛盾 故 V a b V a b 不可分不可分 22 22 H H 表示如下函数的全体表示如下函数的全体 x x L 0 2L 0 2 x t x t 2 0a 1 sincos ntbnta nn 且且 1 n n 22 nn ba 令 令 x x H H 2 1 1 22 2 0 2 1 nn ban a 证明 证明 H H 是是 H H 空间空间 证 证 作作 T T x x x x 2 0a 1 2 1 n sincos ntbnta nn 易知易知 T T 是是 H H L L 2 2 0 2 0 2 的等距的等距 算子 下证其为满射算子 下证其为满射 x x L L 2 2 0 2 0 2 x x 2 0a 1 sincos ntbnta nn 令令 n a a n n n b b n n 得得 x x 2 0a 1 2 1 n sin cos ntbnta nn 显然 显然 1 n n 22 nn ba 故故 x x L L 2 2 0 2 0 2 ST x ST x 2 0a 1 sin cos ntbnta nn 右边级数收敛 易右边级数收敛 易证证 x x 2 0a 1 sin cos ntbnta nn H H 即即 x x L L 2 2 0 2 0 2 x x H ST Tx x H ST Tx x 即即 T T 是满射 故是满射 故 H H 与与 L L 2 2 0 2 0 2 等距同构等距同构 又又 L L 2 2 0 2 0 2 是是 H H 空间 故空间 故 H H 是是 H H 空间空间 39 39 L Ln n t t t e n n td d tne t 为为 LaguerreLaguerre 函数函数 证明证明 n 1 2 t e L Ln n t t 是是 L L 2 2 0 0 中的中的 个完备规范正交系个完备规范正交系 证 证 易知易知 LnLn是是 n n 次多项式次多项式 k nknm n时 时 0 t e L Ln n t L t Lm m t dt 0 m n t dt 0 m n 时时 0 t e L Ln n 2 2 t dt t dt n n 2 2 n 1 2 t e L Ln n t t 是规范正交系 又 是规范正交系 又 多项式全体在多项式全体在 L L 2 2 0 N 0 N 稠密稠密 n 1 2 t e L Ln n t t 张成的空间在张成的空间在 L L 2 2 0 N 0 N 稠密稠密 将将 L L 2 2 0 N 0 N 中的函数延拓到中的函数延拓到 0 0 STST 其在 其在 0 N 0 N 处处为处处为 0 0 而 而 L L 1 L L 2 2 0 N 0 N 在在 L L 2 2稠密 稠密 n 1 2 t e L Ln n t t 张成的空间在 张成的空间在 L L 2 2 0 0 稠密稠密 P232P232 4 4 K s t K s t 是是 a a t t b ab a s s b b 的可测函数 的可测函数 b a K s t dt K s t dt 对对 a b a b 几乎所有几乎所有 s s 存在存在 且作且作为为s s的函数本性有界的函数本性有界 令令y Tx y t y Tx y t b a K s t x s ds K s t x s ds 则则T T 是是L a b L a b 到到 L a b L a b 的有界线性算子 且的有界线性算子 且 T vraisup T vraisup b a K s t dt K s t dt 证 证 T T 显然是显然是 L a b L a b 到到 L a b L a b 的有界线性算子的有界线性算子 设设 K t s K t s 是实函数 是实函数 vraisup vraisup b a K s t dt K s t dt 则 则 T T 考察共轭算子考察共轭算子 T T x s T T x s b a K s t x t dtK s t x t dt x t x t L L a b a b 则则 T T 是是 L L a b a b 到到 L L a b a b 的有界线性算子 的有界线性算子 T T T T 令令 E sE s a b a b b a K s t dt K s t dt mE 0mE 0 b a K s t dt K s t dt关于关于 s s 本性有界本性有界 b a b a K s t dtdt K s t dtdt0 E ST mF 0 b a Kn s t K s t dt Kn s t K s t dt 0 0 在在 F F 一致成立一致成立 mF 0mF 0 点点 s s0 0 F ST F ST U sU s0 0 m U s m U s0 0 F 0F 0 又又 s s0 0 F F E E b a K s K s0 0 t dt t dt U sU s0 0 N ST N ST s s U sU s0 0 F F 有 有 b a K s t K s K s t K s0 0 t dt t dt b a K s t K K s t KN N s t K s t KN N s t K s t KN N s s0 0 t t K s K s0 0 t K t KN N s s0 0 t dt t dt 取取 t sgnK t s t sgnK t s0 0 L L a b a b 1 1 显然显然 t t 可测可测 b a K s t K s t t K s t K s0 0 t t t dt t dt 2 2 综上 综上 T T 9 9 C 0 1 C 0 1 上的算子列上的算子列 TnTn Tnx t x Tnx t x n t 1 1 则则 TnTn 按强算子拓扑收敛于某按强算子拓扑收敛于某 一有界线性算子 但不按一致算子拓扑收敛于该算子 一有界线性算子 但不按一致算子拓扑收敛于该算子 证 证 x x C 0 1 C 0 1 0 0 C 0 1 ST C 0 1 ST t1 t2t1 t2 0 1 0 1 t1 t2 t1 t2 时时 x t1 x t2 x t1 x t2 令令 0 0 0 0 2 2 则则 0 0 t t 0 0时 时 n t 1 1 t 2t t 2tNN ST n N 时时 n t 1 1 t t Nn N时时 Tnx t x t x Tnx t x t x n t 1 1 x t x t T Tn n 按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子 按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子 取取 t t0 0 0 1 0 1 n xn x C 0 1 xC 0 1 xn n 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 tt ttt tt n n 线性 则则 x xn n 1 T 1 Tn n T T x xn n n t 1 1 0 x xn n t t0 0 1 1 T Tn n 不按一致算子拓扑收敛于该算子 不按一致算子拓扑收敛于该算子 23 23 设 设 n n 为一数列 为一数列 IF IF x x n n L L 1 n n n n 收敛 则收敛 则 n n 有界 有界 证 证 令令 Fn x Fn x 1 n n n n x x n n L Lim Fn L Lim Fn Ni Nici 0 sgn 不妨设不妨设 x xN N 1 1 x xN N c c0 0 则则 f xf xN N 1 c ck k f f 又又 c ck k l l 令 令 f x f x 1 k kc ck k x x c c0 0 易知易知 f f c c0 0 f f 1 c ck k 故故 f f 1 c ck k 54 54 求伴随算子 求伴随算子 T f x f Tx T f x f Tx 解法 解法 对应对应 L L P P A B A B 空间 其对偶空间是空间 其对偶空间是 L L Q Q A B 1 P 1 Q 1 A B 1 P 1 Q 1 T f x f Tx T f x f Tx B A y t Txy t Txdtdt转化为 B A x s T y dsx s T y ds 去掉外壳即可得去掉外壳即可得 T y T y 58 59 60 58 59 60 数学归纳法数学归纳法 略略 79 81 79 81 紧算子的求法 将任意有界集紧算子的求法 将任意有界集映成准紧集映成准紧集 解