（应用数学专业论文）二型模糊逻辑系统的降型与推理模型研究.pdf

中文摘要 摘要 二型模糊集合是一型模糊集合的推广 并由主 次两个隶属度来刻画其性质 这种推广增强了模糊集合对模糊现象的描述能力 拓展了模糊集合的使用范围 本文对二型模糊集合的概念和运算性质进行了比较详细的研究 进而研究了二型 模糊逻辑系统的组成 并讨论了推理引擎及降型 二型模糊集合的许多性质都是由一型模糊集合的性质推广而来的 一方面 z a d e h 的扩展原则在这个推广过程中起到了关键性作用 利用扩展原则可以将一型 模糊集合的运算和质心计算公式合理地推广n 型的情况 另一方面 利用嵌入 式二型模糊集合也可以将一型模糊集合的运算推广 n 型的情况 并且与扩展原 则所得到的结果完全一致 本文利用嵌入式二型模糊集合将一型模糊集合的质心 推广n 型的情况 并得到了与扩展原则所得结果完全一致的质心计算公式 二型模糊逻辑系统继承了一型模糊逻辑系统各个模块的主要功能和特点 但 由于二型模糊逻辑系统内部参与运算的是二型模糊集合 因而各个模块的具体操 作与一型模糊逻辑系统又有所不同 由于二型模糊集合的运算与一型模糊集合的运算存在很大的不同 因此推理 引擎的运算方式也有所区别 本文将一型模糊逻辑系统中常用的几个蕴含算子推 广到了二型的情况 并以它们为基础建立了相应的二型模糊逻辑系统的推理模型 并针对区间二型模糊集合验证了这些推理模型的合理性 二型模糊逻辑系统中 降型的运算量很大 这在一定程度上限制了二型模糊 逻辑系统的应用 因此如何建立一个可行的降型方法 就成为人们关注的问题之 一 本文在已有降型方法的基础上 提出了两种近似降型的方法 虽然这两种方 法是近似计算 但却在误差允许的范围内大大降低了运算量 具有较大的实际应 用价值 关键词 二型模糊集合 二型模糊逻辑系统 蕴含算子 降型 英文摘要 a b s t r a c t t y p e 一2f u z z ys e ti si n t r o d u c e da st h ee x t e n s i o no ft y p e lf u z z ys e t w h i c hh a st w o m e m b e r s h i pg r a d e s t y p e 一2f u z z ys e ti n c r e a s e st h ef u z z i n e s si nd e s c r i p t i o na n d i n c r e a s e st h ea b i l i t yt oh a n d l ei n e x a c ti n f o r m a t i o n i nt h i sp a p e r t h ed e f i n i t i o na n dt h e c o m p u t a t i o n a lp r o p e r t i e so ft y p e 2f u z z ys e tw e r ed i s c u s s e d w ep r e s e n tt h es t r u c t u r eo f t y p e 一2f u z z yl o g i cs y s t e ma n dw ee s p e c i a l l yf o c u so nt h ei n f e r e n c ee n g i n ea n d t y p e r e d u c e r m a n yp r o p e r t i e so ft y p e 一2f u z z ys e t sa r ee x t e n d e df r o mt y p e 一1 f o ro n et h i n g z a d e he x t e n s i o np r i n c i p l em a k e ss e n s ei nt h ep r o c e s so fe x t e n d i n gt h ec o m p u t a t i o na n d c e n t r o i df r o mt y p e 1t ot y p e 2 f o rt h eo t h e r t h ee m b e d d e dt y p e 2f u z z ys e t sc a l la l s o e x t e n dt h ec o m p u t a t i o nt ot y p e 2 t h er e s u l tb e i n ge x a c t l yt h es a n l ea st h er e s u l td e r i v e d f r o mt h ee x t e n s i o np r i n c i p l e i nt h i sp a p e r u s i n gt h ee m b e d d e dt y p e 2f u z z ys e t st o d r i v et h ec e n t r o i do ft y p e 2i sa l s oi n t r o d u c e d t h er e s u l tb e i n ga l s oe x a c t l yt h es a m ea s t h er e s u l td r i v e df r o me x t e n s i o np r i n c i p l e t y p e 一2f u z z yl o g i cs y s t e mi n h e r i t sm a n yc h a r a c t e r i s t i c so ft y p e lf u z z yl o g i c s y s t e m d u et ot y p e 2f u z z ys e t sp a r t i c i p a t ei ne v e r ym o d u l eo ft y p e 2f u z z yl o g i c s y s t e m t h ep r o c e s so ft h em o d u l e si nt y p e 2a r en o te x a c t l yt h es a n l ea st h em o d u l e si n t y p e 1 e s p e c i a l l yt h ef u z z yi n f e r e n c ee n g i n ea n dt y p e r e d u c e r h lt r p e 1f u z z yl o g i cs y s t e m t h ei n p u ta n do u t p u to ff u z z yi n f e r e n c ea l et y p e 1 f u z z ys e t i nt y p e 2c a s e t h ei n p u ta n do u t p u ta l et y p e 一2f u z z ys e t b e c a u s eo ft h eh u g e c o m p u t a t i o n a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt y p e 1a n dt y p e 2 t h ep r o c e s so ft h ei n f e r e n c ee n g i n e i sa l s od i f f e r e n t i nt h i sp a p e r k l e e n e d i e n e s l u k a s i e w i c z z a d e ha n dr e i c h e n b a c h i n f e r e n c eo p e r a t o r sa r ee x t e n d e dt ot y p e 2c a s e t h e nw ei m p l e m e n t e dt h e mi nt y p e 2 f u z z yi n f e r e n c ee n g i n ea n da l s ot e s t i f i e dt h ej u s t i f i a b i l i t yo ft h e s eo p e r a t o r s t h ec a l c u l a t i o no ft y p e r e d u c e ri nt y p e 2f u z z yl o g i cs y s t e mi sq u i t ec o m p l e x w h i c hl i m i t st h eu s eo ft y p e 2 岫l o g i cs y s t e m h e n c e t h er e s e a r c h e r sf o c u so nh o w t ob u i l das i m p l em e t h o dt ot y p e r e d u c e b a s e do nt h em e t h o d st h a ta l r e a d yh a v e t h i s p a p e ri n t r o d u c e st w oa p p r o x i m a t ew a y st ot y p e r e d u c e e v e nt h o u g hb o t ho ft h e s et w o m e t h o d sa r ea p p r o x i m a t i o n s n o tt h ee x a c tr e s u l t t h e yc a ns t i l lr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t yb yl a r g ea n dt h e ya r eq u i t eu s e f u li np r a c t i c a la p p l i c a t i o n 英文摘要 k e yw o r d s t y p e 2f u z z ys e t t y p e 2f u z z yl o g i cs y s t e m t y p e 2i n f e r e n c eo p e r a t o r 够p e r e d u c e 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明 本论文是在导师的指导下 独立进行研究工作所取得的成果 撰写成博 硕士学位论文 三型撞糊望缝丕统的隆型皇推理搓型的婴究 除论 文中已经注明引用的内容外 对论文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在 文中以明确方式标明 本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经 公开发表或未公开发表的成果 本声明的法律责任由本人承担 学位论文作者签名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留 使用研究生学 位论文的规定 即 大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 也可采用影印 缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文 同意将本学位论文收录到 中国优秀博硕士 学位论文全文数据库 中国学术期刊 光盘版 电子杂志社 中国学位论 文全文数据库 中国科学技术信息研究所 等数据库中 并以电子出版物形式 出版发行和提供信息服务 保密的论文在解密后遵守此规定 本学位论文属于 保密口在 年解密后适用本授权书 不保密d 请在以上方框内打 论文作者签名 1 二型模糊逻辑系统推理降型与推理模型研究 引言 模糊逻辑系统理论 i 由美国控制论与计算机专家z a d e h 教授于1 9 6 5 年创立 开创了 研究模糊性和不确定性问题的理论和方法 迄今已成为一个比较完善的数学分支 一型 模糊逻辑系统经过四十多年的发展和完善 已经成为了对不确定问题进行建模和处理的 强有力工具 并成功地应用于许多领域 同时其学术理论体系的不断完善也推动了应用 数学 决策科学 管理科学与社会科学的发展 2 1 0 1 一型模糊逻辑系统中各个模块的运算均由一型模糊集合来完成 而一型模糊集合的 论域中每个元素的隶属度是0 和l 之间的一个具体数值 因此如果用一个一型模糊集合 来表示隶属度是模糊的知识时 就会出现困难 从这个角度看一型模糊逻辑系统本质上 仍然是 精确的 它不能对来源于专家的知识进行充分的建模 比如 一条用于建立 模糊规则的知识本身具有高度的模糊性 进而导致描述规则前件或后件的隶属度也是不 确定的 即隶属度也是模糊的 不能用0 和1 之间的一个具体的数值来表示 针对一型 模糊集合的这些缺陷 1 9 7 5 年z a d e h 教授引入了二型模糊集合 l l 的概念 随后m i z u m o t o 与t a n a k a1 1 2 1 3 y a g e r 1 4 d u b o i s 与p r a d e l l 5 1 以及h i s d a l l l 6 1 等人对二型模糊集合及其 性质进行了比较详细的讨论与研究 但是在之后的很长一段时间里 二型模糊集合与系 统的研究却被搁置了 直到1 9 9 8 年 m e n d e l 等人建立了二型模糊逻辑系统 1 7 1 8 提出 了二型模糊逻辑系统的降型方法1 1 9 2 引 并将其成功应用于时变信道均衡化的问题上 人 们才重新对二型模糊集及二型模糊逻辑系统理论给予了极大的关注 大家首先从区间二 型模糊集合开始来研究二型模糊集合的运算及降型方法 2 5 2 6 并将其应用到许多领域 2 7 3 4 我国在2 0 0 0 年以后才介入二型模糊集合与系统的研究 研究范围涉及到二型模 糊集合的定义 运算性质以及二型模糊集合的简单应用 3 5 4 3 水平不高 作为一型模糊集合的推广 二型模糊集用 0 l 上的模糊集来表达论域中每个元素的 隶属度 它可以更有效地描述那些很难用一型模糊集建模且具有更高模糊性的对象 二 型模糊集合由两个隶属度构成 即主 次隶属度 它要比只由一个隶属度描述的一型模 糊集合更加的 模糊 因此二型模糊集合也可以叫做 模糊集合的模糊集合 但是 二型模糊集合要比 型模糊集合更加复杂 这种复杂性必然会导致其运算量的增加 这 引言 就给二型模糊集合的应用造成了一定的困难 与一型模糊逻辑系统类似 二型模糊逻辑 系统中各个模块的运算均由二型模糊集合来完成 因此二型模糊集合的复杂性也将对二 型模糊逻辑系统的构建造成一些困难 输出处理 i 规皿库l i 反模糊化 叫模糊化l t l 降型 l 推理机 二l 模糊输入模糊输出 出 r 集 图1二型模糊逻辑系统的结构 f i g 1t h es t r u c t u r eo fat y p e 2f u z z yl o g i cs y s t e m 如图1 所示 与一型模糊逻辑系统类似 二型模糊逻辑系统由五个模块构成 规则 库 模糊化 模糊推理引擎 降型和反模糊化 同样地 二型模糊逻辑系统的规则库也 是由一系列的i f t h e n 规则组成的 每个i f t h e n 规则描述了一条具有模糊性的信息或 知识 只是这里描述的是具有更高模糊性的信息或知识 即规则的f 件和后件均由二型 模糊集来表示 二型模糊逻辑系统的推理引擎是由一型模糊逻辑系统的推理引擎推广而 来 当模糊规则建立之后 模糊推理引擎将二型模糊集合映射成二型模糊集合 二型模 糊推理引擎与一型模糊推理引擎类似 形式上也是利用 模连接规则的多维前件 用s 模组合多重规则 进而形成了一个从二型模糊集到二型模糊集的映射 因为二型模糊集 的运算需要主 次两个隶属函数同时参与 其具体操作将与一型模糊推理引擎有本质的 不同 关于二型模糊推理的模型及其算法 一些文献做了比较详细的探讨 5 m 4 1 但这些探 讨都仅限于使用m a m d a n i 蕴含算子的m a m d a n i 模糊推理模型 由于m a m d a n i 蕴含算子 借助前件的真值来限制后件的隶属度 具有 剪切 的功能 因而在直觉上具有合理性 然而m a m d a n i 蕴含算子却不支持经典逻辑 本文讨论四种异于m a m d a n i 模型的二型模 糊推理模型 它们分别是基于k l e e n e d i e n e s l u k a s i e w i c z z a d e h 和r e i c h e n b a c h 蕴含 算子的模糊推理模型 因为这四个蕴含算子均为来源于经典的二元蕴含 具有经典逻辑 的共同属性 所以基于它们的二型模糊推理模型也相应地更自然一些 二型模糊逻辑系统推理降型与推理模墨4 研究 二型模糊逻辑系统的输出处理与一型模糊逻辑系统差异较大 不像一型模糊逻辑系 统那样可以直接反模糊化 二型模糊逻辑系统的输出是由降型和反模糊化两部分构成 的 先由降型模块将二型模糊集合映射为一型模糊集合 再由反模糊化模块将一型模糊 集合映射为实数输出 关于二型模糊逻辑系统的降型 以及降型后的求质心 m e n d e l 等人进行了详细的讨论 并提出了一些行之有效的解决方法f 4 9 s o 如 质心降型 中心 和降型 高降型和改进高降型等 但这几种方法的运算量都很大 在一定程度上限制了 二型模糊逻辑系统的应用 由于降型是二型模糊逻辑系统区别于一型模糊逻辑系统的关 键所在 因此本文也将对二型模糊逻辑系统的降型进行详细的论述 并给出两种基于质 心运算的近似降型的方法 在本文中首先对质心降型 中心和降型 高降型和改进高降 型方法进行简单介绍 之后提出两种新的近似降型方法 这两种方法能够大幅度的降低 降型的运算量 第1 章二型模糊集合 第1 章二型模糊集合 1 1 二型模糊集合的定义 从普通集合推广到一型模糊集合时 我们将 0 1 中的实数赋值给论域x 中的元素 并称其为元素的隶属度 隶属度表示的意义为该元素在多大程度上属于该论域 当情况 更加模糊 很难将 0 1 上的一个具体数值赋值给论域中元素时 z a d e h 教授就弓i a t 型模糊集合的概念 l l 定义1 1 1 二型模糊集合 一个二型模糊集合彳表示为彳 j x 甜 为二型模 糊集合的主隶属函数 这里x e x u e j 0 1 其中五叫做x 的主隶属度 二型模糊 集合j 表示为 彳 x 甜 j x u v xex v 甜 以至 o l 1 1 1 这里0 j x 1 彳还可以表示为 以 点 等lc 0 1ue 1 1 2 工毛r d 这里积分号表示该运算要遍历所有的x 和u 定义1 1 2 次隶属函数和次隶属度 对每个确定的x e x 记为x7 则由x7 可以 确定一个二型模糊集合的次隶属函数 它的图像所在的平面以u 和 i x 甜 为坐标轴 次隶属函数可以表示如下 硝x x t u 却 f 掣山c o 1 1 1 3 这里五 u n q 做二型模糊集合的次隶属度 且0 五 甜 1 通过式 1 1 3 p i 知二型模糊集合的次隶属函数为一型模糊集合 这个一型模糊集合 以五为论域 以u 所对应的二型模糊集合的次隶属度为其隶属度 因此二型模糊集合的 次隶属度也可以表示为 j x 即六 甜 心 x 7 7 只要确定一对x 和甜 就得 到了一个次隶属度六 材 由 1 1 2 和 1 1 3 可知二型模糊集合还可以表示为 二型模糊逻辑系统推理降型与推理模型研究 力 学 1 1 4 x e x u o l 例1 1 下图描述了一个离散论域的二型模糊集合彳 它的论域为x l 2 3 4 5 主隶属度为 以2 o 0 2 0 4 以 0 0 2 0 4 0 6 o 8 以 0 6 0 8 则二型模糊集合彳可以表示为 a 旦 4 0 l 5 4 0 1 3 0 1 2 一i 1 0 1 0 3 1 1 0 1 5 亚i 蔓o 1 4 耍j 而x2x 3 于是x l 的次隶属函数为 j x 甜 石1 面0 5 而0 3 相应的次隶属度分别为l o 5 0 3 图1 1 给出了本例中二型模糊集合的图像 可见二型模糊集合的图像是三维的 一 卜 图1 1 一个二型模糊集合的例子 f i g 1 a ne x a m p l eo f at y p e 2f u z z ys e t 定义1 1 3 首隶属函数 首隶属函数是一个一型模糊集合 它的论域与隶属度 是 其中 功对应次隶属度为1 有如下表示 朋删 x j 这里是叙功21 所对应的那些 功 1 1 5 例1 2 对例1 1 中的二型模糊集合来说 其首隶属函数为 p r i n c i p a l 加詈 詈 警 定义1 1 4 不确定足迹f o b 9 由二型模糊集合彳的所有的主隶属度组成的集合 第1 章二型模糊集合 叫做二型模糊集合的不确定足迹 记为f o u 表示为 f o u a u 蒯以 1 1 6 在二型模糊集合的研究过程中 f o u 是一个很重要的参考量 因为它给出了二型 模糊集合的一部分特性 即主隶属度的一些特性 在研究二型模糊逻辑系统时 我们常 常发现f o u 对选取适当的二型模糊集合有指导作用 图1 2 是高斯二型模糊集合的 f o u 图1 2 高斯二型模糊集合的f o u f i g 1 2t h ef o u o fag a u s s i a nt y p e 2f u z z ys e t 定义1 1 5 区间二型模糊集合 次隶属度都为l 的二型模糊集合叫做区间二型 模糊集合 表示为 j 半 1 1 7 x e xu e d z 1 2 二型模糊集合的运算 一型模糊集合的隶属度是 o 1 1 上的一个具体的数 其运算就是对这些具体的数进行 f 模与s 模运算 但二型模糊集合有两个隶属度 不能对其直接进行r 模与s 模运算 因 此需要对运算进行扩展 利用扩展原则 2 1 可将一型模糊集合的运算扩展成二型的情况 m e n d e l 在文献 2 1 1 中对二型模糊集合的扩展原则及运算性质进行了详细的论述 二型模糊逻辑系统推理降裂与推理模薯 研究 1 2 1 扩展原贝0 设蜀 恐 是任意 个非空集合 将其笛卡尔积记为蜀 魁 其中的元 素为 l x 2 x f f 1 2 于是 蜀 弼 的笛卡尔积可以表示为 五 x r 毛 0 l 毛 五 墨 1 2 1 对于一个从x l 恐 映射到l 的运算y f f x x 2 l 如果将运算他l x 2 x n 扩展为运算f a i a 2 a 一 这里a 是五上的一型模糊集合 可按如下方法扩 展 f 4 9o 9 4 j c l a 4 1 2 2 例1 3 利用扩展原则将运算f x a x 2 而恐 而 而扩展 则其扩展结果为 化矧 x m 小心 而 最 1 2 3 xtx 2 e x 2 i l 2 1 2 2 交运算 考虑两个二型模糊集合五和雪 雪 学xexw e d e o 1 1 2 4 r 0 1 1 2 5 两个二型模糊集合j 和台的交运算仍是一个二型模糊集 应用扩展原则 1 2 2 交 运算可以表示为 心m x jj l u a g a w u w 心 z n z 1 2 6 e i w e j 心憎 x 是进行交运算后的二型模糊集合的次隶属函数 心 r 心 x 中的符号 厂 表示的是次隶属函数间的运算 运算i d a w 和f x u a 函 w 表示要遍历每一个u e 和w er 及其相应的次隶属度五 和戤 w 同时x 也要遍历整个论域x 学 叫 h 工 彳 第1 章二型模糊集合 1 2 3 并运算 仍考虑上节中两个二型模糊集合 1 2 4 与 1 2 5 两个二型模糊集合j 和雪的并运 算仍是一个二型模糊集 应用扩展原则 1 2 2 并运算可以表示为 心岣 x 六 们肛v w 心 x u 心 x 1 2 7 u w 心岣 x 是进行并运算后的二型模糊集合的次隶属函数 心 x u 鳓 z 中的符号 u 表示的是次隶属函数间的运算 运算r v w 和五 人 m 表示要遍历每一个u e 以 和w 及其相应的次隶属度f x u 和 同时x 也要遍历整个论域兄 1 2 4 补运算 与一型模糊集合的情况相同 二型模糊集合j 的补仍是一个二型模糊集合 表示为 j 心 x v 纷 x x 1 2 8 x e j 心 x jf a u 1 一甜 1 心 x 1 2 9 在 1 2 9 中心 x 是一个次隶属函数 只要确定一个点x 就可以确定一个次隶属函数 心 x 这里的1 叫做补运算 表示二型模糊集合次隶属函数的运算 1 2 9 式是对二型模 糊集合次隶属度心 进行补运算 l 一 必须对v 材 进行 而它的次隶属度石 并没 有发生变化 1 2 8 式说明对溉 工都要计算心 x 1 2 5 加运算与乘运算 在二型模糊集的代数运算中 加和乘是我们最感兴趣的两种运算 与交 并 补运 算类似 这两种代数运算也可以用扩展原则定义 利用扩展原则 二型模糊集的加运算定义为 五 雪铮心 雪 x f a w w 1 2 1 0 h e j w e j 其中 如果u w l 则规定 w 1 而乘运算则定义为 二型模糊逻辑系统推理降趔与推理模犁研究 a x 雪 心 雪 x 六 a g x w w e 以w e 以 因为 a 是f 模的一个特例 所以本文中对次隶属度的所有运算都采用了 a 运 算 当然也可以用其他的 模数代替 常用的 模有取小和乘积 例1 4 有二型模糊集合彳和雪 对选定的元素x 的次隶属函数为 心 x 警 等和倦 x 而0 3 面0 9 这两个二型模糊集合的交运算为 心n 唐 x 心 x n 倦 x 苦 面0 7 厂 而0 3 面0 9 0 5 人0 30 5 0 90 7 a 0 30 7 人0 9 0 0 4o 人0 80 1 人0 40 1 o 8 o 30 50 30 7 0oo 10 1 蚴 0 3 0 5 m a x 仉3 o 1 0 50 7 牟 00 1 这两个二型模糊集合的并运算为 心u 雪 x 心 x u 心 x 警 而0 7 u 而0 3 丽0 9 0 5 a 0 30 5 a 0 90 7 a 0 30 7 a 0 9 o v 0 40 v 0 80 1 v 0 40 1 v 0 8 0 30 5o 30 7 0 40 80 40 8 m a x 0 3 0 3 j m a x 0 5 0 7 0 7 04 7 08 一 r 0 30 7 一丰 0 40 8 这两个二型模糊集合的补运算为 第1 章二型模糊集合 心 x 1 心 x 而0 5 f 0 石7 0 50 7 1 0 9 这两个二型模糊集合的加运算为 心 后 x 警 而0 7 面0 3 面0 9 这两个二型模糊集合的乘运算为 0 5 o 3 0 5 八0 90 7 0 30 7 0 9 0 0 4 0 0 8 0 1 0 40 1 0 8 0 30 5o 30 7 0 4o 8o 50 9 心 豆 x 警 而0 7 面0 3 丽0 9 0 5 o 30 5 0 90 7 0 30 7 0 9 0 x 0 40 0 80 1 0 40 1 0 8 o 30 50 3 0 7 o00 0 40 0 8 1 3 二型模糊集合的质心 上面介绍了二型模糊集合的一些运算 这些运算是研究二型模糊逻辑系统的基础 下面将介绍二型模糊集合的另一个特殊的运算 1 3 1 二型模糊集合质心的定义 论域为x 的一个一型模糊集合彳的质心a 为 二型模糊集合的质心运算 q 黜 m 3 m 对一个二型模糊集合彳 ff f x u u 应用扩展原则 1 2 2 可t z t j 模糊集 x h 当 x 合的质心为 1 0 二型模糊逻辑系统推理降型与推理模型研究 印只h 妒小 删吼 紫l m 3 国 吼e j q8 e j 销 厶 iu i 通过观察式 1 3 2 可以发现二型模糊集合的质心是一个一型模糊集合 薯只 y l j e 为该一型模糊集合中的元素 其对应的隶属度为 q 人 人z 吼 一l i 2 j 1 7 vo 7 计算质心时 首先分别从每个以中选出一个元素岛 它们为1 9 i 巩 计算 t 2 谚 然后计算每个岛 巩的组合对应的次隶属度的运算 厶 q 厶 吼 并将其作为元素 t 2 2 的隶属度 很明显 二型模糊集合质心运算的计算量很大 假设每个 中有必个元素 则质 心中元素将有兀 m 个 进行 兀兰 m 次的比较大小和乘法加法运算 兀 m 次的 除法运算 由此可见当二型模糊集合中的元素很多时 其质心的计算量将非常大 1 3 2 区间二型模糊集合质心的求解 虽然一般二型模糊集合的质心运算量很大 但区间二型模糊集合的质心却有一种简 便的求解方法 本节将介绍这种简便的区间二型模糊集合质心的求解方法 由式 1 1 7 可知区间二型模糊集合的次隶属度都为1 一 代入到质心公式 1 3 2 中 可得区间二型模糊集合的质心公式 印岛0 夏1 鬲叱川 1 3 3 岛e 知e 厶b l 叼 2 假设x 是二个区间一型模糊集合中的元素 它的中心为c f 振幅为研瓴芝o 假设岛是 一个区间二型模糊集合的主隶属度值 它的中心和振幅分别为 和西 西芝o 由于谚 0 于是胁芝西 由于彳是一个区间二型模糊集合 则其质心巴将是一个区间一型模糊集合 即它 由区间叭 纠来表示 于是将计算质心c j 的问题转化为计算区间的两个端点m 与弦的问 题 只要将区间的两个端点y l 与 求出来 就可得到区间二型模糊集合的质心 下面将 第1 章二型模糊集合 介绍区间两个端点的求法 令y 等于 誓谚 羔 e 注意到对任意的i 都有岛 o 因此y 对每 个x i 的偏导 黼有瓦o y2 南狐张腥枷鞠凯毗艴躺钆 砌悯a 凯 o s 时 i 1 m y 有最大值 当x i c i s i 时 i 1 y 有最小值 由于y 队 川 可知弦是y 的最大值 y t 是y 的最小值 通过上面的分析可知 要计算质心c 彳 我们只要将y 看成是岛 巩的函数 然 后分别求出y 的最大值和最小值即可 其中岛 h f 一西 h f a i i 1 n 当而 白 毋 时 我们需要最大化 岛 鳓 当而 c i s f 时 我们需要最小化灭研 鳓 y 是易 巩的函数 对每一个谚求偏导 l a e 轧 玑d a e l i 鼬z z e f 学 1 3 4 因为 b 0 由 1 3 4 可以得到 口 当磁 灭f 9 i 时 有蔷y b 民 o 6 当 灭1 9 i 钔时 有 y b 民 0 o 七i 当瓤 灭1 9 i 钔时 灭o i o u 是每一个岛的增函数 当敬 贝b 鳓时 灭f 9 l 是每一个谚的减函数 因此求灭f 9 l o u 的最大值时 我们只要对满足瓢 灭巩 鳓 的那些后 使最 饥 菇 对满足磁 灭研 钔的那些后 使馥 敝一磊 类似的可以 求以o i 钔的最小值 对那些满足x k 灭伪 钔的k 我们只要使馥 h k 壤 对那 些满足视 灭岛 鳓的k 使最 h k 一磊 由以上的分析 可得到下面定理 定理1 1 区间二型模糊集合质心求解法 口 求灭岛 的最大值 令勘 c f 研 卢1 将x i 以升序排列 x l 娩 s i n 进行如下的迭代过程即可求出畎岛 鳓的最大值 1 初始化岛 令6 h f i l 二型模糊逻辑系统推理降型与推理模碍4 研究 岍皆闱耵一 3 找到满足z k g 彳7 一g 1 m 2 1 2 爱 的次隶属度函数为 妇 x y 心 而 讳 少 心 埘 x y 2 1 3 而p 维前件用 模连接 即 j x n 墨l 份 x 2 1 4 p 维输入互的隶属函数为 第2 章二型模糊逻辑系统 j x r 墨l z 2 1 5 则经过推理引擎得到输出否7 的隶属度函数为 百 y 五 y u x j x n 薏 o y 2 1 6 其中y l 1 m 等式 2 1 6 给出的就是二型模糊逻辑系统的输入和输出关系 如果在式 2 1 3 中选用不 同的模糊蕴含算子 则 2 1 6 式将给出不同的二型模糊推理模型 二型模糊逻辑系统的降型是一型模糊逻辑系统的反模糊化的扩展 一型模糊逻辑系 统中反模糊化是将一型模糊集合映射为一个实数输出 其中常用到的是质心降型 一型 模糊集合的质心运算正好是将一型模糊集合变为一个实数 而在二型模糊逻辑系统中的 降型也很类似 它也是用二型模糊集合的质心运算将一个二型模糊集合变为一型模糊集 合 从而减少了它的模糊程度 但二型模糊集合的质心运算是很复杂的 这就p t 曼 u 了二 型模糊逻辑系统的使用范围 如果能找到一种简便的方法来计算质心 二型模糊逻辑系 统将会像一型模糊逻辑系统那样得到更广泛的应用 因此很多人都在研究如何简化二型 模糊集合的质心的运算量 s i m o nc o u p l a n d 在 冽中给出了一种几何方法来简化降型 d o n g m iw u 在 3 0 中给出了一个简便的策略来降型 m e n d e l 在d 1 1 给出了用a 一截面分解 定理来简化二型模糊集合的运算量的方法 而在下一章中将给出一种利用a 一截面来近 似计算二型模糊集合质心的方法 下面介绍m e n d e l 在文献 2 1 中给出的几种基于质心的降型方法 中心和降型 高降 型和改进高降型 t 质心降型 质心降型首先求m 个规则否7 输出的二型模糊集合的并 即 u 二 蓉7 兰否 它的次隶 属函数 吾 y 为 占 y u 筵l 蜃 j 砂 2 1 7 y 是第 个规则输出的次隶属函数 在下一节中将要对不同蕴含算子对应的输 出 茸 y 进行讨论 二型模糊逻辑系统的降型与推理模型的研究 而质心降型就是要计算二型模糊集合否的质心 根据式 1 3 2 可得到质心降型公式 如下 一岛h 妒叭 w 吼 哿i 亿m 氓ej览9nej哪 厶i u l 在这里卢1 n 在这个等式中谚 和厶都是心 y 的参数a 因为饴 y 是 二型模糊逻辑系统输入x 的函数 于是u x 也是x 的函数 对不同的输入 我们获得 不同的艺 x 质心降型的运算量很大 总共要计算n 兰 m 次 本文将在下一章中给出降型的一 个简便的方法 来减少运算量 m 中心和降型首先求m 个规则否7 输出的二型模糊集合的和 即 否7 兰否 之后计 f l 算二型模糊集合占的质心 它的次隶属函数 商 少 可以表示为 鳓 y y 跏 2 1 9 计算台的质心 根据式 1 3 2 可得到质心降型公式如下 一b h 妒小 僻 罄1 亿 吼 j 咒8 n e jy n 厶i u i 这里i 1 n 在这个等式中谚 和厶都是心 y 的参数 因为 y 是二 型模糊逻辑系统输入x 的函数 于是艺 x 是x 的一个函数 对不同的输入 我们获得 不同的匕 x 与质心降型方法相比 这种降型的方法只是在如何组合输出集合上做t b 了变化 与 质心降型在降型过程上完全相同 因此同样存在计算量偏大的问题 c 高降型 高降型是用二型输出集合百 定义域y 内的一个点歹7 来代替输出集合百7 第z 个规 第2 章二型模糊逻辑系统 则的输出集合为否7 则它由拥有最大主隶属度的点歹 来代替 将他们组合成一个新的 二型模糊集合记为否 则其次隶属度函数为 赢 歹7 下面给出高降型式 一岛n 沙小 州圳 哿i 叫 8 l e 8 n d 厶l i u f 在这个等式中嘭 和厶 都是心 歹7 的参数 高降型的计算量为兀川mm 相比较质 心降型的计算量兀 m i 其运算量大大的减少了 d 改进高降型 改进高降型是在高降型基础上进行的改进 改进高降型方法中的次隶属函数 五 夕 要被专限制 一般来讲万7 取第 个规则后件的定义域的长度 则改进高降型 的表达式如下 w 卜岛n 一i iii 仁 2 吼e j e n 日 厶 l d l 厶 u 2 1 5 反模糊化 二型模糊逻辑系统的反模糊化与一型模糊逻辑系统的反模糊化相似 都是将一型模 糊集合映射为实数输出 主要用到的有质心反模糊化 中心和反模糊化 高反模糊化 改进高反模糊化和集合中心反模糊化 由于这些反模糊化方法在一型模糊逻辑系统中都 被广泛的应用过 在本文中将不再详细论述了 2 2 模糊推理模型的推广 m e n d e l 在文献 2 1 中将m 锄d a l l i 蕴含算子推广到了二型的情况 并且在目前二型 模糊逻辑系统推理引擎的研究中 只有m a m d a n i 蕴含算子被推广和使用 m a r n d a n i 蕴 含算子的正确性是毋庸置疑的 它拥有剪切隶属度的效果 可以利用规则的前件的真值 来限制后件的隶属度 但是m a m c l m d 蕴含算子并不满足经典逻辑 它并不满足经典蕴 含的二值解释 因此本节将推广k l e e n e d i e n e s 蕴含算子 l u k a s i e w i c z 蕴含算子 z a d e h 蕴含算子和r e i c h e n b a c h 蕴含算子到二型的情况 所有的这些蕴含算子都是从经典的二 二型模糊逻辑系统的降型与推理模型的研究 值蕴含得到的 都有符合经典逻辑的特点 本节将研究基于上述几种蕴含算子的二型模 糊集合的推理模型 从它们遵循经典逻辑方面来说 这些推理模型将比m a m d a n i 推理 模型更加自然 2 2 1m a m d a n i 推理模型 m a m d a n i 蕴含算子是基于经典蕴含式口专6 a b 来给出定义的 m e n d e l 在文献 2 1 中对m a m d a n i 推理模型进行了推广 m a m d a n i 蕴含算子的二型形式为 u k x y 厂以j x g y j x n 心 y 2 2 1 将 2 2 1 2 1 4 2 1 5 代a 至u 2 1 6 中 则有 纷 y 2 心 y u 艇州n 乌心 誓 n n 当心 n 心 j u 旌x n 二 心 薯 n 衔 薯 n 心 y r 刍 u x 心 葺 n 心 薯 n 心 y u 而e x l u g 葺 r 晰 而 r u x p e x x p n u p x p n t o y 2 2 2k l e e n e d i e n e s 推理模型 k l e e n e d i e n e s 蕴含算子是基于经典蕴含式口一6 1 a v b 来给出定义的 则它的推 理规则为 心 z y 2 心 z j 2 呓埘 z j 1 之 z u 心渺 1 他 而 u 饴 y 2 2 2 将 2 2 1 2 1 4 2 1 5 代a 至l j 2 1 6 中 则有 饴 y a x j i y u 硝 z n 1 陷锋 u 饴 少 u z e 矿1 墨 l 五 n u 墨 1 镌 u 心 y n t u z 心 薯 r u j u 1 饴 薯 u 心 y 一 u e 心 五 n 厂 u o e n u 1 e 1 x i u u u 印e 斗1 乍 u 心 y 第2 章二型模糊逻辑系统 2 2 3l u k a s i e w i c z 推理模型 l u k a s i e w i c z 蕴含算子是基于经典蕴含式口j 6 1 a 1 一a 6 来给出定义的 则它 的推理规则为 仰 z y 2 心 z y 2 惭 冀嘭卅 z y 1 r 惭 一髟 z 心 y l n n 乌饴 t 心 y 2 2 3 将 2 2 3 2 1 4 2 1 5 代a n 2 1 6 中 则有 心 y 2 气 j i i 少 u 脯 n 名 心 薯 n 1n n 二 薯 心 y u 蒯 n 墨 n n 二饴 心渺 n 墨 u 脚心 一 n n 墨 u x 心渺 2 2 4z a d e h 推理模型 z a d e h 蕴含算子是基于经典蕴含式口一6 1 a v a a b 来给出定义的 则它的推理规 则为 脚 z y 2 心 卅 z y 2 乍 埘 z 少 2 2 4 愀 髟 z n 渺 u 1 髟 z i n f 锋 r 心 y u 1 n 墨t 乍 誓 将 2 2 4 2 1 4 2 1 5 代入到 2 1 6 中 则有 心 少 2 气 力 u 螂 陷 薯 n n 刍勺 薯 n 心渺 u 一 陷乍 薯 u n 墨t 心 薯 n 帷 乍 誓 u u 乌 薯 n 饴 y u n 墨 乍 薯 呲t 叱 z 薯 n 陷u 州心 u u e z l n y u 陷u w 薯 二型模糊逻辑系统的降型与推理模型的研究 2 2 5r e i c h e n b a c h 推理模型 r e i c h e n b a c h 蕴含算子是基于经典蕴含式口 6 1 口 a b 来给出定义的 则它的 推理规则为 脚 z y 2 心 卅 z y 2 髟卅 z 少 2 2 5 1 n 乌 t 十 n 墨 t 心 j 将 2 2 5 2 1 4 2 1 5 代入到 2 1 6 中 则有 心 心 y u 槲 n 心 薯 n 1 n 均 再 n 心 而 心 y u z n 心 n 1 n 鳓 而 n 心 五 n n 约 薯 心 y n u 茸 z 心 r u 三 u 再 z 均 薯 n u z 心 薯 n n u 而 z 饴 薯 饴 y 2 3 推广的m o d u sp o n e n s 的直党准备 一型模糊推理中最为常用的推理模型为m o d u sp o n e n s 在上一节中用到的推理模型 也是m o d u sp o n e n s 别的推理模型也可以做类似的讨论 但在本文中只采用m o d u s p o n e n s 模型来对其他情况进行讨论 在一型模糊推理中m o d u sp o n e n s 直觉准则常被用 来判断蕴含算子的优劣 但在二型模糊推理中这种方法却被忽略了 在上一节中已经将 几种模糊推理模型推广到二型的情况 在本节中将把m o d u sp o n e n s 直觉准备推广到二 型的情况 在下一节中将用m o d u sp o n e n s 直觉准备来判断这几种推理模型在二型模糊 逻辑系统中的优劣性 m o d u sp o n e n s 模型为 规则 输入 结论 则有六条直觉准则为 i f xi sf t h e n yi sg xi sf 1 y 括g 准则l g 7 g 当户 户 准则2 0 非常g 当 户 非常声 第2 章二型模糊逻辑系统 准则3 g g 当 户7 非常户 准则4 g 差不多g 当 户 差不多户 准则5 g g 当 户7 差不多户 准则6 g 未知 当 户 非户 准则7 g 非g 当 户 非户 2 4 验证一些推理模型是否符合直观的推理原则 上面推广的几个模糊蕴含算子在一型模糊逻辑系统中都得到了广泛的应用 在文 献 3 2 中作者也都用直觉准备验证过他们的合理性 但在二型模糊逻辑系统中这些蕴含 算子并没有人采用过 大家还是倾向于使用m a m d a n i 蕴含算子 至今也还没有人用直 觉准备验证过他们 所以在本节中 将用直觉准则来验证这些蕴含算子 在本节中只对 区间二型模糊集合进行讨论 所取的集合都是区间二型模糊集合 为了便于讨论 本节 中只对单输入单输出的情况进行讨论 假设规