专业课资料 练习题 真题 20次作业2003已打印 ps7_n_2003_fll

Homework 7 October 14 2003 1 某消费者的效用函数为 u x yxy x 和 y 的价格都是 1 他的收入为 200 当 x 的 价格涨至 2 元时 计算消费者剩余的变化 补偿变换和等价变换 solution Cohb Douglas 效用函数下 x y 的需求函数是 2 xy x m x ppm p 2 xy y m y ppm p x y 价格是 1 收入为 200 时 200 1 1 200 100 2 x 200 1 1 200 100 2 y 消费者的效用 0 100 100 10 000uu x 的价格涨至 2 时 200 2 1 200 50 4 x 200 2 1 200 100 2 y 消费者的效用 1 50 100 5 000uu x 的价格从 1 涨至 2 时 消费者剩余的变化 The lost consumer surplus 是 22 11 100 1 200 100ln269 3CSx pdpdp p 用 C 表示补偿变化 Compensating variation 有 0 2 1 2 1 200200 100 000 42 200 21 82 8 u xmCymCu CC or C 用 E 表示等价变化 Equivalent variation 有 1 1 1 200 1 1 200 200200 5 000 22 100 22 58 6 u xEyEu EE or E 注意 赵老师在课上定义的CS 就是消费者剩余的损失 见课件第 14 章第 38 页 这 样定义也许是为了同补偿变化和等价变化具有可比性 2 证明当效用函数为拟线形时 消费者剩余的变化 补偿变换 等价变换都相等 Proof 拟线性的效用可以表示成 u x yv xy 在预算约束 x p xym 把 y 的价格标准化为 1 下 假设内点解 x 的反需求函数是 x pv x 由此可见 x 的需求与收入无关 在 y 的价格不变时有 1 xx x pmx p y 的需求等于 xx ymp x p 这时消费者的效用水平 xxx uv x pmp x p 设 x 的价格从 x p变化到 x p 则消费者剩余变化 The lost consumer surplus 是 00 xx x px p xxxx xxxxxx CSv x dxp x pv x dxp x p v x pmp x pv x pmp x p uu 设补偿变化为 C 有 1 1 xx xxx xxx u x pmCy pmCu orv x pmCp x pu Cuv x pmp x puu 设等价变化为 E 有 1 1 xx xxx xxx u x pmEy pmEu orv x pmEp x pu Ev x pmp x puuu 对比可见对于拟线性的效用函数对比可见对于拟线性的效用函数CSCE 3 消费者对商品 x 和在其它商品上的开支 y 的效用函数为 yxxyxu 2 2 1 1 市场上有完全同样的消费者 100 人 写出市场需求函数 2 该如何定价使销售收入最大 此时价格弹性是多少 solution 首先求解单个消费者的最优化问题 2 1 max 2 x xxy stp xym 其他商品上的开支设它是用货币度量的 所以价 格标准化为 1 解联立方程组 1 11 xx y x MUpx MU p xym 得 2 1 x xx xp ympp 1 x 的市场需求函数是单个需求函数的横向加总 100100 1 x Xxp 2 销售收入用 R 表示 最大化销售收入就是 max100 1 xx Rpp 1 100 12 0 2 xx x dR pp dp 这时需求弹性是 100 1 100 1 xx x xx ppdX X dpp 4 证明所有消费品的收入弹性的加权平均为 1 权重为每个消费品的开支比例 Proof 无论任何价格 收入下 我们都有预算约束式 1 n ii i p xm 成立 对预算约束是两边 对收入 m 求导得 1 1 1 n i i i x p m LLLLLL 而 iiiiii i