（控制理论与控制工程专业论文）非线性系统状态估计和控制中的若干问题研究.pdf

摘要 本文针对模型未知或部分未知的一类非线性系统的状态估计和自适应 控制问题的某些重要方面作了研究 ，_ f 具体工作如下： 利用给定系统输出的y 算子逼近或占算子逼近方法，对可反馈线性化的j # 线性系统设计了观测器和自适应观预- 1 器并证明了所设计观测器的实用稳定 性 针对现有的基于观测器的输出反馈控制器设计方法中存在的问题，利用 占算子逼近系统输出导数的性质，设计了输出反馈滑动模控制器、动态输出 反馈滑动模控制器及自适应输出反馈滑动模控制器，并保证了闭环系统的稳 定性 针对实际应用中的多数非线性系统满足线性增长性条件的特点给出了 该类系统可线性反馈控制的充分条件，在此条件下，对由输入输出表示的动态 未知的离散非线性系统，设计了自适应预测控制器；并将该方法与时变连续系 统的鲁棒自适应极点配置方法相结合，实现了一类连续非线性系统的自适应 控制 对于两类用于带有非匹配时变不确定性的非线性系统的高增益控制器设 计，通过反例有效地证实了其稳定性证明中存在的严重错谈、 关键词：非线性系统，滑动模，自适应观测器，动态反馈线性化，占算子，预 测控制，极点配置，实用稳定 生 a b s t r a c t s o m ei m p o r t a n ti s s u e so ns t a t ee s t i m a t i o na n da d a p t i v ec o n t r o l h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d f o rn o n l i n e a r s y s t e m s w i t hu n k n o w no r p a r t i a l l yk n o w nd y n a m i c s t h em a i nc o n t r i b u “o n sa r ea sf o l l o w s a no b s e r v e ra n da n a d a p t i v e o b s e r v e ra r e p r e s e n t e d f o r i i n e a r i z a b ! en o n l i n e m ls y s t e m ab a s e do ny o p e r a t o ra n d 占o p e r a t o r , w h i c h p r a c t i c a ls t a b i l i t yi sg u a r a n t e e d t h r e e c o n t r o l l e r s ，i n c l u d i n ga p p r o x i m a t eo u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e rw i t h s l i d i n g m o d e ，d y n a m i c a l l ya p p r o x i m a t eo h t p u t f e e d b a c kc o n t r o l l e ra n d a d a p t i v ea p p r o x i m a t eo h t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e ra r e d e s i g n e du s i n g t h e a p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e s o f d i f r e r e n c eo p e r a t o ra n d 占o p e r a t o r , w h i c hi m p r o v et h ed r a w b a c ko f o b s e r v e r b a s e dm e t h o d s as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r o p o s e df o rl i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lo f n o n l i n e a rs y s t e m sw h i c hs a t i s f i e s l i p s c h i t z s c o n d i t i o n w i t l lt h i s c o n d i t i o n ，a na d a p t i v ep r e d ；c t i v ec o n t r o l l e ri s o b t a i n e df o rd i s c r e t e t i m eu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sr e p r e s e n t e db yi n p u t o u t p u tm o d e l c o m b i n i n gw i t hp o l ep l a c e m e n tm e t h o d s ，a na d a p t i v e l i n e a r i z a t i o n c o n t r o l l e ri sf o r m u l a t e df o r ac l a s so fc o n t i n u o u s t i m en o n l i n e a r s y s t e m s w i t hu n k n o w n d y n a m i c s t 、v 0c o u n t e r e x m n p l e sa r ed i s c u s s e dt op r o v et h ew r o n gr e s u l t s f o rt w ok i n d so f h i g h g a i nc o n t r o lo f t w oc l a s s e so fn o n l i n e a rs y s t e m s w i t hm i s m a t c h e du n c e r t a i n t i e s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ，s l i d i n g m o d e ，a d a p t i v e o b s e r v e r , d y n a m i c a l l y f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n ，占o p e r a t o r ， p r e d i c t i v ec o n t r o l ，p o l ep l a c e m e n t ，p r a c t i c a ls t a b i l i t y 博士后研究报告 非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 】绪论 控制理论研究的主要目的是寻求适当的手段瞎涮) 来使得被控对象满足 预期的要求，如稳定 生、跟踪性能等【l 】为了达到这一目的，一般的途径是首先 建立能够尽量精确地描述被控对象运动规律的数学模型，然后针对这一模型 来设计控制律，以使系统满足某些特定的性能要求其中前者属于系统辨识2 1 的内容，后者为系统控制的范畴由于被控对象的复杂程度不同，描述它的数学 模型亦有所不同但是大多数被控对象或称系统，在局部可以用线性模型表示 因此线性系统控制理论【3 的研究取得极大成功并趋于完善然而线性模型并 不能表示所有的被控对象，在许多情况下( 特别是系统在较大范围运行或高精 度要求时) ，即使是近似地描述也是很困难的，此时我们认为所考虑的系统应是 非线性的，因此研究非线性控制理论 4 ，是非常必要的且具有普遍的意义 尽管可以采用非线性模型来描述被控对象，但是由于辨识方法的准确性 限制、干扰的存在，获得全局、精确地表示被控系统的数学模型几乎是不可 能的。针对这一问题，人们提出了自适应技术 ：】和鲁棒性方法【5 。自适应 技术所研究的对象往往具有部分未知或完全未知动态的系统。本文就是从以 上问题出发，研究了参数未知或模型基本未知的非线性系统的状态估计和控 制问题。 具有适应性或在线修正能力的系统称为自适应系统。因此，自适应系统 研究的对象是具有有限可预见性不确定性的系统。这些不确定性是由于建模 误差( 如模型参数或结构与被控对象不匹配) 或系统时变特性而造成的。所谓 有限预见性是指可以预估有限时间之后的情况。非线性系统与线性系统的自 适应有着本质的差别。线性系统的“确定性等价原理 6 】，在非线性系统中 不再成立，线性系统的控制方法，如模型参考方法、预测控制方法等对于非 线性系统不能直接应用。这是因为对于非线性系统来说，不仅参考模型难以 建立统一的形式，更重要的是要求被控对象与参考模型的完全匹配比讨论控 制方法本身还要复杂，另外，非线性预测控制的预测模型一般较难建立，这 一系列方法只能在一定的稳定条件或在局部近似的条件下才能使用。因而非 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 线性系统理论的研究是以稳定性理论为核心的，如李亚普诺夫稳定性 7 】和 无源稳定性方法【8 。非线性系统的状态估计和自适应控制问题同样是以稳 定性理论为基础的，比较成熟的方法有基于李亚普诺夫稳定性理论的滑动模 方法和反馈线性化方法等等。虽然在最小相位和一定的稳定性条件下，利用 线性近似方法可以探讨非线性系统的状态估计和预测控制问题，但是所得结 果是局部的，难以克服模型和测量中的不确定性，难以适应现代高科技的发 展需要。 模型已知和模型未知的非线性理论方法是截然不同的，前者可以利用对 象的几乎所有信息，已有许多比较成熟的方法可以利用，而后者正是目前研 究方兴未艾的课题，常用的手段有，学习方法、模糊方法、神经网络方法及 其结合而成的混合方法等等，利用这些方法常常带来模型误差，因此，研究 这些方法对于不同不确定性的鲁棒性是非常必要的。 本文针对模型未知或部分未知的非线性系统，对非线性系统的状态估计 和自适应控制问题的某些方面作了一些较深入的探讨。 1 。1 非线性系统观测器设计的研究现状 非线性系统的控制已经成力重要的研究课题。许多有效的方法不断涌 现，并成功地应用于生产实践中，如反馈线性化方法 9 、滑动模控制 4 、 基于神经网络的控制f l o 、模糊控制方法 1 1 】等等。很显然，所有这些流行 的方法都要求全状态反馈控制。不幸的是，实际系统中某些状态很难测得， 即使可测，增加传感器会使得整个系统变得更加复杂，或所需设计成本高得 惊人而难以为工程应用所采纳。为解决这一困难，运用观测器来估计这些不 可测状态将成为更具吸引力的有效途径。 非线性系统状态观测器的设计是控制理论中的基本问题。在线性系统中， 解决这个问题的重要方法是熟知的l u e n b e r g e r 观测器 1 2 】。然而，这种方法 并不能直接用于非线性系统。在近二十年里，研究者们利用不同的方法和原 理构造了许多不同类型的观测器。近似线性化方法 1 3 】通过在乎衡点附近近 似线性化误差方程，得到局部收敛的观测器；精确线性化观测器 1 4 是在可观 性动态线性化条件下得到的，而该条件非常严格使得许多实际系统难以满足； 基于坐标变换和输出映射的线性化方法 1 5 ，要求非线性动态满足输出匹配条 2 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 件；滑动模方法 1 6 ，1 7 】由于切换增益严重依赖于非线性动态的某种有界性条 件而难以恰当地选择；时滞观测器 1 8 需要假设系统动态是输入仿射的且输 入增益有界上述方法不仅要求系统动态完全已知，而且各有其局限性，所以 如何扩大所设计的观测器的应用范围是观测器设计中的重要内容 因为在实际系统中不可避免地存在着未建模动态或不可测扰动，因此研 究具有较强稳定鲁棒性的观测器设计成为状态估计能否在x - 程设计中得到应 用的关键技术。m i f i n o 1 9 对能精确线性化为观测器标准型的带有线性参数 化不确定性的非线性系统，利用正实性或滤波变换方法得到渐近自适应观测 器该方法要求系统满足严格参数和几何线性化条件，因而很少系统能够满足； 而s 弧e r 2 0 所构造的p i 型观测器只能抑制( 渐近) 有界的非线性扰动；对偶 于不确定性系统的二次型镇定，c h e n g f ac h e n g 2 1 1 等描述了一种建立非线 性鲁棒观测器的新方法，可是必须进行复杂的满足约束条件的r i c c a t i 方程 求解并且也只能抑制有界的非线性扰动。z a k 2 2 弦j 用变结构方法得到了一 种鲁棒观测器但是未建模动态必须满足输入和输出匹配条件。此外，l y n c h l 2 3 提出基于插值函数逼近的非线性观测器设计方法，该方法避免了广义特征方 程的求解上述设计方法都是针对特定的非线性系统提出来的，因而具有较强 鲁棒性、适用范围更广的观测器设计问题有待深入研究。 1 2 非线性系统反馈控制的发展 近二十年朱，非线性系统控制得到了较大的发展，获得一系列深刻的理论 结果，并在实际中得到许多成功的应用在众多方法中，最为引人注目的方法有： 微分几何反馈线性化方f l - 9 、变结构方法 4 ，2 4 、预测控制方；l - 2 5 ，2 6 】及人 工智能方法1 l ，2 7 1 等等， 自微分几何反馈线性化方法提出以来，该方法在理论和应用方面得到了 较大的发展s a s t r y 2 8 将该方法和自适应技术结合起来设计了非线性自适应 控制器k o k o t o v i c 2 9 ，k r i s t c 3 0 等人在此基础上发展了系统的反向设计方法； s l o t i n e 4 等对此类系统设计了滑动模控制并证明了闭环系统的稳定性；张涛 1 0 等将神经网络的逼近性质用于此类系统的控制，获得基于神经网络的稳定 自适应控制；张天平 1 1 】等利用模糊推理方法对这类系统设计了自适应输出 反馈模糊控制器；k h a l i l 3 1 】等人基于高增益观测器和饱和控制方法对反馈线 3 博士后研究报告 非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 性化非线性系统设计了输出反馈控制器，其后将该方法扩展到自适应控制 3 2 1 ： 为避免因高增益而导致峰值现象的发生，出现了基于观测器状态受限的自适 应输出反馈控制器设计f 3 3 上述输出反馈控制设计都需要应用线性高增益观 测器来完成，且能够保证闭环系统的半整体最终有界稳定性s i r a r a m i r e z 3 4 1 对于满足可观性假设的仿射非线性系统设计了动态自适应反馈控制器上述 控制方法或者要求设计观测器来实现输出反馈控制，或者直接完成状态反馈 控制，为提高控制器对非匹配时变不确定性的抑制能力，出现了两种高增益控 制器设计方法，然而这两砖方法并不能解决问题，相反，每一种设计都是错误 的，这一点可以通过两个简单的反例分析加以验证 广义预测控制是在自适应控制的发展过程中产生的，其基本原理是预测 模型、滚动优化和反馈校正f 2 5 ，2 6 在预测控制中，优化不是离线进行，而 是反复在线滚动的，这是预测控制区别于传统最优控制的根本点关于线性 系统的广义预测控制，- - 4 f 3 已做了许多研究工作，建立了较完善的理论体系， 并日趋成熟f 2 5 ，2 6 广义预测控制自问世以来，在工业控制过程中展现出广 阔的应用前景，已成功地运用到各个领域，实践表明它具有较强的鲁棒性， 优于常规的自适应控制但对于非线 生系统的预测控制，由于缺乏有效的数 学分析工具以及建立预测模型的困难，目前还没有较为系统的行乏有效的研 究方法现在用的较多的是近似线性化方法f 3 4 3 6 】，即通过某种手段将非线 性系统近似为线性系统，再利用线性系统的已有方法进行控制这种方法在 一定范围内可以有效地实现系统的控制，但是当系统大范围运行时，由于近似 线性化方法的局部收敛t g , z - 4 s r 使建模误差增大而导致系统性能下降或不稳定 因此若能将非线性系统进行某种线性表示，再利用线性自适应广义预测控制 方法，必将给系统的控制和分析带来较大的方便。 g l 前，线性系统的自适应控制已经成为控制理论和工程应用最为活跃的 研究领域，并取得大量有价值的研究结果线性时不变系统的自适应控制结果 比较成熟，出现了许多有效方法并在实际中得到具体应用f 2 , 6 ，3 8 4 1 1 为了克服 外加扰动、测量噪声或未建模动态对自适应系统的影响，提出并发展了许多 鲁棒性辨识算法和鲁棒自适应控制技术 4 2 - 4 4 为适应系统本身和环境的时 变特性及理论推导的完整 生，在不同的慢时变假设下，将时不变系统的自适应 方法进行适当修改而移植到慢时变系统上来 4 7 4 9 1 对于任意时变系统的自 适应控制还没有太好的研究框架可以遵循 与线性系统相平行，非线性系统自适应控制也取得了长足的进展在线性 4 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 参数化假设下，提出多种设计方案【2 8 3 0 】，并在一定程度上讨论了其算法的鲁 棒性然而，建立系统的线 生参数化模型在复杂工业过程中，并不总能实现虽然 利用智能控制方法是解决这一问题的有效途径，但是智能控制方法适时性较 差性雕于克服系统的任意时变特性 1 3 本文完成的主要工作 本文针对目前非线性系统控制研究中存在的几个重要问题，完成了如下 工作： 1 利用给定系统输出的y 算子逼近或占算子逼近方法，对可反馈线性化的 非线性系统设计了逼近观测器和自适应观测器，并证明了所设计观测 器的实用稳定性 2 针对现有的基于观测器的输出反馈控制器设计方法，利用占算子逼近 系统输出导数的性质，设计了输出反馈滑动模控制器、动态输出反馈 滑动模控制器及自适应输出反馈滑动模控制器，并保证了闭环系统的 稳定性 3 针对实际应用中的多数非线性系统满足线性增长性条件的特点，给出 了该类系统可线性反馈控制的充分条件，在此条件下，对由输入输出表 示的动态未知的离散非线 生系统，设计了自适应预测控制器；并将该方 法与时变连续系统的鲁棒自适应极点配置方法相结合，实现了一类连 续非线性系统的自适应控制 4 对于两类用于带有非匹配时变不确定性的非线 生系统的高增益控制器 设计通过反例有效地证实了其稳定性证明中存在的严重错误 5 博士后研究报告 非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 2 基于逼近方法的非线性系统观测器设计 本章首先基于y 算子逼近( 或差分算子逼近) 和滑动摸方法，对一类可线 性化的非线性系统，提出两种新的观测器设计方法，并通过李亚普诺夫方法 证明了所设计的观测器的稳定性，接着将李亚普诺夫稳定性理论和动态神经 网络有机地结合起来，对一类不确定非线性系统提出了一种鲁棒自适应观测 器设计方案。该方法取消了现有方法中对非线性动态附加的输出匹配条件的 限制，最后对三种方法进行了详细的仿真研究，进一步证实了所提方法的有效 性 2 1 基于y 算子方法的非线性系统观测器设计 该节利用y 一算子对微分算子的逼近性质，对一类可线性化的非线性系统 设计了观测器 考虑由如下微分方程描述的单输入单输出非线性系统 x “= f x ，z ”，x ( n - 1 ) , ) ( 21 1 ) 其中x ，! f r ，分别表示系统的输入和输出x ( o ( 1 i ) 代表系统输出x 的f 阶导数。设x = z 。( o i f - 1 ) ，则方程( 2 1 1 ) 可写成状态方程表示如下 这里x = ，q a = x 。i t ， 01 ；0 0j o x = a x + b f t x ，f ， y = c x 且 00 、r o 、 1 oo b = o i ，c 7 = 假设采样时间为r 0 ，则后向y 一算子( 4 9 可记为 6 o k ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 y = ；嵩 ， 于是y ，y 逼近d y a t 的精度为o ( r 2 ) ，显然有 z 2 = 2 】zy ，y( 2 1 5 ) 以此类推，输出的高阶导数值可由下式近似表示 z 3 = j 2 “y y f 2 1 6 ) z 。= j h 形。y 若采样常数r 选取得足够小，则系统( 2 1 1 ) 输出的i 阶导数可由如下的i 阶y 算子逼近 y 1 “y ：y 0 ) 由此可见，函数f ( x ，f ，“) 可近似表示成输出及其滞后测量的非线性函数与f 的高阶项之和，即 f ( x ，“) = f ( y ，7 ，y ，y ? y ，t ，“) + e ( r ) ( 2 1 7 ) 其中e ( r ) 为f 2 的同阶小量，即存在常数k 0 使得 i s ( r ) l k r 2 ( 2 1 8 ) 成立。 于是观测器可设计为 扯a 2 + b f ( x , t , u ) + g c ( x - 2 ) + k i s a t ( ( y 一多) a ) ( 2 1 9 ) 多= c x 其中贾= y ，y 。y ，? 。y 7 ，而常数k 。 k r 2 ，g 为设计矩阵使得 a g = a g c 的特征值均具有负实部。为了补偿式( 2 1 7 ) 中的近似误差s ( r ) ， 在( 2 ，1 9 ) 中引入饱和函数删r ，其定y , a = t f1 ，x a 1 其中a 为饱和界，适当选择口可以有效地补偿近似误差而提高观测器的精度， 但是a 不应取得过小，因为这样会导致观测器动态中产生高频振荡 定义状态估计误差向量为2 = 一2 ，则可得状态估计误差和输出误差 方程如下 7 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 扯a a 工+ 州7 ) + k i s a t ( y 口) )( 2 1 1 1 ) 歹= c x 对给定的正定矩阵q ，设正定矩阵p 满足如下的李亚普诺夫方程的解 a ：p + p a g = 一q b 7 p ：c 选择李亚普诺夫函数为 v ：又tp x 沿着误差系统( 2 1 1 1 ) 微分v ，可得 寸：曼tp 爱 鬟tp 受 = 矽( a r p + p a g ) 戈+ 2 ( s ( f ) + k l s a t ( y a ) ) b 7 所 一牙7 q x + 2 a b 7 p l l l 玉一丑。( q ) 阿+ 2 a p p l li 当吲 2 口p p i l 2 , , , ；。( q ) ，有 矿0 于是可得如下结论 ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) f 2 1 1 4 ) 定理2 1 ：假设系统( 2 1 2 ) 满足输入状态有界稳定性，且非线性函数 f ( x ，r ，“) 连续可微，则观测误差j 是指数稳定于一开邻域占( ) 内，而开邻 域b ( f 1 ) 定义为 b ( p ) = z 叫卢 ( 21 1 5 ) 这里= 2 口旧7 p i x 。( q ) 。 注：从理论上讲，为了满足高精度要求，声= 2 0 ，定义输出及其滞后测量_ y 0 f ) 的后向差商， 即后向占算子【4 8 为 d 。y = ，( ，) 一y ( t f ) ( 2 2 1 ) 于是皿) ，逼近方卉的精度为( ) ，显然有 乃2 毛。d ，yr 222 ) 以此类推，输出的高阶后向差商可表示为 d 2 t - i ( d ，y ( f ) 一d ，y ( t f ) ) = r 一2 ( y ( ，) 一2 y ( t f ) + y ( t 一2 r ) ) ( 2 23 ) d ；y 2 t - ( d ? “j 一( f ) d ? j o f ) ) = 2 - n z - 。( 一1 ) 。c 2 y ，一i r ) 这里c 为由胛个中选择f 个的组合数 若滞后常数r 选取得足够小，则由上式可知，系统的输出的f f o 兰i s ”一1 1 阶导数可由如下的i 阶后向差商y 逼近 x ，“= x d ：y 由此可知，函数f ( 肖，) 可近似表示成输出及其滞后测量值的非线性函数与 其逼近误差e ( r ) 之和，即 f ( x ，f ，“) = f ( y ，q 弘，d ? y ，“) + 占( f )f 2 24 ) 其中占( f ) 为f 的同阶小量，日p 存在常数世 0 使得下不等式成立 i s ( f ) j k r ( 2 2 5 ) 于是观测器可设计为 2 = ，a 。y e + 卵( x , t , u ) + g c ( 肖一露) + k j s a r ( ( y - 多) c t )( 2 2 6 ) p = 哪 、 其中= 眇，d ，y ，d ? 。纠7 ，s a t 为饱和函数，由( 2 1 1 0 ) 定义而常数 k t k r ，矩阵g 为设计矩阵，使得如= a g c 是渐进稳定的 定义状态估计误差向量为牙= 并一譬，由( 2 1 2 ) ，( 2 2 6 ) 得状态估计误差 方程如下 9 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 x = 爿g x + b ( 占( f ) + k j 删r ( 歹口) ) f 2 2 7 、 ，= c 又 其中常数a 0 由设计者根据精度要求来选择。 列给定的正定矩阵q ，设正定矩阵尸是如下李亚普诺夫方程的解 4 ；尸+ p a g q f 2 2 8 ) b7 p = c 选择李亚普诺夫函数为 y = j 7 面 ( 2 2 9 ) 沿着误差系e z ( 2 2 7 、微分i ，得 驴：甏tp 爱+ 甏t p 曼 = j 7 ( 爿；p + p a g ) 舅+ 2 0 0 ) + k 8 a t ( y a ) ) b 7 厨 一足r 西+ 2 a b r p l l 岩l 2 川 s 一 。( q ) l 戈j2 + 2 a b 7 p i 戈l 当吲 2 dj b 7 p t i 。( q ) ，有 矿0 于是可得如下结论 定理2 2 ：假设系统( 2 2 2 ) 满足有界输入输出稳定性，且非线性函数 f ( x ，f ，“) 连续可微，则观测误差牙是指数收敛到原点的开邻域b ( ) 内，而 b ( f 1 ) 定义为 b ( p ) = z 1 h ) ( 2 2 1 1 ) 这里= 2 口l b 7 p i , 。( q ) 。 注：= 2 口旧7 p l 五。( g ) 中的口虽然可以任意选择，但是在工程中，应考 虑饱和函数大小对系统性能的正反两方面的影响而折衷选取。 2 2 2 基于d 算子的自适应观测器设计 当系统( 2 ，2 2 ) 中的非线性函数f ( x ，f ，“) 未知且满足线性参数化条件时 为了能够更好地完成系统的状态估计，有必要讨论自适应观测器设计为此 l o 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 假定非线性函数f ( x ，f ，“) 满足线性参数化假设，即存在未知常参数 o = 口，0 2 ，o p 】7 o 矗9l i o i y ) cr 9 和已知非线性函数f ( x ，r ，“) ( 1 i p ) ，使得下式成立 f ( x ，“) = 墨l o ，只( x ，“) = o 7 f ( x ，“)( 2 2 1 2 ) 由( 2 2 1 2 ) 式可知，f ( x ，“) 叉可记作 y ( x ，r ，“) = f ( y ，d f y ，一，d ? y ，r ，“) + 手( f ) ( 2 2 1 3 ) 其中g r ) 类似于( 2 2 5 ) e e 占( r ) ，满足 l i ( f ) l k r ( 2 2 1 4 ) 类似亍( 2 26 l 自适应观测器可设计如下 雪= 且岩+ 县( 6 7 f ( r ，f ，“) 十g c ( x 一膏) + 足2 s a t ( ( y 一) l a ) f 2 2 15 1 = c 殳 其参数自适应律设计为 6 = f f 一( x ，t ，u ) y ( 2 2 1 6 ) 由( 2 2 2 ) ，( 22 1 5 ) 可得估计误差方程为 譬= a g 戈+ 占 否7 f ( 牙，r ，“) + 2 ( s p ) + k 2 s a t ( y a ) f 2 2 1 7 1 歹= c 戈 这里西= o 一6 ，且足：露l o 卜 因为。为常数，则参数估计误差方程可表示为 舀= 一f f 一( x 一，f ，u ) y ( 2 2 1 8 ) 定义李亚普诺夫函数为 矿：戈7 西+ 为f 。否( 2 2 1 9 ) 由( 2 2 1 7 ) 、( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 9 ) ，类似于( 2 2 1 o ) 的推导，可得如下结论： 定理2 2 2 ：假设系统( 2 2 2 ) 满足输入状态有界稳定性，且非线 生函数 f ( x ，r ，”) 连续可微，则观测误差戈是指数收敛到原点的开邻域口( 卢) 内，而 b ( ) 定义为 _ b ( 卢) = z 1 h s 卢) ( 2 2 2 0 ) 且参数估计7 t 其估计误差是有界的这里= 2 a l 占1 p i 五m m ( q ) 注： 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 ( i ) 与变结构方法【2 2 】相比，本文方法不要求输出匹配务件虽然【1 8 中的 方法比本文的设计简单，但是本文中设计不仅考虑了非线性动态的一般结构， 而且还充分利用了其动态特性，所以本文的估计精度要比c h a n g 1 8 1 中所提出 的方法更高 ( i i ) 由于参数自适应律( 2 2 1 6 ) 中的收敛性仍然依赖于持续激励条件，若采 用投影算法或仃一修正算法，本文的算法不仅效果会更好，而且持续激励条件 可以去掉【5 0 ( i i i ) 如果给定系统( 2 2 1 ) 中的非线性函数不仅是输出及其导数的函数，而 且还是输入及其导数的函数，此时，系统( 2 2 1 ) 称为广义观测器标准型，显然本 文的方法对具有广义观测器标准型的系统仍然适用 2 3 基于动态递归神经网的非线性系统自适应观测器设计 该节我们基于动态递归神经网对一类不确定非线性系统提出一种新的鲁 棒自适应观测器设计方法。在网络权学习过程中，没有离线学习的要求。由 于采用新的权学习律，因而在权学习律的稳定 生分析中，没有持续激励要求。 在李亚普诺夫稳定性理论的基础上，得到了观测器的稳定 生。与已有结果相 比，不要求不确定非线性动态的输出匹配和线性增长性等条件。 考虑如下不确定非线性系统 量= a x + f ( x ，“) y = c x 这里x r ”，c r ”9 假设向量函数f ( x ，r ，b t ) 是未知的。 为后面讨论问题的需要，给出如下必要的假设： a 1 ) ( a ，c ) 是可观测的。 a 2 ) 存在向量酗u r h ( x ，r ，“) 使得如下矩阵方程成立 p 厂( x ，f ，“) = c 1 ( x ，f ，“) 其中正定矩阵p 满足如下李亚普诺夫方程 爿：尸+ p a 。= 一q ， 1 2 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研密 这里q 0 为给定的正定矩阵。 2 3 2 动态神经网络结构 一个动态神经网络可以通过任一线性系统加上一个由前馈网络形成的非 线性映射n n ( z ) 而构成 5 1 】，其结构如下图2 3 1 所示a 图2 , 31 广义神经网络结构图 给定系统状态向量z r ”，上述的广义动态神经网络( d 鼢蝌) 可以由如 下微分方程表示 名= 以z + b 警仃( 薹，v 肚z t 枷。) 枷。) j ( 2 1 4 ) f = c z i isq 于是具有一层网络的d r n n 以紧凑形式可写成 名= 爿z + 日眵盯( z ) + “】 ( 2 _ 3 5 ) = c z 2 3 3 动态神经网络观测器设计 利用f 2 ，3 5 ) 和网络的逼近性质，一个非线性观测器可以很容易得到。正如 下面所要证明的，基于结构条件和李亚普诺夫稳定性理论，所有误差信号都 将有界。 根据已知的网络逼近p z , 质- ，( 2 3 f 2 ) 中的连续向量函数h ( x ，f ，“) 可以通过具 有理想权值吼和充分多的输入基函数盯( ) 的前馈网络表示出来，即 m ，蜘) = 呀( 圳) + ( f ) h f ) l t - , l l w a - 0 。 证明：由( 2 3 6 ) 和叮( ) 的性质这个结论是显然的。 于是观测器及其误差动态变成 i = 爿+ p 一1 c ( ( i ，“) + v 2 ) + g c ( x 一曼) r 23 1 0 、 岁= c f 弄口 宝= a 。i + p 一c ( ( r ) + 毛( r ) + 即氏( 王，“) 一v ) f 2 3 1 歹= g 其中d - 记作基函数盯( ) 在被估状态( j ，“) 点的取值。 以上提出的神经网络观测器产生一个由插入到反馈通道以逼近系统非线 性的前馈网络和一线性系统组成的广义动态神经网络，这种网络形式首先在 f 5 1 中提出，因为一个广义动态神经网络是由任一线性传递函数和非线性映 射( 也称静态反馈网络) 组成的，所以由( 2 3 1 ) 给定的非线性系统可由动态神经 网络来近似表述。在网络能够通过反馈线性系统的输出信息而逼近非线性动 态的意y - t 。如上所述结构也可以看作外部递归动态网络 s 3 1 。 2 3 4 基于李亚普诺夫方法的观测器稳定性分析 下面通过李亚普诺夫方法获得被估权吃的在线调整规律，同时保证某一 李亚普诺夫函数v 沿着观测器误差动态系统的导数是非正的，从而保证观测 器的收敛性 1 4 博士后研究报告 非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 为, b 考虑如下的李亚普诺夫函数 v = z 7 t + r ，( i 7 r 。1 ) ( 2 3 1 2 ) 设p 是李亚普诺夫方程( 2 3 3 ) 的解，对于满足条件( 2 3 2 ) 的系统( 2 3 1 ) ，利用 函数a ( x ，r ，“) 的网络估计( 2 3 7 ) ，沿着( 2 3 11 ) 微分e 得 矿= 一譬7 i 参+ 2 t r ( w r 一吃) + 2 ，( x ，f ，“) 一a ( 曼，“) 一v ) 7 c 譬( 23 1 3 ) 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 4 ) f f ，( 2 3 1 2 ) ，有 矿= 一z 7 1 万+ 2 t r ( w r - 1 哌) + 2 彩，子 ( 曼，“) + w + s 一v ) 7 c 譬( 23 1 4 ) 若分别取鲁棒项和参数自适应律为 v = d s a t ( y ) ，哦= 一r 2 驴+ i 6 - ( i ) 罗 ( 23 1 5 ) 其中d 尻，且s a t 为前面g 经k s l t 的饱和函数 记f i = y - i r 2 ，利用如下不等式， t r ( t r 】( 哆一只) ) 五。( r 1 ) i 眵忆一k 。( 酬杉 一九。c ) 4 i 帝j i | ，一器) 2 + 器 一 则矿的导数变为 矿s 矗。( 剑两2 + 闭 ，( 露( 磁一露) ) 十p + 气。+ 孱一d 】 蒯2 吨弼慨一薏器) 2 + 薏器m b 3 1 6 ， “剧劂i 晰驴捌，一惫器) 2 + 降器p 啡渊 当 忙犯j 幽i m ；o ( q ) 矧j ，笔导， 时，得 矿0 ( 2 3 ，1 8 ) 按李亚普诺夫稳定性定理，( 2 3 1 7 ) 表明，舅，哆是一致最终有界妁。 由此可得： 博士后研究报告非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 定理2 3 1 ：假定满足条件( 2 3 2 ) 的系统( 2 3 1 ) 是输入状态有界稳定的，其 观测器由( 2 3 1o ) 给出，而鲁棒项v 和参数自适应律由( 2 3 1 5 ) 给定。则状态估 计和网络权估计是一致有界的，并且它们的误差是一致最终有界的 注： f i ) 与已有结果相比，本文结果去掉了【2 2 中对非线性动态的输出匹配条 件及附加在b 、c 的满秩奈件的限制，并且未知非线性可在线逼近，因此本文 提出的观测器方法扩大了文【2 2 】的应用范围 ( i i ) 从( 2 3 1 6 ) = - 司- 看出，若适当增大矩阵q 的特征值，观测误差可设计得 很小而满足设计者的精度要求 2 4 观测器设计实例和仿真研究 这里我们通过三个简单的例子及其仿真研究，说明本节所提观测器的设 计方法及其有效性。 例2 4 ，1 考虑非线性系统 膏l = x 2 宝2 = 一0 3 x l + 一x 2 + 工2 矿 ( 2 4 - 1 ) y 2x 1 由2 i 节中所述方法，上述系统的观测器可构造如下 毫= i 2 + l o ( x 1 一i l ) ；2 = 一0 3 x l + x l x 一2 + i 2 “3 + 1 0 ( x l 一毫) + k l s a t ( y a ) 夕= 曼。 其中 黼r ( 1 加) x ，= y 【r ) 一= 叫1 。 对所设计的观测器进行数值仿真在仿真中，初始条件选为x ( o ) = ( o 5 ，o 】7 和 i ( o ) ：【o ，o 7 ，观测器的设计参数选为f = 0 0 1 ，k l = l ，a = 0 1 ，而输入信号取 “= s i n ( 5 0 t ) + c o s ( 2 t ) 。图2 4 1 ( 1 ) # - 。t t l 了系统( 2 4 1 ) 的相平面曲线图，图2 4 1 ( 2 ) 画出了状态x t 及其估计的曲线，图2 4 1 ( 3 ) 为状态x 2 及其估计的曲线。从仿 真中可以看出，c h a n g 1 8 f h , t g , t t l 的时滞观测器设计方法不适用于系统( 2 4 1 ) ， 1 6 博士后研究报告 非线性系统的状态估计和控制中的若干问题研究 因为系统( 2 4 1 ) 中不是仿射非线性系统且输入增益是无界的。 2 2 节所提出方法的有效性可以通过下面的例子加以验证在仿真中，通 过自适应和非自适应方法的比较，说明引入自适应方法的必要性，同时也表明 该方法优于z a k 2 2 1 中所述的方法 例2 4 2 为简单起见，仅考虑如下已线性化了的非线 生系统 丈l = x 2 量2 = 一0 3 x l + o j x l x 2 + 0 2 x 2 “3( 2 4 2 ) y 2 一 该系统的观测嚣设计可以参照2 2 节的推导过程，在此略去 在仿真过程中，初始条件选为x ( o ) = 0 5 ，0 】7 和量( o ) = 【o ，o 7 ，观测器的 设计参数选为k i = 0 5 ，0 t = 0 2 = 1 ，g = 【1 0 ，1 0 7 ，g z = f = o 1 或a = f = o 0 1 ，而 输入信号取为“= s i n ( 5 0 t ) + c o s ( 2 t ) 。仿真结果如图2 4 2 所示其中图2 4 2 ( 1 ) 给出了系统的状态曲线，图2 , 4 2 ( 2 ) 为应用c h a n g 1 8 的时滞观测器方法于系 统( 2 4 1 ) 所得的估计误差曲线，图2 4 2 ( 3 ) 为应用2 2 节中非自适应时滞观测 器在甜= r = 0 1 和口= f = o o l 时的估计误差曲线，图2 4 2 ( 4 ) 为用2 2 节自适 应时滞观测器在a = f = 0 1 时系统的误差曲线，图2 4 2 ( 5 ) 为利用2 2 节自适 应时滞观测器在口= r = o 1 时系统的估计参数曲线，图2 4 2 f 6 ) 为用2 2 节非 自适应时滞观测器在口= 0 1 ，f = o 叭时系统误差曲线，图2 4 2 ( 7 ) 为用2 2 节 自适应时滞观测器在口= o 1 ，f = o 0 1 时系统误差曲线，图2 4 2 ( 8 ) 为用2 2 节 自适应时滞观测器在口= 0 1 ，f = o o l 时系统的估计参数曲线 从图中可以看出，本文方法由于充分利用了系统的非线性动态，因而可 以对原系统的状态实现较高精度的估计，因而优于c h a n g t 8 提出的时滞观测 器方法。本文提出的方法与z a k 【2 2 】方法相比没有输出匹配的限制严格地 说，时滞观测器 1 8 】同样不适用于系统( 2 ，4 ，2 ) 由仿真还可看出，选择不同的 滞后时间，所得的仿真效果也不一样，滞后时间越小估计误差越，j 、，因此本文 方法适用可进行小滞后测量或高速采样测量的非线性系统，这与张端金 4 8 】中 所陈述的结果相吻合， 下面例子用来说明2 3 节动态神经网络观测器的设计步骤寿口效果通过与 线性l u n b e r g e r ( 1 2 】观测器相比较，较好地说明，本文提出的鲁棒观测器能够适 时地补偿系统中存在的不确定性，从而提高了所设计观测器的精度和鲁棒性 1 7 堡圭生竺塞墨兰非线性