（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第30讲 数列求和优选学案.doc

第30讲数列求和考纲要求考情分析命题趋势1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.2017全国卷，172017山东卷，192017天津卷，18利用公式求数列的前n项和，利用常见求和模型求数列的前n项和.分值：5分1公式法与分组法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式sn_na1d_.等比数列的前n项和公式sn(2)分组法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组法分别求和后相加减2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧；.4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式sn较为合理()(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和sn.()(3)当n2时，.()(4)求sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(5)如果数列an是周期为k的周期数列，那么skmmsk(m，k为大于1的正整数)()解析(1)正确根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知(2)正确根据等比数列的求和公式和通项公式可知(3)错误直接验证可知.(4)错误含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分a0，a1，以及a0且a1三种情况求和，只有当a0且a1时才能用错位相减法求和(5)正确根据周期性可得2数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n(b)a9b99c10d100解析an，sna1a2a3an(1)()()1.19，即10.n99.3若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为(c)a2nn21b2n1n21c2n1n22d2nn2解析sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.4若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a3a10(a)a15b12c12d15解析an(1)n(3n2)，a1a2a1014710131619222528(14)(710)(1316)(1922)(2528)3515.5已知数列an的前n项和为sn，且ann2n，则sn_(n1)2n12_.解析ann2n，sn121222323n2n，2sn122223(n1)2nn2n1，得sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.sn(n1)2n12.一分组法求和分组法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组法求和【例1】 已知等差数列an满足a59，a2a614.(1)求an的通项公式；(2)若bnanqan(q0)，求数列bn的前n项和sn.解析(1)设数列an的首项为a1，公差为d，则由a59，a2a6 14，得解得所以an的通项公式an2n1.(2)由an2n1，得bn2n1q2n1.当q0且q1时，sn1357(2n1)(q1q3q5q7q2n1)n2；当q1时，bn2n，则snn(n1)所以数列bn的前n项和sn二错位相减法求和利用错位相减法求和的两点注意(1)在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“snqsn”的表达式(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解同时要注意等比数列的项数是多少【例2】 若公比为q的等比数列an的首项a11，且满足an(n3,4,5，)(1)求q的值；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和sn.解析(1)由题意易知2anan1an2，即2a1qn1a1qn2a1qn3.2q2q10，解得q1或q.(2)当q1时，an1，bnn，sn.当q时，ann1，bnnn1，sn102132nn1，sn1122(n1)n1nn，两式相减，得sn1nn，整理得snn.三裂项相消法求和常见的裂项方法数列(nn*)裂项方法(nn*)(k为非零常数)()其中a0，且a1logaloga(n1)logan【例3】 (2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，符合上式，从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为sn.由(1)知，则sn.1已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前9项和s9(b)a9b18c36d72解析a2a84a5，即a4a5，a54，a5b4b62b54，b52.s99b518.故选b2已知正项数列an满足a6aan1an.若a12，则数列an的前n项和sn_3n1_.解析a6aan1an，(an13an)(an12an)0.an0，an13an.又a12，an是首项为2，公比为3的等比数列sn3n1.3在数列an中，a11，an1ananan1.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlg，求数列bn的前n项和sn.解析(1)由题意得1.又因为a11，所以1.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，即an，所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)得bnlg nlg(n2)所以snlg 1lg 3lg 2lg 4lg 3lg 5lg(n2)lg nlg(n1)lg(n1)lg nlg(n2)lg 1lg 2lg(n1)lg(n2)lg.4(2017天津卷)已知an为等差数列，前n项和为sn(nn*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，s1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nn*)解析(1)因为b2b312，且b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.设等差数列an的公差为d，由b3a42a1，可得3da18，由s1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以an的通项公式为an3n2，bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为tn，由a2n6n2，有tn4210221623(6n2)2n，2tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1，上述两式相减，得tn4262262362n(6n2)2n14(6n2)2n1(3n4)2n216.所以tn(3n4)2n216.所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.易错点小题大做错因分析：求an或sn的选择题，可用特殊值间接排除错误选项，做到小题小做【例1】 设f(n)2242721023n10(n3，且nz)，则f(n)()a(8n1)b(8n11)c(8n31)d(8n41)解析 方法一1312,3n103(n4)2，所以f(n)是首项为2，公比为8的等比数列的前n4项的和由求和公式得f(n)(8n41)故选d方法二由f(n)2242721023n10，得f(3)2，在所给选项中，满足f(3)2的只有d项故选d答案d【跟踪训练1】 (b)abcd解析当n1时，原式的值为，排除a，c，d项故选b课时达标第30讲解密考纲考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、利用sn与an的关系求通项公式、裂项相消法和错位相减法求前n项和，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置一、选择题1数列an的前n项和为sn，若an，则s6(d)abcd解析因为an，所以s611.2已知sn，若sm10，则m(c)a11b99c120d121解析因为，所以sm1.由已知得110，所以m120.故选c3在数列an中，已知a11，an1ansin，记sn为数列an的前n项和，则s2 018(d)a1 006b1 007c1 008d1 010解析由题意，得an1ansin，所以a2a1sin 1，a3a2sin0，a4a3sin 20，a5a4sin1，因此数列an是一个以4为周期的周期数列，而2 01845042，所以s2 018504(a1a2a3a4)a1a21 010.故选d4已知等差数列an的前n项和为sn，a55，s515，则数列的前100项和为(a)abcd解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，s515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.5数列an的通项公式an ncos，其前n项和为sn，则s2 018(b)a2 017b1 010c504d0解析因为anncos，所以当n为奇数时，an0；当n为偶数时，an其中mn*.所以s2 018a1a2a3a4a5a2 016a2 017a2 018a2a4a6a8a2 016a2 01824681012142 0162 018(24)(68)(1012)(2 0102 012)(2 0142 016)2 01825042 0181 010.故选b6已知数列an满足a11，an1an2n(nn*)，sn是数列an的前n项和，则s2 018(b)a22 0181b321 0093c321 0091d322 0182解析依题意得anan12n，an1an22n1，于是有2，即2，数列a1，a3，a5，a2n1，是以a11为首项、2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，a2n，是以a22为首项、2为公比的等比数列，于是有s2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)321 0093.故选b二、填空题7在数列an中，an，又b