（应用数学专业论文）干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究.pdf

中文摘要 随着科学技术水平的发展和人民生活水平的提高 环境污染也在增加 环境污染问题 越来越成为世界各个国家的共同课题之一 很多学者通过建立数学模型来研究污染对种 群的影响 并得到了很多种群持续生存的条件 数学模型在研究过程中不断演化以期更 能真实的反映客观事实 其中连续生物动力系统是过去几十年的研究方向 与此同时人们 又发现自然界许多生命现象以及人类的一些行为如有毒污染物的定期排放等用连续系统 无法精确描述 而脉冲微分方程可以相对较为真实地刻画这些相对短暂的现象和行为 本文以脉冲微分方程的理论为基础 建立干扰作用下环境污染中的种群动力学模型 系 统地分析了所给出模型的各种动力学行为 并给出了种群持续生存和灭绝的条件 本文第一章主要介绍了环境污染对生物种群的影响 简述了污染环境中种群生态系 统的研究现状及本文所做的主要工作 第二章介绍了脉冲微分方程的定义及相关知识 第三章建立了脉冲污染环境中两种群竞争l o t k a v o l t e r r a 模型 研究了毒素脉冲输入对两 种群持续性的影响 得到了使系统持续生存或绝灭而必须控制的毒素输入周期和输入量 之间关系的阈值条件 第四章研究了在污染环境中带有毒素脉冲输入和时滞 包括常数的 成熟期时滞和毒素时滞 的单种群阶段结构模型的动力学行为 我们假设毒素只对成年 种群有影响 获得了种群灭绝的周期解的全局吸引性和种群持续生存的阈值条件 结果 表明成熟期时滞和脉冲毒素输入对系统的动力学行为会带来很大的影响 而毒素时滞是 无害的 此外 在各章的最后均进行了数值模拟 进一步证明了本文的理论结果是正确 的 关键词脉冲微分方程 环境污染 全局稳定性 持续生存 灭绝 a b s t r a c t w i t had e v e l o p m e n to fs c i e n t i f i ca n dt e c h n o l o g i c a ll e v e l a n di m p r o v i n go fp e o p l e s l i v i n gs t a n d a r d s t h ep r o b l e m so fe n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o na r ea l s oi n c r e a s i n g i ti sw e l l k n o w nt h a tt h ep o l l u t i o no ft h ee n v i r o n m e n ti sav e r ys e r i o u sp r o b l e mi nt h ew o r l dt o d a y m a n ys c h o l a r ss t u d i e dt h ei m p a c to fp o l l u t i o no nt h es p e c i e st h r o u g ht h ee s t a b l i s h m e n t o fm a t h e m a t i c a lm o d e l s a n dg o tal o to fc o n d i t i o n sw h i c hc a nl e e pt h ep o p u l a t i o n sp e r s i s t e n ts u r v i v a lo re x t i n c t i o n t h ed i s c u s s i o n so fc o n t i n u o u sb i o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s w e r em a i nr e s e a r c hd i r e c t i o ni nt h ep a s td e c a d e s r e c e n t l y p e o p l ea l s of i n dt h a tc o n t i n u o u sb i o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m sc a nn o tr e p r e s e n ts o m en a t u r a lp h e n o m e n aa n dc o n t r o l b e h a v i o ro fh u m a na c c u r a t e l y f o re x a m p l e t h ei n p u to ft h et o x i c a n ti so f t e np e r i o d i ca n d w e l l r e g u l a t e d i nr e c e n ty e a r s m a n yr e s e a r c h e r sh a v ei n v e s t i g a t e dt h ee f f e c to ft h ee n v i r o n m e n tp o l l u t i o no nt h ee c o s y s t e m s i m p u l s i v es e m i d y n a m i c a ls y s t e m st h e nt u r no u t t ob et h eh o t s p o to fm a t h e m a t i c a lb i o l o g y b e c a u s et h er e l a t i v e l yi n s t a n t a n e o u sb e h a v i o r m e n t i o n e da b o v ec a r lb ed e s c r i b e dw e l li ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r b a s e do na ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e o r y w ei n t r o d u c en o n a u t o n o m o n u sp o p u l a t i o nd y n a m i c a lm o d e l s t h ev a r i o u sd y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h ep o p u l a t i o nm o d e l sa r e g l o b a l l ys t u d i e da n dw eg i v es o m et h r e s h o l dc o n d i t i o n sw h i c hc a nk e e pt h ep o p u l a t i o n s p e r s i s t e n ts u r v i v a lo re x t i n c t i o n i nc h a p t e r1 w eh a v ei n t r o d u c e dt h ei n f l u e n c eo fe n v i r o n m e n tp o l l u t i o n o u t l i n et h e r e s e a r c hs t a t u so ft h ee c o s y s t e m si nt h ee n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o na n dt h em a j o rw o r ki n t h i sp a p e r i nc h a p t e r2 w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d r e l a t e dk n o w l e d g e i nc h a p t e r3 w eh a v ep r o p o s e dat w os p e c i e sc o m p e t i t i o nm o d e li na p o l l u t e de n v i r o n m e n tw i t hi m p u l s i v et o x i c a n ti n p u t w eh a v eg o tt h et h r e s h o l d sw h i c h c a nm a k es y s t e mp e r s i s t e n to re x t i n c t i nc h a p t e r4 w ed e a lw i t ht h ed y n a m i c so fas i n g l e s t a g e s t r u c t u r e dp o p u l a t i o nm o d e lw i t hi m p u l s i v et o x i ni n p u ta n dt i m ed e l a y s i n c l u d i n g c o n s t a n ti n d i v i d u a lm a t u r a t i o nt i m ed e l a ya n d p o l l u t i o nt i m ed e l a y i nap o l l u t e de n v i r o n m e n t i nw h i c hw ea s s u m eo n l yt h em a t u r ei n d i v i d u a l sa r ea f f e c t e db yp o l l u t a n t s w e o b t a i nc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l l ya t t r a c t i v eo fp o p u l a t i o n e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n d p e r m a n e n c eo ft h ep o p u l a t i o n w es h o wt h a tm a t u r a t i o nt i m ed e l a ya n di m p u l s i v et o x i n i n p u tc a nb r i n gg r e a te f f e c t so nt h ed y n a m i c so ft h es y s t e m a n dp o l l u t i o nt i m ed e l a yi s h a r m l e s s m o r e o v e r i nt h ee n do fe a c hc h a p t e r w eg i v es o m en u m e r i cs i m u l a t i o nr e s u l t s w h i c hi n d i c a t et h ev a l i d i t yo ft h ep r e s e n t e dt h e o r e t i cc o n c l u s i o n s 1 1 k e yw o r d si m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n e n v i r o n m e n tp o l l u t i o n g l o b a ls t a b i l i t y p e r s i s t e n t e x t i n c t i i i 学位论文独创性声明 本人承诺 所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果 论文中除特 别加以标注和致谢的地方外 不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果 其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助 均已在论文中做出了明确的声明并 表示谢意 学位论文作者签名 猛壹 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留 使用学位论文的规定 及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘 允许论文被查阅和借阅 本文授权 辽宁师范大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索 可以采 用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名 遐麦 指导教师签名 签名日期 半 菩叫 年乡月乒日 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 1 引言 原生环境是贮藏自然资源的宝库 它起着生态实验室 遗传库和信息贮存库的作用 而野生动物种群使这种自然系统获得平衡 随着科学技术水平的发展和人民生活水平的 提高 人类开采活动的日益加剧 环境污染也在增加 例如 有机和无机化学药品污染 这些化学药品来源于化工厂 药厂 造纸厂 印染厂和制革厂的废水 以及建筑装修 干洗行业 化学洗剂 农用杀虫剂 除草剂等 绝大部分有机化学药品有毒性 它们进入 江河湖泊会毒害或毒死水中生物引起生态破坏 一些有机化学药品会积累在水生生物体 内 致使动物和人食用后中毒 1 9 5 2 年日本水俣湾附近渔村中 发现一些猫步态不稳 抽筋麻痹 最后跳入水中溺死 当地人谓之 自杀猫 在1 9 6 2 年才确定水俣病的发生 是由于汞的环境污染 特别是常期食用被污染的鱼和贝类引起的甲基汞慢性中毒 这是 从水俣镇的工厂排放的氯化甲基汞污染了海域 使鱼和贝类中毒造成的 环境污染会给 生态系统造成直接的破坏和影响 如沙漠化 森林破坏 也会给生态系统和人类社会造 成间接的危害 有时这种间接的环境效应的危害比当时造成的直接危害更大 也更难消 除 当然 环境污染的最直接 最容易被人所感受的后果是使人类环境的质量下降 影响 人类的生活质量 身体健康和生产活动 例如城市的空气污染造成空气污浊 人们的发 病率上升等等 水污染使水环境质量恶化 饮用水源的质量普遍下降 威胁人的身体健 康 引起胎儿早产或畸形等等 严重的污染事件不仅带来健康问题 也造成社会问题 随着人类文明的发展 各种污染物质也越来越多 环境污染日益严重 许多生物的 生存受到严重威胁 生态平衡遭到破坏 物种正以前所未有的速度从地球上减少 据估 计 全世界每年有数干种动植物灭绝 1 9 8 8 年 全世界有1 2 0 0 种动植物濒临灭绝 到 2 0 1 0 年 地球上百分之二十到百分之三十的动植物 1 0 0 万种一1 5 0 万种 将消失 这给 人类社会造成的后果是难以估计的 因此 研究环境污染对生物种群及生态系统的影响 显得日益重要 目前 各国政府都非常重视由环境污染所引起的生态环境的破坏 把环境保护列为 可持续发展的战略重点 采取多种措施保护和治理生态环境 为了防治环境污染 我国 相继颁布了 中华人民共和国环境保护法 中华人民共和国水污染防治法 等一系 列法律 1 9 8 3 年 我国政府宣布把环境保护列为一项基本国策 提出在经济发展过程中 经济效益 社会效益和环境效益相统一的战略方针 1 9 9 4 年 我国政府制定了今后中国 环境保护工作的行动指南 一 中国2 1 世纪议程 指出 通过高消耗追求经济数量增 长和 先污染后治理 的传统发展模式已不再适应当今和未来发展的要求 而必须努力 寻求 条人口 经济 社会 环境和资源相互协调的 既能满足当代人的需要而又不对满 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 足后代人需求的能力构成危害的可持续发展的道路 因此 研究干扰作用下环境污染中 种群的动力学性质有着重要的理论意义和现实意义 随着社会的不断发展 研究的问题越来越复杂 需要我们综合多方面的知识来解决 问题 各种学科正在开始相互交织 成为数学 生物学 化学和物理学的新的聚合体 近 年来 数学模型的方法已经成为人们定量地描述生命物质运动和生命系统演变规律的重 要工具 生命现象常常以大量重复的形式出现 同时又受到多种外界环境和内在因素的 随机干扰 通过数学模型的构建f 1 1 可以将看上去杂乱无章的实验数据整理成有序可循 的数学问题 将问题的本质抽象出来 使我们定量化地描述生态过程 阐明生态机制和 规律 动态地模拟和预测自然发展状况 特别是统计学和计算机科学的发展 开始了更 实际 更有意义的复杂生物系统的研究 利用经典的微分方程模型和差分方程模型所刻画的生物动力系统 其模型本身的状 态 连续变量和离散变量 是由系统的参数和时间所确定的 然而自然界中许多生态环 境系统都是开放系统 常常会受到各种瞬间作用的影响而使系统变量或增长规律发生突 然改变 2 3 例如 在进行鱼类池塘养殖的过程中 放养育苗和收获都是按一定时间间 隔定期的进行 自然界中有些物种如梅花鹿 蝙蝠等并不是一年四季都进行繁殖 而是 集中在一个季节中的某个时间段进行生育 有些动物的迁徙活动也不是连续的 如一些 鱼类的季节性洄游 候鸟的迁徙 一些食草动物的季节性的迁移 在农业害虫治理中 农民经常在固定时刻用杀虫剂杀虫或定期的投放天敌 为保护频临灭绝的珍稀动物 经 常圈养这些动物然后放养到大自然中 或定期的为这些动物投放食饵 如果用连续系统 描述这些行为 则会丢失大量的信息 而脉冲微分方程则为研究这种在一个阶段是连续 发展而在一些时间点上有脉冲式的瞬时行为的生态模型提供了有力的工具 它能恰当的 描述连续与脉冲效应结合的自然现象 这就需要在相应的脉冲微分方程模型中考虑这些 瞬间干扰作用因素的影响 并研究这些瞬间干扰作用对原有生物系统的动力学性质的影 响 以期指导人们的生产和科研活动 研究环境污染对生态环境中种群的影响属于生态毒理学的范畴 通常毒素是直接地 或通过改变环境来影响生物种群的个体 这就需要了解毒素在环境中的传播过程以及种 群的变化规律 因而需要建立数学模型 进行分析 推理 运算和模拟 利用动力学的方法 建立数学模型对生态毒理学进行研究 称为生态毒理动力学 利用微分方程的方法去研究 毒素对生物种群的影响是从2 0 世纪8 0 年代才开始的 1 9 8 3 1 9 8 4 年t g h a l l a m 及其同 事和学生连续发表了三篇该方面的论文 4 6 为这一方向的研究揭开了序幕 在这二十多 年的研究中 一些研究者陆续进行了这一方面的各种研究工作 主要的有 f r e e d m a n h i 和s h u k l a t b 研究了毒素对单种群和捕食一被捕食系统的影响 得到了种群持续生存的 2 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 阈值条件 7 l i u 和m a 建立了污染环境中的两种群l o t k a v o l t e r r a 捕食一被捕食系统模 型 并给出了种群弱平均持续生存的阈值条件 8 m a c u i 和w a n g 建立了污染环境中的 单种群模型持续生存和绝灭的阈值条件 9 还有一些研究者也陆续进行了污染物连续排 放对生物种群持续生存的影响方面的研究工作f 1 0 1 5 然而 在实际生活中污染物的排 放往往不是连续不断的 在更多情形下常常表现为一种定时排放 如工业废水或废液的 排放 生活中或农业上杀虫剂的喷洒 养殖业中粪便的排放及生活垃圾的处理等 在这些 情形下 污染物质的排放时间与生物体的生命周期相比非常短暂 但是它们对生物种群 的影响却是长久的 因此用脉冲微分动力系统来描述种群这种瞬间干扰作用的影响更为 确切 因此人们研究外界毒素为脉冲输入的情形也越来越多 1 6 1 8 l i u c h e n 和z h a n g 研究了毒素的脉冲输入对污染环境中的单种群的影响 得到种群持续生存的阈值条件 并指出了正周期解的存在性 1 9 z h a o c h e n 和s o n g 2 0 建立了污染环境中同时脉冲输 入培养基和污染物的恒化器模型 给出了微生物灭绝周期解的稳定性和系统持续生存的 条件 孟新柱等人 2 1 研究了具有时滞增长反应及脉冲输入培养基和污染物的m o n o d 恒 化器模型 运用离散动力系统的频闪映射 得到微生物培养成功的条件和时滞对微生物 培养的影响 j i a o l o n g 和c h e n 2 2 1 考虑了在等量脉冲排放污染环境中种群具有a i e l l o 和f r e e d m a n 2 3 中所提出的阶段结构时滞增长方式的动力学性质 本文主要考虑了在污染环境中 外界毒素的脉冲输入和时滞对环境中生物种群的持 续生存的影响 第一章为引言 主要介绍了环境污染对生物种群的影响 简述了污染环 境中种群生态系统的研究现状及本文所做的主要工作 第二章介绍了脉冲微分方程的定 义及相关知识 第三章建立了脉冲污染环境中两种群竞争l o t k a v o l t e r r a 模型 研究了 毒素脉冲输入对两种群持续性的影响 得到了使系统持续生存或绝灭而必须控制的毒素 输入周期和输入量之间关系的阈值条件 第四章研究了在污染环境中带有毒素脉冲输入 和时滞 包括常数的成熟期时滞和毒素时滞 的单种群阶段结构模型的动力学行为 我们 假设毒素只对成年种群有影响 获得了种群灭绝的周期解的全局吸引性和种群持续的阈 值条件 结果表明成熟期时滞和脉冲毒素输入对系统的动力学行为会带来很大的影响 而毒素时滞是无害的 此外 对本文的所有理论结果都进行了数值模拟 模拟结果与理 论研究得到的结果均能吻合 3 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 2 脉冲微分方程的相关知识 2 1 脉冲微分方程的定义 考虑下列微分方程系统描述的一个变化过程 1 一系列微分方程 z 他 f t z 2 1 1 其中f r q 一舻 qc 形是开集 2 集合m n t cq t r 以及 3 算子a t m t t t 4 令x t x t t o x o 表示系统 2 1 1 过初值 t o 如 的解 则演变过程如下 点 r t z t 从它的起点r t o z t 沿着曲线 z x t l t t o 运动到时刻t l t l t o 点只碰到集合m z 此时 算子a t 将点p t t l x t 1 作用到瞄 t l z n t 1 其中z a t 1 x t 1 接下来 点r 沿着系统 2 1 1 过初值只 t l z j 的解曲线继 续运动 直到下一时刻t 2 t l 又遇到了集合m t 于是点b t 2 z 亡2 又被作用到 点磁 t 2 z 砉 n t 2 其中z 手 a t 2 x t 2 点r 又同样沿着系统 2 1 1 过初值 t 2 z 亨 的解x t x t t 2 对 继续运动 只要系统 2 1 1 的解存在 这一演变过程就 能继续下去 利用 1 2 3 所描述的一个演变过程被称为脉冲微分方程系统 点r 的运动所 描述的曲线和由此所定义的曲线函数分别称为这个脉冲微分方程系统的积分曲线和解 脉冲微分方程系统和连续微分方程系统有很大的不同 它的解可以是 1 连续可微函数 如果积分曲线与m t 不交或算子a t 的不动点 2 有有限个第一类间断点的分段连续可微函数 如果积分曲线与m t 交有限个 a t 的非不动点 3 有可数个第一类间断点的分段连续可微函数 如果积分曲线与m t 交可数个个 a t 的非不动点 点只碰到集合m t 的时刻称为脉冲时刻 并且规定脉冲微分方程系统的解在脉冲 时刻是左连续的 即 z i l i m z t k h z 知 自由选取描写脉冲微分方程系统的三大关系 1 2 3 可得到较为常用的三种脉 冲微分方程系统 a 固定时刻脉冲的脉冲微分方程 集合m t 表示一系列平面t t k 且 南是满足 七一c x 七 o 的时间序列 算子 4 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 a t 只有在t t k 有定义 算子系列a t 满足 a k q qz a k x z 厶 z 其中厶 q q 相应地 集合n t 在时刻t t k 有定义 因此n k a 七 m 七 在 这种情况下 固定时刻发生脉冲的脉冲微分方程系统的数学模型表示为 j z 俅 f t x 惫 忌 2 1 2 ia z t 厶 z t t t k k n 其中a x t k x t t 一z z j 2h l i m u x t k b 脉冲时刻变化的脉冲微分方程 曲面序列鼠是由瓯 t 仉 z k 1 2 组成的 其中仉 z 满足亿 z 0 札 付 d k u r k h k t 2 2 1 i 让 o u o u t l t 0n 也e x p f tp s d s 0 1 k t 十后兀d ke x p f tp r d t f s d s e 1 id je x p 甓p t d t h k s r k to r k f 仉 r j 0 有 u t u o 兀也e x p f fp s d s o t k t 后l id ke x p f p t d r f s d s 1 id je x p 最p 1 d 丁 l l k s rk 0 tk t 乃 0 t 7 0 存在一个5 6 芒o e 叼 0 使得当l x o x o i t o l t t o i 叼时 i z t 一z t i 0 y o 0 c o 0 0 c e o 0 x t 和y t 分别表示t 时刻两种 群的密度 c 0 表示t 时刻两种群体内的毒素浓度 c e 表示t 时刻环境中的毒素浓 度 n o 是第i 个种群在无污染情况下的内禀增长率 n 1 是由于体内毒素导致第i 个种 群内禀增长率线性降低的比例常数 后表示种群因从环境中摄入毒素而导致体内毒素浓 度提高的速率 g 表示由于排泄等原因导致种群体内毒素浓度降低的速率 m 表示由 于种群的新陈代谢等自我净化功能使体内毒素浓度降低的速率 h 表示由于毒素的自然 挥发和环境的自我净化作用等而造成的环境中毒素浓度的损失率 上面的系数都是正常 数 为了研究需要 他们引入了下面的定义 定义3 1 1 如果 尘 z 亡 或可 0 则称种群z 或秒 走向灭绝 定义3 1 2如果丽 o 或丽 o 则称种群z t 或秒 z 弱平均持续生存 定义3 1 3如果羽 o 或y t 5 o 则称种群z t 或可 t 是勉强持续生存 考虑到实际情况中 毒素污染物的排放是周期性的定时排放 我们在上述模型的基 础上进行改进 建立了下面的脉冲微分方程模型来描述毒素污染物的脉冲排放对种群持 续性的影响 生盟 d t 堑盟 d t d c o t d t 必 d z x t r l o r 1 1 c o t a l l x 可 z r 2 0 r 2 1 c o t 一a 2 1 x k c e t 一g c o t 一m c 0 h c t 0 a y 0 a c o t 0 a c 8 彩 孓 卜 z n l 几 斗 知 z n l 一 o j 1 j 1 j i i 纠堋 l l 可 可 们 一 一 以 l l 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 其中a x z 一z 亡 a y y t 一可 a c o t c o 矿 一c 0 亡 a c e t c e 一c e t 初始值x o 0 y o 0 印 o 0 c e o 0 x t 和y t 分别表示t 时刻两种群 的密度 c 0 表示t 时刻两种群体内的毒素浓度 c e t 表示t 时刻环境当中的毒素浓 度 n o 是第i 个种群在无污染情况下的内禀增长率 n 1 是由于体内毒素导致第i 个种 群内禀增长率线性降低的比例常数 七表示种群因从环境中摄入毒素而导致体内毒素浓 度提高的速率 g 表示由于排泄等原因导致种群体内毒素浓度降低的速率 m 表示由于 种群的新陈代谢等自我净化功能使体内毒素浓度降低的速率 h 表示由于毒素的自然挥 发和环境的自我净化作用等而造成的环境中毒素浓度的损失率 7 是毒素排放的脉冲周 期 b 是每次毒素的排放量 上面的系数都是正常数 由于模型 3 1 2 中的c o t c e 亡 可以具体解出 故仅需考虑下面的二维系统 l 业d t z t p l o r n c o t 一a 1 1 x t 一a 1 2 y t 宅萨 可 t r 2 0 r 2 1 c o t 一a 2 1 x t 一n 2 2 可 3 1 3 ix o 0 y o 0 其中c o t 满足系统 3 1 4 的性质 下一节讨论系统 3 1 2 两种群的持续生存问题 我们给出下列引理 引理3 1 1 1 2 9 系统 m c o t t 3 1 4 有唯一的正7 周期解 西 亡 磊 t 且对 3 1 4 的任意解 c o 亡 c e t 丁 当t 一 o 时 c 0 面 t 和c e t 一磊 亡 此外当所有的t 0 时 如果c o o 昂 o c e o 磊 o 则c o t e o t c e t 磊 芒 其中 面 4 t e o o 磊 0 昂 o e 一 g m 胁 k b e g 寸m t m n r 1 e e h t n r 1 b e f h 孑 t 而n r k b e g m r e 一 7 2 而i 玎f f 两葡可f 硒 e 万b 当t n 7 n 1 7 和n z 9 z 他 l n 卜 z 芒 n 1 一 j n 一 岫 毋 一力d k 雌 幻 堕堕 警警 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 一一 引理3 1 2 3 0 1 设 芒 c f 皿 皿一o l a 和a o 均为正常数 若当t t 0 时 下列不等式成立 i n 厂 t 0 和 0 使得对任何t 0 有0 z 亡 尬 0 o a 1 0 和 2 0 及等 等 鬻 标注3 工3 y o o 垒a 1 业r l l y 2 o 鲁 业r l l r 2 1 r 2 0 垒a 2 一y o o 争 0 有 昂 一e c o t 0 上式都成立 因为e o t 是周期函数 所以 定理3 2 1 e o t 丽 卫 丽 了k 3 2 3 3 2 4 设7 k 嚣 则z 弱平均持续生存 若7 g 仙r l l 则z 勉 强持续生存 若丁 k m r l l 则可取e 0 使得6 r i o r l lk 一r 1 1 e 0 因为z 和 可 z 是有界的 因此 i l i m s u p 生盟 0 h 半 根据 3 2 1 3 2 3 3 2 4 和 3 2 5 可得出 因此 a l l 丽 a 1 2 丽 0 珂 丽 0allx ta a 2 y t 0 我们能得出可矿 0 假设丽 0 和丽 0 7 0 可得出n a 1 2 篙 等 所以嘲r l l j 若碧 o 老 则鑫 0 0 r i 0 1 r 2 0 7 根据 3 2 1 xa 2 2 一 3 2 2 a 1 2 我们得出 吻一 n 蔫咱z 一 n 怒 从 3 2 5 和 3 2 9 可推出 3 2 5 3 2 6 3 2 7 3 2 8 址0r2 1r 2 0 7 1 一a l c o t 一 z 一n 2 卫乳s u p t 1i n 黟 一鑫t 磊而 o 1 一a 1 磊两 e 1 1 3 2 9 华 p l吼 h 1 t 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 1 5 1k 一厶1 e 0 丁 即t 1 i m o s u p t 1 n 器 0 根据 3 2 2 r l l 一 3 2 1 r 2 1 可得出 这与页万 0 矛盾 一 n 器 r 2 1 t 1h 器 7 压z 丽一厶 丽 3 2 1 0 从 3 2 5 和 3 2 1 0 可推出 l i m o o s u p t 一11 n 湍 r 群h a 1 y 6 1 根据7 0 我们得出 l i m o o s u p t 一1i n 黔 o 矛盾 证明 1 完成了 得 2 根据下极限的性质 可以得到对任意充分小的正e 存在t 0 对任意t t 使 面 历 亡 一e 根据 3 2 1 我们得出 一 n 器 r l o r l l 丽 r u e a l l 羽 即 t n 器 x t a nj 0 t x s d s 其中a r 1 0 一r 1 1 百两 r i l e r l o r 1 1 等 7 1 1 e 若7 k 焉 入 r i l e 0 根据引理 3 1 2 得出 a a l l r i l e a l l 3 2 1 1 由于 是任意小的正数 所以习万 0 但是羽4 0 因此丽 0 x t 是勉 强持续生存 所以 l i m 呻 4 0 0 骧一l n 蔫 t l o r l l 丽 e t 丽 a 1 2 丽 一兰 0 1 x t a 1 2 一y t 盯 n kn 丁 on 一 f 0 得使 0 e 在存则 虬m k 出 k 则z 弱平均持续生存 若7 k m r l l 则z 勉 强行持续生存 若丁 o 和 2 o 可得出厶1 和厶2 0 容易得出m r i o 垒a x 垒a 2 等 根据 3 2 8 可得出虱矿 0 若羽 0 页矿 0 则 h l i m s u p t i n 端 0 所以t 皇 丽 0 对任意的正数e 存在z 当t t 时 i a 一2 一x t l 主m 1 l n 器 主 根据 3 2 1 0 我们有 h 器 0 矛盾 所以z 亡 弱平均持续生存 因为与定理3 2 1 的勉强持续生存和灭绝性的证明类似 所以定理3 2 2 的勉强持续 生存和灭绝性的证明省略 证毕 定理3 2 3 设 y 0 若7 k 鱼a x 则z 弱平均持续生存 若丁 k 鲁 则z 勉 强持续生存 若丁 0 能得出r 2 0 r m 0 能得出厶1 0 所以当7 0 k 畚是 正的 若7 畚 根据 3 2 7 得出 r 木 了幸 百木 a y a 1 1 x t a 1 2 y t r i o r x l c o t r i o r l l 二 a 1 2 i 3 2 1 3 1 所以a l l 珂 a i 叫 t i 0 若雨 0 则丽 0 根据 3 2 1 3 得出丽 丢 此外 根据 3 2 1 2 令 e 坠必2 虻丑 我们能得到丽 云 这个矛盾表明z 弱平均持续生存 2 若丁 k 鲁 与 3 2 1 1 和 3 2 1 2 的证法相似 根据 3 2 9 得出 丽 尘芸盟 1 一 1 昂 一e 1 e 一 由于e 的任意性 羽 0 但因为羽 0 得出羽 0 这表明z 勉强持 续生存 3 若7 i 0 使得6 一 1 7 k 厶1 一厶l e 7 0 1 3 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 根据 3 2 6 和 3 2 9 可得出 l i m s u p t 1 z z l u t y 之 一厶 一n 丢 矾 一 署拿一n 暑 丽 肛 z 亡 弱平均持续生存 若丁 v 弱平均持续生存 i i 若丁 p z 亡 勉强持续生存 若7 v 可 亡 勉强持续生存 j j j 若7 p z t 灭绝 若7 v 可 灭绝 其中 p 慨拭 和 u j k 爱7 0 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 容易知道p 0 v 0 且下面的关系是满足的 秽 弘 当 y p当一y 0 3 3 数值模拟与结论 在这一章中 我们研究了有毒污染物被脉冲排放到环境中的两种群竞争系统的持续 性问题 在研究中 我们得出了每个种群的持续性和灭绝型的充分条件 并且知道了脉 冲周期丁污染物的排放量b 会影响每个种群的命运 定理3 2 4 表明若脉冲周期丁太小 两种群将会灭绝 见图3 1 若脉冲周期丁太 大 两种群将会弱平均持续生存 见图3 4 在污染物存在的情况下 当种群z 的内禀 增长率的减少率c o 恐 少于种群y 的内禀增长率的减少率c o 黑时 也就是 y 0 和 k 址 r o 和 黑 7 0 c 0 o 0 c e o 0 0 u 亡 u 1 其中z t 表示在t 时刻种群的密度 c o z 表示t 时刻种群体内的毒素浓度 c e 表示t 时刻环境当中的毒素浓度 7 0 是种群x t 在无污染情况下的内禀增长率 1 和r 2 分别 表示由于体内毒素和环境中的毒素导致种群内禀增长率线性降低的比例常数 p 表示成 年种群的竞争系数 k c 亡 表示种群因从环境中摄入毒素而导致体内毒素浓度提高的速 率 g c o t 表示由于排泄等原因导致种群体内毒素浓度降低的速率 m c o t 表示由于种 群的新陈代谢等自我净化功能使体内毒素浓度降低的速率 u t 表示由于外界不断向环 境中输入有毒物质而造成环境中的毒素浓度提高的速率 g l c o x 表示由于种群的排泄使有 毒物质重新进入到环境中而造成环境中的毒素浓度提高的速率 k 1 c e x 表示由于种群的 吸收而使环境中的毒素浓度降低的速率 九c e 表示由于毒素的自然挥发和环境的自我净 化作用等而造成的环境中毒素浓度的损失率 在环境容量较大的情况下 由于种群的吸收 和排泄而造成的环境中毒素浓度的变化非常小 因此可以忽略掉 即一k 1 c z g l c o x 0 因此模型 4 1 1 就简化为下面的模型 l 掣 z t 加一r i c o t 一r 2 c 亡 一p z 攀鬟诫 d 地 i 穹妒 一九岛 u 7 iz o 0 c 0 o 0 c e o 0 0 u t u 1 此外 阶段结构模型已经被许多人研究过了 其中a i e l l o 和f r e e d m a n 2 3 提出了 以下单种群阶段结构模型 j 掣跏烈d d x j t q e 嘞z t 州 4 1 3 i 掣 o l e d r x t n 一触2 t 7 其中z j t 和z z 分别表示幼年和成年的种群密度 q 是成年种群的出生率系数 n 是 幼年到成年的时间 d 是幼年种群的死亡率 现在基于上述模型和假设 考虑到时滞对成年种群的影响 我们提出了在脉冲污染 1 9 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 环境中带有时滞的单种群阶段结构模型 瑟dt d t l x t麓掣rlco tdt 雄h 2 c e h m n 卜 堂盟 q e 一 一n 一p z 2 亡 一 一死 z 一r 2 c e t 一丁2 z i 个 穹妒 后c e z 一仇c o t 一9 c 0 l 7 幽 一慨 j 攀 三a e乏 芝dtl xi tm cotclt kc 二鬟嚣 一nc0 一仡 z 一仡ce 一亿 z l t nt j 掣 e 一m c o t 一9 c o l 掣 一危c e 亡 j 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 定义4 2 2令v i i o 则对于 t z n t 1 卅 霹 关于脉冲微分系统 4 1 4 的v t z 的上右导数被定义为 d v t y 也器s u p 丢 y z 九 可 h f t 秒 一v t y 标注4 2 1根据生物意义 我们设k 0 当t 很大时 对 3 1 4 的每个解 亡 z 亡 c 0 t c e 亡 都有x j t m x t m c 0 m c e t m 证明定义v t 巧 x t c o t c e 亡 令入 m i n d m g h 一后 当t n t 我们有 d v t a v t o l 入 z 一p z 亡 2 m o 其中 呼 当t n t y 佗丁 v n t 肛 然后得到 id y t s a y t m o t n t n n iv n t v n t p t n t n n 根据引理2 2 见 5 2 3 页 得出 y y e 砒 z e 叫h d s 篆 0 x t 0 可得出 1 若o b 则 兰 z 芒 譬 4 3 单种群的持续生存和灭绝 本小节 我们获得了种群灭绝的周期解的全局吸引性和模型持续生存性的条件 定义 m 2 万专j 讯 二孑而毋盯乏画 化2 南 定理4 3 1 若风 1 则系统 4 1 4 的种群灭绝的周期解 o 0 c c t 是全 局吸引的 其中 见 而o 而l e d r l 证明显然系统 4 1 4 的种群灭绝的周期解 o 0 亡 的全局吸引性与系统 4 1 6 的周期解 o 喀 的全局吸引性是相同的 所以我们仅考虑系统 4 1 6 因 为 n p d t l r l p l r 2 f 1 2 0 使 q e m 瓦丽了玎瓦面 f 酉 0 正 0 当t 正时 不等式 瑞 亡 一e c o t c z c 一 c e 亡 成立 得到 c t 一丁2 一 c o 亡一丁2 噩 丁2 和 一亿 一 c 见 乃 亿 t 一恐 1 z l 十1 丁 1 n 所以我们得到 c o 芒一丁2 喀 t 丁2 一e c o e 一 9 m 一您一 1 丁 十生盟 皇 三筹三罢三筹吾三芋妄 p e c 0 e 一 9 m 一丁2 一 l 丁 c 6 o e 一 9 m t e p p l 一 2 2 4 3 1 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 和 c e t 一亿 c t 一死 一 o e 一 一讫一 1 t 一 o e 一耵一 p 见一e t 正 死 由系统 4 1 6 的第一个方程和上面的不等式 能得到 堡笔堕 q e d o z t n 一p z 2 一r l p j 9 1 一 您 p 比一 z t 五十死 考虑下面的比较微分方程 堡甍2 q e d r lz t n 一p z 2 t 一r l p j d l 一 r 2 p 化一e z 4 3 2 由 4 3 1 和引理4 2 3 得出扣l i m z t 0 设扛 亡 c 0 亡 c e 是系统 4 1 6 的解 且x t 妒2 亡 一下 o z z 是系统 4 3 2 满足初始条件z t 妒2 亡 t t o 的 解 根据比较理论 得出 l i m z t 1 则存在正数q 便得系统 4 1 6 的任意正解 z c 0 亡 c e 当t 足够大时 满足x t q 其中 彤 r l 竺a 二 1 1 1 2 b p t r l a r 2 t 1 证明系统 4 1 6 的第一个方程能写成 百d x t q e 一机一p z 一r l c 0 z 一亿 r 2 c e t 一见 z t o l e d r l 夏d f 一tn z s d s 我们考虑系统 4 1 6 的任意解 z z c 0 c e t 定义 y t z 卜o l e 打 z s 瓠 t t 1 因为彤 1 我们能选择充分小的m 1 e 0 使得 r l a 篙r 2 杀b 1 1 r 2 e 1 4 3 3 一 7 我们能得出对所有的t t o 不等式z m 不成立 否则 存在正数t n 当所有 干扰作用下环境污染中种群动力学性质的研究 的t t o 时 x t 0 当t t 2 时 不等式 喀 亡 一e c 0 t c e 一e c e t t 2 下2 时 c 0 一死 t l a c e 亡一7 2 z t q e 一如 一z z t 一r l c o t 一见 一r 2 c e t 一丁2 z 一