（应用数学专业论文）弱群余环的结构及其应用.pdf

摘要 本文主要研究 弱 群余环的基本结构及其性质 作为应用 我们讨论了它在m o r i t a 关系和g a l o i s 理论等方面的结果 分为六章 第一章简要介绍了余环及h o p f 代数的历史背景 研究现状和本文的研究结果 第二章主要研究e n t w i n e d 模的某类内变换及其单性理论 我们的主要结果既可用 来研究各种h o p f 模的内变换又可研究由冲积构造的一大类h o p f 代数的不可约表示 作 为一个具体的应用 我们考虑了量子y e t t e r d r i n f e l d 模 第三章主要推广了c a e n e p e e l 2 4 1 的工作 首先 我们引入了l a x 群余环的概念 并 通过考虑具有算子代数背景的l a x 群e n t w i n i n g 结构和部分的群e n t w i n i n g 结构 我们给 出了一大类l a x 群余环的例子 其次 在l a x 群e n t w i n i n g 结构上 我们考虑了两种不同 的模范畴m 妒 譬和m 矽 二 即关于l a x 群e n t w i n i n g 结构的群余环上的 群 余模范 畴 最后 我们研究了丌 分次的a 一环a p 4 c 上的7 r 一分次模范畴a p g c m 霄 并证明了 它同构于范畴m 矽 r g 而且 如果丌是有限群 那么范畴a p l o 朋和m 妒 譬是等价 的 第四章首先研究弱h o p f 代数上的弱h o p fg a l o i s 扩张和弱c l e f t 扩张 并在此基础 上给出了对于量子群胚上的弱冲积的n i k s h y c h 对偶定理的一种新的证法 其次 我们引 入了弱h o p f 余模代数上的弱广义冲积的概念 并研究了此类弱广义冲积之间的同构 最 后作为应用 我们得到了对于弱冲积的一个新的对偶定理 第五章通过结合弱h o p f 代数和h o p f 群余代数两种情况 发展了弱h o p f 群余代数 上的弱h o p f 余模似的代数的m o r i t a 关系和h o p fg a l o i s 理论 并在更一般的弱群余环 的情况下研究了m o r i t a 关系和h o p fg a l o i s 理论 设日是交换环k 上的具有双射反对极的h o p f 丌 余代数 a b 是右7 r 一日一余模似 的代数 第六章讨论了双边相关7 r 一 h a b 一h o p f 模 并证明了当a 是忠实平坦的7 r 日一 g a l o i s 扩张时 范畴a 口h b 印朋和j 4 m f 月之间的伴随函子 f 3 a b p o a q 片b 一 g 3 一 c 哪 是等价的 进一步的 我们还得到了如果a 和口都是忠实平坦的丌 h g a l o i s 扩 张 那么范畴 m o r i t a h a b 和 m o r i t a 口 r h a c o 日 b c d 日 是等价的 关键词 弱h o p f 代数 弱h o p fg a l o i s 扩张 n i k s h y c h 对偶定理 l a x 群余 环 内变换 e n t w i n e d 模 弱群余环 分次m o r i t a 关系 h o p f 群g a l o i s 扩张 m o r i t a 等价 a b s t r a c t t h em a i na i mo ft h i st h e s i si st os t u d yt h eb a s i cs t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e so f w e a k g r o u pc o r i n g s a sa p p l i c a t i o n s w ec o n s i d e ro u rt h e o r yi nt h es e t t i n go fh o p fg a l o i s e x t e n s i o n m o r i t ac o n t e x ta n ds oo n t h i st h e s i sc o n s i s t so fs i xm a i nc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w eg i v eac o m p r e h e n s i v es u r v e yo ft h eb a c k g r o u n d sa n dm o d e r nd e v e l o p m e n t so fc o r i n ga n dh o p fa l g e b r a s a tl a s t w es h o wt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s c h a p t e r2i sd e v o t e dt os t u d y i n gc e r t a i nf a m i l i e so fi n n e rd e f o r m a t i o n so fe n t w i n e d m o d u l e sa n di n v e s t i g a t i n gs i m p l ee n t w i n e dm o d u l e s o u rm a i nr e s u l t sc a nb ea p p l i e d t ot h es t u d yo ft h ei n n e rd e f o r m a t i o no fa l lk i n d so fh o p fm o d u l e sa n dt h ei r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n so faw i d ec l a s so fh o p fa l g e b r a sc o n s t r u c t e db ys m a s hp r o d u c t s a sa n e x p l i c i ta p p l i c a t i o n w ec o n s i d e rt h ee a s eo fq u a n t u my e t t e r d r i n f e l dm o d u l e s i nc h a p t e r3 a sag e n e r a l i z a t i o no ft h en o t i o no fag r o u pc o r i n gi nt h es e n s eo f c a e n e p e e le ta 1 2 4 w ei n t r o d u c et h en o t i o no fal a xg r o u pc o r i n g f i r s t l y w ep r o v i d ea l a r g ec l a s so fe x a m p l e so fs u c hal a xg r o u pc o r i n gb yc o n s i d e r i n gs o c a l l e dl a xg r o u pe n t w i n i n gs t r u c t u r e sa n dp a r t i a lg r o u pe n t w i n i n gs t r u c t u r e sa s s o c i a t e dt oo p e r a t o ra l g e b r a s e c o n d l y o v e ral a xg r o u pe n t w i n i n gs t r u c t u r eo n ec a nc o n s i d e rt w od i f f e r e n tc a t e g o r i e so f m o d u l e s 朋 妒 譬a n dm 妒 r c w h i c ha r ei nf a c tn o t h i n ge l s et h a nc a t e g o r i e so f g r o u p c o m o d u l e so v e rt h eg r o u pc o r i n go n ec a na s s o c i a t et oe a c hl a xg r o u pe n t w i n i n gs t r u c t u r e f i n a l l y w es t u d yt h ec a t e g o r ya p 口c m o f7 r g r a d e dm o d u l e so v e rt h e7 r g r a d e da r i n g a p 8 c a n ds h o wt h a ti ti si s o m o r p h i ct ot h ec a t e g o r ym 妒 r c m o r e o v e r i f7 ri sa f i n i t eg r o u p t h e nw eh a v ea ne q u i v a l e n c eo fc a t e g o r i e sb e t w e e na 吲伊ma n dm 妒 异 i nc h a p t e r4 w ep r o v i d ean e wm e t h o dt op r o v et h ed u a l i t yt h e o r e mo fn i k s h y c hf o r w e a ks m a s hp r o d u c t so v e raq u a n t u mg r o u p o i db ys t u d y i n gw e a kh o p fg a l o i se x t e n s i o n s a n dw e a kc l e f te x t e n s i o n sf o rw e a kh o p fa l g e b r a s f u r t h e r m o r e w ei n t r o d u c et h en o t i o n o faw e a kg e n e r a l i z e ds m a s hp r o d u c tf o raw e a kh o p fc o m o d u l ea l g e b r aa n di n v e s t i g a t e s o m ei s o m o r p h i s m sb e t w e e ns u c hw e a kg e n e r a l i z e ds m a s hp r o d u c t s a sa na p p l i c a t i o n w eg e tan e wd u a l i t yt h e o r e mf o rw e a ks m a s hp r o d u c t s i nc h a p t e r5 w ed e v e l o pm o r i t ac o n t e x ta n dh o p fg a l o i st h e o r yf o rw e a kh o p f c o m o d u l e l i k ea l g e b r a so v e rw e a kh o p fg r o u pc o a l g e b r a sb yc o m b i n i n gt h ee a s eo fw e a k h o p fa l g e b r a sw i t ht h ec a s eo fh o p fg r o u pc o a l g e b r a s w ew i l ls t u d yt h i sq u e s t i o ni nt h e m o r eg e n e r a ls e t t i n go ft h er e c e n t l yi n t r o d u c e dw e a kg r o u pc o r i n g s i nc h a p t e r6 1 e thb eah o p f 丌一c o a l g e b r ao v e rac o m m u t a t i v er i n gkw i t hb i j e c t i v e a n t i p o d es a n daa n dbr i g h t7 r h c o m o d u l e l i k ea l g e b r a s w es t u d yt h en o t a t i o no f t w o s i d e dr e l a t i v e7 r 一 日 a b 一h o p fm o d u l e w es h o wt h a tt h ep a i ro fa d j o i n tf u n c t o r s 毋 a b 叩 a 口片b 一 g 3 一 日 b e t w e e nt h ec a t e g o r i e sa ll h b p 3 ta n da m 矿h i sa p a i ro fi n v e r s ee q u i v a l e n c e s w h e nai saf a i t h f u l l yf i a t7 r h g a l o i se x t e n s i o n f u r t h e r m o r e t h ec a t e g o r i e s m o r i t a 7 一日 a b a n dm o r i t a u r 日 一 ba x ef a i t h f u l l yf i a t 氤一h g a l o i se x t e n s i o n s a 洲 b h a r ee q u i v a l e n t i fa a n d k e y w o r d s w e a kh o p fa l g e b r a w e a kh o p fg a l o i se x t e n s i o n n i k s h y c h s d u a l i t yt h e o r e m l a xg r o u pc o r i n g i n n e rd e f o r m a t i o n e n t w i n e dm o d u l e s w e a kg r o u p c o r i n g g r a d e dm o r i t ac o n t e x t h o p fg r o u pg a l o i se x t e n s i o n m o r i t ae q u i v a l e n c e i n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名t日期 i 印堡 二 哆 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括 刊登 论文的全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权东南大学研究生院办理 研究生签名t导师签名s日期 驴 m y l 第一章绪论 1 1 课题背景及发展状况 在1 9 9 9 年 为了发展量子齐性空间上的群规范理论 b r z e z i 吮s k i 和m a j i d 研究了 余代数丛 见文献 1 7 这一理论对规范理论做了概括 并且 还引入了带有e n t w i n i n g 映射妒的e n t w i n i n g 结构 此外 为了构造更多的例子 他们又引入了任意余代数上的 余代数一g a l o i s 扩张 见文献 17 这一理论是h o p f g a l o i s 扩张的自然推广 并证明了 这样定义的余代数 g a l o i s 扩张总可以诱导唯一的相容e n t w i n i n g 映射砂 我的导师王 栓宏又研究了这些理论在群e n t w i n i n g 结构下的结果 见文献f 6 4 1 2 0 0 0 年 为了统一 b r z e z i i l s k i m a j i d 的e n t w i n e d 模 见文献 1 7 和b s h m 的弱d o i h o p f 模 见文献 1 1 c a e n e p e e l 和g r o o t 研究了弱e n t w i n i n g 结构 弱e n t w i n e d 模和弱冲积 见文献 2 1 此 后 c a e n e p e e l 和j a n s s e n 又引入了与算子代数中的部分群作用密切相关的l a xe n t w i n i n g 结构 l a xe n t w i n e d 模和部分的e n t w i n i n g 结构 见文献 2 3 e n t w i n e d 模的出现包括了许多模结构 例如 余模结构 分次模结构 l o n g 模结 构 著名的s w e e d l e r 相关h o p f 模结构 d o i h o p f 模结构及其y e t t e r d r i n f e l d 模结构 见 2 6 1 与此同时 著名的数学物理学家t u r a e v 把3 维流行的量子不变量推广到了含 参变量的映射的同伦类的3 维流行的情况中去 而且 这个群上的交叉范畴在这些同伦不 变量的结构中起着重要作用 所有这些概念都与一类重要的余环密切联系 余环作为余 代数的一种推广 最早是由s w e e d l e r 在1 9 7 5 年提出的 在当时并没有引起足够的重视 而t a k e u c h i 研究发现上述所有的模都是某一个余环上的余模 见 5 7 这一发现又重新 引起了数学家们对余环理论研究的兴趣 之后b r z e z i c t s k i 又进一步研究了余环的结构 见 1 6 并指出余环的许多例子都可以由e n t w i n i n g 结构来构造 而且对于e n t w i n e d 模的许 多结构定理都是某一个余环上的余模的结构定理的特殊情况 并最终证明了弱e n t w i n i n g 结构上的模范畴等价于某一个余环上的余模范畴 这一切都使得余环理论的研究变得尤为重要 值得一提的是余环可以用来解释著名 的j a c o b s o n b o u r b a k i 定理的对偶形式 例如我们可以利用余环理论来研究g a l o i s 理 论 m o r i t a 关系 d e s c e n t 理论 o b e n i u s 函子 对偶定理和m a s e h k e 型定理等等 见 2 6 本篇博士论文主要来研究 弱 群余环的基本结构性质及其在g a l o i s 理论 m o r i t a 关系等方面的应用 2 0 世纪4 0 年代初 h o p f 在研究拓扑群的上链时构造了一类较为复杂的代数结构 1 2 东南大学博士学位论文 一h o p f 代数 1 9 6 5 年 m i l n o r 与m o o r e 的开拓性文章 o nt h es t r u c t u r eo fh o p f a l g e b r a 4 8 的发表奠定了h o p f 代数的基础 此后 h o p f 代数引起数学家的广泛关注 特别是近二十年来 前苏联数学物理学家d r i n f e l d 有关量子群的引入 伴随着k a p l a n s k y 某些猜想的部分解决 h o p f 代数的结构日臻完善 其理论亦获得发展 逐渐发展成为成 熟的一个代数分支广泛应用于表示论 流形 李代数 组合数学 拓扑量子场论以及算子 代数等 h o p f 代数的发展 即比h o p f 代数结构弱 又与h o p f 代数紧密相关的代数结构 至 今有很多方向的推广 丰富了h o p f 代数的理论 第一 量子群胚是h o p f 代数很重要的一种推广 弱h o p f 代数或量子群胚 见 5 0 是h o p f 代数 群胚代数的推广 它的具体定义可见 1 3 弱h o p f 代数与h o p f 代数相同 的是 它同时具有代数与余代数结构 相比h o p f 代数弱的条件是余乘 余单位的乘法及 反对级的性质 所以在具体计算中计算量及计算难度都比h o p f 代数情形增加许多 第二 t u r a e v 5 9 首先引进了h o p f 丌 余代数的概念 2 0 0 2 年 v i r e l i z i e r 在文 献 6 2 中首先从代数的角度对h o p f7 r 余代数作了系统的研究 2 0 0 6 年 c a e n e p e d 等 人 2 5 对h o p f 丌 余 代数给出了一种新的解释 他们通过构造两类特殊的范畴t u r e a v 范畴和z u n i n o 范畴 证明了h o p f 什 余 代数正是z u n i n o 范畴中的h o p f 代数 这使得 h o p f7 r 余 代数的结构有更清楚的描述 第三 自1 9 7 5 年s w e e d l e r 提出余环的概念以来 余环理论被诸多数学家发展和完 善 它是余代数的推广 e n t w i n e d 模作为l o n g 模 y e t t e r d r i n f e l d 模和d o i h o p f 模 的统一 事实上是一类特殊余环上的余模 所以研究更广的 弱 群余环的结构性质及其 应用是十分有意义的 1 2 本文的主要结论 本文主要研究 弱 群余环的基本结构及其性质 作为应用 我们讨论了它在m o r i t a 关系和g a l o i s 理论等方面的结果 1 2 1 e n t w i n e d 模的内变换和它的单性 z h a n g 在文献 6 9 中引入了关于群分次代数的扭曲代数的概念 之后 b e a t t i e 等 人在文献 7 8 中给出了一个扭曲映射并研究了h o p f 余模代数和相关h o p f 模的扭曲理 论 丰富了 6 9 的结果 文献 5 4 中 r a d f o r d 建立了分次h o p f 代数d r i n f e l dd o u b l e 的单模理论 第一章绪论 本章的想法是考虑上面这些概念理论在e n t w i n e d 模中是否存在与成立 受f 7 8 5 4 6 9 1 的启示 本章的第一部分研究了e n t w i n e d 模的内变换 第二部分建立了构造单的 e n t w i n e d 模的方法 这一概念理论将r a d f o r d 5 4 的结果从单y e t t e r d r i n f e l d 模推广到 了e n t w i n e d 模 最后 我们应用前面所得到的e n t w i n e d 模的内变换和单性理论到 种 特殊的量子y e t t e r d r i n f e l d 范畴 并得出了一些有趣的例子 第一部分 引入了一个与余代数相关的代数的内变换映射的概念 见定义2 2 2 设 a d 妒 是一个左 右e n t w i n i n g 结构 z 是g 的群象元 我 们称线性映射r c e n d a 为a 的一个内变换映射 如果等式 2 1 1 和下面的条 件满足 7 c 6 a 7 c 丁 6 妒口 t c l 妒 6 1 f 1 7 c 2 o 妒7 c 2 o qc l 妒 7 c 1 1 f n oc 2 妒 一1 o 妒c bo 下 z 口口 御6o c 妒 对于所有的a b a c c 这里矽 p 研究了e n t w i n e d 模的内变换理论 将 7 8 的关于相关h o p f 模的主要结果推广到 了e n t w i n e d 模上 见定理2 2 5 1 a r m 7 的定义如上所示 设 a c 矽 是一个e n t w i n i n g 结构 z 是c 的群像元 设m m g 妒 那么一 1 如果映射7 c 啼e n d a 是a 的一个内变换映射 那么 a 7 c 妒 就是一个 左一右e n t w i n i n g 结构 2 如果映射丁 c 斗e n d a 是a 的一个内变换映射 那么m r 是印m g 妒 中的 个对象 反之 如果 是 个带有单位元1 a 的结合代数并使得 a r c 妒 是一 个左一右e n t w i n i n g 结构 并且n 7 朋c 妒 对于任意的n a m c 妒 那么映射 1 c e n d a 是a 的一个内变换映射 3 如果映射7 c 一e n d a 是a 的一个内变换映射 那么我们有下面的函子t b 朋c 妒 一a 朋c 妒 这里 耳 m m 下 对于所有的m a m c 矽 并且b 对于所有的态射 m c 矽 4 如果7 存在卷积逆a 那么a 满足对于 的等式 2 1 6 和 2 1 7 并且 a r a a 此时 函子b 朋c 妒 一印 v l c 妒 是范畴的等价 其逆为r 小m c 妒 啼 a m c 妒 口 3 4 东南大学博士学位论文 见定理2 2 9 设 a c 矽 是一个e n t w i n i n g 结构 那么 1 假定7 是一个对于a 的变换 那么等式 2 2 1 所定义的尹是一个从c o n v 妒 c a 7 到c o n y 妒 c a 的代数映射并且图 2 2 0 是交换的 这里b a 下 三 宇 此外 d r ao 宇 d r a t 宇os a r 7 2 设b a 是另一个代数 带有基空间a b c 矽 是另一个e n t w i n i n g 结构 带有相同的结构映射矽 假定存在一个代数映射三 c o n v 妒 c b 呻c o n v 妒 c a 使得 图 2 2 0 交换 那么存在a 的一个变换7 使得b a r 作为代数 口 第二部分研究了e n t w i n e d 模的单性 给出了构造单的e n t w i n e d 模的方法 见定理2 3 2 设a o 甚o a n 是一个分次代数 c 0 墨o q n 是一个分 次余代数并使得q o 是余交换的 假定 a c 砂 是一个左 右e n t w i n i n g 结构并使得 妒 a n oq o 件 j na oq j 妒 在a o oq o 上 那么我们有 a 设x a 斗k 是一个分次代数映射 是c 的单右余理想 那么q n a x n 是一个单的e n t w i n e d 模 b 设a x a 呻k 是分次的代数同态 m 是c 的单右余理想 那么a m 垒 q n 当且仅当a x 和m n c 设7 是c o n v c e n d a 中卷积可逆的元素 并使得7 q m a 住 a m n 对 于所有的m n z z 是a c 的群像元 设x a 1 斗k 是分次代数同态 并且 是 c 的单的右分次余理想 那么c r a r xn 就是a r m 矽 c 中单e n t w i n e d 分次模 即 既是分次的a r 一模 也是分次的d 余模 口 根据上面的方法 我们给出了一类单e n t w i n e d 模的例子 见定理2 3 3 设a 0 o o oa n 是 个分次代数 使得a n a n 1 0 对于某一个n 0 a o 望k k 作为代数 设c 0 县oc n 是一个分次余代 数 使得q o k g 这里g 是有限交换群 假定似 c 妒 是一个e n t w i n i n g 结构使得 妒 a n oq o 州 na t q j 并且纵 c 那么 a 在集合a t g a k g a t g a k a c 的迪卡尔积和单的e n t w i n e d 模集合 q 之间存在一个一一对应 a z g a k g q x z h q 鼬 b 设7 是c o n v c e n d a 中的卷积可逆元素 使得7 q m a n a m 1 对于 所有的m 礼 z z 是c 中的群像元 那么在集合a i g a l k g a t g a 7 k a c 第一章绪论 的迪卡尔积和q a r m 矽 c 中的单e n t w i n e d 模集合之间存在一个一一对应 a f 9 a 7 k g q 7 x z h q 配 口 最后 我们将e n t w i n e d 模的单性理论应用到了一类特殊的量子y e t t e r d r i n f e l d 模 得出了相应的理论 见定理2 4 2 设日 0 器oh 是一个分次双代数 h o p 是分次h o p f 代数 a 0 n o o oa n 是日一双余模分次代数 假定甄o 是日叩的余交换的h o p f 子代数 并 且a f o a o 那么 a 设x a jk 是分次代数同态 是日的单右余理想 那么圾 n a xn 是aq y d 月中的单量子y e t t e r d r i n f e l d 模 b 设入 x a k 是分次代数同态 m 是日的单右余理想 那么h x 肘竺巩 当且仅当a x 和m n c 设7 是c o n v h e n d a 中的卷积可逆元 使得7 甄m a n a h 对于 所有的m n z 且z g h 设x a 7 斗k 是分次代数同态 是日的单右余理 想 那么h i a 7 xn 是小m 妒 g 中的单量子y e t t e r d r i n f e l d 分次模 口 见定理2 4 3 设h 0 是 甄 是一个分次双代数 日叩是分次h o p f 代数 设c o o o oq n 是一个h 一双模分次余代数 假定q o 是日印的余交换的 i o p f 子代 数 并且q o c ch c c 那么 a 设x h 斗七是 个分次代数同态 是c 的单右余理想 那么q h x n 是日q y d c 中的单量子y e t t e r d r i n f e l d 模 b 设入 x h k 是分次代数同态 m 是c 的单右余理想 那么c x m 兰q 当且仅当入 x 和m n c 设7 是cd n v c e n d h 中的卷积可逆元 使得7 q 仇 峨n 峨m 相 对于 所有的m n z 并且z g g 并设x h r 呻k 是分次代数同态 是c 的单右 余理想 那么q h 7 xn 是h r m 矽 g 中的单量子y e t t e r d r i n f e l d 分次模 口 应用上面的理论 我们具体了计算了两个单量子y e t t e r d r i n f e l d 模的例子 见命题2 4 4 设1 q 时 a 峨 h 凰 m 和x a l g a k 那么 1 假定x g q 一一 对于所有的r 0 那么上k k h 是无限维的 h g 并带有 基 危 z xh z 2 h 2 假定x g g 一叶对于某个r 0 使得r 是最小的整数 那么上k k h 是 r 1 维的 h g 并带有基 h z xh z 2 xh 矿 x 九 这里z 件1 xh 0 5 6 东南大学博士学位论文 3 设7 是c o n v h e n d a 中的卷积可逆元 使得7 日 m a a r e n 对 于所有的m n z 假定x g q 一 对某个7 0 使得r 是最小的整数 那么 娥 k h a 7 xk h 是 r 1 一维的 h 9 2 并带有基 h x xh x 2 xh x x x r 1 x h 0 这里a 7 的乘法为 o z a x r x g n 一7 9 z o 9 对于所有的a a 见命题2 4 5 设1 q 科 a b q m h 凰 m 和x a l g a k 那么 1 假定x g q 件 对于所有的r 兰l m o d 3 那么巩 k h 是无限维的 h 夕f 并带有基 y xh y 2 xh 2 假定x g q t 研对某个7 兰t m o d 3 使得7 是最小的整数 那么王k k h 是 丁r 2 一维的 h g 并带有基 h y x y 2 xh 秒寻 x y 字 xh 0 3 设下是c o n v h e n d a 中的卷积可逆元 使得7 皿 a a r e n 对于 所有的m n z 假定x g 口f 肿对某个r 三l m o d 3 使得r 是最小的整数 那么 h x v k a 7 xk 是字一维的 h g 并带有基 y h y 2 xh y 宁 x 九 可字 h 0 这里a 7 的乘法为 o y a y r y g l m o 9 m q t r y g 一m n 对于 所有的a a 口 1 2 2l a x 群余环 一方面 引入了l a x 群余环的概念 并通过考虑l a x 群e n t w i n i n g 结构和部分的e n t w i n i n g 结构构造了一大类l a x 群余环的例子 另一方面 研究了l a x 群余环的结构性 质 并将它运用到h o p f 群余代数的理论中 得到了一些重要的结论 首先 给出l a x7 r a 一余环的定义 见定义3 2 1 我们称c c e 是一个左单位的l a x7 r a 一余环 如果堡 但 幺 口 仃 色 口 a 卢 霄 o6 1 是一个7 r a 余环 这就等价于等式 c e c 1 1 c 2 a c o 口 e c 2 1 成立 对于所有的c 厶和q 7 r 研究了l a x7 r a 余环和它的对偶l a x 丌 a 一环之间的关系一 见命题3 2 6 假定c c a e 是一个左单位的l a x 丌 小余环 那么 c 冗 冗口 p 卢 q 胀 7 7 是 个右单位的l a x 丌一a 环 并且7 r a 环 或者7 r 分次a 一 环 盈 篁和 堡是同构的 这里 堡 o 口 霄a h o m 厶一 a 是文献 2 4 意义下的丌 a 一 余环鱼的一个左对偶丌一分次a 一环 并且有幺一 艮一 1 a 口 通过考虑l a x 群e n t w i n i n g 结构给出了一大类l a x 群余环的例子 第一章绪论 见定理3 3 4 设a 是一个k 一代数 c g 以 廖 e 口 卢 是一个k 上7 r 一余 代数 假定a c ao 瓯 是一族a 一双模并使得左作用是标准的 对于所有的 口 7 r 考虑下面的左a 一线性映射 a a 卢 ao 以卢一ao 瓯o aa o 竺a 瓯oo a a 卢 口oc aoc o a 圆a 1 aoc 2 卢 竺 ooc 0 1 ao c 2 卢 apc 1 叫 aoa 1 a 叫a qqc aqe o c 1 a 这里ao 巴 ao 1 那么下列两点等价 1 aoc a p 口 胀丌 是一个左单位的l a x7 r a 一余环 2 存在一族k 一线性映射矽 九 qq a 斗ao g a 白使得 a c 妒 是一个 l a x 群e n t w i n i n g 结构 口 对于一个l a x 群e n t w i n i n g 结构 我们得到了两个不同的范畴同构 见命题3 3 5 对于 个l a x7 r e n t w i n i n g 结构 g 啦 我们有两个不同的范畴的 同构 分别为 1 范畴a 霄一 和m 矽 r d 是同构的 2 范畴a c 和朋 妒 譬是同构的 口 研究了l a x 群冲积和部分的群冲积结构 证明了a p 8 c 上的丌 分次模范畴a o p n c 朋丌 同构于范畴m 妒 c 特别的 如果群7 r 是有限的 那么范畴a o p h c m 与m 妒 譬也是 同构的 见命题3 4 7 假定a 是一个肛代数 c 瓯 a q p q 卢 霄是一个有限型的 7 r 一余代数 设 a c 妒 是一个l a x7 r e n t w i n i n g 结构 a 印 c r 是对应的l a x7 r 一冲积 结构 那么作为左单位的l a x7 r a o p 一环 c 印同构于a p l c 作为丌 a 吼环 或者 丌一分次a 印一环 ag e 印同构于丛坐 因此 我们有范畴生 坚 朋霄和m 妒 r c 是同构的 而且 如果7 r 是有限群 那么范畴a p c 3 4 和m 砂 写是等价的 口 1 2 3 弱h o p fg a l o i s 扩张和n i k s h y c h 对偶定理 m b e a t t i e 6 将一般的冲积同构 a 带 移日 兰ao 打社日 推广到了对于h 一余 模代数的右冲积上 作为t a k e s a k i 对偶的弱的情况 d n i k s h y c h 在 4 9 中将一般的 h o p f 代数的冲积推广到了弱h o p f 代数的弱冲积a 轷 h 上 这里a 是弱h o p f 代数日 上的弱h o p f 模代数 并证明了下面的对偶定理 在本文中我们称这些同构为n i k s h y c h 7 8 东南大学博士学位论文 对偶 a 群 h 舞 h 兰e n d a t h a 喾ao h 榉 h 竺aoe n d h h 篝螈 a 受以上文献的启示 本章中我们研究了弱h o p f 代数背景下的弱h o p fg a l o i s 扩张和 弱c l e f t 扩张 并将上面的同构推广到了基于 6 的弱h o p f 余模代数上的弱广义冲积上 特别地 我们给出了n i k s h y c h 对偶定理的一种新的证法 并得到了对于弱冲积的一个新 的对偶定理 我们首先引入弱积分和弱c l e f t 的定义 给出了弱c l e f t 扩张与弱g a l o i s 扩张的关系 见定理4 2 6 设日是一个弱h o p f 代数 a 是h 一余模代数 如果a 是弱c l e f t 那么a 就是一个a c 讲上的弱h g a l o i s 扩张 口 给出了一种重要的左强相关内作用t 见定理4 2 9 设日是一个带有反对极s 的弱h o p f 代数 a 是一个弱c l e f th 一 余模代数 假定存在一个元素u w c h a 使得u 是代数同态 令 u os 考虑映 射j a c d 一a 日 a u 1 1 a v 1 2 令不鬲 a c d h k e r j 那么我们有一个h 在a c 0 h 上的左强相关内作用 由下式给出 h a u h 1 a v h 2 1 对于所有的h h 和a a c o h 口 构造了弱广义冲积之间的一些同构 见定理4 3 9 假定a 是左弱h 模代数 b 是左弱厶日一d i 模代数 c 是左弱 l 余模代数 那么映射 o 社尸6 弗f chn 桦尸 滞f c 是从 a h b l c 到a 榉八h 开z l c 的 个自然同构 这里弱冲积 a h b 和 b t r c 的左厶模结构和左日一余模结构分 别由引理4 3 8 1 和 2 给出 口 见定理4 3 1 3 假定a 是左弱何 模代数 b 是弱日一厶双余模代数 c 是右 弱l 模代数 那么映射 o 桦 6 弁 chn 移尹 6 券i c 是从 a h b l c 到a h b l c 的自然同构 这里冲积 a h b 和 b l c 的右厶余模结构和左日 余模结构分别由 引理4 3 1 1 和引理4 3 1 2 给出 口 给出了n i k s h y c h 对偶定理的一种新的证法 并得到了弱广义冲积的一个新的同构 见定理4 4 7 设日是有限维的弱h o p f 代数 假定a 是一个左弱日一模代数 那么 1 a h a 舞尸日是a 上的弱h g a l o i s 扩张 而且 a 群h 轷 竺e n d a h a 第一章绪论 2 我们有同构 a 齐尸日 襻备 h 竺a e n d h g t 其中口的定义见命题4 2 1 0 的证明 口 1 2 4 弱群余环上的m o r i t a 关系和g a l o i s 理论 本章中作者在 3 8 中引入了弱群余环的概念 这一概念推广了弱群e n t w i n i n g 结构 3 9 弱余环 6 8 和群余环 2 4 c a e n e p e e l 等人在 2 2 中研究了基于余环的弱h o p f 代数的h o p fg a l o i s 理论 王栓 宏在 6 6 中研究了关于i i o p f 群余代数的m o r i t a 关系和群g a l o i s 扩张 很自然的 本章 的主要想法是考虑发展对于弱h o p f 群余代数的m o r i t a 关系和h o p fg a l o i s 理论 首先 我们引入了g a l o i s 弱群余环的定义 见定义5 3 6 设 x 是一个带有群像元x x a 口 丌 a c a 的弱7 r a 一余环 互 叫做 个g a l o i s 弱群余环 如果 c a 1 1 旦 ao c o a 7 r a f 丛 是一个群余环的同构 口 导出了但 笙 成为g a l o i s 弱群余环的等价条件t 见定理5 3 9 设 曼 互 是一个带有群像元x z a n a 堡4 的弱7 r a 一余环 i b a 噬是环同态 那么下列各点等价 1 b 型a 噬 堡 曲是g a l o i s 弱群余环并且a 是忠实平坦的左b 一模 2 碍 g 是范畴朋b 和j r a c a 之间的等价函子 a 是平坦的左b 一模 口 其次 研究了对于弱群余环的m o r i t a 关系和分次m o r i t a 关系 并导出了p 是满射 的一些充分必要条件 见定理5 4 4 假定堡是左单位的左齐次有限的弱丌 小余环 考虑同构的m o r i t a 关系m 和m 7 t r a r a a 0 0 7 r 一 p p 那么下列各点等价t 1 p 0 a 斗a r a 是满射 也是双射 2 堡 z 满足弱结构定理 即 函子g 一 啦 t c 一m t 是完全忠实的 也就是说 对于所有的m 朋 余单位映射锄 m 噬o t a 啼m 锄 m o t a m a 是同构 3 a 是右a 冗a 一生成子 4 a 作为左口模是投射的 7 r 是双射 9 1 0 东南大学博士学位论文 5 a 作为左正模是投射的 7 r 是单射 并且k 是满射 6 o 作为右t 一模是投射的 7 r 7 是单射 并且k 是满射 7 a 作为左p 模是投射的 z 是g a l o i s 弱群余环 口 应用前面的理论到弱h o p f 群余代数的情况