（通信与信息系统专业论文）基于z变换非等间距抽样的fir数字滤波器设计方法研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文着重研究基于z 变换非等间距抽样的有限长冲激响应 f i r 线性相 位数字滤波器的设计方法 论文第1 章对课题背景 国内外对非均匀抽样的研究现状以及本文的主要 工作进行了概述 第獐首先介绍非均匀离散傅立叶变换 采用牛顿多项式插值公式表示滤 波器系统函数月 给出非均匀离散傅立叶逆变换的存在性证明 经分析研 究得出结论 由插值多项式函数表示的非均匀离散傅立叶逆变换形式 实际 计算不具有可行性 只可作为存在性证明 针对由连续函妣 的非均匀样 本坂韵重蚴的问题 采用样条函数加以解决 得至 i j t x z 数值求解算法 第3 章讨论基于频域非均匀抽样的f i r 滤波器设计方法 重点讨论基于离 散均方误差最小化准则的联立方程求解法 联立方程求解法 对线性相位f i r 低通 高通与带通滤波器 详细推导并给出确定所需滤波器频率响应及其非 均匀抽样的设计算法 第4 章分析说明在过渡带设置抽样点的必要性 对第三章所求出的设计算 法进行修正 对设计算法的有效性经由实例进行了实际验证 并与 p a r k s m c c l e l l a n 算法结果进行了比较分析 最后 给出本文的研究结论 提出一种基于z 变换非等间距抽样设计有限 长冲激响应 f m 数字滤波器的设计方法 在给定线性相位f i r 滤波器设计 指标后 基于离散均方误差最小化准则 采用非均匀频率抽样 求解联立方 程得到f i r 滤波器的冲激响应 算法在不改变滤波器长度及通带与阻带抽样的 情形下 过渡带抽样点数目可以改变 在设计不等宽过渡带的带通滤波器时 本算法优于p a r k s m c c l e l l a n 算法的结果 关键词 非等间距抽样 非均匀离散傅立叶变换 线性相位f i r 滤波器 最大 误差最小化准则 离散均方误差最小化准则 a bs t r a c t t h i st h e s i si sf o c u s e do nt h ed e s i g nm e t h o d so fd i g i t a lf i n i t el e n g t hi m p u l s e r e s p o n s e f i r f i l t e r sb a s e do nn o n u n i f o r ms a m p l e so f z t r a n s f o r m c h a t e r1i sao v e r v i e wo fr e s e a r c hb a c k g r o u n d d e v e l o p m e n ta n ds t a t u so f n o n u n i f o r ms a m p l i n g a n dt h em a i nr e s e a r c hw o r k s c h a p t e r2i n t r o d u c e st h en o n u n i f o r md i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m n d f t w e a p p l yt h en e w t o np o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o nf o r m u l a t oe x p r e s st h ef i l t e rs y s t e m f u n c t i o n 月 z t os h o wt h ee x i g e n c eo ft h ei n v e r s eo fn d f t i n d f t t h e r e s e 锄 c hw eh a v ed o n es h o w st h a ti ti sn of e a s i b i l i t yo fc a l c u l a t i n gt h ee x p r e s s i o n o fi n d f tb yu s i n gp o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o nf o r m u l a t h eo n l y u s eo ft h i s e x p r e s s i o ni so f f e r i n gt h ep r o o ff o rt h ee x i s t e n c eo fi n d f t i n a c c o r d a n c ew i t h t h er e c o n s t r u c t i o no f 酢 f r o mi t sn o n u n i f o r n ls a m p l e s u s i n g t h es p l i n e i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n w eg o tan u m e r i c a la l g o r i t h m t oe v a l u a t e 瑚 c h a p t e r3d i s c u s e st h en o n u n i f o r mf r e q u e n c ys a m p l i n gd e s i g nm e t h o d so f f i rf i l t e r s a t t e n t i o ni st h ed e s i g nb ys o l v i n gs i m u l t a n e o u se q u a t i o n sb a s e d o nt h e d i s c r e t el e a s ts q u a r e de r r o rc r i t e r i o n f o rl i n e a rp h a s ef i rl o w p a s s h i g h p a s sa n d b a n d p a s sf i l t e r s t h ed e r i v a t i o no fd e s i g na l g o r i t h m o fd e s i r e d 丘e q u e n c yr e s p o n s e a n di t ss a m p l e sa r ep r e s e n t e di nd e t a i l c h a p t e r4i l l u s t r a t e sa n da n a l y s e st h en e c e s s i t yf o rs a m p l i n gi nt h et r a n s i t i o n b a n d t h ed e s i g na l g o r i t h m sd e r i v e di nc h a p t e r3a r er e v i s e d d e s i g ne x a m p l e s a r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m a s c o m p a r e dw i t ht h ep a r k s m c c l e l l a na l g o r i t h m f i n a l l y p r o v i d e st h ec o n c l u s i o no ft h i st h e s i s ad e s i g na l g o r i t h mf o rf i n i t e l e n g t hi m p u l s er e s p o n s ed i g i t a lf i l t e ri sp r o p o s e d f o rt h ed e s i g n i n gs p e c i f i c a t i o n s o f1 i n e a rp h a s ef i rf i l t e r a c c o r d i n gt h ed i s c r e t el e a s ts q u a r e de r r o rc r i t e r i o n u s i n gt h en o n u n i f o r mf r e q u e n c ys a m p l e s t h ei m p u l s er e s p o n s eo ff i rf i l t e rc a n b eo b t a i n e db ys o l v i n gs i m u l t a n e o u se q u a t i o n s i nt h ec a s eo fh o l d i n gt h el e n g t h o ff i l t e ra n dt h es a m p l e si nt h ep a s s b a n da n ds t o p b a n d t h en u m b e ro fs a m p l e si n 哈尔滨工程大学硕士学位论文 t h et r a n s i t i o nb a n dc a l lb ev a r y i n g f o rt h ed e s i g no fb a n d p a s sf i l t e r 析t hu n e q u a l w i d t ho ft r a n s i t i o nb a n d t h ep r o p o s e da l g o r i t h mr e s u l ti sb e t t e rt h a nt h er e s u l to f p a r k s m c c l e l l a na l g o r i t h m k e y w o r d s n o n u n i f o r ms a m p l i n g n o n u n i f o r md i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m l i n e a r p h a s ef i rf i l t e r m i n i m a xc r i t e r i o n d i s c r e t el e a s ts q u a r e de r r o r c r i t e r i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 本论文的所有工作 是在导师的指导 下 由作者本人独立完成的 有关观点 方法 数据和文 献的引用已在文中指出 并与参考文献相对应 除文中已 注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 作者 签字 垦 垒 兰 o 墨期 土叼年8 月彩e l 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 概述 离散傅立叶变换 d f t 是数字信号处理 d s p 的核心 给定一个长 度为 的序y o x n d f t 计算其z 变黝在z 平面单位园 个等间距角上的值 d f t 得到广泛的应用是由于它可以用快速傅立叶变换算法有效地运算 然而 序列x 刀 的d f t 只能给出序y d x n 的z 变换在单位圆上等间距的抽样 意味着它 具有固定的频谱分辨率 而且分辨率由序列的长度决定 滤波是数字信号处理 d s p 中最有效的运算之一 离散时间滤波器分 两种类型 f i r 有限冲激响应 滤波器与i i r 无限冲激响应 滤波器 f i r 滤波器冲激响应的离散傅里叶变换 d f t 是滤波器频率响应的等间 隔抽样 这产生了一个经典方法 选择一个理想频率响应 按等间隔抽取 个点 计算这些抽样的逆d f t 获得滤波器的冲激响应 这种方法称为 均 匀 频率抽样设计 通过其频域抽样值的内插频率响应来逼近所需要的频率 响j 立 这是f i r 滤波器设计的主要方法之一 1 2 国内外研究现状及存在的问题与课题背景 为获得z 变换更一般的抽样 r a b i n e r 等人弓l a y e h i r p z 变换 c z t 算法 1 它能够计算z 变换z 平面的圆或螺旋线上始于任意处的朋个点的抽样 例如 若要得到 在单位圆特定区域内的等间距的抽样 可以应用c z t 来计算 为 获得单位圆上非等间距的抽样 o p p e n h e i m 和j o h n s o n 弓l 入了以非等分辨率用 f f t 来计算谱的方法 2 1 在这种方法中 将原始序n x n 变换为一新序列 此 新序列具有特性 其d f t 等诩在绕单位圆非等间距角点上的抽样值 采用 全通网络实现频率轴的变换 如果新序列若是无限长 在计算其f f t 之前 必须先对序列用窗函数截短 因为窗函数必然改变原信号的频谱结构 因此 这种方法只能给出近似结果 利用均匀频域抽样的滤波器设计 通过内插得到的频率响应在通带与阻 带的边缘处具有明显的波纹 即吉布斯 g i b b s 现象 为降低吉布斯效应 哈尔滨工程大学硕士学位论文 通常要加宽过渡带 为了提高逼近的质量 使得逼近误差小些 可以把某些 频域样本作为自由变量 一般通过计算机计算出这些自由变量的最优值使逼 近误差的某种函数 如逼近的峰值误差 最小 l 文献 1 与文献 3 中采用的 方法是 改变过渡带上的一些抽样的幅度 使频率响应在所关注的频域范围 内所发生的最大偏移最小化 可以使用线性规划方法修改抽样数值 以使滤 波器性能最佳 这种方法主要关注于计算 没有提供对诸如边界频率 波纹 峰值等滤波器典型指标进行有效控制的方法 文献 4 对均匀频率抽样技术进行了改进 对用解析式函数表示的滤波器 给予少量的自由度 所需频率响应由参数控制 选择参数所遵循的原则是 滤波器频率响应能够以f i r 的形式来实现 对解析函数进行均匀抽样 而这些 抽样的逆d f t 就是该滤波器系统方程的系数 s k m i t r a 与s c h a k r a b a r t i 及e a b r e u 将d f t 的定义进行推广 引入了非 均匀离散傅立叶变换 n d f t 的概念 s b a g c h i 与s k m i t r a 应用拉格朗日 l a g r a n g e 多项式插值来表示非均匀离散傅立叶逆变换 i n d f t 5 文献 4 中 对线性相位f i r 滤波器 利用两个函数来分段表示通带与阻 带 并用这两个函数的加权和表示滤波器过渡带 引入变换式将切比雪夫多 项式等波纹区间映射为通带区间与阻带区间 这种方法可在滤波器技术指标 与频率响应之间建立形式上的联系 文献 5 中b a g c h i 与m i t r a 将此思想应用于 滤波器的设计 应用拉格朗日多项式插值公式来表示滤波器系统函数酢 并利用切比雪夫多项式对频率响应采取分段表示映射变换的方法 给出了非 均匀频率抽样的滤波器设计方案 最优f i r 滤波器设计最重要的误差测度之一是 在关注的频率区间上 理 想频率响应与实际频率响应之间的最大差 当这个误差减到最小时 误差呈 现出以等波纹振荡的形状 在滤波器设计中 这个误差的最小化通常是使用 p a r k s m c c l e l l a n 算法来实现 r e m e z 算法实现的p a r k s m c c l e l l a n 算法已成为f i r 滤波器最佳设计的主 要方法 它在最大偏差最小化准则意义下 以迭代方式找出能使逼近误差函 数中的最大加权逼近误差达到最小化的频率响应 p a r k s m c c l e l l a n 算法的基 础是将滤波器的设计问题用公式表示成切比雪夫多项式逼近问题 得到的频 率响应是切比雪夫多项式等波纹逼近 2 哈尔滨工程大学硕十学位论文 在通常情形下 应用p a r k s m c c l e l l a n 算法设计f i r 滤波器能得到性能非常 好的结果 但尽管r e m e z 算法实现的p a r k s m c c l e l l a n 算法保证在特定的频带内 有等波纹误差 但由于其过渡带的响应没有给定 它并不能保证具有多于两 个频带的滤波器的增益响应将在它的通带内单调减少1 6 1 对于非等宽过渡带 的带通滤波器的设计 p a r k s m c c l e l l a n 算法给出的滤波器频响在过渡带有一 个非单调的突起 其值超过了通带内幅值响应 本课题背景是解决p a r k s m c c l e l l a n 算法在设计非等宽过渡带的带通滤波 器时的缺陷 研究一种有效的滤波器设计方法 以改善设计结果 课题的意 义在于 在所寻求方法有效的同时 力求其思想具有理论价值 有进一步深 入研究的前景 解决过渡带突起这个问题的一种途径是在设计方法中考虑过渡带的频率 响应 对于频域抽样的滤波器设计方法 这相当于需要考虑在过渡带内进行 抽样 现有的利用过渡带抽样进行滤波器优化设计的方法是以频率均匀抽样 为基础的 本文探求它的推广形式 频域的非均匀抽样 对基于z 变换非等间 距抽样的f i r 数字滤波器设计方法进行研究 对于非等间距的抽样 经典的i d f t 与均匀频率抽样设计公式都不能用 7 问题转化为非均匀离散傅立叶变换 i n d f t 问题 1 3 本文的主要工作 经过分析得出结论 多项式插值方法表示i n d f t 在理论上给出了 i n d f t 的存在性证明 多项式插值函数自身的特点决定其不宜做为实际求解 i n d f t 的方法 针对由连续函妣 的非均匀抽样敝哟来重龇 的问题 引 入样条函数进行插值加以解决 得至岘 的数值解算法 研究基于z 变换非等间距抽样的有限长冲激响应 f i r 数字滤波器的 设计方法 对i 型 i i 型低通 高通及带通线性相位f 瓜低通滤波器 详细推导 并给出对其进行抽样的滤波器频率响应及非均匀抽样的设计方法 分析过渡带设置抽样的必要性 并对所给出的设计方法进行修正 提出一种基于z 变换非等间距抽样设计有限长冲激响应 f i r 数字滤 波器的设计方法 在给定线性相位f i r 滤波器设计指标后 基于离散均方误差 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 最小化准则 采用非均匀抽样 求解f i r 滤波器的冲激响应 对所提出的算法进行了验证 并与p a r k s m c c l e l l a n 算法所得的结果进 行了比较分析 论文的组织结构如下 第2 章引入非均匀离散傅立叶变换的定义 讨论用插值方法求解i n d f t 问题 借鉴b a g e h i 与m i t r a 提出的拉格朗日插值多项式函数表示 建立牛顿多 项式插值形式表示i n d f t 给出i n d f t 的存在性证明 进一步分析可知 牛 顿与拉格朗日插值多项式函数 在高阶情形下误差非常大 无法使用 为解 决插值多项式的固有问题 引入三次样条函数进行插值 详细讨论了由非均 匀离散抽样重建连续函数的问题 第3 章先对线性相位f i r 滤波器的模型及分类进行简单地概述 随后讨论 了本文采用的基于频域非均匀抽样的f i r 滤波器设计方法 联立方程求解 法 然后 基于文献 4 与文献 5 提出的方法与思想 着重讨论了利用非均匀 频率抽样设计线性相位f i r 滤波器方法中所需频率响应及其抽样的设计问题 对i 型 i i 型线性相位f m 低通滤波器 高通滤波器及带通滤波器 详细给出 了所需频率响应及其抽样的推导过程 第4 章首先通过设计实例说明在滤波器通带设置抽样的必要性 对第3 章 提出的设计方法进行了修正 在过渡带增加抽样 这样 在给定线性相位f i r 滤波器技术指标情形下 利用修正之后的设计方法确定所需滤波器频率响应 及非均匀抽样 依据离散均方误差最小化逼近准则 通过求解联立方程的方 法 求出滤波器冲激响应 随后 给出若干设计实例 验证所推导出的设计 方法 并将所得到的结果与应用p a r k s m c c l e l l a n 算法所得结果的进行了比较 分析 最后 给出本文研究结论 4 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 第2 章非均匀离散傅立叶变换 z 变换在单位圆上的非等间距抽样是离散傅立叶变换的推广形式 可以归 纳为非均匀离散傅立叶变换问题 本章讨论非均匀离散傅立叶变换的数学表 示 应用牛顿插值多项式函数表示系统函数日 经过理论分析研究得出了 结论 多项式插值函数表示系统函数撇 的非均匀离散傅立叶逆变换i n d f t 给出了i n d f t 的存在性证明 但对其实际求解不具有可行性 为解决由连续 函蚴的非均匀抽样擞缸 来重蚴的问题 本章采用样条函数进行加以解 决 得至岘 的数值解求解算法 2 1 非均匀离散傅立叶变换 2 1 1 非均匀离散傅立叶变换定义 长度为 的序列x 玎 的非均匀离散傅立叶变换 n d f t 定义为 5 一l x z k 札 z 石 k 0 1 1 2 1 n o 其中z o z l z n l 是位于z 平面任意的不同点 式 2 1 的矩阵表示 x i i x 2 2 式中 x d 研 x z i x z 1 x 0 x 1 x n 1 2 3 当劲 刁 z n l 位于z 平面单位圆上等间距角点 2 栅处时 n d f t 即为通 常的离散傅立叶变换d f t 引用符号w n e j 2 趸l h 9 矩阵d 即转化为d f t 矩阵 5 一 一 一 o 一 一毛 一知 督守 砬 t l 1 哈尔滨t 程大学硕 学位论文 f 111 1 d 2 4 注意到n d f t 矩阵d 是一范得蒙 v a n d e r m o n d e 矩阵 完全由选择的 个么来表示 即矩阵d 完全由抽样点确定 矩阵d 的行列式可以用因式乘积形 式表示为f 8 一i 一l d e t d 2 丌 乏1 一巧1 兀兀 百1 一巧1 2 5 0 句 i n 则差商就恒为零 2 2 2 牛顿插值公式 根据差商定义有 似 b o x o j x x o d x x o j x o x d x x 1 x x o x l a x x 0 x i a x o x i 砣 x 2 j 珏 x x o x i x 2 2 8 2 9 2 1 0 肛 x o x i x n i d x o x i 列 x x n x x o x i 圳 2 11 将式 2 9 代入式 2 8 得 删 a x o x x o g i x o x d x x o x x 1 j x x o x i 2 1 2 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 将式 2 1 0 代入式 2 1 2 一直做下去 最后得到牛顿插值公式 如 y 帜以 其中m 为牛顿插值多项式 r n x 为插值余项 2 1 3 m 啡o g x o f f x o x i x x o x x l f f x o x i 娩 x x o x x v1 j x o x i x n 聃 2 兀 x x j x x o x i k f f i o 2 3 仆d f t 的牛顿插值多项式形式 根据式 2 1 3 x z e z o z i z n i 的牛顿插值多项式表示式为 坝力 砟o 1 z o z 1 冲o z d 1 z o z 1 1 z l r l x i z o z l z 2 1 z o z 1 1 z l 1 1 z 2 z x z o z 1 z n l 2 1 4 由式 2 1 4 有 x z o 2x z o x z 1 2 砟o 1 气百1 x z o z 1 x z 2 2x z o 1 z oz i l x z o z 1 1 z oz 1 1 z 1z 1 烨o z l z 2 x z n o2 x z o 1 z o z n 1 1 x z o z 1 1 z o z 二i 1 1 z lz 患1 x i z o z l 列 1 z o z 二v i 1 1 z lz 未1 1 z n 2 z v 1 1 m z l z n i 已知抽样酢d k o 1 2 n 1 则可得递推关系如下 喇2 琳 栩 2 掣 栩矧2 型等箦裂 x z o z i z n i 2 1 z o z n 1 1 1 一z 1 z 未1 1 z 一2 z l l 2 1 5 根据式 2 1 5 确铒o x z o z 1 x z o z i 列 x z o z l z n i 后 将 1 其代入式 2 1 4 对z 的整数幂合并同类项 并与 x n z 进行对 8 n o 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 比 两式对应的系数应该相等 可得i n d f t 序歹u x n 这样 应用牛顿插值多 项式表示了i n d f t 在理论上证明了i n d f t 的存在性 利用插值多项式表示i n d f t 只具有理论价值 存在性证明 对于实际 求解 通过多项式插值来确定i n d f t 是不可行的 下面对此进行分析 2 4 用多项式插值求解仆d f t 的难点 实际上 通过多项式插值来确定i n d f t 产生的计算误差很大 其原因在 于 多项式函数插值只能在插值点与求插函数相等 而在实际运算中上并不 相等 插值点越多 则插值多项式的阶次越高 插值的近似误差就越大 多项式插值利用因式相消来建立等式 但在数值计算时 由于字长的限 制及运算误差的传递 相等的两个数求差的结果并不一定为零 设计数字滤 波器时 一般都要用到无理数7 r 一定会有计算误差 多项式插值涉及多个差 值因式的乘与除运算 抽样点数 对应着插值多项式阶数 j 越大 差值因式 的数目越大 运算结果的误差就越大 数值计算很少采用高次插值方法 原因是高次插值p 的逼近效果往往 是不理想的 越靠近端点处 逼近的效果越差 称之为 龙格 r u n g e 现象 i s 龙格现象说明 基点 插值点 加密或大范围内使用高次插值不能保证 插值函数能很好地逼近求插函数触 它对函数的给定值是敏感的 9 实际计算表明 在滤波器阶次较高时 用多项式插值计算得到的多项式 系数数值非常大 对于线性相位f i r 滤波器 滤波器方程阶数通常为几十至数 百 这种情形下 多项式插值得到的滤波器系数多是天文数字 甚至超出了 计算机系统所能接受的数值范围 因而 利用多项式插值求解i n d f t 是不可行的 只能使用其它方法 后 文第3 章讨论在离散均方误差最小化准则的意义下 通过求解联立方程来求解 滤波器设计中的i n d f t 2 5 由非均匀离散抽样重建连续函数 如果在每个小区间 x k i x k 内应用低次插值 则可避免龙格现象的发生 每个小区间的两个端点取为插值基点 相邻区间的两个插值函数在基点处保 持连续 对于插值 还需考虑低次插值的光滑性问题 9 哈尔溟工程大学硕十学位论文 i 2 5 1 样条函数插值的概念 样条插值函数定义f l o 设 口 6 是一个给定的区间 彳是 口 纠的一个划分 z 1 a x l x 2 x 1 x l v b 2 1 6 如果勃 满足条件 则称勃 是关于基点划分彳的m 次样条函数 1 在每一区间陬l x k 内 i j 2 3 s a x 是一个m 次多项式 2 在每一内基点x k 上 扣2 3 1 劫 及其m 1 阶导数是连续的 若再给定触 在 口 6 内基点上的值厍 并使 劫 硇 五 k 1 2 n 2 1 7 则称黝 是触 的m 次样条插值函数 m 1 时的样条插值函数是分段线性插值 此时砌g 的全体是 连续函数 但它不光滑 三次样条函数实际上是由一段段三次多项式拼合而成 在拼接处 不仅 样条函数自身是连续的 而且它的一阶和二阶导数也还是连续的 但三阶导 数一般是不连续的 具有二阶光滑度 引用截断幂函数的符号 x 7 f x o 2 1 8 0 x 0 r 自身以及它的一阶 二阶直至m 一1 阶的导数都是处处连续的 而它的 m 阶导数却是一个在垆o 处跳跃的阶梯 阶跃 函数 利用三次截断幂函数的记号 一个三次样条勃 可唯一地表示为 l o 劫 a o a l x a 2 x 2 b o x x o b l x x 0 b n lo h 一2 2 1 9 这说明在 口 6 上就划分彳来讲 任意一个三次多项式样条都可借助于 2 个基本函数 1 x x 一五 x h 1 的线性组合唯一地来表示 即一个三次样条黝 由 2 个独立条件来确定 样条插值函数是具有收敛性与稳定性的插值函数 2 5 2 插值问题与端点条件 在 口 b a 2 给出划舶 以及相应的求插函数触 数值 记蚴啄 石 正 知 2 2 0 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 样条插值 确定三次样条函数s a x 使 劫 硇 五 k 1 2 n 2 2 1 式 2 2 1 只给出了 个条件 由前面所述可知 这不足以完全确定一个 三次样条函数勃 为此还须增加两个边界条件 通常是在区间 口 刎的端点 卿l b x u 各加一个要求 边界条件可分为三类 1 又 口 s a b 取给定值 以 磁 兵 k 1 2 2 2 2 s 二 a s 6 取给定值 j 坼 兵 k l 2 2 3 3 求插函数为周期函数时 s x 一o 2s 五 o 仅20 1 2 2 2 4 对上述三类边界条件 插值问题的解存在而且唯一御 利用给定数据式 2 2 1 及边界条件 可构成式 2 1 9 中关于勃0 的 n 2 个系数鲰与b 的 2 个方程的方程组 这个方程组除了在 是很小时的情 况外 一般是病态的 1 0 解决这一问题的方案是不用式 2 1 9 来确定黝 而改用新的基本函数 如取砌 的二阶导数在磁 c 1 2 的值s 坼 作 为待定的参数 记为尥 利用砌 的一阶导数在内基点x k 尼 2 3 n i 的连续性以及边界条件导出关于坛的 个方程的方程组 2 5 3 对任意划分的三次样条函数插值 记所求勃g 在基点瓢 k i 2 处的二阶导数为坛 如果通过约束 条件能确定一切 那么勃 在每一区间陬 硌1 k i 2 n 1 的值也 就确定了 从而砌0 就完全确定了 所求三次样条函数勃 其二阶导数s x 为折线函数 在每一区间 x k l k i 2 n 1 上都是线性函数 设s 坛 k 1 2 1 有 又 引 m kx k x m k l 兰 堕 磁 石 珊l 2 2 5 n kh k 其中 h 七 x k l 嘞 对式 2 2 5 连续积分两次得 哈尔滨工程大学硕十学位论文 怕 讹譬峨譬讹 2 2 6 勃 坛啦二坐 婚l 鱼羔芝卅肛瑚 瞰 2 2 7 6 魄6 其中 a 七和鼠是积分常数 利用插值条件式 2 2 1 与 2 2 7 来确定积分 常数 有 坛擘 玩 厶 l 譬叫砌一鼠 瓜l 玩 五嗽笠 彳七 掣 冬 慨1 蚴 6 n k o 将彳t 与召女代入式 2 2 7 有 j 啪亟笺翌懈 盟6 h k 蜘尥篮6 厶芦一盈6 尥 一心 懒 6 l j 规 x m l 2 2 8 糊女代入式 2 2 6 有 蜘m 譬峨 譬 譬 半玩 x k o 它是严格 2 必蝴2 纛 警一竿 丧厂 k n 1 时 有 胁 鲰2 2 成 再6 一 l f 一f n 故 可得到关于m 2 m n 1 的n 2 阶三对角方程组 1 4 2 3 6 2 3 7 厂 6 西畋盔 轧九 肌2 2 1 肌 如2 2 以 2 心 矗警 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 如 飑2 五 i t 4 2 1 t 一2 2 社n 1 h 一1 2 m 2 m 3 m a m n 一2 m n t 盔一点厂 吃 反 九一2 d n i 一瓦h n i 厂 6 仡 3 8 其中 如矗降一警卜 m 方程组式 2 3 8 与 2 3 7 特点类似 系数矩阵元素知堆e l 且以 0 g k 7 0 它是严格对角占优的 非奇异 它有唯一解 2 5 3 3 求插函数为周期函数 s x s 式 z 式 而 可导出 m n 尬 在周期插值情形 由于要求s z x n s z x 1 因此存在着关系 知萌 m u i m 2 而旷 l z l m n m i 由式 2 3 2 有 2 v m 2 a u m u i 2 m n 幽 其中 2 3 9 2 4 0 幽百6 f u f u 一訾 赤降訾 旷瓦h n 百 i2 石h n 百 t 2 当k 2 时 式 2 3 2 为 2 尬 2 m 2 z 2 m 3 t 2 i t 2 m n 2 m 2 2 2 m 3 d 2 2 41 结合式 2 4 1 2 4 0 与 2 3 2 可得关于m 2 m 3 m n 方程组矩阵形式 1 5 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 2 如 a 32 五 m 2 m 3 一i m n 2 4 2 方程组式 2 4 2 的系数矩阵元素也具有缸堆尸1 勘t o 触 o 的特点 是严格对角占优的 非奇异 因而它有唯一解 以上所涉及的边界条件 都有一个共同特点 已知求插函数导靴 的 信息 我们还应考虑没有雕 信息的特殊情形 2 5 3 4 未知求插函数导数 如果不知黼 可以设文 x 铜在端点处近似相等 以x 1 x 2 x 3 x 4 为 基点构建一个三次牛顿插值多项式他 u a x a t x l x 2 x x 1 以x l 娩 x 3 x x o x x 2 以x l x 2 x 3 x 4 x x o x x 2 x x 3 2 4 3 以 x n 2 x n 2 x n 3 构建一个三次牛顿插值多项式 6 n 黼 办坝x n x n l x x n a x n 2 n x n x xn o x x n a x n 3 n 2 舳1 x v x x n 2 x x v i x x n 2 4 4 由式 2 4 3 求得 a m 1 x 2 h t t i x l x 2 x 3 h l h l h 2 j x l 匏 x 3 x 4 由式 2 2 9 求得 怕 5 砌鲁慨坍半啊 令i a a 圮 口 有 办m 池瑚锄 圯m 渤的 列2 抛每一丝 啊 2 m 1 m 2 6 x l x 2 x 3 一 h l h 2 j x l x 2 x 3 x 4 2 4 5 同理 由式 2 4 4 计算求得m 6 由式 2 2 9 计算求得s 6 令 又 6 m 6 有 m n i 2 m v 6 f x n 2 x n i 圳 乃n 2 i x n 3 x n 2 x n 1 x u 2 4 6 1 6 畋畋 札如 c k 2 2 纷 一 脚 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 方程组式 2 3 2 加上方程式 2 4 5 与 2 4 6 就得到在不知道求插函 数导黼 时 样条函数中m m 2 蛐满足的m 阶三对角方程组 2l 22 如 3 2 如 t j v 一22 厶一l 12 蝎 m 2 m 3 2 4 7 其中 而 6 肛l 娩 x 3 一 h l h 2 j x l x 2 x 3 x 4 以2 矗 华一警卜2 川 幽 6 x n 2 x n i 州 h n 2 玎x n 3 x n 2 x n 1 x n 这样 针对四种边界条件 我们就得到了详细的求解算法 三次样条函数式 2 2 8 可以变换形式 先将其中的 弼1 3 进行转换 由于玩 m l 魄 m i h 觑 有 0 惭1 3 x x k h t 3 x x k 3 3 h t x x k 2 3h x x k h s 2 丝装堕 1 3 1 等 2 丘产一等 l 2 心 卜嘲坼 故 插值函数黝 可改写为 黝o 4 一 m i 磁 x m i k 1 2 n 1 2 4 8 其中 乱而m 尸警一等 伽 f 等m 尸 对以上内容进行总结 可以得到计算三次样条插值函数的步骤 确定边界条件 根据所确定的边界条件选择方程组式 2 3 5 2 3 8 2 4 2 与 2 4 7 计算h k 肛1 2 及方程组中的儿 触与巩 解三对角方程组式 2 3 5 或式 2 3 8 2 4 2 与 2 4 7 4畋吃 轧办 c 哈尔滨工程大学硕士学位论文 求得尬 尬 蛳 将求得的尬 必 m n 代入三次样条插值函数勃 的分段表示式 2 2 8 或式 2 4 8 中 从而求得函 在 口 b 内任一点的近似值砌 应用上面所讨论的方法 可以依据离散样值坂韵来重建连续函妣 4 x k z 4 t 1 z k z q 加1 k 1 2 1 2 4 9 埘 l 式 2 4 9 是e h 次样条插值构成的坝力的部分表示式 a 坍 后是系 数 由于样条插值自身的特点 坝力的样值 在式中没有出现 实践已证明 用一分段光滑的低次多项式去逼近脚的效果要优于用一任 意光滑的高次多项式去逼近艄n 2 基于收敛性 稳定性和光滑性的考虑 可 采用样条函数进行插值 由非均匀离散抽样重建连续函数 2 6 本章小结 本章引入了非均匀离散傅立叶变换的定义 讨论了用多项式插值方法求 解非均匀离散傅立叶逆变换i n d f t 的问题 建立了牛顿多项式插值形式的 i n d f t 给出非均匀离散傅立叶逆变换的存在性证明 通过理论分析说明 以插值多项式函数求解i n d f t 在高阶情形下无法使用 为解决插值多项式 的固有问题 引入三次样条函数进行插值 详细讨论了由非均匀离散样本重 建连续函数的问题 1 8 哈尔滨工程大学硕十学位论文 第3 章非均匀频率抽样设计线性相位f i r 滤波器 本章讨论基于非均匀频域抽样进行线性相位f i r 滤波器的设计 滤波是数 字信号处理 d s p 中最有效的运算之一 离散时间滤波器分两种类型 f i r 滤波器与i i r 滤波器 滤波器的设计分 为两部分 一是逼近问题 用一个可实现的滤波器作为理想滤波器的逼近 二是实现问题 以何种结构实现传输函数 本文所关注的是线性相位f i r 滤波 器的逼近问题 f i r 滤波器冲激响应的离散傅里叶变换 d f t 是滤波器频率响应的等间 隔抽样 这产生了一个f i r 滤波器经典设计方法 选择一个理想频率响应 按 等间隔抽取 个点 计算这些抽样的逆d f t 获得滤波器的冲激响应 这种方 法称为 均匀 频率抽样设计 通过其频域抽样值的内插频率响应来逼近所 需要的频率响应 i 这是f i r 滤波器设计的主要方法之一 另一个设计方法是使用数目比滤波器长度 更大的均匀频率抽样 在这 种情形下 实际的响应一般不会通过所有指定的样本 但可以使他们之间的 均方误差最4 t n 这两种f i r 滤波器设计方法都是基于所需频率响应在 个等间距点上的 均匀样本的内插来进行 内插得到的频率响应在通带与阻带的边缘处 陡然 变化的区域 具有明显的波纹 即吉布斯现象 文献 4 对均匀频率抽样技术进行了改进 对用解析式函数表示的滤波器 给予少量的自由度 所需频率响应由参数控制 选择参数所遵循的原则是 滤波器频率响应能够以f i r 的形式来实现 对解析函数进行均匀抽样以获得抽 样 而这些抽样的逆d f t 就是该滤波器系统方程的系数 文献 4 中 对线性相位f i r 滤波器 利用两个函数来分段表示通带与阻 带 并用这两个函数的加权和表示滤波器过渡带 引入变换式将切比雪夫多 项式等波纹区间映射为通带区间与阻带区间 这种方法可在滤波器技术指标 与频率响应之间建立形式上的联系 文献 5 0 0 b a g c h i 与m i t r a 将此思想应用于 滤波器的设计 应用拉格朗日多项式插值公式来表示滤波器系统函数圈 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 并利用切比雪夫多项式对频率响应采取分段映射变换的表示方法 提出了非 均匀频率抽样的滤波器频率响应及其抽样位置的设计思想 在本章后文中 先对线性相位f i r 滤波器的模型及其分类进行简单的概 述 随后讨论频域非均匀抽样的f i r 滤波器设计方法一联立方程求解法 基 于文献 4 与文献 5 的思想 针对非均匀频率抽样设计线性相位f i r 滤波器方 法 着重讨论所需滤波器频率响应及非均匀抽样的设计方法 详细推导并给 出了所需的i 型与i i 型低通 高通及带通线性相位f i r 滤波器频率响应及非均 匀抽样方法的推导过程 有了所需的滤波器频率响应及非均匀抽样 结合联立方程求解法求解 i n d f t 就可得到所需滤波器的时域模型 差分方程 3 1 线性相位f i r 滤波器 3 1 1 线性相位f i r 滤波器频率响应的表示 长度为 的f i r 滤波器 具有冲激响应向 2 其频率响应i 主t h n 的离散时间 傅里叶变换 d t f t 给出 l 即 h e 归 h n e 相 3 1 可以用几种方式来表示一个滤波器的频率响应 觑 可以分解成表示成 其实部与虚部组合的形式 实部与虚部二者都是 的实值函数 但对我们所 关注的线性相位滤波器 首选的形式是幅值及与其相联的相位表示式 即 坝扩 i 觑一i 纱 3 2 其中 i 觑即i f i r e 日p 扣 2 i m h e 扣 2 3 3 咖 2 t a n d 篇高 b 4 当月 在单位圆上有零点时 频率响应表示式 3 2 有下面的问题 7 不能以解析式表示i 娥扩 i 它会在其零值处产生尖点 并且相位会有等 于奇数倍7 r 的跳变 哈尔滨工程大学硕十学位论文 可以通过使用振幅么 来消除上面所说的问题 娥 山 表示为 觑g o 4 3 5 其中 彳 士i 觑 i 3 6 是实值函数 可取正值或负值 要使彳徊 平滑并在相位中除去7 r 的跳变 通 过对彳 正值或负值的恰当选取来实现 0 c o 是与么 相对应的相位响应 并等于去掉跳变的妒 如果b i n 是实的 则彳 和i 觑扩 i 是实偶函数 且 妒 和0 o 0 是奇函数 一个线性相位滤波器通常的定义是 伏 k r o 3 7 通常 通过以幅值及p 砌所定义的线性相位滤波器 其限制太大 更为有用的是依据振幅的定义 川c o 4 p 了拗 3 8 它容许以实函数彳 运行 并把所有的相位信息全部放置到一个数值k 匕 即群延迟上 本文中采用此种表达方式 3 1 2 线性相位f i r 滤波器的分类 大多数实际滤波器的设计都有约束 冲激响应b i n 通常是实的 这意味 着 频率响应俄 的实部必须是偶函数 而虚部必须为奇函数 因此长度为 的f i r 滤波器有 个待定参数 如果频率响应具有线性相位 则冲激响应是 对称的 只有n 2 或 1 2 个待定参数 根据b i n 对称形式删偶或奇数 线性相位f i r 滤波器分为四种类型 1 l 3 1 2 1i 型线性相位f i r 滤波器 五 即 为对称形式 为奇数 b i n b i n 1 一 z 1 0 1 n 1 3 9 令 口 o 办 u 1 2 a n 2 h n 1 2 一九 刀 1 2 n 1 2 3 1 0 频率响应肌 及振幅函数为 2 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 n 一1 2 川n e j o 1 t 2 a n c o s o o n 3 11 n o 一1 2 彳 缈 a n c o