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第 19 次作业答案 1 罗宾逊靠捕鱼为生 他的生产函数为F L 其中 F 是鱼的个数 L 是工作时间 他一天有 10 小时用于工作或者游泳 他对于鱼和游泳的效用函数为 U F S FS 其中 S 是游泳时间 问 1 最佳捕鱼量是多少 工作多少小时 2 有一天他自己玩家家 假装成立了一个追求利润最大化的企业来生产鱼 雇佣自己的劳动 然后再用工资从该企业买鱼 该市场被设为竞争型市场 问 相对 均衡价格是多少 此价格下的生产 消费 和工作量是多少 1 将预算约束条件代入目标函数 求一阶条件 2 这时经济被分成消费者和厂商两部分 消费者的问题是 厂商的问题是 所以有 市场均衡时 4 ds LL 结合 1 2 3 4 可以求出 2 罗宾逊每小时可以抓 4 条鱼 F 或者摘 2 个椰子 C 他一天工作 8 小时 礼拜 五每小时可以抓 1 条鱼 或者摘 2 个椰子 一天也工作 8 小时 罗宾逊和礼拜五的 效用函数都可以表示为 U F C FC 1 如果两人完全自己自足 各人的消费为多少 2 如果两人进行贸易 各人的生产和消费为多少 交易价格是什么 1 自给自足时 两个人分别求解最优化问题 对于罗宾逊 对于礼拜五 2 如果可以进行贸易 则存在一个均衡的价格 使得鱼和椰子都满足总供给 等于总需求 并且在这个价格下 罗宾逊和礼拜五的效用都是最大化的 假设鱼的价格为 P 椰子的价格为 1 这里同样要同时考虑消费和生产的 最优化问题 假设罗宾逊消费的鱼和椰子为 生产的鱼和椰子为 dd FC ss FC 礼拜五消费的鱼和椰子为 生产的鱼和椰子为 dd F C ss F C 则罗 宾逊的最优化问题为 0 0 ss FC 可以化简为 320 s F 礼拜五的最优化问题为 0 0 ss FC 同样可以化简为 80 s F 鱼市场的均衡要求 容易证明 两个市场中只要有一个 市场是均衡的 那另外一个市场也一定是均衡的 ds d FFFF s 我们这里要关注的就是 I II 两个最优化问题 对于罗宾逊 即问题 I Lagrange 函数为 0 0 0 5 0 d d FOC Cp F p 如果是内点解 对于礼拜五 即问题 II Lagrange 函数为 0 0 2 0 d d FOC Cp F p 如果是内点解 这样综合起来可以分为以下四种情况 1 2 3 4 0 0 s s FF 32 0 80 s s FF 320 0 s s FF 0 80 s s FF 很容易证明第 1 和第 2 种情况都是不可能的 对第 3 种情况 结合 FOC 条件和预算约束条件 易解得 由于解出的正好在边界上 所以不用再讨论32 s F 32 0 s s FF 这种角点解的 情况 对第 4 种情况 可以解得 同样由于解出的正好在边界上 所以不用再讨论 s 8F 0 8 s s FF 这种角点解 的情况 以上解出的是两个局部的最优解 通过它们之间的比较可以得出全
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